TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2
lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG NĂM HỌC: 2017 -2018 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TỐN CAO CẤP TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2017 - 2018 Chúc mừng bạn bước vào ngưỡng cửa đời Việc đỗ Đại học mở cho em trang với đầy hội không thách thức Thách thức không việc học xa nhà môi trường mà hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên hạn chế giảng đường lớn hàng trăm Sinh viên mà khối lượng kiến thức đồ xộ Tại bậc học Đại học, môn học chia làm phân mơn (hay cịn gọi học phần) Các học phần có tính độc lập tương đối nội dung kiến thức nên tổ chức học đánh giá kết học tập độc lập hoàn Bài tập hoàn toàn tập trung dồn vào cuối chương chuyên đề không theo (các buổi học) Các tập giải theo tính chủ động học tập Sinh viên Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học bậc Đại học nên kết học tập môn học Đại cương thường thấp môn học chuyên ngành năm thứ 3, thứ (hoặc thứ 5) Tuy nhiên, chương trình giảng dạy Tốn Cao Cấp Moon.vn vấn thiết kế tập cuối học lý thuyết (qua Video theo truyền thống Moon.vn) cuối chương (Phần luyện tập chuyên đề) Cũng nhằm để làm quen với cách học Đại học, số video tập đưa với mục đích hướng dẫn em cách làm tập trình bầy bậc Đại học Thầy thiết kế chương trình với lịch phát sóng sớm để em có hội tiếp cận sớm với kiến kỹ làm tập tốt Hy vọng với chuẩn bị sớm tốt, em thành đạt theo kinh nghiệm: 95% thành công việc chuẩn bị Link: lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Để bạn Sinh viên tiện theo dõi chương trình học, Thầy thiết kế chương trình đào tạo đánh mã số chi tiết theo phân đoạn đơn vị kiến thức để em dễ dàng theo dõi Các em vào đường link sau để biết rõ tồn chương trình: Tại bậc Phổ thơng, em học chương trình Tốn cịn Tốn Cao Cấp khác biệt lớn thể Trường, thâm chí khối ngành học Trường Đối với khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sư phạm, KHTN), Cơng nghệ, chương trình Tốn Cao Cấp học Tốn A gồm có học phần riêng biệt với đường link cho Tốn A ( o Tốn A1: Đại số tuyến tính o Tốn A2: Giải tích o Tốn A3: Giải tích o Tốn A4: Giải tích Đối với khối ngành Nơng – Lâm – Y – Dược, chương trình Tốn Cao Cấp học Tốn B gồm có học phần riêng biệt với đường link cho Tốn B ( /7): o Toán B1: Đại số o Tốn B2: Giải tích Đối với khối ngành Kinh tế, Thương mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật Quản trị kinh doan chương trình Tốn Cao Cấp học Tốn C gồm có học phần riêng biệt với đường link cho Tốn C ): ( o Tốn C1: Đại số tuyến tính o Tốn C2: Giải tích Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết bố trí với nội dung chi tiết cho khối ngành thông qua hệ thống video giảng giáo trình đầy đủ tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng giải tập cho Toán A, Toán B Toán C Đi kèm lý thuyết kho liệu khổng tập tổng hợp từ Đề thi cuối Học kỳ năm gần khối ngành: Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Toán A1, A2, A3 A4: 3500 tập Toán B1 B2: gần 2000 tập Toán C1 C2: gần 2000 tập Các tập trọng yếu quay Video kèm lời giải giúp em ôn tập dễ dàng, tiếp cận phương pháp giải nhanh chóng xác Thầy đội ngũ Supper Mods (cũng Giảng viên dạy Đại học) vui trao đổi diễn đàn Toán cao cấp Moon.VN Facebook với đường link sau: Các em thắc trực tiếp với thầy trang Facebook cá nhân với đường link sau: Chúc em nhanh chóng thu lượm kiến thức, hồn thiện kỹ vận dụng sáng tạo ! Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG MỤC LỤC Chương 1: Hàm số nhiều biến §1 Tổng quan hàm số nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm nhiều biến .9 1.1.1 Định nghĩa : 1.1.2 Biểu diễn hình học hàm hai biến số .9 1.2 Giới hạn hàm số hai biến số 10 1.3 Tính liên tục hàm số hai biến số : 10 1.3.1 Khái niệm: 10 1.3.2 Chú ý: .11 §2 Đạo hàm riêng .12 2.1 Đạo hàm riêng: 12 2.1.1 Định nghĩa: 12 2.1.2 Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng: 12 2.2 Đạo hàm riêng cấp cao: .13 .13 14 p hai 19 3.1 Đinh nghĩa : 19 3.2 Điều kiện khả vi hàm số nhiều biến : .19 3.3 Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng: 20 3.4 Điều kiện để biểu thức P x, y dx Q x, y dy vi phân toàn phần: 20 Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 3.5 Phương trình tiếp tuyến, pháp diện đường cong điểm 20 3.5.1 Đường cong không gian 20 3.5.2 Phương trình tiếp tuyến 21 3.5.3 Pháp diện đường cong : 21 §4 Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số ẩn .24 4.1 Đạo hàm hàm số hợp 24 4.1.1 Định nghĩa: 24 4.1.2 Định nghĩa 2: 24 4.2 Đạo hàm hàm số ẩn 24 4.2.1 Định nghĩa hàm ẩn: 25 4.2.2 Đạo hàm hàm ẩn 25 §5 Cực trị .30 5.1 Cực trị tự hàm số hai biến số: 30 5.1.1 Định nghĩa 30 5.1.2 Điều kiện cần cực trị .30 5.1.3 Điều kiện đủ cực trị : .30 5.2 Cực trị có điều kiện: 31 5.2.1 Khái niệm: 31 5.2.2 Định lý: 31 5.3 Giá trị lớn bé hàm hai biến số miền đóng giới nội .32 Chương 2: Tích phân bội 34 §1 Tích phân kép: 34 1.1 Phép đổi biến số tích phân kép 34 1.1.1 Phép đổi biến số tổng quát .34 Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 1.1.2 Phép đổi biến số tọa độ cực 37 1.1.3 Phép đổi biến số tọa độ cực suy rộng 43 §2 Tích phân bội ba 45 2.1 Định nghĩa tính chất 45 2.2 Tính tích phân bội ba hệ tọa độ Descartes 46 2.3 Phương pháp đổi biến số tích phân bội ba 49 §3 Các ứng dụng tích phân bội 62 3.1 Tính diện tích hình phẳng 62 3.2 Tính thể tích vật thể .68 Chương 3: Tích phân đường 75 §1 Tích phân đường loại I .75 1.1 Định nghĩa 75 1.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại I 75 §2 Tích phân đường loại II 78 2.1 Định nghĩa .78 2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 78 2.3 Công thức Green 82 2.4 Ứng dụng tích phân đường loại II 88 2.5 Điều kiện để l thuộc đường lấy tích phân .89 Chương 4:Tích phân mặt 92 §1 Tích phân mặt loại I 92 1.1 Định nghĩa 92 1.2 Các cơng thức tính tích phân mặt loại I 92 Tích phân mặt loại II 95 2.1 Định hướng mặt cong 95 Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 95 2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II .95 2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes 98 2.5 Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II 102 Chương 5: Lý thuyết trường 105 §1 Trường vơ hướng .105 1.1 Định nghĩa 105 1.2 Đạo hàm theo hướng 105 1.3 Gradient .106 §2 Trường vecto 110 2.1 Định nghĩa 110 2.2 Thông lượng, dive, trường ống 110 2.3 Hồn lưu, vecto xốy .110 2.4 Trường - hàm vị .111 Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Chƣơng 1: Hàm số nhiều biến §1 Tổng quan hàm số nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa : Cho D R , ánh xạ f : D R gọi hàm số hai biến số Kí hiệu : f :DR x, y Z f x, y D miền xác định f ; x,y hai biến số độc lập f D z f x, y / x, y D g hàm f Hàm số n biến f x1, x2 , , xn định nghĩa tương tự Miền xác định : Cho hàm số Z f x, y , miền x nh hàm f tập hợp cặp x, y cho f x, y D gọi liên thông R với M1 , M thuộc D ln nối với đường cong liên tục nằm hoàn toàn D D gọi mở điểm biên L D không thuộc D D gọi đóng điểm biên L D thuộc D D gọi đơn liên bị giới hạn nhiều đường cong kín rời đơi 1.1.2 Biểu diễn hình học hàm hai biến số Giả sử Z f x, y xác định miền D mặt phẳng xOy Link: Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG MP // OZ MP f x, y Z Khi M biến thiên D P biến thiên R sinh mặt S, S gọi đồ thị hàm Z f x, y Z f x, y cịn gọi phương trình mặt S Mỗi đường thẳng song song với trục OZ cắt mặt S không điểm 1.2 Giới hạn hàm số hai biến số Định nghĩa : Cho hàm số f M f x, y , xác định miền D chứa điểm M x0 , y0 , trừ điểm M Ta nói L giới hạn f x, y điểm M x, y dần tới điểm M x0 , y0 với dãy M n xn , yn thuộc D dần tới M ta có lim f xn , yn L n Kí hiệu : lim x , y x0 , y0 hay : f x, y L lim f M L M M 1.3 Tính liên tục hàm số hai biến số : 1.3.1 Khái niệm: Cho hàm số f M f x, y , xác định miền D, M x0 , y0 điểm thuộc D Ta nói hàm số f x, y liên tục M tồn : lim f x, y lim f x, y f x0 , y0 x , y x0 , y0 x , y x0 , y0 Hàm số f x, y gọi liên tục miền D liên tục điểm thuộc D Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 10 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z dxdydz S V tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến Chú ý Nếu tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z dxdydz S V Nếu mặt cong S khơng kín, bổ sung thành mặt cong S' kín để áp dụng cơng thức Ostrogradsky, trừ phần bổ sung Ví dụ 2.04.6 Tính xdydz ydzdx zdxdy S phía ngồi mặt cầu S x2 y z a2 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 99 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Lời giải : Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz 3V 4 a S V Ví dụ 2.04.7 Tính x dydz y dzdx z dxdy 3 đso S phía ngồi mặt S cầu x y z R2 2 Lời giải : Xem hình vẽ 5.6 , áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có : I 3 x y z dxdydz V x r sin cos 0 2 y r sin sin 0 , J r sin z r cos 0 r R đặt 2 R 0 I d d r sin dr 12 R 5 Ví dụ 2.04.8 Tính y zdxdy xzdydz x 2 ydxdz S phía S miền x 0, y 0, x y 1, z x2 y 2 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 100 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Lời giải : Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có : I y z x dxdydz V đặt x r cos y r sin 0 r , J r z z 0 z r r2 0 d dr r z rdr Ví dụ 2.04.9 Tính xdydz ydzdx zdxdy S phía ngồi miền S z 1 x y , a z 1, a Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 101 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Lời giải : Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có : I 3dxdydz 3V Bh 1 a V 2.5 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II P x, y, z cos Q x, y, z cos R x, y, z cos dS S P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdy S cos ,cos ,cos mặt S cosin phương vecto pháp tuyến đơn vị Ví dụ 2.04.10 Gọi S phần mặt cầu x y z nằm mặt trụ x2 x z 0, y , hướng S phía ngồi Chứng minh x y dxdy y z dydz z x dxdz S Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 102 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Lời giải : Ta có : y x y nên vecto pháp tuyến S n yx' ,1, yz' Vì n, Oy 2 nên x z ,1, n yx' ,1, yz' 2 x2 z 1 x z Do x2 z2 n 1 2 2 2 1 x z 1 x z 1 x z cos cos n, Ox n1 x n n2 cos cos n, Oy y n cos cos n, Oz n3 x n Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 103 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Áp dụng cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I II ta có ; I x y cos y z cos z x cos dS S x y z y z x z x ydS S 0 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 104 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Chƣơng 5: Lý thuyết trƣờng §1 Trƣờng vơ hƣớng 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.3 Cho tập mở R ( R ) Một hàm số u: R x, y , z u u x , y , z gọi trường vô hướng xác định Cho c R , mặt S x, y, z / u x, y, z c gọi mặt mức ứng với giá trị c ( đẳng trị ) 1.2 Đạo hàm theo hƣớng Định nghĩa 6.4 Cho u u x, y, z trường vô hướng xác định M Với l vecto khác khơng M x, y, z cho M M phương với l , đặt x x 2 y y 2 z z 2 0 x x0 2 y y0 2 z z0 2 giới hạn ( có ) tỉ số lim 0 u gọi đạo hàm theo hướng l M trường vơ hướng u kí hiệu u M0 l Chú ý: Giới hạn cơng thức thay u x0 t cos , y0 t cos , z0 t cos u x0 , y0 , z0 lim t 0 t cos ,cos ,cos cosin phương Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) l 105 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Nếu l Ox u u M0 M0 x l Đạo hàm theo hướng l điểm M trường vô hướng u thể tốc độ biến thiên trường vô hướng u M theo hướng l Định lý 6.16 Nếu u u x, y, z khả vi M x0 , y0 , z0 có đạo hàm theo hướng l M u u u u M M .cos M .cos M cos x y z l cos ,cos ,cos cosin phương l 1.3 Gradient Định nghĩa 6.5 Cho u x, y, z trường vơ hướng có đạo hàm riêng M x0 , y0 , z0 Người ta gọi gradient u M vecto u u u x M , y M , z M kí hiệu gradu( M ) Định lý 6.17 Nếu trường vô hướng u x, y, z khả vi M tịa ta có: u M gradu.l l Chú ý : u M thể tốc độ biến thiên trường vô hướng u l M theo hướng l Từ công thức u M gradu l.cos gradu, l l Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 106 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG u M đạt giá trị lớn gradu l l ta có l có phương với gradu Cụ thể : Theo hướng l , trường vô hướng u tăng nhanh M l có phương, hướng với gradu Theo hướng l , trường vô hướng u giảm nhanh M l có phương, ngược hướng với gradu Ví dụ 2.05.1 Tính đạo hàm theo hướng l u x3 y3 3z A 2,0,1 , l AB, B 1,2, 1 Lời giải : Ta có : AB 1,2, 2 nên cos cos cos 1 AB 1 u u , x A 12 x x u u , y A x AB y 2 AB 2 u u , 9 z A 9 z x Áp dụng cơng thức 6.2 ta có : u 1 2 A 12 9 3 l Ví dụ 2.05.2 Tính mondun gradu với u x3 y3 z A 2,1,1 Khi gradu Oz , gradu Lời giải : Ta có : Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 107 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG u u u gradu , , 3x yz,3 y 3zx,3z 3xy x y z nên gradu 9, 3, 3 gradu Oz gradu, k u z xy x x yz gradu y zx x y z z xy Ví dụ 2.05.3 Tính gradu với u r ln r r x y z r Ví dụ 2.05.4 Theo hướng biến thiên hàm số u x sin z y cos z từ gốc tọa độ O 0,0 lớn ? Lời giải : Từ công thức u O gradu.l gradu l cos gradu, l l ta có u O đạt l giá trị lớn nhât gradu l l có phương với gradu O 0, 1,0 Ví dụ 2.05.5 Tính góc hai vecto gradz hàm z x y , z x y 3xy M 3,4 Lời giải : Ta có ; x y gradz1 , x2 y x2 y 3 4 nên gradz1 M , 5 5 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 108 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 3y 3x 9 , 3 gradz2 1 nên gradz2 M 2, x y Vậy cos gradz , gradz gradz1 gradz2 12 145 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 109 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG §2 Trƣờng vecto 2.1 Định nghĩa Cho miền mở R Một hàm vecto F : R3 M F F M : F Fx M i Fy M j F2 M k 2.2 Thông lƣợng, dive, trƣờng ống a Thông lượng: Cho S mặt định hướng F trường vecto Đại lượng Fxdydz Fydzdx F 2dxdy gọi thông lượng F qua mặt cong S b Dive : Cho F trường vecto có thành phần Fx , Fy , Fz hàm số có đạo hàm riêng cấp tổng Fx Fy Fz gọi dive trường x y z vecto F kí hiệu div F c Trường vecto F xác định gọi trường ống div F M với M Tính chất : Nếu F trường ống thơng lượng vào thơng lượng 2.3 Hồn lƣu, vecto xốy a Hồn lưu: Cho đường cong ( kín khơng kín ) không gian Đại lượng Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 110 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Fxdx Fydy Fzdz C gọi hoàn lưu F dọc theo đường cong b Vecto xoáy : Vecto i j k rot F : x y z Fx Fy Fz gọi vecto xoáy ( hay vecto rota ) trường vecto F 2.4 Trƣờng - hàm vị Trường vecto F goi trường ( ) tồn tịa trường vô hướng u cho gradu F Khi hàm y gọi hàm vị Định lý 6.18 Điều kiện cần đủ để trường vecto F F M trường rot F với M Chú ý : Nếu F trường hàm vị u tính theo cơng thức x y z x0 y0 z0 u Fx x, y0 , z0 dx Fy x, y, z0 dy Fz x, y, z dz C Ví dụ 2.05.6 Trong trường sau, trường trường ? a a x xy i 3x y j k b a yzi xz j xyk c a x y i x z j z x k Lời giải : a Ta có : Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 111 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG rota y Q z , z R R y , x P P y Q 0,0,6 x 20 y nên a trường b Ngồi cách tính rota , sinh viên dễ dàng nhận thấy tồn hàm vị u xyz nên a hàm c Ta có rota y Q z , z R R y , x P P y Q 0,0,0 nên a trường Ví dụ 2.05.7 cầu Cho F xz i yx j zy k Tính thông lượng F qua mặt S : x y z hướng ngồi Lời giải : Theo cơng thức tính thơng lượng 6.3 ta có : xz 2dydz yx 2dxdz zy 2dxdy S Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có : x y z dxdydz V Thực phép đổi biến tọa độ cầu x r sin cos 0 2 y r sin sin , 0 , J r sin z r cos 0 r Ta có : Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 112 lOMoARcPSD|16911414 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 2 0 d d r 2r sin dr 4 Cho F x y z i y x z j z x y k L giao tuyến Ví dụ 2.05.8 mặt trụ x y y nửa mặt cầu x2 y z 2, z Chứng minh lưu số F dọc theo L Lời giải : Theo cơng thức tính lưu số 6.4 I x y z dx y z x dy z x y dz L Áp dụng cơng thức Stokes ta có : I S y Q z dydz z R R x dzdx y P P z dxdy Q z y dydz x z dzdx y x dxdy S 0 Link: http://www.moon.vn/KhoaHoc/DeCuong/2075/1010/7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 113