Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3) tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Tích phân hàm nhiều biến; Lý thuyết chuỗi; Phương trình vi phân; Khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Chu.o.ng 12 `eu biˆ T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 118 `en ch˜ o.ng ho p miˆ u nhˆ a.t 118 12.1.1 Tru.` `en cong 118 o.ng ho p miˆ 12.1.2 Tru.` 12.1.3 Mˆ o.t v` u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 121 12.2 T´ıch phˆ an 3-l´ o.p 133 `en h`ınh hˆ o.ng ho p miˆ o.p 133 12.2.1 Tru.` `en cong 134 o.ng ho p miˆ 12.2.2 Tru.` 12.2.3 136 12.2.4 Nhˆ a.n x´et chung 136 o.ng 144 12.3 T´ıch phˆ an d u.` 12.3.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144 o.ng 146 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆ an du.` 12.4 T´ıch phˆ an m˘ a.t 158 12.4.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158 ap t´ınh t´ıch phˆ an m˘ a.t 160 12.4.2 Phu.o.ng ph´ http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 118 12.4.3 Cˆ ong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 162 12.4.4 Cˆ ong th´ u.c Stokes 162 12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 12.1.1 `en ch˜ o.ng ho p miˆ u nhˆ a.t Tru.` Gia’ su’ D = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a x b, c y d} `en D Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p cu’a v`a h`am f(x, y) liˆen tu.c miˆ `en ch˜ h`am f (x, y) theo miˆ u nhˆa.t D = {(x, y) : a x b; c y d} u.c du.o c t´ınh theo cˆong th´ b f(M)dxdy = d dx a D f (M)dy; c d f(M)dxdy = D (12.1) b dy c f (M)dx, M = (x, y) (12.2) a `au tiˆen t´ınh t´ıch phˆan I(x) theo y xem x l`a h˘`ang Trong (12.1): dˆ sˆo´, sau d´o t´ıch phˆan kˆe´t qua’ thu du.o c I(x) theo x Dˆo´i v´o.i (12.2) ta c˜ ung tiˆe´n h`anh tu.o ng tu nhu.ng theo th´ u tu ngu.o c la.i 12.1.2 `en cong Tru.` o.ng ho p miˆ `en bi ch˘a.n Gia’ su’ h`am f (x, y) liˆen tu.c miˆ D = {(x, y) : a x b; ϕ1(x) y ϕ2 (x)} http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 119 d´o y = ϕ1 (x) l`a biˆen du.´o.i, y = ϕ2(x) l`a biˆen trˆen, ho˘a.c D = {(x, y) : c y d; g1 (y) x g2 (y)} d´o x = g1 (y) l`a biˆen tr´ai c`on x = g2 (y) l`a biˆen pha’i, o’ dˆay `eu liˆen tu.c c´ac khoa’ng ta luˆon gia’ thiˆe´t c´ac h`am ϕ1, ϕ2 , g1 , g2 dˆ `en D luˆon luˆon tˆ `on ta.i tu.o.ng u ´.ng Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p theo miˆ Dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan 2-l´o p ta c´o thˆe’ ´ap du.ng mˆo.t hai phu.o.ng ph´ap sau `e viˆe.c du.a t´ıch 1+ Phu.o.ng ph´ap Fubini du a trˆen di.nh l´ y Fubini vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p Phu.o.ng ph´ap n`ay cho ph´ep ta du.a t´ıch phˆan 2-l´o.p vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p theo hai th´ phˆan 2-l´o.p vˆ u tu kh´ac nhau: b ϕ2 (x) f (M)dxdy = f(M)dy dx = a D g2 (y) f (M)dxdy = g1 (y) f (M)dy, (12.3) ϕ1 (x) g2 (y) d f(M)dx dy = c D dx a ϕ1 (x) d ϕ2 (x) b dy c f (M)dx (12.4) g1 (y) a.n cu’a c´ ac t´ıch phˆ an biˆe´n thiˆen T` u (12.3) v`a (12.4) suy r˘a`ng cˆ v` a phu thuˆ o.c v` ao biˆe´n m` a t´ınh t´ıch phˆ an trong, n´ o du.o c xem l` a ` khˆ ong dˆ o’i Cˆ a.n cu’a t´ıch phˆ an ngo` luˆ on luˆ on l` a h˘ ang sˆ o´ `an biˆen du.´o.i Nˆe´u cˆong th´ u.c (12.3) (tu.o.ng u ´.ng: (12.4)) phˆ `an biˆen trˆen (tu.o.ng u `an biˆen tr´ai hay pha’i) gˆ `om t` hay phˆ ´.ng: phˆ u mˆo.t `an v`a mˆ˜o i phˆ `an c´o phu.o.ng tr`ınh riˆeng th`ı miˆ `en D cˆ `an chia th`anh sˆo´ phˆ `en bo’.i c´ac du.`o.ng th˘a’ng song song v´o.i tru.c Oy (tu.o.ng nh˜ u.ng miˆ `en d´o c´ac phˆ `an biˆen u ´.ng: song song v´o.i tru.c Ox) cho mˆo˜ i miˆ `an biˆen tr´ai, pha’i) dˆ `eu chı’ du.o c biˆe’u du.´o.i hay trˆen (tu.o.ng u ´.ng: phˆ ˜e n bo’.i mˆo.t phu.o.ng tr`ınh diˆ 2+ Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n Ph´ep dˆo’i biˆe´n t´ıch phˆan 2-l´o.p du.o c thu c hiˆe.n theo cˆong th´ u.c D(x, y) dudv (12.5) f(M)dxdy = f[ϕ(u, v), ψ(u, v)] D(u, v) D D∗ http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 120 `en biˆe´n thiˆen cu’a to.a dˆo cong (u, v) tu.o.ng u ´.ng d´o D∗ l`a miˆ c´ac diˆe’m (x, y) biˆe´n thiˆen D: x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v); (u, v) ∈ D∗ , (x, y) ∈ D; c`on ∂x D(x, y) = ∂u J= ∂y D(u, v) ∂u ∂x ∂v = ∂y ∂v (12.6) l`a Jacobiˆen cu’a c´ac h`am x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) To.a dˆo cong thu.`o.ng d` ung ho.n ca’ l`a to.a dˆo cu c (r, ϕ) Ch´ ung liˆen hˆe v´o.i to.a dˆo Dˆecac bo’.i c´ac hˆe th´ u.c x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r < +∞, ϕ < 2π T` u (12.6) suy J = r v`a to.a dˆo cu c (12.5) c´o da.ng f(M )dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ (12.7) D∗ D K´ y hiˆe.u vˆe´ pha’i cu’a (12.7) l`a I(D∗) C´o c´ac tru.`o.ng ho p cu thˆe’ sau dˆay (i) Nˆe´u cu c cu’a hˆe to.a dˆo cu c n˘`am ngo`ai D th`ı r2 (ϕ) ϕ2 I(D∗ ) = dϕ ϕ1 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.8) r1 (ϕ) u cu c c˘a´t biˆen ∂D (ii) Nˆe´u cu c n˘a`m D v`a mˆo˜ i tia di t` khˆong qu´a mˆo.t diˆe’m th`ı r(ϕ) 2π I(D∗ ) = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.9) (iii) Nˆe´u cu c n˘`am trˆen biˆen ∂D cu’a D th`ı r(ϕ) ϕ2 ∗ I(D ) = dϕ ϕ1 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.10) http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 12.1.3 121 Mˆ o.t v` u ´.ng du.ng h`ınh ho.c `en ph˘a’ng D du.o c t´ınh theo cˆong th´ u.c 1+ Diˆe.n t´ıch SD cu’a miˆ SD = dxdy ⇒ SD = rdrdϕ (12.11) D∗ D `en D (thuˆo.c u.ng c´o d´ay l`a miˆ 2+ Thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ h`ınh tru th˘a’ng d´ m˘a.t ph˘a’ng Oxy) v`a gi´o.i ha.n ph´ıa trˆen bo’.i m˘a.t z = f (x, y) > du.o c t´ınh theo cˆong th´ u.c V = f (x, y)dxdy (12.12) D 3+ Nˆe´u m˘a.t (σ) du.o c cho bo’.i phu.o.ng tr`ınh z = f (x, y) th`ı diˆe.n ˜e n bo’.i t´ıch phˆan 2-l´o.p t´ıch cu’a n´o du.o c biˆe’u diˆ + (fx )2 + (fy )2dxdy, Sσ = (12.13) D(x,y) d´o D(x, y) l`a h`ınh chiˆe´u vuˆong g´oc cu’a m˘a.t (σ) lˆen m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo Oxy ´ V´I DU CAC V´ı du T´ınh t´ıch phˆan xydxdy, D = {(x, y) : x 2; y 2} D Gia’i Theo cˆong th´ u.c (12.2): xydxdy = D dy xydx http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 122 T´ınh t´ıch phˆan (xem y l`a khˆong dˆo’i) ta c´o xydx = y I(x) = x2 2 1 = 2y − y Bˆay gi`o t´ınh t´ıch phˆan ngo`ai: 2y − y dy = · xydxdy = D xydxdy nˆe´u D du.o c gi´o.i ha.n bo’.i c´ac V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D du.`o.ng cong y = x − 4, y = 2x Gia’i B˘`ang c´ach du ng c´ac du.`o.ng gi˜ u.a c´ac giao diˆe’m A(8, 4) v`a `en lˆa´y t´ıch phˆan D B(2, −2) cu’a ch´ ung, ba.n do.c s˜e thu du.o c miˆ `au tiˆen lˆa´y t´ıch phˆan theo x v`a tiˆe´p dˆe´n lˆa´y t´ıch phˆan theo Nˆe´u dˆ ˜e n bo’.i mˆo.t t´ıch phˆan bˆo.i `en D du.o c biˆe’u diˆ y th`ı t´ıch phˆan theo miˆ y4 I= xydxdy = ydy −2 D xdx, y /2 `en D lˆen tru.c Oy T` u d´o d´o doa.n [−2, 4] l`a h`ınh chiˆe´u cu’a miˆ I= x2 y y4 y /2 dy = −2 y (y + 4)2 − y4 dy = 90 −2 `au tiˆen theo y, sau d´o theo Nˆe´u t´ınh t´ıch phˆan theo th´ u tu kh´ac: dˆ `an chia miˆ `en D th`anh hai miˆ `en bo’.i du.`o.ng th˘a’ng qua B v`a x th`ı cˆ song song v´o.i tru.c Oy v`a thu du.o c √ I= + D1 = xdx ydy + √ − 2x D2 √ 2x xdx · + xdx 2 = 2x y2 x ydy x−4 √ 2x dx = 90 x−4 http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 123 Nhu vˆa.y t´ıch phˆan 2-l´o.p d˜a cho khˆong phu thuˆo.c th´ u tu t´ınh t´ıch `an cho.n mˆo.t th´ phˆan Do vˆa.y, cˆ u tu t´ıch phˆan dˆe’ khˆong pha’i chia `en miˆ `en D du.o c (y − x)dxdy d´o miˆ V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D gi´o.i ha.n bo’.i c´ac du.`o.ng th˘a’ng y = x + 1, y = x − 3, y = − x + , 3 y = − x + Gia’i Dˆe’ tr´anh su ph´ u.c ta.p, ta su’ du.ng ph´ep dˆo’i biˆe´n u = −y − x; u.c (12.5) Qua ph´ep dˆo’i biˆe´n d˜a cho.n, v = y + x v`a ´ap du.ng cˆong th´ du.`o.ng th˘a’ng y = x + biˆe´n th`anh du.`o.ng th˘a’ng u = 1; c`on y = x − biˆe´n th`anh u = −3 m˘a.t ph˘a’ng Ouv; tu.o.ng tu , c´ac du.`o.ng th˘a’ng 7 y = − x + , y = − x + biˆe´n th`anh c´ac du.`o.ng th˘a’ng v = , v = 3 3 ∗ ∗ ˜e d`ang thˆa´y `en D = [−3, 1] × , Dˆ `en D tro’ th`anh miˆ Do d´o miˆ D(x, y) r˘`ang = − Do d´o theo cˆong th´ u.c (12.5): D(u, v) u+ v − 4 (y − x)dxdy = 3 − u+ v 4 dudv D∗ D ududv = = D∗ udu = −8 dv 7/3 −3 Nhˆ a.n x´et Ph´ep dˆo’i biˆe´n t´ıch phˆan hai l´o.p nh˘`am mu.c d´ıch `en lˆa´y t´ıch phˆan C´o thˆe’ l´ do.n gia’n h´oa miˆ uc d´o h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan tro’ nˆen ph´ u.c ta.p ho.n (x2 + y 2)dxdy, d´o D l`a h`ınh tr`on V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D gi´o.i ha.n bo’.i du.`o.ng tr`on x2 + y = 2x u.c (12.7) Gia’i Ta chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c v`a ´ap du.ng cˆong th´ Cˆong th´ u.c liˆen hˆe (x, y) v´o.i to.a dˆo cu c (r, ϕ) v´o.i cu c ta.i diˆe’m O(0, 0) http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 124 c´o da.ng x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (12.14) Thˆe´ (12.14) v`ao phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on ta thu du.o c r2 = 2r cos ϕ ⇒ r = ho˘a.c r = cos ϕ (dˆay l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on to.a dˆo cu c) Khi d´o D∗ = (r, ϕ) : − π π ,0 ϕ r cos ϕ T` u d´o thu du.o c π/2 I= (x + y )dxdy = r drdϕ = D∗ D π/2 r3 dr dϕ −π/2 π/2 r4 = cos ϕ cos ϕ cos4 ϕf ϕ = dϕ = −π/2 3π · −π/2 Nhˆ a.n x´et Nˆe´u lˆa´y cu c ta.i tˆam h`ınh tr`on th`ı x − = r cos ϕ y = r sin ϕ D∗ = (r, ϕ) : r 1, ϕ 2π} v`a x2 + y = + 2r cos ϕ + r2 nˆen r(1 + 2r cos ϕ + r2 )drdϕ I= D∗ 2π (r + 2r2 cos ϕ + r3 )dr = dϕ = 3π · V´ı du T´ınh thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ T gi´o.i ha.n bo’.i paraboloid z = x2 + y 2, m˘a.t tru y = x2 v`a c´ac m˘a.t ph˘a’ng y = 1, z = http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 125 Gia’i H`ınh chiˆe´u cu’a vˆa.t thˆe’ T lˆen m˘a.t ph˘a’ng Oxy l`a D(x, y) = (x, y) : −1 x 1, x2 y Do d´o ´ap du.ng (12.12) ta c´o zdxdy = V (T ) = D(x,y) (x + y )dxdy = x2 y + = y3 x2 dx = (x2 + y 2)dy dx −1 D(x,y) 1 x2 88 · 105 −1 `au b´an k´ınh R v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo V´ı du T`ım diˆe.n t´ıch m˘a.t cˆ `au d˜a cho c´o da.ng Gia’i Phu.o.ng tr`ınh m˘a.t cˆ x2 + y + z = R2 `au l`a Do d´o phu.o.ng tr`ınh nu’.a trˆen m˘a.t cˆ R2 − x2 − y z= u.ng nˆen ta chı’ t´ınh diˆe.n t´ıch nu’.a trˆen l`a du’ Ta c´o Do t´ınh dˆo´i x´ ds = + zx2 + zy dxdy = Rdxdy R2 − x2 − y `en lˆa´y t´ıch phˆan D(x, y) = {(x, y) : x2 + y Miˆ · R2 } Do d´o x = r cos ϕ dxdy = y = r sin ϕ R2 − x2 − y J =r R S=2 D(x,y) 2π = 2R R rdr √ R2 − r2 dϕ 0 √ = 4πR − R2 − r2 R = 4πR2 http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 126 `an m˘a.t tru x2 = 2z gi´o.i ha.n bo’.i giao V´ı du T´ınh diˆe.n t´ıch phˆ √ tuyˆe´n cu’a m˘a.t tru d´o v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng x − 2y = 0, y = 2x, x = 2 ˜e thˆa´y r˘a`ng h`ınh chiˆe´u cu’a phˆ `an m˘a.t d˜a nˆeu l`a tam gi´ac Gia’i Dˆ v´o i c´ac ca.nh n˘a`m trˆen giao tuyˆe´n cu’a m˘a.t ph˘a’ng Oxy v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng d˜a cho x2 T` u phu.o.ng tr`ınh m˘a.t tru ta c´o z = , vˆa.y ∂z = x, ∂x √ ∂z = → dS = + x2dxdy ∂y T` u d´o suy r˘a`ng √ 2 √ + x2dx S= √ 2 2x √ x + x2dx = 13 dy = x/2 ` TA ˆ P BAI T`ım cˆa.n cu’a t´ıch phˆan hai l´o.p `en D gi´o.i f (x, y)dxdy theo miˆ D ha.n bo’.i c´ac du.`o.ng d˜a chı’ (Dˆe’ ng˘´an go.n ta k´ y hiˆe.u f (x, y) = f (−)) x = 3, x = 5, 3x − 2y + = 0, 3x − 2y + = 3x+4 5 (DS dx f (−)dy) 3x+1 x = 0, y = 0, x + y = 2 (DS 2−x dx f (−)dy) http://tieulun.hopto.org 314 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `en nhiˆe.t 2+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ ∂u ∂ 2u = a2 · ∂t ∂x + Phu o ng tr`ınh Laplace ∂ 2u ∂ 2u + = ∂x2 ∂y (15.8) (15.9) Thˆong thu.`o.ng ngu.`o.i ta khˆong t`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at m`a l`a t`ım `eu kiˆe.n n`ao d´o go.i nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh tho’a m˜an nh˜ u.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen v`a diˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au l`a diˆ 15.3.1 `en s´ ong Phu.o.ng tr`ınh truyˆ B` to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh (15.7) tho’a `eu kiˆe.n biˆen v`a diˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au sau: m˜an c´ac diˆ `eu kiˆe.n biˆen: (1) u(0, t) = 0; (2) u( , t) = i) Diˆ ∂u(x, 0) `eu kiˆe.n ban dˆ `au: (1) u(x, 0) = ϕ1 (x); (2) = ϕ2(x) ii) Diˆ ∂t ´ du.ng phu.o.ng ph´ap Fourier dˆ `au tiˆen ta t`ım nghiˆe.m riˆeng Gia’i Ap cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho du.´o.i da.ng t´ıch hai h`am m`a mˆo.t h`am chı’ phu thuˆo.c x, c`on h`am chı’ phu thuˆo.c t: u(x, t) = X(t)T (t) (15.10) Thay u(x, t) v`ao phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta thu du.o c T X = · (15.11) X aT Vˆe´ tr´ai cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c t, vˆe´ pha’i khˆong phu thuˆo.c x `eu d´o chı’ xˆa’y ca’ hai vˆe´ cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c ca’ x lˆa˜ n Diˆ t t´ u.c l`a b˘`ang mˆo.t h˘a`ng sˆo´ K´ y hiˆe.u h˘a`ng sˆo´ d´o l`a −λ2 Ta thu du.o c XT − a2T X = → X = −λ2 ⇒ X + λ2 X = ⇒ X = A cos λx + B sin λx, (15.12) X T = −λ2 ⇒ T + a2λ2 T = ⇒ T = C cos aλt + D sin aλt, a2T (15.13) http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 315 uy y ´ T` u (15.12), (15.13) v`a d´o A, B, C, D l`a nh˜ u.ng h˘a`ng sˆo´ t` (15.10) suy r˘a`ng u(x, t) = (A cos λx + B sin λx)(C cos aλt + D sin aλt) (15.14) ´ du.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen Ap u(0, t) = 0, u( , t) = cho (15.14) v`a sau d˜a do.n gia’n cho T (t) ≡ ta c´o = A cos + B sin ⇒ A = 0, = A cos λ + B sin λ ⇒ sin λ = (v`ı B = A = 0) nπ , n = 1, 2, l`a tham sˆo´ t` uy T` u d´o ta x´ac di.nh du.o c tham sˆo´ λ = y ´ Lu.u y ´ r˘`ang nˆe´u (15.12) v`a (15.13) thay cho −λ2 ta lˆa´y +λ2 `eu kiˆe.n i) v`a th`ı X = Ae−λx + Beλx v`a dˆo´i v´o.i h`am X da.ng n`ay c´ac diˆ ii) chı’ du o c tho’a m˜an X ≡ `eu tu.o.ng u ´.ng v´o.i nghiˆe.m riˆeng Nhu vˆa.y mˆ˜o i gi´a tri λ (hay n) dˆ da.ng un = Xn Tn = αn cos anπt + βn sin anπt sin nπx uy y ´ d´o αn = Bn Cn , βn = Bn Dn l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t` `an nhˆa´t nˆen tˆo’ng c´ac V`ı phu.o.ng tr`ınh d˜a cho l`a tuyˆe´n t´ınh v`a thuˆ nghiˆe.m c˜ ung l`a nghiˆe.m Do d´o tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i u(x, t) = αn cos un = n anπt + βn sin anπt sin nπx n (15.15) `eu kiˆe.n c˜ ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho v`a n´o tho’a m˜an c´ac diˆ biˆen http://tieulun.hopto.org 316 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au: Dˆe’ x´ac di.nh αn v`a βn ta s˜e ´ap du.ng c´ac diˆ t = th`ı u(x, t) = ϕ1(x) nˆen ∞ ϕ1 (x) = αn sin nπx (15.16) n=1 T` u (15.15) ta c`on c´o ∂u = ∂t anπ βn cos anπt − αn sin anπt sin nπx n `eu kiˆe.n ut(x, 0) = ϕ2(x) nˆen v`a diˆ anπ ϕ2 (x) = βn sin nπx · (15.17) n C´ac d˘a’ng th´ u.c (15.16) v`a (15.17) l`a khai triˆe’n cu’a c´ac h`am ϕ1 (x) v`a ϕ2 (x) th`anh chuˆo˜ i Fourier khoa’ng (0, ) C´ac khai triˆe’n n`ay chı’ u.c ch´ u.a h`am sin C´ac hˆe sˆo´ cu’a khai triˆe’n du.o c t´ınh theo cˆong th´ αn = ϕ1 (x) sin nπx dx; βn = naπ ϕ2 (x) sin nπx dx (15.18) `eu kiˆe.n d˜a nˆeu l`a h`am Nhu vˆa.y nghiˆe.m riˆeng tho’a m˜an c´ac diˆ (15.15) v´o i c´ac hˆe sˆo´ αn v`a βn du o c t´ınh theo cˆong th´ u.c (15.18) ` TA ˆP BAI T`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ∂ 2u 2∂ u = a ∂t2 ∂x2 (15.19) `eu kiˆe.n ban dˆ `au v`a diˆ `eu kiˆe.n biˆen tho’a m˜an c´ac diˆ http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 317 `eu kiˆe.n ban dˆ `au (i) C´ac diˆ x v´o.i u(x, 0) = f(x) = − (x − ) v´o.i ∂u(x, 0) = ϕ(x) = ∂t x , x `eu kiˆe.n biˆen u(0, t) = 0, u( , t) = (ii) C´ac diˆ (DS u(x, t) = 5π (−1)n−1 n πnx πant sin ) cos (2n − 1) ∂u(x, 0) = 1; (i) u(x, 0) = 0, ∂t (ii) u(0, t) = u( , t) = (DS u(x, t) = π2a n 1 (2n − 1)πx 2n − πat sin ) sin (2n − 1)2 C˜ ung ho’i nhu trˆen dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh ∂ 2u ∂ 2u = ∂t2 ∂x2 `eu kiˆe.n: v`a c´ac diˆ 4πx , ut(x, 0) = 0; (i) u(x, 0) = sin (ii) u(0, t) = 0, u(3, t) = (DS u(x, t) = cos 15.3.2 4πx 8πt sin ) 3 `en nhiˆ e.t Phu.o.ng tr`ınh truyˆ B` to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ∂u ∂ 2u = a2 ∂t ∂x http://tieulun.hopto.org 318 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `eu kiˆe.n tho’a m˜an c´ac diˆ 1) u(x, 0) = ϕ(x) 2) u(0, t) = u( , t) = ´ du.ng phu.o.ng ph´ap Fourier, ta d˘a.t Gia’i Ap u(x, t) = X(x)T (t) v`a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho tro’ th`anh T X = = −λ2 X aT v`a thu du.o c hai phu.o.ng tr`ınh X + λ2 X = ⇒ X = A cos λx + B sin λx, T + a2λ2 T = ⇒ T = Ce−a λ2 t Do d´o u(x, t) = e−a λ2 t α cos λx + β sin λx d´o α = AC, β = BC l`a nh˜ uy y ´ u.ng h˘`ang sˆo´ t` ´ du.ng diˆ `eu kiˆe.n 2) ta c´o Ap = α cos + β sin nπ ⇒ α = 0, λ = , n = 1, 2, 3, = α cos λ + β sin λ C˜ ung nhu 1+ , mˆo˜ i gi´a tri λ (hay n) tu.o.ng u ´.ng v´o.i nghiˆe.m riˆeng un = βn e− a2 n2 π t sin nπx v`a tˆo’ng cu’a ch´ ung c˜ ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh βn e− u(x, t) = a2 n2 π t sin πnx · (15.20) n http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 319 `eu kiˆe.n 1) ta c´o: u(x, 0) = ϕ(x): Bˆay gi`o ´ap du.ng diˆ nπx ϕ(x) = · βn sin n D´o l`a khai triˆe’n Fourier cu’a h`am ϕ(x) khoa’ng (0, ) Do d´o ta c´o βn = ϕ(x) sin nπx dx (15.21) Nhu vˆa.y tˆo’ng chuˆo˜ i (15.20) v´o.i hˆe sˆo´ t´ınh theo vˆong th´ u.c (15.21) l`a `eu kiˆe.n d˜a cho nghiˆe.m riˆeng tho’a m˜an c´ac diˆ ` TA ˆ P BAI Gia’i phu.o.ng tr`ınh ∂u ∂ 2u = a2 ∂t ∂x x v´o.i u(x, 0) = − x v´o.i u(0, t) = u( , t) = (DS u = π2 (−1)n−1 n (15.22) x x , ; π a2 (2n−1)2 π(2n−1) − t x e sin ) (2n − 1) `eu kiˆe.n Gia’i phu.o.ng tr`ınh (15.22) v´o.i c´ac diˆ u(x, 0) = f(x); u(0, t) = A, u( , t) = B; A, B − const ˜ Chı’ dˆ a n Du.a v`ao ˆa’n h`am m´o.i v(x, t) = u(x, t) − B−A x − A http://tieulun.hopto.org 320 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ ∂v 2∂ v `eu kiˆe.n v(0, t) = 0, ’ =a Khi d´o (15.22) tro th`anh v´o.i c´ac diˆ ∂t ∂x2 B−A B−A x − A = f (x) − x−A = v( , t) = 0, v(x, 0) = u(x, 0) − g(x) D´o l`a b`ai to´an d˜a biˆe´t c´ach gia’i ∂u ∂ u `eu = T`ım nghiˆe.m u(x, y) cu’a phu.o.ng tr`ınh tho’a m˜an c´ac diˆ ∂y ∂x2 `eu kiˆe.n ban dˆ `au u(x, 0) = sin 2x kiˆe.n biˆen u(0, y) = u(π, y) = v`a diˆ (DS u(x, y) = 3e−4y sin 2x) 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace `eu h`oa miˆ `en ph˘a’ng D nˆe´u n´o H`am u(x, y) du.o c go.i l`a h`am diˆ c´o c´ac da.o h`am riˆeng liˆen tu.c cˆa´p trˆen D v`a trˆen D n´o tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ∆u ≡ ∂ 2u ∂ 2u + = ∂x2 ∂y (15.23) `eu h`oa - ch´ınh l`a tˆa.p ho p mo.i nghiˆe.m cu’a Tˆa.p ho p c´ac h`am diˆ phu.o.ng tr`ınh Laplace C˜ ung nhu dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng, dˆe’ t´ach mˆo.t nghiˆe.m x´ac di.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace ngu.`o.i `eu kiˆe.n bˆo’ sung Dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh Laplace ta pha’i cho nh˜ u.ng diˆ `eu kiˆe.n bˆo’ sung d´o du.o c ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen, nh˜ u.ng diˆ `an t`ım pha’i tho’a m˜an trˆen biˆen t´ u c l`a cho nh˜ u ng hˆe th´ u c m`a nghiˆe.m cˆ `eu kiˆe.n n gia’n nhˆ `eu h`oa Diˆ a´t sˆo´ d´o l`a cho gi´a tri cu’a h`am diˆ `an t`ım ta.i mˆ˜o i diˆe’m biˆen cu’a miˆ `en Ngu.`o.i ta go.i b`ai to´an n`ay l`a b`ai cˆ to´an biˆen th´ u nhˆa´t hay b`ai to´an Dirichlet B`ai to´an biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace du.o c d˘a.t nhu sau Gia’ `en D ⊂ R2 v´o.i biˆen ∂D l`a du.`o.ng cong d´ong H˜ay t`ım h`am su’ miˆ u(x, y) liˆen tu.c D = D ∪ ∂D cho a) Tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh Laplace D `eu kiˆe.n biˆen b) Tho’a m˜an diˆ u(x, y) (x,y)∈∂D = f (x, y), http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 321 d´o f(x, y) l`a h`am du.o c cho trˆen biˆen ∂D B`ai to´an v` u.a nˆeu c`on du.o c go.i l`a b`ai to´an Dirichlet Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta chı’ x´et b` to´ an Dirichlet dˆ on o´i v´ o.i h`ınh tr` `e Trong to.a dˆ o Bˆ o’ dˆ o cu c (r, ϕ) phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) c´ da.ng ∂ 2u ∂ 2u ∂u = + + ∂r2 r2 ∂ϕ2 r ∂r (15.24) L`o.i gia’i cu’a b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on (c˜ ung t´ u.c l`a l`o.i `eu kiˆe.n biˆen gia’i cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) hay (15.24)) v´o.i diˆ cho tru o´ c du o c mˆo ta’ di.nh l´ y sau dˆay - i.nh l´ a h`ınh tr` on do.n vi mo’ v´ o.i tˆ am ta.i gˆ o´c to.a dˆ o v` a D y Gia’ su’ S l` `an ho` gia’ su’ trˆen biˆen ∂S cho h` am 2π-tuˆ an liˆen tu.c f (θ), d´ oθ l` a g´ oc cu c cu’a c´ ac diˆe’m biˆen cu’a ∂D `en S = S + ∂S tˆ `on ta.i h` o miˆ am nhˆ a´t u(x, y) liˆen Khi d´ `eu h` tu.c trˆen S v` a diˆ oa trˆen S cho u(x, y) (x,y)∈∂S = f (θ) Trong ˜e n du.o c du.´ ˜i to.a dˆ am u(r, θ) biˆe’u diˆ o.i da.ng chuˆ o o cu c (r, θ) h` u(r, θ) = a0 + n rn (an cos nθ + bn sin nθ) d´ o π an = π bn f(θ) cos nθ dθ, sin nθ n = 0, 1, 2, −π l` a c´ ac hˆe sˆ o´ Fourier cu’a h` am f(θ) `eu h`oa c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a tho’a m˜an Di.nh l´y vˆ `e gi´ a tri H`am diˆ trung b`ınh - i.nh l´ ong tˆ am O(0, 0) D y Nˆe´u h` am u(x, y) liˆen tu.c h`ınh tr` on d´ `eu h` v` a b´ an k´ınh R v` a diˆ oa h`ınh tr` on d´ o th`ı gi´ a tri cu’a h` am http://tieulun.hopto.org 322 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ ` u(x, y) ta.i tˆ am h`ınh tr` on b˘ ang trung b`ınh cˆ o.ng c´ ac gi´ a tri cu’a n´ o trˆen du ` o ng tr` on, t´ u c l` a u(0, 0) = 2πR u(x, y)ds x2 +y =R2 V´ı du Ch´ u.ng to’ r˘a`ng h`am u(x, y) = a(x2 − y ) + bxy d´o a, b `eu h`oa l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t` uy y ´, l`a h`am diˆ Gia’i Ta c´o ∂u = 2ax + by, ∂x ∂u = −2ay + bx, ∂y ∂ 2u = 2a; ∂x2 ⇒ ∆u = ∂ 2u = −2a ∂y `e V´ı du Ch´ u.ng minh Bˆo’ dˆ Gia’i X´et u(x, y) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) Ta c´o ∂u ∂u ∂u = cos ϕ + sin ϕ , ∂r ∂x ∂y ⇒ ∂u ∂u ∂u = −r sin ϕ + r cos ϕ ∂ϕ ∂x ∂y ∂u ∂u sin ϕ ∂u = cos ϕ − , ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u cos ϕ ∂u ∂u = sin ϕ + · ∂y ∂r r ∂ϕ (15.25) http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 323 ∂ 2u ∂ 2u ´ ’ v`a Ta c´o Ap du.ng (15.25) dˆe t´ınh ∂x2 ∂y ∂u sin ϕ ∂u sin ϕ ∂ ∂u sin ϕ ∂u ∂ ∂ 2u cos ϕ − − cos ϕ − = cos ϕ ∂x2 ∂r ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r r ∂ϕ 2 2 sin ϕ ∂ u ∂ u sin ϕ cos ϕ ∂ u = cos2 ϕ − + ∂r r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ2 2 sin ϕ cos ϕ ∂u sin ϕ ∂u + + r2 ∂ϕ r ∂r 2 cos2 ϕ ∂ 2u sin ϕ cos ϕ ∂ 2u ∂ u ∂ u + = sin ϕ + ∂y ∂r2 r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ2 sin ϕ cos ϕ ∂u cos2 ϕ ∂u + · − r2 ∂ϕ r ∂r T` u d´o suy r˘`ang ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂ 2u ∂ 2u + + = + · ∂x2 ∂y ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 `eu h`oa u(x, y) ta.i tˆam h`ınh tr`on V´ı du H˜ay t`ım gi´a tri cu’a h`am diˆ 2 ´ x +y R nˆeu u(x, y) x2 +y =R2 = xy + x − ´ du.ng di.nh l´ Gia’i Ap y trung b`ınh d˜a ph´at biˆe’u o’ trˆen ta c´o u(0, 0) = 2πR u(x, y)ds x2 +y =R2 Chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c: x = R cos ϕ, y = R sin ϕ ta thu du.o c u x2 +y =R2 = f(ϕ); ds = Rdϕ v`a d´o 2π u(0, 0) = 2π f (ϕ)dϕ http://tieulun.hopto.org 324 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ Theo gia’ thiˆe´t f (ϕ) = R cos ϕ · R sin ϕ + R cos ϕ − = R2 sin 2ϕ + R cos ϕ − v`a d´o 2π R2 sin 2ϕ + R cos ϕ − dϕ u(0, 0) = 2π R2 2π − cos 2ϕ + R sin ϕ − ϕ = −1 = 2π `eu h`oa h`ınh tr`on x2 + y < R2 v`a V´ı du T`ım h`am u(x, y) diˆ trˆen biˆen h`ınh tr`on n´o nhˆa.n c´ac gi´a tri u x2 +y2 =R2 = x2 − y + y Gia’i B`ai to´an d˘a.t l`a b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on Chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c ta c´o u x2 +y2 =R2 = u(R, ϕ) = R2 cos2 ϕ − R2 sin2 ϕ + R sin ϕ R (15.26) = R2 cos 2ϕ + sin ϕ Trong l´ y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Laplace ngu.`o.i ta d˜a ch´ u.ng minh `eu h`oa u(r, ϕ) trˆen du.`o.ng tr`on b´an k´ınh r˘`ang nˆe´u gi´a tri cu’a h`am diˆ R c´o khai triˆe’n Fourier da.ng Rn (An cos nϕ + Bn sin nϕ) u(R, ϕ) = f (ϕ) = n th`ı h`ınh tr`on ta c´o rn (An cos nϕ + Bn sin nϕ) u(r, ϕ) = (15.27) n π π A0 = 2π f(ϕ)dϕ, An = πRn −π f (ϕ) cos nϕdϕ, −π π Bn = πRn f (ϕ) sin nϕdϕ −π http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 325 `eu kiˆe.n biˆen (15.26) thu du.o c T` u diˆ u(R, ϕ) = R2 cos 2ϕ + R sin ϕ n = (R An cos nϕ + Rn Bn sin nϕ) n So s´anh c´ac hˆe sˆo´ cu’a cos 2ϕ v`a sin ϕ ta thu du.o c R2 = R2 A2, R = `eu b˘a`ng Thˆe´ R · B1 Do d´o A2 = 1, B1 = ; tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ c`on la.i dˆ c´ac gi´a tri t`ım du o c n`ay v`ao (15.27) ta thu du o c nghiˆe.m 1 u(r, ϕ) = r2 cos 2ϕ + r sin ϕ = r2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + r sin ϕ 2 1 = x2 − y + y ⇒ u(x, y) = x2 − y + y 2 ` TA ˆP BAI `eu h`oa Ch´ u.ng minh r˘a`ng c´ac h`am d˜a cho l`a nh˜ u.ng h`am diˆ ´ du.ng v´ı du ˜ a n Ap u = ln Chı’ dˆ r u = rn cos nϕ, v = rn sin nϕ u − x3 − 3y 2x u = x+ ˜ x2 + y Chı’ dˆ a n D˘a.t t = x + x2 + y u = arctg yx `eu h`oa u(x, y) ta.i tˆam h`ınh tr`on x2 +y T`ım gi´a tri cu’a h`am diˆ nˆe´u trˆen biˆen h`ınh tr`on n´o nhˆa.n c´ac gi´a tri chı’ ra: R2 y2 (DS u(0, 0) = ) R u(x, y) = R + x (DS u(0, 0) = R) u(x, y) = u(x, y) = |x| + |y| (DS u(0, 0) = 4R ) π http://tieulun.hopto.org 326 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ u(x, y) = + 3y (DS u(0, 0) = 2) Gia’i b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on x2 + y R2 nˆe´u cho c´ac `eu kiˆe.n biˆen du.´o.i dˆay (10-11): diˆ 3x 3x (DS u(r, ϕ) = r cos ϕ = ) 10 u r=R = R R R 11 u r=R = − 5y (DS u = − 5y = − 5r sin ϕ) http://tieulun.hopto.org T` liˆ e.u tham kha’o [1] R Ph Apatenok Co so’ Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh, Minsk, 1977 (tiˆe´ng Nga) [2] Ia S Bugrov, S M Nikolski Co so’ Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh v` a H`ınh ho.c gia’i t´ıch, M 1988 (tiˆe´ng Nga) [3] Ia S Bugrow, S, M Nikolski B` tˆ a.p To´ an cao cˆ a´p, M 1987 (tiˆe´ng Nga) [4] P E Danko v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p T1, H`a Nˆo.i 1983 [5] V˜ u V˘an Khu.o.ng Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh, H`a Nˆo.i 2002 an [6] M L Krasnov v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p phu.o.ng tr`ınh vi phˆ thu ` o ng, M 1978 (tiˆe´ng Nga) [7] L D Kudriasev v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p gia’i t´ıch T1, 2, M 1985 (tiˆe´ng Nga) [8] L Ia Okunev B` tˆ a.p da.i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1964 (tiˆe´ng Nga) [9] L B Sneperman B` tˆ a.p da.i sˆ o´ v` a l´y thuyˆe´t sˆ o´, Minsk 1982 (tiˆe´ng Nga) [10] V S Sipatchev B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p, M 1997 (tiˆe´ng Nga) http://tieulun.hopto.org 328 T` liˆe.u tham kha’o [11] I Ia Vilenkin v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p gia’i t´ıch, T1, 2, M 1971 (tiˆe´ng Nga) [12] D K Phadeev, I S Sominski B` tˆ a.p da.i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1977 ˜e n Thuy’ Thanh B` [13] Nguyˆ tˆ a.p gia’i t´ıch, NXBGD, H`a Nˆo.i 2002 ˜ ˜e n Thuy’ Thanh, Dˆ˜o D´ ´.ng dˆ a n gia’i b` tˆ a.p gia’i u.c Gi´ao Hu.o [14] Nguyˆ t´ıch to´ an ho.c T1, 2, DHQG H`a Nˆo.i 1999 http://tieulun.hopto.org ... = 2a cos ϕ, − ϕ 2 Vi phˆan dˆo d`ai cung ds = r2 + rϕ dϕ = 4a2 cos2 ϕ + 4a2 sin2 ϕdϕ = 2adϕ Do d´o π /2 I= (x − y)ds = L (2a cos ϕ) cos ϕ − (2a sin ϕ) sin ϕ 2adϕ −π /2 π /2 = 4a2 cos2 ϕdϕ = 2? ?a2... z = − 3(a2 − x2 − y 2) dˆe´n m˘a.t biˆen trˆen 3(a2 − x2 − y 2) z=+ T` u d´o theo ( 12. 17) ta c´o √ 3(a2 −x2 −y ) + I= (x2 + y + z )dz dxdy √ D(x,y) − 3(a2 −x2 −y ) √ = 2a2 a2 − x2 − y 2dxdy =... 2) dxdydz; z = x2 + y 2, z = 20 (DS π ) D x2 + y + z dxdydz; x2 + y + z 21 R2 (DS πR4 ) D 22 z x2 + y 2dxdydz; x2 + y = 2x, y = 0, z = 0, z = D (DS 8) zdxdydz; x2 + y + z 23 R2 , x 0, y 0, z