Đang tải... (xem toàn văn)
cho điểm thích hợp theo cách cho điểm từng phần trên đây.. Vậy, nhận xét được chứng minh.[r]
(1)Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
a) Rút gọn biểu thức:
2
2
x x x x
P
x x x x
với x 2
2( 1 1)
2 2 1 2 1
x x x x
P
x x x x
2
2
2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x
P
x x
2 1 1
2 1 1
x x
P
x x
2 1 1
2 1 1
x x
P
x x
( x2 nên x1 1 2x1 1)
2.2
2 2
x
P x
b) Cho biểu thức Sn ( 5 3)n( 5 3)n với n số nguyên dương
Ta có :
2
2
2 5 5
n n n n
n
S
2 5 5
n
n n
n
S
2
2 2.2
n n
n n n
S S S
( đpcm)
Ta có : S1 2
S2 S12 22 (2 5)2 16
2
4 2 16 248 S S
2
8 248 32 61472
S S
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) a) Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
P
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 Do đó:
P 2 2 2 2 2
2 3
(2)Cách khác: Áp dụng đẳng thức (a b a b )( )a2 b2, ta có:
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
P
2 2 2 2 2 3 2 2 3 = – = Vì P > nên P = b) Tính Q x 312x2009, với x31 65 65 1 :
Ta có :
3 31 65 65 1
x
3
3
1 65 65 65 65 1 65 65
3
2 12 65 65 12x
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011
Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) Ta có:
5 10 17 10 17 10 17 10 17
2 2
P= + + - + + - + +
( )2 2 2 ( )2
10 17 5 10 17
4
+ - -
-=
2 170 2 170
4
+ - +
=
169 13
4
= =
Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho biểu thức
1
5
x x
P
x x x x
-
-= - +
- + -
-a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
P xác định
0
5
2 x
x x
x x ì ³ ïï
ïï - + ¹
ïï Û íï
- ¹ ïï
ïï - ¹ ïỵ
0 x
x x ì ³ ïï ïï
Û íï - ¹ ïï - ¹
(3)( 2)(1 3) 32 23
x x
P
x x
x x
-
-= - +
-
( ) ( )
( )( ) ( ( )() ( ) )
2
1 4
2 3
x x x x x x
x x x x
- - + - - - + + - +
= =
- - -
( )
( )( )
2 2
3
2
x
x
x x
-= =
- c) Tìm số nguyên x để P nguyên:
Theo b)
2
P x
=
- Do đó,
2
x nguyên P nguyên
3
x nguyên x 2 x 3 1; 2. Với x 1 x16;
Với x 3 1 x4; Với x 2 x25; Với x 32 x1
Kết hợp với điều kiện (*) suy x1;16;25
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Cho A 2012 2011, B 2013 2012 So sánh A B Ta có:
1
2012 2011
2012 2011
A
1
2013 2012
2013 2012
B
Suy ra: 1
A B AB .
b) Tính giá trị biểu thức :C315 26 315 26 Áp dụng công thức (a b )3 a3 b3 (ab a b ) ta có: C3 (15 26) (15 26) 3 C3 675 676
3 3 52 0
C C
(C3 64) (3 C12) 0
2
(C 4)(C 4C 13)
VậyC4.
c)Cho 2x3 3y34z3
1 1
1
xyz CMR:
2 2
3
3 3
2
1
2
x y z
.
Đặt: 2x33y3 4z3 k k3( 0)
3 3
3 3
2 k ;3 k ; k
x y z
(4)Từ đó:
3 3
3 3 3 3 3
3 3
1 1
2 k k k k k
x y z x y z
(1).
Và:
3 3
2 2 2
3 3
3 3
2x 3y 4z k x k y k z
x y z
k3 1 k
x y z
(2) Từ (1) (2) suy đpcm
Bài 6: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Rút gọn biểu thức:
6 12 24
2
A
2 2
6 12 24 2 2 2
2 3
A
1 32
2
2
3
1 3
2 3 1 2
2
2
3 2 3
1 2
3
2 3 1 2 2
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015) a) Cho x0,y x Chứng minh rằng:
2
2
y y x y y x
y x
(1);
2
2
y y x y y x
y x
(2) Đặt yxyxz
Bình phương vế ta được: z2 2y2 y2 x
Từ ta có:
2
2
y y x
y x y x
(3)
Tương tự ta có:
2
2
y y x
y x y x
(4)
Lấy (3) cộng (4) ta được:
2
2
y y x y y x
y x
; Lấy (3) trừ (4) ta được:
2
2
y y x y y x
y x
b) Rút gọn biểu thức:
3
2
2
1 1
2
a a a
P
a
.
Điều kiện 1 a 1 Áp dụng công thức (1) ta được:
2
2 1 1 1 1
1
2 2
a a
a a
a
(5)Với a0 a0 ta có:
1 1
2
a a a
Ta lại có:
1a3 1 a3 1a 1 a1 a 1 a2 1 a
a a a
Vậy
1
1 1
2
P a a a a a
Bài 8: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
a) Rút gọn biểu thức:
3 3
1
2 12 15 3
P
Ta có:
P
2
3 3
1
12 15 2 3
3 3 3
1
12 15 2 4 2
3
3
9 18 2
2
3
3
3 3
2
b) Chứng tỏ 10 10 nghiệm pt x36x 0 . Đặt m3 10 2 10
Áp dụng đẳng thức
3 3 3
3 ( ) a b a b ab a b
ta có:
3
3 10 2 10 2
m
3
3
10 - 10 10 10 10 10
2 6m .
Suy ra: m36m 0 .
Vậy m nghiệm phương trình x36x 0 .
Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
1 1
1
a a a a a a
P a
a a a a a a a
.
a) Rút gọn P
Điều kiện: a > 0, a ≠ Ta có:
1 1
1
a a a a a a
P
a a a a
(6)
3
1
1
a a a a
a
a a a
1 1 1 3 2
1
a a a a a a a a a
a
a a
2222aaa
a
2a a a
2 a
a
b) Chứng minh P >
Ta có
2
2
6 a
P
a
2 a a a
2
1
2
2 0, 0
a
a a
a1.
Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) a) Cho M xy x x y y xy
a1) Phân tích M thành nhân tử Ta có: M x y x y y x y x x y
a2) Tính giá trị M với x 4 y 4
Ta có
2
4 3 ; 3
x y
Suy
2
4 3 3
M
4 3 3 1 3 5 3 6 3
b) Chứng minh rằng:
2016 2017
2016 2017 (1)
2017 2016
Ta có (1) 2016 2016 2017 2017 2016.2017 2016 2017 0
3
2016 2017 2016.2017 2016 2017
2 2016 2017 2016 2017
(7)Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) Rút gọn biểu thức:
2
2
1 1
:
2
P
xy y xy x x xy x xy xy y y xy xy x y
với x 3 8 y 3 8.
Ta có:
1 x y
xy y xy x xy xy
;
2
2
1
2
x xy x xy xy y y xy xy x y
=
2
1
2
x x y xy y x y xy xy x y
2 2
2
x y
xy x y xy x y
2
2
2 x y
x y xy
xy
xy x y xy x y
,
Suy ra:
x y
P
xy
Vì
2
3 ; y
x
Suy :
2
2
2
2
2
P
Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) Rút gọn b/thức:P= 13 30 2+ + 2+ - 48 10 3- + -
Ta có: ( )
2
9 2+ = 2 1+ =2 1+
( )2
2+ 2+ = 2 1+ + = 1+ = 1+
( ) ( )2
13 30 2+ + 2+ = 13 30+ 1+ = 2+5 =3 2+5
( )2
(8)( ) ( )2
48 10 3- + = 48 10 2- + = 5- = -5 Do P=3 2+ -5 (5- 3)- = 3×
Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 208)
Tính giá trị biểu thức:
2 3
2
4
1
2
P
2 2
2 3 3
2 2
2 3
2 3
2
2
P
2 3 3 3
2 3
3 3 3 3
6 3 3 3 3
Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
2
2
1 :
2 2
ab a ab a
a a
P
ab ab ab ab
a) Rút gọn biểu thức P
Điều kiện:
1 0, 0,
4 a b ab Ta có:
2
2 2
1
2 2
ab a
a a a
ab ab ab ab
4
1
2
4
2
ab a a
ab
ab ab
2
2 2
1
2 2
ab a
a a a
ab ab ab ab
2
1
2
4
2
a a
ab
ab ab
Do
4 4 1
2
4 2 2 1
ab a ab
P ab
ab a
(9)b) Tìm giá trị nhỏ P biết a b1
Ta có
2
2 a b a b ab 0
Hay
2
1
2
4
ab a b
Dấu “=” xảy
1
2 16
1
4 a
a b
a b b
Vậy
1 1
,
4 16
MinP a b
Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho biểu thức
( 1)( 2)
x x x
A
x
Điều kiện: 3 x 1. Ta có:
( 2) 2 A
1
x x x
x
2 2 1 2
x x x x
x
1 1 2
x x x
x
1 x 3 2
1 x3
A 1 x 3 0 x 3 x3 Vậy 3 x
Bài 16: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020) a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện: x0,x4,x 9 Ta có:
3 2 2
2 3
x x x x x x
x x x x x x x x
3 2
2
x x x x x
x x
9 1
2
2
x x x
x
x x
2
2
2
x x x
x
x x x x
(10) 1 2
x x
x x x x
Do
1
:
2
x x
A
x x x x
b) Tìm x để
1
P A
x
đạt giá trị lớn nhất. Ta có
2 2
1
x P
x x
x x
2
1 3
x
Dấu “=” xảy
1 x
x
Vậy maxP 3 x1
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
P = (
√1+x
√1+x−√1−x+
(√1−x)2
√(1−x)(1+x)−√(1−x)2)
√1−x2−1
x
(do <x < 1)
= (
√1+x
√1+x−√1−x+
√1−x
√1+x−√1−x)
√1−x2−1
x
=
√1+x+√1−x
√1+x−√1−x.
√1−x2−1
x
=
(√1+x+√1−x)(√1+x−√1−x) (√1+x−√1−x)2 .
√1−x2−1
x
=
2x
2−2√1−x2.
√1−x2−1
x
= -1 KL:
Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010) a)
2
1 ( )
1
(2 1)( 1) (2 1)( 1) ( 1)
1
(1 )( 1)
(1 )
x x x x x x x x
A
x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x
( 1)
1
1 1
x x x x
x
x x x x x x
Ta có
6 6
6
5
x
A x x
x x
(11)Từ giải đượcx 2 3;x 2 b)Ta có:
2
2
2 ( 1)
3
x
A x x x
x x
Do x1nên x1 0 ( x1)2 0 Vậy
2 A
Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) a) Ta cóA3 26 15 3 26 15 3
2 2
38 3.2 3.2.( 3) ( 3) 38 3.2 3.2.( 3) ( 3)
3
3 (2 3) (2 3)
(2 3) (2 3)
2
A KL:
b) Điều kiện: 2a11
Đặt x a (0x3) a x 22
Tính
2
2
( 2) 1
:
3
x x x x
P
x x x x x
( 2) 3( 3)
:
3 ( 3)
x x x
x x x
(2)(3)
3242 xxxx
xx
=
2 a KL:
Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017) a) Rút gọn M=
ab
a b với a, b>0 ab Ta có
2
1 1
( ) 1
a b ab ab a b ab
ab ab
ab a b
a b a b
(12)0; 0
1
ab
a b a b ab
a b
ab ab ab
M
a b a b a b
+ 0<a<b
0; 0
1
ab
a b a b ab
a b
ab ab ab
M
a b a b a b
b)
2 2
2 2
2 2
2 2
5
18
2
5 4 18 2
5 4 18 36
18 36
18 36
a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b b a b a
a b b a b a
-Nếu
2
2
2
3
18 36
18 36
a b a
a b b
a b b
Vì a, b nguyên nên
2
2
3
2
18 36
a b a
Q Q
a b b
Vơ lý 2 số vơ tỉ
-Vậy ta có
2
2
2
2
2
3
18 36
18 36
2
3 3 6
a b b
a b b
a b b a b
a b a a b a
Thay a =
3
2b vào 3a2 6b2 a0 t a có
2 2
9
3 27 24 ( 2)
4b b 2b b b b b b
Ta có b = (loại) ; b = (thoã mãm) , a = Kết luận:
c)Ta có
2
2
a b c a b c ab bc ca
mà a b c 7 ; a b c 23 nên ab bc ca 13
Ta có a b c 7 c 6 a b1
nên ab c 6 ab a b 1 a 1 b1
Tương tự bc a 6 b 1 c ; ac b 6 a 1 c 1 Vậy H =
1 1
6 6
ab c bc a ca b
=
1 1
1 1 1
(13)=
1 1
1 1
c a b
a b c
=
3 7 3
1 13 1
a b c
abc a b c ab bc ca
d)N=
2( 4 )
25 10 2 13
=
2 2( 4 )
(5 2) (4 3) 4 (4 3)
2
2( 4 ) 2( 4 )
(5 2) 2 5
4
( 4 )
e)
2 2
4 2 2
2
2 2
2
(GT) a b 2(ab 1) (a b) ab
a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) a b (1 ab) (a b) -(1 ab)=0 (a b) ab a b ab Q;vi:a;b Q KL:
Bài 21: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) a) Cho biểu thức
2 10
:
8
x x x x x x
M
x
x x x x x
Rút gọn M tìm x để M>1
*
2
2 ( 1)
:
2
2 1
x
x x x x
M
x
x x x x x x x
1
:
2
x x
x x x x
1 (3 5)( 1) 2( 2)
:
2
x x x x x x
x x x x
1 2 3 5
:
2 11
x x x x x x x x
x x x x
2
3
:
3( 3)
2 11 2
x x
x x x x
x
x x x x x x x
Vậy M=
1
3
x x
(14)*M<1
1 2
1 0
1
3 3
x x x x
x
x x x
Ta có
2
1
1
2
1 x x
x x
x x
Vậy M>1 1<x<4 x3
b)Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1 Tính H= 1 1
a b b c c a
c a b
Vì ab bc ca 1 nên 1+c= ab bc ca c a c b c Tương tự ta có 1 a a b a c;1 b a b b c
Vậy H=
a b b c c a
a c b c a b a c a b a c
=
a c b c a b a c b c a b
a c b c a b a c b c a b
=
1 1 1
0
b c a c a c a b a b b c
Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019) a) Với x0,x1 ta có:
2 1 1
:
1
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x
x x x x
2
1 1 1
1 1
x x
x x x x
x
b)
1 7
0
7
x x x
P
x x
6
x x
x 2 x 4
Lập luận 2 x 4 4 x 16. KL
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Ta có : x3 = + 3 - + 3 - 3x x3 + 3x - 2 3 = (1)
y3 = 5 + - 5 + – 3y y3 + 3y – = (2) Trừ (1) (2) có : x3 – y3 + 3(x – y) + - 2 3 =
(15) (x – y)3 + 3(x – y )(xy + 1) = 2 3 -
Vậy: A = - Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) a) Rút gọn P =
1 m m
(với m 0, m 1)
b) P =
1 m m
= +
2 m
Ta có: P N
2
1
1 N m
m
là ước dương m 4; 9
(TMĐK) Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm
Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Đặt x 33 2 33 2= a + b
3
3 3 3
x a b a b 3ab a b 3 2 3 2 3 2 2 x
x3 6 3x x3 3x 6 (1)
Đặt y 317 12 317 12 2 = c + d
3
3 3 3
y c d c d 3cd cd 17 12 2 17 12 17 12 17 12 y y3 34 3y y3 3y 34 (2)
Từ (1) (2) suy A = x3 y3 x y = x3y3 3x 3y 6 3440 Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)
Cho biểu thức:
2
a a a a a a a M
a a a a a a
với a > 0, a 1.
a) Chứng minh M 4.
b) Với giá trị a biểu thức N
M
nhận giá trị nguyên
Do a > 0, a nên:
a a ( a 1)(a a 1) a a
a a a ( a 1) a
và
2
a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a
a a a a (1 a) a (1 a) a
a
M
a
Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a a
2 a
M
a
Ta có
6 N
M
(16)Mà N =
6 a
1
a a a a 0 ( a 2) 23
a 2 hay a 2 (phù hợp)
Vậy, N nguyên a (2 3)2
Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011) a) Điều kiện : 0x2
1 1 2
1
1
1 1
x x x x x
P x
x x
x x x x
Khi x = P =
b)
2
1
x x
P
x x x
Chứng minh :
x 2 x x 2 x 2x 2 x 2 x 2 x2 Nên 1 P 2(0,5 điểm)
1
P Z P x
Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2011 – 2012)
a) Điều kiện để P xác định : x≥0 ; y ≥0 ; y≠1 ; x + y≠0
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( )
1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y
b) P = ⇔ x xy y= với x ≥0 ; y≥0 ; y ≠1 ; x + y≠0 x1 y y 1 1 x 1 y 1
Ta cã: + y 1 x1 1 0 x x = 0; 1; 2; ; Thay vào P ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Bài 29: ( HSG HUYỆN KIM THÀNH )
a) Ta có :
2
2
1 (1 ) (1 )
A =
(2 )
x x x x x
x x
3 3
2
2
1 1
=
(2 )
x x x
x x
(17)
2
2
1 1
=
(2 )
x x x x
x x
1 2 1
=
2
x x x x
x
= 2
b) Từ 4a2a 2 0 ta có 1
2 2
a
a
và
2 1 2
8
a a
a
Do
1 a
a a a
=
2
4
4
1
1
a a a a
a a a
a a a
=
2
1
1
8 2
a a a
a
=
3
2
2 2
a a
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)
Theo ra: a2b2c22abc1
Suy ra: a22abc 1 b2 c2; b22abc 1 c2 a c2; 22abc 1 b2 a2
Ta :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
= a 1
= a 2
= a
= a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab)
P a b c b a c c b a abc
c b b c b c a a c c a b a b abc
a abc b c b b abc a c c c abc a b abc
a bc b b ac c c ab abc
2 2
(a, b, c >0)
abc
a b c abc
Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)
1 99
1 2 3 99 100
2 3 98 99 98 99 100 99
1 99 99 100
A
và B 3 100 100 100 999 A B
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010) Ta có
2
1 1
(18)
xy 1 x2 1 y2 2 1
2 1 1 2 1 1 1
x y x y xy x y
2 1 2 2 2 1 1 1
x y x y x y xy x y
2 2 2 2 1 1 0
x y x y x y xy x y
2 1 2 1 2 1 1 0
x y y x xy x y
x 1 y2 y 1 x22 0
2 0
1
x y y x
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012)
2
1
A 2011 : 2011 2010
1 24 24
1
= 2011+ : 2011 2010
1 1
1
= 2011+ 2011 2010 = 2011+0 : 2011 2010 = 2011 6 1
Vậy A số nguyên.
Bài 34: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013) a) Ta có :
2
2
2 2
2 2
2 2
2
A = x - 50 - x + 50 x + x - 50 A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 A = 2x - x - 50 x + x - 50
A = x - x + 50 A = 100
Nhưng theo giả thiết ta thấy
2 A = x - 50 - x + 50 x + x - 50
<0 A= -10
b) x + = 2=>x 2 3 (x 2)2 3 4 1 0
x x
B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013
Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013 – 2014)
2
2
1 1
2
x x x x
A
x
(19)
1 x x x
1 1 x2 1 x 1 x2 1 1 x22 1 x2
2 2x
= x 2
Bài 36: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015)
a) Đặt
5 5 5 5
a = + 2
-2 2
, a > 2
2 5 5
a 4 4 4 6 4 5 1 3 5 3 5
2 a
6
3 5 1
2
x
5 1
2
2
x = 1 x 2x 0
A = 2x3 + 3x2 – 4x + = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + =
b) x2014 2015 x 2014 x y2014 2015 y 2014 y(1) ĐKXĐ: 2014x y; 2014
(1) x2014 y2014 2015 x 2015 y 2014 y 2014 x0 Nếu x khác y 2014x y; 2014 x2014 y2014>0;
2015 x 2015 y>0; 2014 x 2014 y >0 , (1)
1
2014 2014 2015 2015 2014 2014
x y
x y x y x y
(2)
Khi dễ chứng tỏ
1 1
0 2014 x 2014 y 2015 x 2015 y
Mà x y 0 nên (2) vơ lý VT(2) ln khác Nếu x = y dễ thấy (1) Vậy x = y
Bài 37: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
a)
2
2
P x x x x x x
1 x 1 x x 1 x
2
1 x 1 x 1 x
(vì x 0 )
Suy
2
2 2
P x 1 x 1 x
2 2
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
(20)
2
1 x 2 1 x
2 x x
Nếu x < suy
2
P x x x
Mà P x (1 x) x x (1 x) x 0
P x (Vì x 0 )
Vì x
2017 nên giá trị biểu thức P
x
2017
1 2018
P
2017 2017
b) Cho a, b, c ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2 Chứng minh rằng:
a b c
1 a b c (1 a)(1 b)(1 c) Đặt a x; b y; c z x2 y2z2 x y z
2 2 2
2 xy yz zx x y z x y z 2
2 xy yz zx
1 a xy yz zx x x y x z
Tương tự ta có: b y z y x ;1 c z x z y
a b c x y z
1 a b c x y x z y z y x z x z y
x y z y z x z x y
x y y z z x
2 xy yz zx 2.1
VP x y y z z x 1 a b c
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
a) Ta có :
3
310 3 3 1 3( 1) 3 1
5 ( 1)
3
2
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
x
1
5
( 1)
Thay giá trị x vào P ta được:
2017 2017
P12.2 4 55 1 1 b) Với điều kiện a 0; a 1 thì:
a a a a a a a
a M
a a a a a a
(21) a 12
a a a a a
M
a a a a
Khi
2
6 a
N
M a 1
Ta thấy với a 1 a a 0
2
2 a
a a
a
Do N 2
Để N có giá trị ngun N =
6 a
1
a a 1 a a 0
a 22 a a ( )
a a ( )
tháa m·n tháa m·n Vậy a 3.
Bài 39: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
a)
√2x+2√x2−9
√x2−9+x+3
=√x+3+x−3+2√(x+3)(x−3) √(x+3)(x−3)+x+3 =
√(√x+3+√x−3)2
√x+3(√x−3+√x+3)=
1
√x+3 Thay x=2√6+2 vào được:
1
√2√6+2+3=
1 √(√3+√2)2
= 1
√3+√2=√3−√2
=
√x
√xy+√x+10+
√xy
10+√xy+√x +
10
√x+10+√xy =
√x+√xy+10 √xy+√x+10=1
Bài 40: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014) 40.1a ĐK: a0,a1
a) x, y ,z∈Z+ ; x.y.z = 100 => √x.y.z=10 Ta có A=
√x
√xy+√x+10+
√y √yz+√y+1+
10√z
√xz+10√z+10 =
√x
√xy+√x+10+
√xy
√xyz+√xy+√x+
10√z
(22)1 (1 )
1
a a a
A
a a a
40.1b Để A nguyên ( a1) ước 2, mà ( a1) 0 nên
1 0( )
1( )
a a Loai
a Loai a
KL: …
40.2 Ta có: ( 1) Suy
1
2 ( 1)
2
x
Vậy B13
Bài 41: ( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007)
3
6 3
3
3
3
x x x
A x
x x x
x
Ta có:
2
3x2 3x 4 3x1 3 0;1 3x 0, x
, nên ĐK để A có nghĩa 3 3 4 0,
3 x x x x x x x
3
3
1
6
3
3
3
x
x x
A x
x x x
x
6 3
3 3
3 3
x x x
A x x x
x x x
3
3 3 3
x x
A x x
x x x
12
x A
x
(
4
3 x
)
12 22 2 2 1
3 3
x x x
A x
x x x
Vì x số ngun khơng âm, để A số nguyên
3 3
3
3
x x
x x
x x
(với
xZ x0). Khi đó: A4
Bài 42: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Ta có x= 1 2√
√2−1
√2+1 =
1
2√(√2−1)
=
√2−1
(23)⇒ 4x2+4x−1=0 (a)
Do đó:
4x5+4x4−x3+1=x3(4x2+4x−1)+1=1
4x5+4x4−5x3+5x+3= x3 (4x2+4x−1) - x (4x2+4x−1) + (4x2+4x−1) +4 = 4
Từ (a)
2 1
2 2
2
x x
⇒ √2x2+2x=√1
2 ; 2 2 x1 ⇒ 1−√2x
√2x2+2x=
1−√2x
1 √2
=√2−2x=1
Do A = 119+(√4)3+12014=10
Bài 43: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
3
3
2
2
3
6 10 3 3
2 3
3 3
1 3
3
3
2
2
3 2
x
Thay x 2 vào A ta có
2015 2015
4 2 1 4 2 2 1 12015 1
A x x x x
Bài 44: ( HSG TỈNH KONTUM NĂM HỌC 2012 – 2013)
a)
2
P ( 0; 4; 9)
5
x x x
x x x
x x x x
3 2
2
2 3
x x x x
x
x x x x x x
2 ( 9)
2
x x x x x
x x
2
2
x x
x x
1 1
3
2
x x x
x
x x
b) Ta có: P 2
1
2 0
3 3
x x x
x x x
(24)7
(1)
3
x x
x x
7
3
x x
x x
7
x x
49
0
x x
Kết hợp điều kiện x ta có giá trị cần tìm x là: 49
x hay
0
4
x x
.
Bài 45: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015)
2 2 2 1
( ) 1
1 1
x
x x x x
P x x x
x x x x
(đkxđ x 0,x1)
Khi P x( ) 4 x x x 1 4 x 2
2 1 0 1 2 0
x x x
x 1 2 x 1 2 0 x 3 x 1 0
3 0 3( )
1 0 1(l ¹ )
x x nhËn
x x o i
x 3 x 9(thỏa mãn)
Bài 46: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014 – 2015)
Rút gọn
x A
x x 1
Chứng minh < A < nên A không nguyên
Bài 47: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018) a) Đặt t x, t 0,t1,t 2 đó:
3
3
4 4 4 4
2 3 2 3
t t t t t t
A
t t t t
( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2)( 2) ( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)(2 )
t t t t t t
A
t t t t t t
2
2
2 2 2 4 2
2
1 1 1 1
t t t
A
t t t t
2 2
1 A
x
(25)b)
2
(2 3) (2 3)
(2 3) 3 (2 3)(2 3)
2 1 2 1 2 1
x
1
2 1 2 1
x
Do đó:
2 2
2 2 2 2
2 1 2
A
Bài 46: ( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016)
Đặt
5
5 22
M
Ta có
2 10 22
5 22
M
2
M
(Do M 0) 2
11 2 3 3 Suy P3
Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) Đặt B = 4 10 5 4 10 5 ,B>0
Ta cóB2 4 10 4 10 (4 10 )(4 10 ) 8 16 (10 5)
B
2
2 8 2. 5 1 6 5
B
12
B
, Vì B > Vậy A 1 1
b) Có a b c a b c
2 ( )
( ) ( )( )
a b c b a c a b c b a b c b a c ac
a b b a b c ac a b b c
b c
Nếu a = b a , c dương Ta có
1 1
1 2c a ac (a 2)(c 1) a b c a c Vì a,b,c ngun dương nên ta có trường hợp sau :
2
1) 2)
1 2
a a b a
a c b
c c c
Nếu b = c b,c dương Ta có
1 1
1 2a b ab (b 2)(a 1) a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau :
2 2
1) 2)
1 1
b b b c
a b c
a a a
(26)Bài 48: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012)
§KX§:x0,x9
Víi x0,x9 ta cã:
2
2
5 12
2
2
5 12 3
2
5 12 12 18
2
3 12 3 12
3 12 36 12
2
2 3
x
x x x x
P
x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x
Víi x0,x9 ta cã:
12 16 16
2
2 2
x
P x x
x x x
áp dụng bất dẳng thức Cosy cho số không âm x2
16
x ta cã:
16 16
2 2
2
x x
x x
Dấu đẳng thức xảy x2=
2 16
2 4
2 x x
x (TM)
Vậy Giá trị nhỏ P x4
Ta cã:
3
3 3
0
3
0
3
0
9 18 (9 5)(9 5) 18
3 17
x x
x x
x x
Suy ra:
2011
3 2011
0 17 1
x x
Do x= x0 nghiệm phơng trình.
Bài 49: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012) a) ĐK a > a 2
2
a a 3a a a 4
P
a a 1 a a 2
a ( a 1)(a a 1) a (3 a 2) ( a 2)( a 2) P
a a 1 a a 2
P a a 4
(27)b) Ta có
2
3 7 7
P a a ( a )
4 4 4
với a TMĐK Vậy giá trị nhỏ P
7
4 a= 9 4
Bài 50: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013) 10 30 2
:
2 10 2
2 2( 1) 6( 1) 3 3 3 1
2 2 2 2
2 2( 1)
Bài 51: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)
a) Ta có
2
2
1
3 2
4 1 2
a a
a a a
P
a a a a a a
;
mà
3 110 553 3024 355 3024 355 3024
a
3 110 3 3 110 0
a a a a
.
a 5a2 5a 22 a
Suy
P
Bài 52: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)
a)
1+(1
n+
1
n+2)
2
=1+1
n2+
1
(n+2)2+
2
n(n+2)=1+
1
n2+
1
(n+2)2+
4
n(n+2)−
2
n(n+2)
1+(1
n+
1
n+2)
2
=1+1
n2+
1
(n+2)2+
2
n−
2
n+2−
2
n(n+2)=(1+
1
n−
1
n+2)
2
Nên √
1+(1
n+
1
n+2)
2
=1+1
n−
1
n+2 b) S=1+1−
1 3+1+
1 2−
1 4+1+
1 3−
1
5+ +1+ 2004−
1
2016=2015+ 2−
1 2015−
1 2016
Bài 53: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016) a) Ta có
x x2+x+1=
1
4⇔4x=x
2+x+1⇔x2=3x−1
Khi x3=x2.x=(3x−1)x=3x2−x=3(3x−1)−x=8x−3 x4=x3.x=(8x−3)x=8x2−3x=8(3x−1)−3x=21x−8 x5=x4.x=(21x−8)x=21x2−8x=21(3x−1)−8x=55x−21 Suy P =
x5−4x3−17x+9
x4+3x2+2x+11 =
(55x−21)−4(8x−3)−17x+9 (21x−8)+3(3x−1)+2x+11
=
6x
32x=
3
16 ( x≠0 ) Vậy P =
3 16 .
(28)√a+√b+√c=3⇔a+b+c+2(√ab+√bc+√ca)=9⇔√ab+√bc+√ca=2
Do a+2=a+√ab+√bc+√ca=(√a+√b)(√a+√c)
b+2=b+√ab+√bc+√ca=(√b+√c) (√b+√a)
c+2=c+√ab+√bc+√ca=(√c+√a) (√c+√b)
Suy √a a+2+
√b b+2+
√c c+2=
√a
(√a+√b) (√a+√c)+
√b
(√b+√c) (√b+√a)+
√c
(√c+√a) (√c+√b) =
√a(√b+√c)+√b(√c+√a)+√c(√a+√b) (√a+√b) (√b+√c) (√c+√a)
=
2(√ab+√bc+√ca)
√(a+2)(b+2)(c+2) =
4
√(a+2)(b+2)(c+2) Vậy
√a a+2+
√b b+2+
√c c+2=
4
√(a+2)(b+2)(c+2) .
Bài 54: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Rút gọn biểu thức A = ( √3+√5 + √7−3√5 )( √21+6√6 + √21−6√6 ) Tính A2 = ( √3+√5 + √7−3√5 )2( √21+6√6 + √21−6√6 )2
= (3 + √5 + - 3 √5 + 2 √3+√5 √7−3√5 )(42 + √441−216 ) = (10 - 2 √5 + √6+2√5 √14−6√5 )(42 + 2.15)
= 12(10 - 2 √5 + ( √5 + 1)(3 - √5 ))
= 72(10 - 2 √5 + 3 √5 - + - √5 ) = 72.8 = 576 Do A > Vậy A = 24
b) Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết x = - √3 x2 = (2 - √3 )2 = - 4 √3
x3 = x2 x = (7 - 4 √3 )(2 - √3 ) = 26 - 15 √3
x5 = x3.x2 = (7 - 4 √3 )(26 - 15 √3 ) = 362 - 209 √3
B = 362 - 209 √3 - 10(26 -15 √3 ) - 15(7 - 4 √3 ) + 2(2 - √3 ) + =
-√3
Bài 55: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) Với x ≥ 4, ta có :
A
2
(x 4) x 4 (x 4) x 4
x 2 x 2 x 2 x 2
Xét trường hợp :
(29)Bài 56: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)
2
3
( 2)
8
4
2
2
x x
A
x
x x
x
2
8
( 2)( 4) ( 2)( 2)
x x
x x x x x x x
8
( 2)( 4) ( 2)( 2)
x x
x x x x x x x
(vì 0 x 4 nên 0 x 2)
8 1
( 2)( 4)
x
x x x x x x
8 ( 2) ( 4)
( 2)( 4)
x x x x
x x x
3
( 2)( 4)
x
x x x x x
Ta có : x x 4 ( x1)2 3 <A
+ Để A số nguyên ( A =1) x x 4 hay x1
Chú ý: Các học sinh đặt t = x ( t <2) – thực biến đổi đại số Các thầy
cho điểm thích hợp theo cách cho điểm phần Bài 57: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009 – 2010) Đặt u = 20 14 2 ; v = 320 14 2
Ta có x = u + v u3v3 40 u.v = (20 14 2)(20 14 2) 2
x = u + v x3 u3v33 (uv u v ) = 40 + 6x hay x3 6x40 Vậy M = 40
Bài 58: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2010 – 2011)
4
4
a
A a a a
a a a
.
Phương trình 4x2x 2 0 có hệ số a, c trái dấu nên có nghiệm dương, nghiệm âm.Vì a nghiệm dương phương trình 4x2x 2 0 nên
2 a
4a a 2 a
2 2
2
4 a a a
8
(với 0< a < 1)
4
a a a a
8 8
4
a a a 6a
2
=
a
2
4
a a
1
a 2
(30)4
a a
+ a2 =
2
4a 2a
4 = +
Vậy A =
Bài 59: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)
2 2x 2x
3 2x+2 2x 2x 2x 3 2x 3 2x
P
x x x
4x
a x 2x 2x
Bài 60: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2015 – 2016)
1 b a c b b a c b 2( c a)
b a c b c b c b c a
a b b c c a
Bài 61: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)
a) Rút gọn biểu thức: A =
5 3
2 5
A =
5 3
2 5
=
2( 3) 2(3 5) 6
A = 2
2( 3) 2(3 5) 2( 3) 2(3 5)
5 3
2 ( 1) ( 1)
A = 2
b)
2
1
x x x x
A
x x x x
+ ĐKXĐ: x 0
2 x x x x
x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
+ B = A + x – 1=
2
2 x x x x x 2
Dấu “=” xảy x 0 x 1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B = - x = 1.
Bài 62: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2004 – 2005)
a) Cã A =
√5−1
5−1 +
√9−√5
9−5 +
√13−√9
13−9 + +
√2005−√2001
2005−2001 +
√2009−√2005
2009−2005
Rút gọn, đợc A =
20091
(31)b) áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a=
3
√3+ 2√2 , b= 3√3 − 2√2
và biến đổi => x3 = + 3x
Suy B = 2006
Bài 63: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)
x x2 2013y y2 2013 2013
(*)
(*) x x 2013 x 2013 x y y 2013 2013 x 2013 x
2013 y y 2013 2013 x 2013 x
2
y y 2013 x 2013 x
(1)
Tương tự ta có: x x22013 y22013 y (2)
Cộng vế với vế (1) (2) ta có : y = x Suy A x 2014 y2014 1 x2014 x2014 1 Bài 64: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Đặt: M=3 2 5 +3 2 5
3
3 3 3 3
3
2
M 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 1.M 3M
M 3M (M 1)(M M 4) 0
1 15
M (vìM M M 0)
2 4
2012
M P 2012
1
b) Ta có a ≥ ; b ≥ ; c ≥ 0:
a b c ab bc ca 2a 2b 2c ab bc ca
a ab b b bc c c ca a 0
2 2 a b 0
a b b c c a 0 b c 0
c a 0
a b c
∆ ABC đều.
Bài 65: ( HSG TỈNH TÂY NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Chứng minh:a b 1b a 1ab Xét hiệu: 11ababba
1
2 2
2 ab a b b a
(32)
1
2
2a b b b a a
1
1 1 1
2a b b b a a
2
1
1 1
2 a b b a
Do a b 1b a 1ab
b)
3 2( 3)
( 1)( 3)
3 2( 3)( 3) ( 3)( 1)
8
1
3 12 18 3
1
a a a a a
B
a
a a a a
a a a a a a a
a
a a
a a a a a a a a
a
a a
3 24 ( 3) 8( 3)
8
1 3
( 3)( 8)( 1)( 1)
( 1)
1 ( 8)
a a a a a a a a a
a a
a a a a
a a a a
a
a a a
Điều kiện: a0, a9, a1
Bài 66: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho
1
2 2( 1)
x
.Tính giá trị biểu thức:
2013 2012
4( 1) 2
2
x x x x
A
x x
.
4
4
x
2
( 1)
2
3
x
nghiệm phương trình: 2x2+2x-1=0
2 2012
2
2(2 1)
(2 1)
x x x x
A
x x x
2 1
2
1
x
x x
2 2( 1)
2 2 3
2
Vậy A 3
(33)a) Ta có :
3
317 38 3 ( 2) 5 2
2
4 3 ( 1) 3 1
( 1) 3 1
x 1
5 2 ( 2)( 2) 2
Vậy P = (1 - + 1)2013 = 1
b) Ta có
2 6
2
2 4 4
x y x y 2 x y 2
( )
y x y x xy x y xy
3 3 4 3
2
4 4
(x y ) 2x y 2 4x y 2x y 2 1
4(1 ) 4A
x y xy x y xy xy
Vậy 2
x y
A : 2
y x
Do AQ
a) Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca0 Suy A (a b c )2 a b c số hữu tỉ
b) Đặt
1 1
, ,
a b c
x y y z x z
suy
1 1
a b c
Áp dụng câu a) suy 2
1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
số hữu tỉ.
Bài 68: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011) Bài 69: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 – 2012)
a) Rút gọn P : P =
1 1
: 10
3 1
x x x
x
x x x x
ổ - + ổữ - + ửữ
ỗ + ữỗ - ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ + - - ỗ - - -
-è ø è ø Đ/k: x > 1,x 10, x 5 Đặt y = x1 Ta có
P =
2
2
9 1 (3 ) ( 3)
: :
3 (3 )(3 ) ( 3)
y y y y y y y y
y y y y y y y y y
ỉ + ỉ÷ + ư÷ - + + + -
-ỗ + ữỗ - ữ=
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữỗỗ ữ
ỗ + - ố - ứ + -
-è ø
P =
2
3 3 3( 3) ( 3)
:
(3 )(3 ) ( 3) (3 )(3 ) 2( 2) 2( 2)
y y y y y y y y y
y y y y y y y y
- + + + - + + -
-= =
+ - - + - + + Thay y = x1
P =
3
2( 2) x x
=
3 1
2( 5)
x x
x
b) Tính giá trị P x =
√3+2√2
3−2√2−
4
√3−2√2
(34) 2 2 4 4
4 4
4 2 2 2 2 2 2
3 2 2
x
(Thoả mãn điều kiện), thay vào ta có P=
3 1 2 3.3 3
2( 5) 2(2 5) 2.( 3)
x x
x
Bài 70: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014) Điều kiện: xy 1
x 1 xy xy x xy xy 1 xy
A :
xy 1 xy
xy 1 xy xy x xy x 1 xy xy 1 xy
x 1 xy xy x xy xy 1 xy xy 1 xy xy x xy x 1 xy
1 x
x y xy xy
.
Theo Cơsi, ta có:
1 1
6
x y xy xy
Dấu xảy
1
x y
x = y = 1 9
Vậy: maxA = 9, đạt : x = y =
1 9.
Bài 71: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015) a) Điều kiện:
1 0; ;
4 x x x
Đặt x a a ; 0 x a 2, ta có:
2
2
1
2
1
a a a
a a a a a
A
a a a
2
1 1 1
1 1
a a a a a a a a
A
a a a a a a
A=[(2a−1) (1−a) +
a(2a−1)
(a2
−a+1)]
a(a−1) (1−a) 2a−1 −1
2
1 1
.(2 1)
1
a a a
a
A a
a a a a
A= −1
a2−a+1 Vậy: A=
−1
(35)b) A=
−1
x−√x+1 < −
1 7 ⇔
1
x−√x+1>
1 7 ⇔x−√x+1 <7 (do x−√x+1=(√x−
1 2)
2
+3
4>0 )
⇔ x x 0 x 3 x2 0 x 0 ⇔ 0 x
Đối chiếu với điều kiện ta được:
0
1 , x
x x
Bài 72: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)
a) Điều kiện để P xác định : x ≥0 ; y≥0 ; y ≠1 ; x + y ≠0
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( )
1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y
b) P = ⇔ x xy y= với x ≥0 ; y≥0 ; y ≠1 ; x + y≠0 x1 y y 1 1 x 1 y 1
Ta cã: + y 1 x1 1 0 x x = 0; 1; 2; ; Thay vào P ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Bài 73: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
a) Với điều kiện x0,x1, ta có:
2 2
1 1 1
x x x x x
P
x x x x x x x x x x
2 1 2
1
x x x x x x x
x x x x
2
1
x x x
x x x x
1 2
1
x x x
x x
x x x
Ta có với điều kiệnx0,x 1 x x 1 x 1
2
0
1 1
x x
P
x x x x
(36)DoPnguyên nên suy
2
1 1
1 x
P x
x x
(loại)
Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên.
Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau
2
1
1 x
P Px P x P
x x
, coi phương trình bậc hai x
Nếu P 0 x 0 vơ lí, suy P0 nên để tồn x phương trình có P 12 4P P 2
2
2 4
3 1
3
P P P P P
Do P nguyên nên P
+) Nếu
2
1 1
P P x
không thỏa mãn +) Nếu
2
1 2 0
0 P
P P x x x
P
không thỏa mãn
Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn
b) Tính giá trị biểu thức
2018 2017
2
4 2
2
x x x x
P
x x
tại
1
2
x
Vì
1 3
2 2
x
nên
3 x
nghiệm đa thức 2x22x1 Do
2017 2
2 2 1 1
3
2 1
x x x x x
P
x
x x x
Bài 74: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019) a) Với điều kiện x0,x4, ta có:
1
:
2 1
x x x x x
P
x x x x x x
1 4 5
:
2
x x x x x
x x x x
1 2
1
x x
x
x x
x 12
x
Vậy
x 12
P
x
(x0, x4)
(37)thức M a b và N a7b7 có giá trị số chẵn - Chứng minh M số chẵn
3
37 50 7 2 3 1 2 1 2
a
3
3 7 50 7 2 3 1 2 1 2
b
1 2 1 2
M a b Vậy M số chẵn.
- Chứng minh Nlà số chẵn
2 2
2 ; 1;
a b a b a b a b ab
7 7 4 3
N a b a a b b a b a b a b
4 3 3 3
=a a b b a b a b a b
a3 b3 . a4 b4 2
a b a b2 ab a2 b22 2a b2 2 2 7.34 1 478
Vậy Nlà số chẵn Chú ý :
- Học sinh tính M cách đưa phương trình bậc 3: M33M 14 0 , giải được nghiệmM 2 Mỗi ý cho 0,5 điểm.
3
3 37 50 37 50 14 73 50 73 50 37 50 37 50
M
3 14 3 2 2 7 0
M M M M M
2 M
vì
2
2 2 7 1 6 0
M M M
- Học sinh chứng minh N số chẵn cách đặt : 1 2 n 2n
n
S
rồi xây dựng công thức Sn1 2SnSn1để S7 số chẵn có
thể khai triển
7
1 1
để tính N
Bài 75: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)
Ta có: 1x2 xy yz zx x (x y x z )( ) Tương tự : 1y2 xy yz zx y (y x y z )( )
1z2 xy yz zx x (z x z y )( )
Do đó: A = x(y+z) + y(z+x) + z(x+y) = 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.
Bài 76: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) Nhận xét Nếu x y 1 f x f y 1
Thật vậy, ta có
3
3
3
1
1
x x
f x f y f x
x x x x
(38)suy
3
3
3
1
1
1
x x
f x f y f x f x
x x x x
Vậy, nhận xét chứng minh Ta có
1 2 f
.
Theo nhận xét ta có:
1 2011 2010
2012 2012 2012 2012
1005 1007 1006
1005 1005,5
2012 2012 2012
A f f f f
f f f f
Điều kiện: x0, x1 Khi ta có
Rút gọn biểu thức ta
2 x P
x x
Ta có PxP1 x P 0 , ta coi phương trình bậc hai x Nếu
0
P x vơ lí, suy P0 nên để tồn x phương trình có P 12 4P P 2
2
2 4
3 1
3
P P P P P
Do P nguyên nên P
+) Nếu
2
1 1
P P x không thỏa mãn.
+) Nếu
2
1 2 0
0 P
P P x x x
P
khơng thỏa mãn
Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn
Bài 77: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) a) Ta có x2 5 6 x2 6
x2 52 24 x4 10x2 1 0
4 10 2013 2012
x x
Vậy A2012
b) Từ giả thiết ta có
1 a b ab
c
c ab a b
1 a b ab
c ab
Do
2
ab bc ca a b ab b ab a ab
ab
c a b ab a a b b a b
2
a b ab a a b b a b ab a ab b
ab ab a b ab ab
2
3
a b ab a ab b ab
ab ab
Vậy
ab bc ca
c a b .
(39) 2005 2007 < 20062 √2005.2007 < 2006
2.2006 + √2005.2007 < 2006 ( √2005 + √2007 )2 < √2006
√2005 + √2007 < √2006 Vậy A nhỏ B
Bài 79: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012) S = \f(1, + \f(1, + … + \f(1, + … + \f(1, (gồm 2012 hạng tử) Các hạng tử S có dạng \f(1,
Xét \f(1, = \f(2,2 > \f(2, = \f(2,2013 (bất đẳng thức Cô-si) Dấu “=” xảy k = 2012 − k + k = \f(2013,2 N
Do \f(1, > \f(2,2013
Suy S > 2012 ∙ \f(2,2013 = \f(2024,2013
Bài 80: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019)
Ta có ( ) ( ) ( )( )
3
3 2 2 2 2 2 2
a - b = a - b = a- b a+ ab+ b
Suy
( )
( )( )
( )( )
3
2( )
2( )
2
2 2 2
2
2 2
a b a a b
a b a
a ab b
a b a b a ab b
a ab b
a b
a b a ab b
+ -
-+ - =
+ +
- - + +
+ +
= =
+ +
( )( )
( )
( )
3
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
a b a ab b
a b a a
b ab b b a
a b
a ab b a ab b
a
b b b
+ - +
+ - =
-+ +
+ - +
= - = =
Từ suy
( )2
2
1 . .
2 2
a b a b
P
a b b b
-
-= =
-Cách 2: Đặt x= a y; = 2b ta
2 3
3 2
2
x y x x y
P x
x y x xy y y xy
æ + ửổữ + ửữ
ỗ ữỗ ữ
=ỗỗ - ữữỗỗ - ữữ
ỗ - + + ỗ +
è øè ø với x³ 0;y>0,x¹ y.