Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1) tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Hệ phương trình tuyến tính; Không gian Euclide; Phép biến đổi tuyến tính; Dạng toàn phương và ứng dụng để nhận dạng đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Chu.o.ng Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ e´n t´ınh 4.1 Hˆ e n phu.o.ng tr`ınh v´ u.c o.i n ˆ a’n c´ o di.nh th´ kh´ ac 132 4.1.2 ap ma trˆ a.n 133 Phu.o.ng ph´ ap Cramer 134 Phu.o.ng ph´ 4.1.3 ap Gauss 134 Phu.o.ng ph´ 4.1.1 4.2 4.3 4.1 e´n t´ınh 143 Hˆ e t` uy y ´ c´ ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆ `an nhˆ e´n t´ınh thuˆ a´t 165 Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ Hˆ e n phu.o.ng tr`ınh v´ o.i n ˆ a’n c´ o di.nh ac th´ u.c kh´ Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh trˆen tru.`o.ng sˆo´ P du.o c go.i l`a hˆe Cramer1 nˆe´u sˆo´ phu.o.ng tr`ınh b˘`ang sˆo´ ˆa’n v`a di.nh th´ u.c cu’a ma trˆa.n co ba’n (ma trˆa.n hˆe sˆo´) cu’a hˆe l`a kh´ac khˆong G Cramer (1704-1752) l` a nh` a to´ an ho.c Thu.y S˜ı http://tieulun.hopto.org 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c kh´ac 133 Hˆe Cramer c´o da.ng a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = h1 , a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = h2 , an1 x1 + an2x2 + · · · + ann xn = hn (4.1) hay du.´o.i da.ng ma trˆa.n AX = H (4.2) d´o a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , · · · an1 an2 ann ho˘a.c 4.1.1 x1 x2 X = , . xn h1 h2 H= . hn a11 a12 a1n h1 a21 a a h2 x1 + 22 x2 + · · · + 2n x = n . . an1 an2 ann hn Phu.o.ng ph´ ap ma trˆ a.n `on ta.i ma trˆa.n nghi.ch da’o A−1 Khi d´o t` V`ı detA = nˆen tˆ u (4.2) ta thu du.o c A−1 AX = A−1 H ⇒ EX = X = A−1H Vˆa.y hˆe nghiˆe.m nhˆa´t l`a X = A−1 H (4.3) Tuy nhiˆen viˆe.c t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o n´oi chung l`a rˆa´t ph´ u.c ta.p nˆe´u cˆa´p cu’a ma trˆa.n A l´o.n http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 134 4.1.2 ap Cramer Phu.o.ng ph´ Nghiˆe.m nhˆa´t cu’a hˆe Cramer du.o c x´ac di.nh theo cˆong th´ u.c Cramer: xj = det(Aj ) , detA j = 1, n (4.4) u ma trˆa.n A b˘a`ng c´ach thay cˆo.t d´o Aj l`a ma trˆa.n thu du.o c t` th´ u j bo’.i cˆo.t c´ac hˆe sˆo´ tu H, v`a c´ac cˆo.t kh´ac gi˜ u nguyˆen 4.1.3 Phu.o.ng ph´ ap Gauss Nˆo.i dung chu’ yˆe´u cu’a phu.o.ng ph´ap Gauss (hay thuˆa.t to´an Gauss) l`a khu’ liˆen tiˆe´p c´ac ˆa’n cu’a hˆe Thuˆa.t to´an Gauss du a trˆen c´ac ph´ep biˆe´n dˆ a´p hˆe phu.o.ng tr`ınh D´o l`a c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i: o’i so cˆ 1+ Nhˆan mˆo.t phu.o.ng tr`ınh n`ao d´o cu’a hˆe v´o.i mˆo.t sˆo´ kh´ac 2+ Thˆem v`ao mˆo.t phu.o.ng tr`ınh n`ao d´o cu’a hˆe mˆo.t phu.o.ng tr`ınh kh´ac nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ t` uy y ´ 3+ Dˆo’i chˆ˜o hai phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe - i.nh l´ a´p thu c hiˆe.n trˆen hˆe phu.o.ng tr`ınh o’i so cˆ D y Mo.i ph´ep biˆe´n dˆ `eu du.a dˆe´n mˆ (4.1) dˆ o.i tu.o.ng du.o.ng o.t hˆe phu.o.ng tr`ınh m´ Viˆe.c thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen hˆe phu.o.ng tr`ınnh (4.1) thu c chˆa´t l`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen c´ac h`ang cu’a ma trˆa.n mo’ rˆo.ng cu’a hˆe Do d´o sau mˆo.t sˆo´ bu.´o.c biˆe´n dˆo’i ta thu du.o c hˆe (4.1) tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe tam gi´ac b11x1 + b12x2 + · · · + b1n xn = h1 b22x2 + · · · + b2n xn = h2 bnn xn = hn T` u d´o r´ ut xn , xn−1 , , x2 , x1 http://tieulun.hopto.org 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c kh´ac 135 ´ V´I DU CAC V´ı du Gia’i c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh sau b˘`ang phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n x1 + x2 + x3 = 4, (4.5) 1) x1 + 2x2 + 4x3 = 4, x1 + 3x2 + 9x3 = 3x1 + 2x2 − x3 = 1, 2) (4.6) x1 + x2 + 2x3 = 2, 2x1 + 2x2 + 5x3 = Gia’i 1) Ta k´ y hiˆe.u 1 A = 1 4 , x1 X = x2 , x3 H = 4 Khi d´o phu.o.ng tr`ınh (4.5) c´o da.ng AX = H V`ı detA = = nˆen A c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o v`a vˆa.y hˆe (4.5) c´o nghiˆe.m nhˆa´t: X = A−1 H ˜e d`ang thˆa´y r˘`ang Dˆ A−1 v`a d´o −3 3 − − = 1 −1 2 −3 x1 − − x2 = 4 2 1 x3 −1 2 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 136 Thu c hiˆe.n ph´ep nhˆan ma trˆa.n o’ vˆe´ pha’i ta thu du.o c x1 = · − · + · = 2, x2 = − · + · − · = 3, 2 1 x3 = · − · + · = −1 2 2) Viˆe´t ma trˆa.n A cu’a hˆe v`a t`ım A−1: −1 −12 A = 1 ⇒ A−1 = −1 17 −7 2 −2 T` u d´o suy r˘a`ng −8 x1 −12 x2 = −1 17 −7 2 = 12 −1 −2 x3 t´ u.c l`a x1 = 8, x2 = 12, x3 = −1 ´ du.ng quy t˘a´c Cramer, gia’i c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh V´ı du Ap x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 1) 2x1 − x2 + x3 = 2, 3x1 − x2 − 2x3 = x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 6, 2x1 + 3x2 − 4x3 + 4x4 = 7, 2) 3x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 9, x1 − 3x2 + 7x3 + 6x4 = −7 (4.7) (4.8) ´ du.ng cˆong th´ Gia’i 1) Ap u.c (4.4) xj = det(Aj ) , detA j = 1, http://tieulun.hopto.org 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c kh´ac 137 d´o detA = −1 = 30 = 0; −2 detA2 = 2 = 30; −2 detA1 = −1 = 30; −2 detA3 = −1 = 30 T` u d´o suy x1 = 1, x2 = 1, x3 = u.c cu’a hˆe.: 2) T´ınh di.nh th´ −2 −1 −4 = 35 detA = −2 −2 −3 V`ı detA = nˆen hˆe c´o nghiˆe.m nhˆa´t v`a nghiˆe.m du.o c t`ım theo cˆong th´ u.c (4.4) Ta t´ınh c´ac di.nh th´ u.c −2 −1 −7 −4 = 70, det(A1) = −2 −2 −7 −3 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 138 −1 −7 −4 = −35, det(A2 ) = −2 −2 −7 −2 −1 −7 = 0, det(A3 ) = −2 −3 −7 −2 −4 −7 = −70 det(A4 ) = −2 −3 −7 Do d´o det(A1) det(A2) = 2, x2 = = −1, detA detA det(A3) det(A4) x3 = = 0, x4 = = −2 detA detA ´ du.ng phu.o.ng ph´ap Gauss gia’i c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh V´ı du Ap 1) x1 = x1 − 2x3 = −3, −2x1 + x2 + 6x3 = 11, −x1 + 5x2 − 4x3 = −4 2) 2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 9, x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = −1, 3x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0, 5x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = http://tieulun.hopto.org 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c kh´ac 139 Gia’i 1) Lˆa.p ma trˆa.n mo’ rˆo.ng v`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i: −2 −3 11 h2 + 2h1 → h2 −→ 0 −6 −4 h3 + h1 → h3 −2 −3 −→ 0 −32 h3 − 5h2 → h3 0 −16 −2 A = −2 −1 −4 −3 −7 T` u d´o suy x1 − 2x3 = −3 ⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = x2 + 2x3 = −16x3 = −32 2) Lˆa.p ma trˆa.n mo’ rˆo.ng v`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p: −1 −1 1 −2 3 −1 −2 −2 1 −2 h1 → h2 −1 h2 → h1 2 −1 −1 −→ 3 −1 −2 −2 −→ 1 −2 h2 − 2h1 → h2 0 −3 −9 h3 − 3h1 → h3 0 −1 −9 h4 − 5h1 → h4 −7 11 −22 −1 −1 11 h2 → h3 −→ h3 → h2 14 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 140 0 −→ 0 0 −→ 0 −2 −1 −9 −3 −9 −7 11 −22 −2 −1 −9 −8 18 −24 41 0 −→ 0 h4 − 3h3 → h4 −1 11 h3 − 3h2 → h3 14 h4 − 7h2 → h4 −1 −7 −2 −1 −1 −9 −8 18 0 −13 −13 T` u d´o suy r˘`ang x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = ` TA ˆP BAI Gia’i c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh sau x1 − x2 + 2x3 = 11, x1 + 2x2 − x3 = 11, (DS x1 = 9, x2 = 2, x3 = 2) 4x1 − 3x2 − 3x3 = 24 x1 − 3x2 − 4x3 = 4, 2x1 + x2 − 3x3 = −1, (DS x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1) 3x1 − 2x2 + x3 = 11 2x1 + 3x2 − x3 = 4, (DS x1 = x2 = x3 = 1) x1 + 2x2 + 2x3 = 5, 3x1 + 4x2 − 5x3 = http://tieulun.hopto.org 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c kh´ac 141 x1 + 2x2 + x3 = 8, −2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, (DS x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3) 3x1 − 4x2 + 5x3 = 10 2x1 + x2 − x3 = 0, 3x2 + 4x3 = −6, (DS x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0) x1 + x3 = 2x1 − 3x2 − x3 + = 0, 3x1 + 4x2 + 3x3 + = 0, (DS x1 = −2, x2 = 1, x3 = −1) x1 + x2 + x3 + = x2 + 3x3 + = 0, x1 − 2x2 − x3 = 5, (DS x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2) 3x1 + 4x2 − 2x = 13 2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5, x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4, 5x1 + 4x2 + 3x3 = 2, 3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6 , x2 = − , x3 = 1, x4 = ) 3 x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8, 2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19, 4x1 − x2 + x3 + x4 = −1, 3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2 (DS x1 = 10 (DS x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3) 2 x1 − x3 + x4 = 3, 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2, 5x1 − 3x4 = −6 x1 + x2 + x3 + x4 = (DS x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2) http://tieulun.hopto.org 262 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` y2 x1 = √ y1 + 14 14 ⇒ ϕ(·) = 12y12 − 2y22 ) (DS y1 − √ y2 x2 = 14 14 √ 30 2x21 − 5x1x2 + 3x22 √ x1 = y1 + y2 3√ ⇒ ϕ(·) = 7y12 − 2y22 ) (DS y1 + y2 x2 = − 3 31 ϕ(x1, x2) = 4x1 x2 1 x1 = √ y1 − √ y2 2 2 (DS 1 ⇒ ϕ(y1, y2 ) = 2y1 − 2y2 ) x2 = √ y1 + √ y2 2 2 32 3x1 + 6x1x2 + 3x2 1 x1 = √ y1 − √ y2, 2 ⇒ ϕ(·) = 6y12) (DS 1 x2 = √ y1 + √ y2 2 2 33 6x1 + 5x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 4x1 x3 2 x1 = y1 − y2 + y3, 3 2 (DS x2 = − y1 + y2 + y3 , ⇒ ϕ(·) = 9y12 + 6y22 + 3y32 ) 3 2 x3 = y1 + y2 − y3 3 √ 34 2x21 + x22 + 3x23 − 2x2x3 (DS x1 = y1, x2 = √ y2 + ϕ(·) = 2y12 + 5y22 − y32) y3 , x = − y2 + √ y3 ; 3 35 2x21 + 5x22 + 2x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2x3 1 (DS x1 = √ y1 + √ y2 + √ y3 , x2 = − √ y2 + √ y3, 6 1 x3 = √ y1 − √ y2 − √ y3; ϕ(·) = y12 + 7y22 + y32) http://tieulun.hopto.org - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆ `e 6.2 D ´ da.ng ch´ınh t˘ac 263 6.2 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆ D o’ng qu´ at cu’a `e da.ng o.ng bˆ a.c hai v` a m˘ a.t bˆ a.c hai vˆ du.` ´ ch´ınh t˘ ac 1◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai a11x2 + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = (6.20) `au tiˆen Tˆo’ng cu’a ba sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y (6.21) l`a da.ng to`an phu.o.ng cu’a c´ac biˆe´n x v`a y v`a du.o c go.i l`a da.ng to` an phu o ng u ´ ng v´ o i phu o ng tr`ınh (6.20) Ma trˆa.n cu’a da.ng to`an phu o ng n`ay c´o da.ng A= a11 a12 a12 a22 1+ Nˆe´u detA > th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng da.ng eliptic 2+ Nˆe´u detA < th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng hypecbolic 3+ Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng parabolic Trong tru.`o.ng ho p detA = th`ı (6.20) x´ac di.nh du.`o.ng c´o tˆam diˆe’m Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng khˆong c´o tˆam diˆe’m Hu.´o.ng cu’a c´ac vecto riˆeng tru c giao cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) go.i l`a hu.´ o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) `on ta.i hˆe to.a dˆo Dˆec´ac vuˆong g´oc m`a u.ng minh r˘`ang tˆ Ngu.`o.i ta ch´ d´o phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at (6.20) cu’a du.`o.ng bˆa.c hai c´o da.ng ch´ınh t˘´ac Dˆe’ t`ım hˆe to.a dˆo d´o ta tiˆe´n h`anh nhu sau http://tieulun.hopto.org 264 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` ´.ng 1+ T`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u `e da.ng ch´ınh t˘´ac v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ + Du a theo ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay ta t`ım c´ac hu.´o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng, t´ u.c l`a t`ım c´ac vecto riˆeng tru c chuˆa’n E1 v`a E2 cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng (6.21) 3+ T`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 4+ Trong phu.o.ng tr`ınh thu du.o c ta bˆo’ sung dˆe’ thu du.o c b`ınh `oi t`ım c´ac to.a dˆo cu’a diˆe’m O l`a gˆo´c cu’a hˆe to.a dˆo cˆ `an phu.o.ng du’ rˆ t`ım Trong hˆe to.a dˆo t`ım du o c O E1 E2 phu o ng tr`ınh cu’a du `o ng d˜a cho c´o da.ng ch´ınh t˘´ac 2◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai a11x2 + a22y + a33z + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + bx + by + ez + f = 0, (6.22) d´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t hˆe sˆo´ aij = 0, i = 1, 3, j = 1, `au cu’a phu.o.ng tr`ınh Tˆo’ng cu’a s´au sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y, z) = a11x2 + a12y + a33z + 2a12 xy + 2a13xz + 2a23yz (6.23) an phu.o.ng l`a da.ng to`an phu.o.ng ba biˆe´n x, y, z v`a du.o c go.i l`a da.ng to` tu.o.ng u ´.ng v´ o.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) Ma trˆa.n cu’a da.ng l`a a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a13 a23 a33 `on ta.i ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a Trong mu.c tru.´o.c d˜a ch´ u.ng to’ tˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac Do vˆa.y viˆe.c kha’o s´at v`a da.ng to`an phu.o.ng (6.23) vˆ du ng m˘a.t bˆa.c hai x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) du.o c tiˆe´n h`anh tu.o.ng tu nhu 1◦ http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 265 ´ V´I DU CAC V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh √ 17x2 + 12xy + 8y + 20 5x + 20 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh d´o vˆ Gia’i 1+ Da.ng to`an phu.o.ng ϕ(x, y) = 17x2 + 12xy + 8y ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o ma trˆa.n tu.o.ng u A= 17 N´o c´o c´ac sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 20, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (17 − λi )ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + (8 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = 20 v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = 20 ta c´o −3ξ1 + 6ξ2 = 6ξ1 − 12ξ2 = ⇒ ξ1 = 2ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = 20 c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng u u(2α, α), α∈R v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = √ , √ 5 http://tieulun.hopto.org an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 266 V´o.i λ2 = ta c´o 12ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + 3ξ2 = → ξ2 = −2ξ1 ´.ng v´o.i λ2 = c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng tu.o.ng u v(β, −2β) v`a sau chuˆa’n h´oa ta thu du.o c vecto riˆeng chuˆa’n cu’a ma trˆa.n A: E2 = −√ ,√ 5 `e co so’ m´o.i (ma trˆa.n cu’a ph´ep biˆe´n T` u d´o thu du.o c ma trˆa.n chuyˆe’n vˆ dˆo’i tru c giao) c´o da.ng √ −√ 5 T = √ √ 5 `an t`ım c´o da.ng v`a vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao cˆ x = √ x − √ y , 5 y = √ x + √ y 5 (6.24) `e da.ng ch´ınh t˘´ac N´o du.a da.ng to`an phu.o.ng ϕ vˆ 2 ϕ1 = 20x + 5y 2+ C´ac vecto co so’ E1 v`a E2 thu du.o c t` u c´ac vecto co so’ e1 , e2 u.c b˘`ang ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.o c cho bo’.i cˆong th´ E1 = √ e1 + √ e2, 5 (6.25) E2 = − √ e1 + √ e2. 5 http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 267 3+ Thay (6.24) v`ao phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta thu du.o c phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 : 2 20x + 5y + 40x − 20y + 20 = v`a t` u d´o (x + 1)2 (y − 2)2 + =1 (6.26) −→ 4+ Thu c hiˆe.n ph´ep d`o.i hˆe to.a dˆo OE1 E2 theo vecto OO = −E1 +2E2 ta thu du.o c hˆe to.a dˆo O E1 E2 v`a hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh (6.26) c´o da.ng x y + = 1 (6.27) Nhu vˆa.y phu.o.ng tr`ınh d˜a cho x´ac di.nh elip (h`ınh 6.1) H`ınh 6.1 T` u l`o.i gia’i v`a h`ınh v˜e tr`ınh b`ay suy c´ach du ng elip (6.27) `au tiˆen du ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 (thay cho E1 v`a E2 c´o thˆe’ hˆe O E1 E2 Dˆ −→ −→ du ng c´ac vecto OM1 = 2e1 + e2, OM2 = −e1 + 2e2); tiˆe´p dˆe´n thu c −→ hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe d´o mˆo.t vecto OO = −e1 + 2e2 dˆe´n O Sau c` ung l`a du ng elip (6.27) http://tieulun.hopto.org an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 268 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng cong x2 − 2xy + y − 10x − 6y + 25 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng cong d´o vˆ ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ϕ(x, y) = x2 − 2xy + y c´o ma trˆa.n l`a A= −1 −1 Lˆa.p phu.o.ng tr`ınh d˘a.c tru.ng − λ −1 = hay l`a λ2 − 2λ = −1 − λ T` u d´o λ1 = 2, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo cu’a c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (1 − λi )ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + (1 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = ta c´o −ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 − ξ2 = ⇒ ξ1 = −ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = du.o c x´ac di.nh bo’.i vecto v`a d´o hu.´o.ng ch´ınh tu.o.ng u riˆeng u = (α, −α), α∈R http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 269 v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E1 = √ , − √ 2 Tu.o.ng tu v´o.i λ2 = ta c´o ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + ξ2 = ⇒ ξ1 = ξ2 v`a hu.´o.ng ch´ınh u ´.ng v´o.i λ2 = x´ac di.nh bo’.i vecto riˆeng v(β, β), β∈R v`a chuˆa’n h´oa ta du.o c 1 E2 = √ , √ 2 u co so’ e1, e2 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2, Nhu vˆa.y ta d˜a chuyˆe’n t` d´o E1 = √ e1 − E2 = √ e1 + bo’.i ma trˆa.n chuyˆe’n √ e2, √ e2 1 √ √ 2 T = √ −√ 2 ´.ng v`a ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao tu.o.ng u 1 √ √ x = x + y, 2 (6.28) 1 y = − √ x + √ y 2 Dˆe’ t`ım da.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 ta thay (6.28) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 16 2x − √ x − √ y + 25 = 2 (6.29) http://tieulun.hopto.org an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 270 hay l`a x −√ 2 √ √ =4 y − Sau ep ti.nh tiˆe´n song song c´ac tru.c to.a dˆo dˆe´n gˆo´c m´o.i O = √ ph´√ , , phu.o.ng tr`ınh (6.29) hˆe to.a dˆo O XY c´o da.ng ch´ınh 2 √ t˘a´c X = 2Y Su s˘a´p xˆe´p cu’a parabon du.o c chı’ trˆen h`ınh 6.2 http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 271 H`ınh 6.2 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai √ √ 9x2 + 20y + 20z − 40yz − 36x − 2y + 2z + = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng m˘a.t d´o vˆ Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng ϕ(x, y, z) = 9x2 + 20y + 20z − 40yz v´o.i ma trˆa.n 0 A = 0 20 −20 −20 20 Ma trˆa.n n`ay c´o ba sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = Do d´o da.ng ch´ınh t˘´ac cu’a da.ng to`an phu.o.ng ϕ(·) l`a 2 ϕ1 (·) = 9x + 40y `an t`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng Ta cˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac To.a dˆo cu’a c´ac vecto u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ http://tieulun.hopto.org an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 272 u hˆe phu.o.ng tr`ınh riˆeng du.o c t`ım t` (9 − λi )ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + (20 − λi )ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + (20 − λi )ξ3 = v´o.i λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = a) V´o.i λ1 = ta c´o · ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + 11ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + 11ξ3 = ´.ng v´o.i λ1 = l`a T` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u u(α, 0, 0), α ∈ R, α = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = (1, 0, 0) b) V´o.i λ2 = 40 ta c´o 31ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = ´.ng v´o.i λ2 = 40: v`a t` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u v(0, β, −β), β ∈ R, β = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c −1 E2 = 0, √ , √ 2 http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 273 ´.ng l`a c) V´o.i λ3 = ta c´o vecto riˆeng tu.o.ng u w(0, γ, γ), γ ∈ R, γ = v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E3 = 0, √ , √ 2 Ma trˆa.n chuyˆe’n t` u co so’ e1, e2, e3 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2 , E3 c´o da.ng 0 0 √1 √ T = 2 √ −√ 2 Nhu vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng `e da.ng ch´ınh t˘´ac c´o da.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ x =x, 1 y = √ y +√ z, (6.30) 2 1 z = − √ y + √ z 2 Ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay biˆe´n c´ac vecto co so’ e1 , e2, e3 th`anh E1 = e1, 1 E2 = √ e2 − √ e3, 2 1 E3 = √ e2 + √ e3 2 (6.31) Dˆe’ t`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo m´o.i OE1 E2 E3 ta thˆe´ (6.30) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 2 9x + 40y − 36x − 8y + = http://tieulun.hopto.org an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 274 hay l`a (x − 2)2 (y − 0, 1)2 + = 3, 0, 81 Tiˆe´p theo ta thu c hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe to.a dˆo OE1 E2 E3 −→ mˆo.t vecto OO = 2E1 + 0, 1E2 v`a thu du.o c hˆe O E1 E2 E3 , hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng x y + = 1, a2 b a= 3, 6, b = 0, Phu.o.ng tr`ınh n`ay (v`a d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho) x´ac di.nh m˘a.t tru eliptic v´o.i du.`o.ng sinh E3 Du ng m˘a.t tru eliptic: c` ung v´o.i hˆe to.a dˆo Oe1 e2e3 ta du ng hˆe to.a dˆo O E1 E2 E3 , d´o thay cho viˆe.c du ng c´ac vecto (6.31) ta c´o thˆe’ du ng c´ac vecto −→ OM1 = e1, −→ OM2 = e2 − e3, −→ OM3 = e2 + e3 Su s˘´ap xˆe´p cu’a m˘a.t d˜a cho du.o c chı’ r˜o trˆen h`ınh 6.3 H`ınh 6.3 http://tieulun.hopto.org ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 275 ` TA ˆP BAI `e da.ng ch´ınh Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac du.`o.ng bˆa.c hai vˆ t˘´ac v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung 3x2 − 2xy + 3y + 2x − 4y + = 32 16 x + y = 1) (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 3 2 x + 2xy − y − 6x + 4y − = √ √ (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 1) x2 − 2xy + y + 4x − 6y + = √ (DS Du.`o.ng parabˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 0) 2x2 − 4xy − y + = x2 y2 (DS Du `o ng hypecbˆon, phu o ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) ( 8/3)2 5x2 + 4xy + 5y − = (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac x2 y2 √ + √ = 1) (3/ 7)2 ( 3)2 11x2 + 24xy + 4y − 15 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ − √ = 1) ( 3/2)2 ( 3)2 2x2 + 4xy + 5y − 24 = x2 y2 (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ + = 1) ( 24)2 x2 − 8xy + 7y − 36 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) `e da.ng ch´ınh Du a phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac m˘a.t bˆa.c hai vˆ t˘a´c v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung http://tieulun.hopto.org 276 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 6x2 − 2y + 6z + 4xz + 8x − 4y − 8z + = `ang; (DS Du.`o.ng paraboloid mˆo.t tˆ x2 ( 5/4)2 + y2 ( 5/8)2 z2 − ( 5/2)2 = 1) 10 4x2 + 3y + 2z + 4xy − 4yz + 4x − 2y − 4z − = x2 y2 = 1) (DS M˘a.t tru eliptic; √ + ( 2)2 11 x2 + 2y − 3z + 2x + 8y + 18z − 54 = x2 y2 Z + − = 1) 36 18 12 12 2x2 + y − 4xy − 4yz = `ang; (DS Hypecboloid 1-tˆ x2 y2 +z = ) (DS M˘a.t n´on, 13 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2xz + 2yz − 4x + 6y − 2z + = √ (DS M˘a.t parabˆoloid eliptic, 2x + 5y − 2z = 0) 14 2x2 + 2y + 3z − 2xz − 2yz − 16 = x2 y2 z2 (DS M˘a.t elipxoid, + √ + = 1) (2 2)2 http://tieulun.hopto.org ... 3x5 = ? ?2, 22 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 , 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12 (DS Hˆe tu.o.ng th´ıch) = 1, 2x1 + x2 − x3 + x4 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2, 23 5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1,... − 3x4 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 1, = 2, = −5, = 11 43 , x2 = − , x3 18 x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 x1 + 3x2 − 13x3 + 22 x4 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4... x2 + 2x3 + x4 = 1, x1 − 2x2 − x4 = ? ?2 (DS x3 = (−2x1 + x2 − 1), x4 = x1 − 2x2 + 2, x1 , x2 t` uy y ´) x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1, 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0, 5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 14 , x2