Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... Tìm GTNN đó.[r]

Câu a) C/m:

2 2 2

3

2 2

   



  

b) Chøng minh r»ng:

√17+12√2+4√17−12√2

2 =√2

c) So sánh: A 320332 B 3 24328

Câu a)Thực phép tính:

1 1

2017 2017 2018 2018 2019 2019

1 1

2018 2019 2019 2017 2018 2017

A   

     

b) Tính

2001.2003 2004.2010 2006.2008 2000.2004 4

B    

 

c) Rút gọn biểu thức:

2(3 5) 2(3 5) 2 2

A   

   

Câu a) Gi i phả ương trình:

y - 2010

x - 2009 z - 2011 x - 2009 y - 2010 z - 2011



 

  

b) Giải phương trình:

   

   

  

   

  

   

3 5

3

1 3 5

     

   

     

x x x x x x

x

c) Giải phương trình:

2 2

9

1

x

x  x   

d) Giải phương trình: x x 3 x  (1)1 e)Giải phương trình: 5x 6 10 3 x 2x2 x f) Gi i phả ương trình:x24x 5 2x 3 g) Gi i phả ương trình: x3 8 2x2 3x10

Câu a) Cho , , , a b c d s th c th a mãn u ki n: ố ự ỏ ề ệ

2012 abc bcd cda dab a b c d        Ch ng minh r ng: ứ ằ        

2 2

1 1 2012

a  b  c  d  

b) Cho số dương , ,x y z thỏa xy Chứng minh: x z  x  y z  y

c) Cho số dương , , ,a b c d thỏa a c b d ,  Chứng minh: a b  a b c d  c d

Câu a) Chứng minh rằng:

1 1

3.4 4.5 5.6 100.101 5096

5 102

        

b) Chứng minh:

       

1 1

0, 45 1 5 2 7 3  199 99 100 

Câu Cho , ,x y z ba số dương thỏa mãn: x y z   xyz 4 Tính giá trị biểu thức:

4  4  4  4  4  4 

P x  y  z  y  z  x  z  x  y  xyz

Câu a) Giải phương trình: 2069 x 2045 x 2164 x 24

b) (x 2016)2014  (x 2017)2018 1

1007 1009

(x 2016) (x 2017) 1

    

c) Gi i phả ương trình:    

2020 2020

1

x  x 

d) Gi i phả ương trình: x2 4x31x2 4x1

e) Gi i phả ương trình: 2x 6 33x24 5 x f) Tìm , ,x y z th a mãn: ỏ      

2 4 9 25 240

x  y  z   xyz

Câu Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn: x 1 y2 y 2 z2 z 3 x3 3

Câu a) Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn b c a ,  b  c  

3

3

3

3

m m m m m

A

m m m m m m

     



      

c) Cho hai số ,a b  thỏa mãn 0 a b  Chứng minh :   2

2

2

a b ab

a b a b

a b a b

    

 

Áp dụng: Tính:

2

ơ9 ơ9

1 999 0,999

n s n s

B        

, n N *

Câu 10 Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:2015(x2y2) 2014(2 xy1) 25

Câu 11 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3xyz Chứng minh rằng:

2 2

4 4

3

x y z

x yzy xzz xy 

Câu 12* a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz ≠ 0.

Tính giá trị biểu thức

2 2

2 2 2 2 2

x y z

P

y z x z x y x y z

  

     

b) Cho , ,a b c  Chứng minh: có số ,x y thỏa mãn 0

a b b c c a

x y x y x y

c     c a a   b b  thì

2 2

3 a b c bc ca ab   .

c) Cho ,x y  0    

2

1

a xy  x y

,    

2

1

b x y y x

Tính b theo a? d) Cho a b 1 ab 0 Ch ng minh: ứ

 

3 2

2

1

ab

a b

b a a b



 

  

e) Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn

0 a b c

x y z  và x y z a b c  

Chứng minh

2 2

2 2

x y z a b c 

Câu 13* a) C/m:

3 3 3

0 a b c a b c abc

a b c   

    

   

b) Chox3y3z3 3xyz x y z,    , ,0 x y z khác Tính:  

2020 2020 2020

2020

x y z

M

x y z

 



 

c) Gi i phả ương trình: ( ) ( ) ( )

3 3

2017 2018 4035

d) Cho

1 1

x y z  x0,y0,z Tính giá tr c a bi u th c sau: 0 ị ủ ể ứ 2 yz zx xy N

x y z   

e) Rút g n phân th c: ọ ứ

     

3 3

2 2

3

x y z xyz

A

x y y z z x

   

     ;

     

     

3 3

2 2 2

3 3

x y y z z x

B

x y y z z x

    



    

f*) Giải hệ phương trình:

3 6 8

2

x y xy x y

    

  

g) Cho a b c  0, ch ng minh: ứ P a 3b3c3 3abc 0

Câu 14 a) Ch ng minh: ứ

2 2

4 a

b c ab ac bc     

b) Ch ng minh: ứ a4b4c4abc a b c   

c) Ch ng minh: ứ   2

1 1

5 13  n  n1 2 v i

ớ n N n , 

d) Ch ng minh: ứ  

1 1

9 25   2n1 4 v i

ớ n N n , 1

e) Cho a b d u Ch ng minh: ấ ứ

2

2

a b a b

b a b a

   

   

   

 

 

Câu 15 Phân tích đa th c thành nhân t :ứ ử a) 4x44x35x22x1

b*) 3x411x3 7x2 2x1

Câu 16 Tìm s t nhiên có b n ch s ố ự ố ữ ố abcd , bi t r ng m t s phế ằ ộ ố ương, s ố abcd chia h t cho d m t s nguyên t ế ộ ố ố

Câu 17 a) Cho 2

5 xy

x y  , tính

2

2

2

x xy y

A

x xy y

 



 

b) Cho

x y z

a b c, tính  

2 2

2

x y z

B

ax by cz

  

c) Cho a b 0 th a mãn: ỏ 3a23b2 10ab Tính

a b C

a b  



Câu 18 Xác đ nh s h u t ị ố ữ ỉ a bsao cho:

a) x  chia h t cho 4 ế x2ax b ; b) ax4bx3 chia h t cho 1 ế  

2 x  .

Câu 19 Cho a m t s g m ộ ố 2n ch s ữ ố 1, b m t s g m ộ ố n 1 ch s ữ ố 1, c m t s g m ộ ố n ch s ữ ố n N * Cmr: a b 6c8 m t s phộ ố ương

Câu 20 Cho

32 19

1 2

M N x

x x x x



 

    Tính M N ?

Câu 21 Cho ba s dố ương a b c , ,

a) Ch ng minh r ng:ứ ằ  

1 1 a b c

a b c

 

     

 

b) Gi i phả ương trình:

4

1 a b x b c x c a x x

c a b a b c

     

   

 

Câu 22 Cho

2

2

1

:

x x a

x x

   

  

   

    Tính

4

4

1

:

M x x

x x

   

     

    theo a.

Câu 23 Tìm GTNN c a:ủ

a)

16

2007, 3

A x x

x

   

 ; b) B x  4x 1; c) C x2 6x2027

d)

2 6 9 6 9

D x  x  x  x ; e)

2

2 2018

, 2018

x x

E x

x  

 

; f)

3 2000

, x

F x

x 

 

g) Tìm giá tr c a ị ủ x đ bi u th c sau đ t GTLN: ể ể ứ

 

 20192

x D x

x 

 v i ớ x 0

Câu 24 a) Cho bi u th c: ể ứ

6 a M

a  

 Tìm s h u tố ữ ỉ a đ M s nguyên.ể ố

b) Cho bi u th c: ể ứ

2 a M

a  

Câu 25 Gi i phả ương trình : a) x 1 x x(1 x) 1

b)

2

3

x

x x

x x



    

c) Tìm x y bi tế : x y  2 x y

Câu 26 Cho bi t ế x2 6x13 x2 6x10 1 Tính x2 6x13 x2 6x10 Câu 27 Gi i phả ương trình sau:

a)    

3

3 56

x  x 

b)    

4

6 16

x  x 

c) x43x34x23x 1

Câu 28 Th c hi n phép tínhự ệ :

a)  

3 2 5 69 5 32 5

D     

b)  

2

1

1

1 E

x x   

 v i ớ x  0

c) 3

1

:

F

x y

x xy y





 

Câu 29 a) Tìm GTLN c a ủ K  x 1 x

b) Tìm GTNN c a ủ M  x 3 5 x

Câu 30 Ch ng minh r ng ứ ằ A n 84n76n64n5n4 chia h t cho 16, v i ế ớ n Z

Câu 31 a) Gi i phả ương trình:  

3

3

3

3

2

1

x x

x

x x

   

 

b) Gi i phả ương trình:

2

2

1

x x

x     

c)Gi i phả ương trình:   2

2

25

11

x x

x

 



d)Gi i phả ương trình: x1 9 x2 x210x 12 Câu 32 Tìm s nguyên dố ương n đ ể n1988n1987 s nguyên t 1 ố ố

Câu 33 Cho , ,a b c ba c nh c a m t tam giácạ ủ ộ

a) Ch ng minh r ng: ứ ằ ab bc ca a   2b2c2 2ab bc ca   b) Ch ng minh r ng: ứ ằ    

2

a b c   ab bc ca  thì tam giác tam giác đ u ề

Bài 34 Cho 3y x  Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ

2

2

x x y

M

y x



 

 

Bài 35 a) Ch ng minh: ứ 2 2

1 1

2

H

n      

v i ớ n N n , 2

b) Ch ng minh: ứ 3 3

1 1 1

3 12

K

n      

v i ớ n N n , 3

Bài 36.Cho bi u th c ể ứ        

2 2

3

, *

1.2 2.3 3.4

n

P n N

n n 

     



 

 

a) Rút g n ọ P:

b) Tính giá tr c a ị ủ P t i ạ n 99. Câu 37 C/m:

3

24 12

a a a

E   

có giá tr nguyên v i ị a m t s t nhiên ch n.ộ ố ự ẵ

Câu 38 a) Phân tích đa th c thành nhân t : ứ

b) Ch ng minh: ứ hai s nguyên t nhau.ố ố

c) Ch ng minh: s có d ng ứ ố v i khơng ph i s phả ố ương

Câu 39 a) Ch ng minh r ng: ứ ằ chia h t cho v i m i s t nhiên ế ọ ố ự b) Tìm s nguyên ố đ ể s phố ương?

c) Ch ng minh r ng: ứ ằ 21303921 chia h t cho 45 ế

d) Ch ng minh r ng: V i m i s t nhiên n ta có: ứ ằ ọ ố ự 5n226.5n82n159.

3 19 30

x  x 9n 2 12n3n N 

6 2 2

n  n  n  n n N n 1

2n 2  n 1

A    n

n B n2 n 13

Câu 40 V i ớ Hãy ch ng minh BĐT: ứ

a)

b)

c)

Câu 41 a) Cho Tính

b) Cho Tính theo

Câu 42 Rút g n bi u th c: ọ ể ứ

Câu 43 Gi i phả ương trình sau: a)

b)

c) Ta có: (*)

Câu 44 M t đoàn h c sinh t ch c tham quan b ng ô tô N u m i ô tô ch 22 h c sinh cịn ộ ọ ổ ứ ằ ế ỗ ọ th a h c sinh N u b t tơ có th phân ph i đ u h c sinh ô tơ cịn l i Bi t m iừ ọ ế ể ố ề ọ ế ỗ ô tô ch ch không đỉ ược 32 người, h i ban đ u có tơ có t t c h c sinh ỏ ầ ấ ả ọ tham quan?

Câu 45 a) Cho ba s ố khác th a mãn đ ng th c: ỏ ẳ ứ

Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ

b) Cho 2018 s th c tho mãn ố ự ả , v i , ,

a b c  ab bc

b c  a  ab bc ca

a b c c  a  b   

3 3 3

2 2

a b b c c a

a b c

ab bc ca

  

    

2 4 1 0

x  x 

4

2 x x E

x   

2 1

x

a x  x 

2

4 1

x F

x x 

  a

       

       

4 4

4 4

1 21 4 11 23

P    

   

2 2 3 7 0

x  x  x 

3

1

x x x

x x

   

1 4

x  x x   x  x  x 

, , a b c

a b c a c b b c a

c b a

     

 

1 b c a P

a b c

                    

1, , , ,2 2018

a a a a  2

2 k

k a

k k  

Tính

Câu 46 a) Gi i phả ương trình:

b) Gi i bi n lu n nghi m c a phả ệ ậ ệ ủ ương trình theo

Câu 47 a) Tìm đa th c b c ba ứ ậ , bi t r ng chia ế ằ cho , cho , cho đ u d ề

b) Cho đa thức P x( )ax2bx c Biết ( ) P x chia cho x + dư 3, ( )P x chia cho x dư ( )P x chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c

c)Cho P x  đa thức bậc với hệ số cao

Biết P2015 2016; P20162017; P2017 2018 Tính P2014P2018 d) Cho đa thức P x  có tính chất  

2020 P x

chia hết cho x  Chứng minh 1   2020 P x

chia hết cho x2020

Câu 48* Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c =

Chứng minh rằng: 5a 4 5b 4 5c4 7

Câu 49 a) Chứng minh rằng: Nếu

2 3 2 3

x  x y  y  x y a

3 x2 3y2 3a2

b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

a b b c



 số hữu tỉ a2 b2c2 số nguyên tố

c) Tìm số nguyên tố k để k24 k216 đồng thời số nguyên tố

d) Chứng minh rằng:    

2 a b b c

b

   

biết a; b; c ba số thực thoả mãn điều kiện a = b + = c + ; c >

Câu 50 So sánh A B , bi t:ế   2017

2016 2016

2017 2016

A  

;  

2016

2017 2017

2017 2016

B  

Câu 51 Tìm x, y nguyên cho x y  18

Câu 52 Chứng minh rằng: 2013 2014

2 2014 2015

1

2 2 2

      

2018 2017 2018

S a a a  a a

2

1

2017 2018 2019

x x x

 

  

2 1

m x  x m m

 

P x P x  x  1 x  2 x  3

 1 18

Câu 53 Tìm chữ số a, b cho

2

( )ab (a b )

Câu 54 Cho số a, b, x, y thỏa mãn ab ≠ 0, a + b ≠ 0,

4

2

1

;

x y

x y

a  b a b   Chứng minh rằng: a) ay2 bx2

b)

200 200

100 100 100

2 ( )

x y

a b  a b

Câu 55 Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab  1, a +b  Tính giá trị biểu thức:

3 3 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (a b)

P

a b a b a b a b a b

     

  

Câu 56 Tìm tất số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình

1 1 617 xy 

Câu 57.a) Choa b  29 12 5  Tính giá trị biểu thức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

A a a   b b  ab

b) Cho ,x y hai số thực thỏa mãnxy (1x2)(1y2) 1. Chứng minh rằngx 1y2 y 1x2 0

Câu 58 a)Tìm số nguyênk để k4 8k323k2 26k10 số phương.

b) Cho plà số nguyên tố lớn Chứng minh

p  1 24 c) Tìm số tự nhiên nsao cho A n 2n 6 là số phương.

d) Chứng minh p (p+2) hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12

Câu 59 Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2015, với S(n) tổng chữ số n.

Câu 60 a) Giả sử ,a b thay đổi cho 4a b  ab Tìm giá trị nhỏ

1 P

ab 

.b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1 P

a b  

Câu 61.a) Cho bi u th c A = ể ứ 2x - xy + y - x + 3 H i A có giá tr nh nh t hay khơng? Vìỏ ị ỏ ấ sao?

Câu 62* ng d ng h phỨ ụ ệ ương trình đ gi i phề ả ương trình sau:

a) Gi i phả ương trình:  

3 3

35 35 30

x  x x  x 

b) Gi i phả ương trình: x3 1 23 x1

c) Gi i phả ương trình:    

2

2 3 4 3 3 4 4

x  x  x  x  x

d) Tìm nghi m dệ ương c a phủ ương trình:

2

7

28 x x  x  e) Gi i phả ương trình: 32 x  1 x1

f) Gi i phả ương trình:  

3

5 1x 2 x 2

g) Gi i phả ương trình: 32 x4 x1 1 h) Gi i phả ương trình: x24x x13 7

Câu 63 a) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng (1a)(1b) 1  ab

b) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    

2

2

1

1

2

P a b

a a b b

    

 

Câu 64 a) Tìm giá trị nhỏ hàm số:

2 1

y

x x

 

 với < x < 1

b)Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ấ ủ ể ứ

9

x A

x

 

c)Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ

9

2 x B

x x

 

 , v i ớ 0  x

Câu 65 a) Cho x, y > Ch ng minh r ng ứ ằ

1

xy x y  2

1

xy  x y

b) Áp d ng: Cho ba s dụ ố ương a, b, c tho mãn a + b + c =1 Ch ng minh r ng ả ứ ằ

1 16 ac bc 

Câu 66 a) Cho x; y hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

(x y) (x y)

S

x y xy

 

 

P = x + y + z – (xy + yz + zx)

Câu 67 Giải hệ phương trình sau:

a)

2

2

2 5(2 ) 15

x xy y x y

x xy y

             

b)

1 4 x y y x y x y x x             

c) Giải hệ phương trình

2

2(1 )

2(1 )

x y y x

y x x y

        

d) Giải hệ phương trình

2

3

5

2 10 10 x y

x y x y

   



  



 (I)

e)Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình:

3

x y z

x y z

       2 2

( 1)( 1) (1) )

1 (2)

1

x y x y x y

f x y

y x                         

g) Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau:

3 3

2

x y z 3xyz x 2(y z)

         

h) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn

 

 

2 2 10

3 2 xy y x y

y y x

              

Câu 68 a) Cho  

2015 2015 2015

2

A   n

với n số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho n(n + 1)

b) Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 69: T ng h p rút g n th c hay:ổ ợ ọ ứ 69.1.Cho số thực dương a, b ; a  b Chứng minh rằng:

3 ( )

2

3

( ) 0

a b

b b a a

a ab a b

b a a a b b



 

 

 

 

69.2.Cho biểu thức

3

1 : ( 0; 4; 9)

9

a a a a a

A a a a

a a a a a

       

         

        

   

a) Rút gọn A

b) Tìm a để A+ |A| 

69.3.Cho biểu thức

2 1

( ) : (3 )

1

8

x x x x

A

x

x x x x

   

   



  

a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị x để A > 1.

69.4.Cho biểu thức

2

:

2 2 10

x x

A

x x x x x x

   

   

    

  (x > 0, x ≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên

69.5.Cho biểu thức:

2

2

( 0; 1)

x x x x x

P x x

x x x x x x

  

    

 

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị thức P x  3 2

c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa biểu thức

P nhận giá trị nguyên

69.6 Cho biểu thức

2

1 1

1

1 1

a a

P

a a

a a a a

     

       

     

69.7.Cho bi u th c ể ứ

2

2

2

2

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

   

a) Tìm giá tr c a x đ A có nghĩaị ủ ể b) Rút g n Aọ

c) Tìm giá tr c a x đ ị ủ ể A 2

69.8 C/m bi u th c sau không ph thu c vào ể ứ ụ ộ x:

3

4

2 5

x E x

x

  

 

  

69.9.Cho bi u th c ể ứ

1

1 :

1 1

x x

Q

x x x x x x

   

      

    

   

a) Rút g n ọ Q ;

b) Tìm giá tr c a ị ủ x cho Q  ;1 c) Tìm x Z đ ể Q Z .

69.10.Cho bi u th c: ể ứ

 

3

2 2

:

9

3 3

x

x x x

R

x

x x x

    



 

     

 

       

 

a) Rút g n R;ọ

b) Tìm giá tr c a ị ủ x đ ể R   ; 1

c) Tìm giá tr c a ị ủ x đ giá tr c a bi u th c R nh nh t Tìm GTNN đó.ể ị ủ ể ứ ỏ ấ

69.11 Cho bi u th c: ể ứ

2 :

1

1

x y x y x y xy

P

xy

xy xy

       

     



   

 

a) Rút g n ọ P ;

b) Tính giá tr c a ị ủ P t i ạ

2 x 

 ; c) Tìm GTLN c a ủ P ;

d) So sánh P v i 2.ớ

69.12.Cho bi u th c: ể ứ

2 2

1

x x x x

Y

x x x

 

  

a)Rút g n ọ Y ; b)Tìm x đ ể Y  ; 2

c)Gi s ả x  Ch ng minh r ng1 ứ ằ Y Y 0; d)Tìm GTNN c a ủ Y

69.13.Cho bi u th c: ể ứ

 1  22

1

x x x x x

K

x x

   

 

 

a) Tìm ĐKXĐ c a ủ K ; b) Rút g n K;ọ

c) Tìm x đ ể K  0

69.14 Cho bi u th c ể ứ  

2

2

3 x x P x

x x   

 

a) + Tìm t t c giá tr c a ấ ả ị ủ x đ ể P x  xác đ nh ị

+ Rút g n ọ P x 

b)Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế x  1 P x P   x 0