1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 2

212 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 212
Dung lượng 4,15 MB

Nội dung

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3) tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Tích phân hàm nhiều biến; Lý thuyết chuỗi; Phương trình vi phân; Khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chu.o.ng 12 `eu biˆ T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 118 `en ch˜ o.ng ho p miˆ u nhˆ a.t 118 12.1.1 Tru.` `en cong 118 o.ng ho p miˆ 12.1.2 Tru.` 12.1.3 Mˆ o.t v` u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 121 12.2 T´ıch phˆ an 3-l´ o.p 133 `en h`ınh hˆ o.ng ho p miˆ o.p 133 12.2.1 Tru.` `en cong 134 o.ng ho p miˆ 12.2.2 Tru.` 12.2.3 136 12.2.4 Nhˆ a.n x´et chung 136 o.ng 144 12.3 T´ıch phˆ an d u.` 12.3.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144 o.ng 146 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆ an du.` 12.4 T´ıch phˆ an m˘ a.t 158 12.4.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158 ap t´ınh t´ıch phˆ an m˘ a.t 160 12.4.2 Phu.o.ng ph´ http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 118 12.4.3 Cˆ ong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 162 12.4.4 Cˆ ong th´ u.c Stokes 162 12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 12.1.1 `en ch˜ o.ng ho p miˆ u nhˆ a.t Tru.` Gia’ su’ D = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a x b, c y d} `en D Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p cu’a v`a h`am f(x, y) liˆen tu.c miˆ `en ch˜ h`am f (x, y) theo miˆ u nhˆa.t D = {(x, y) : a x b; c y d} u.c du.o c t´ınh theo cˆong th´ b f(M)dxdy = d dx a D f (M)dy; c d f(M)dxdy = D (12.1) b dy c f (M)dx, M = (x, y) (12.2) a `au tiˆen t´ınh t´ıch phˆan I(x) theo y xem x l`a h˘`ang Trong (12.1): dˆ sˆo´, sau d´o t´ıch phˆan kˆe´t qua’ thu du.o c I(x) theo x Dˆo´i v´o.i (12.2) ta c˜ ung tiˆe´n h`anh tu.o ng tu nhu.ng theo th´ u tu ngu.o c la.i 12.1.2 `en cong Tru.` o.ng ho p miˆ `en bi ch˘a.n Gia’ su’ h`am f (x, y) liˆen tu.c miˆ D = {(x, y) : a x b; ϕ1(x) y ϕ2 (x)} http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 119 d´o y = ϕ1 (x) l`a biˆen du.´o.i, y = ϕ2(x) l`a biˆen trˆen, ho˘a.c D = {(x, y) : c y d; g1 (y) x g2 (y)} d´o x = g1 (y) l`a biˆen tr´ai c`on x = g2 (y) l`a biˆen pha’i, o’ dˆay `eu liˆen tu.c c´ac khoa’ng ta luˆon gia’ thiˆe´t c´ac h`am ϕ1, ϕ2 , g1 , g2 dˆ `en D luˆon luˆon tˆ `on ta.i tu.o.ng u ´.ng Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p theo miˆ Dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan 2-l´o p ta c´o thˆe’ ´ap du.ng mˆo.t hai phu.o.ng ph´ap sau `e viˆe.c du.a t´ıch 1+ Phu.o.ng ph´ap Fubini du a trˆen di.nh l´ y Fubini vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p Phu.o.ng ph´ap n`ay cho ph´ep ta du.a t´ıch phˆan 2-l´o.p vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p theo hai th´ phˆan 2-l´o.p vˆ u tu kh´ac nhau: b ϕ2 (x) f (M)dxdy = f(M)dy dx = a D g2 (y) f (M)dxdy = g1 (y) f (M)dy, (12.3) ϕ1 (x) g2 (y) d f(M)dx dy = c D dx a ϕ1 (x) d ϕ2 (x) b dy c f (M)dx (12.4) g1 (y) a.n cu’a c´ ac t´ıch phˆ an biˆe´n thiˆen T` u (12.3) v`a (12.4) suy r˘a`ng cˆ v` a phu thuˆ o.c v` ao biˆe´n m` a t´ınh t´ıch phˆ an trong, n´ o du.o c xem l` a ` khˆ ong dˆ o’i Cˆ a.n cu’a t´ıch phˆ an ngo` luˆ on luˆ on l` a h˘ ang sˆ o´ `an biˆen du.´o.i Nˆe´u cˆong th´ u.c (12.3) (tu.o.ng u ´.ng: (12.4)) phˆ `an biˆen trˆen (tu.o.ng u `an biˆen tr´ai hay pha’i) gˆ `om t` hay phˆ ´.ng: phˆ u mˆo.t `an v`a mˆ˜o i phˆ `an c´o phu.o.ng tr`ınh riˆeng th`ı miˆ `en D cˆ `an chia th`anh sˆo´ phˆ `en bo’.i c´ac du.`o.ng th˘a’ng song song v´o.i tru.c Oy (tu.o.ng nh˜ u.ng miˆ `en d´o c´ac phˆ `an biˆen u ´.ng: song song v´o.i tru.c Ox) cho mˆo˜ i miˆ `an biˆen tr´ai, pha’i) dˆ `eu chı’ du.o c biˆe’u du.´o.i hay trˆen (tu.o.ng u ´.ng: phˆ ˜e n bo’.i mˆo.t phu.o.ng tr`ınh diˆ 2+ Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n Ph´ep dˆo’i biˆe´n t´ıch phˆan 2-l´o.p du.o c thu c hiˆe.n theo cˆong th´ u.c D(x, y) dudv (12.5) f(M)dxdy = f[ϕ(u, v), ψ(u, v)] D(u, v) D D∗ http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 120 `en biˆe´n thiˆen cu’a to.a dˆo cong (u, v) tu.o.ng u ´.ng d´o D∗ l`a miˆ c´ac diˆe’m (x, y) biˆe´n thiˆen D: x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v); (u, v) ∈ D∗ , (x, y) ∈ D; c`on ∂x D(x, y) = ∂u J= ∂y D(u, v) ∂u ∂x ∂v = ∂y ∂v (12.6) l`a Jacobiˆen cu’a c´ac h`am x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) To.a dˆo cong thu.`o.ng d` ung ho.n ca’ l`a to.a dˆo cu c (r, ϕ) Ch´ ung liˆen hˆe v´o.i to.a dˆo Dˆecac bo’.i c´ac hˆe th´ u.c x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r < +∞, ϕ < 2π T` u (12.6) suy J = r v`a to.a dˆo cu c (12.5) c´o da.ng f(M )dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ (12.7) D∗ D K´ y hiˆe.u vˆe´ pha’i cu’a (12.7) l`a I(D∗) C´o c´ac tru.`o.ng ho p cu thˆe’ sau dˆay (i) Nˆe´u cu c cu’a hˆe to.a dˆo cu c n˘`am ngo`ai D th`ı r2 (ϕ) ϕ2 I(D∗ ) = dϕ ϕ1 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.8) r1 (ϕ) u cu c c˘a´t biˆen ∂D (ii) Nˆe´u cu c n˘a`m D v`a mˆo˜ i tia di t` khˆong qu´a mˆo.t diˆe’m th`ı r(ϕ) 2π I(D∗ ) = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.9) (iii) Nˆe´u cu c n˘`am trˆen biˆen ∂D cu’a D th`ı r(ϕ) ϕ2 ∗ I(D ) = dϕ ϕ1 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (12.10) http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 12.1.3 121 Mˆ o.t v` u ´.ng du.ng h`ınh ho.c `en ph˘a’ng D du.o c t´ınh theo cˆong th´ u.c 1+ Diˆe.n t´ıch SD cu’a miˆ SD = dxdy ⇒ SD = rdrdϕ (12.11) D∗ D `en D (thuˆo.c u.ng c´o d´ay l`a miˆ 2+ Thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ h`ınh tru th˘a’ng d´ m˘a.t ph˘a’ng Oxy) v`a gi´o.i ha.n ph´ıa trˆen bo’.i m˘a.t z = f (x, y) > du.o c t´ınh theo cˆong th´ u.c V = f (x, y)dxdy (12.12) D 3+ Nˆe´u m˘a.t (σ) du.o c cho bo’.i phu.o.ng tr`ınh z = f (x, y) th`ı diˆe.n ˜e n bo’.i t´ıch phˆan 2-l´o.p t´ıch cu’a n´o du.o c biˆe’u diˆ + (fx )2 + (fy )2dxdy, Sσ = (12.13) D(x,y) d´o D(x, y) l`a h`ınh chiˆe´u vuˆong g´oc cu’a m˘a.t (σ) lˆen m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo Oxy ´ V´I DU CAC V´ı du T´ınh t´ıch phˆan xydxdy, D = {(x, y) : x 2; y 2} D Gia’i Theo cˆong th´ u.c (12.2): xydxdy = D dy xydx http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 122 T´ınh t´ıch phˆan (xem y l`a khˆong dˆo’i) ta c´o xydx = y I(x) = x2 2 1 = 2y − y Bˆay gi`o t´ınh t´ıch phˆan ngo`ai: 2y − y dy = · xydxdy = D xydxdy nˆe´u D du.o c gi´o.i ha.n bo’.i c´ac V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D du.`o.ng cong y = x − 4, y = 2x Gia’i B˘`ang c´ach du ng c´ac du.`o.ng gi˜ u.a c´ac giao diˆe’m A(8, 4) v`a `en lˆa´y t´ıch phˆan D B(2, −2) cu’a ch´ ung, ba.n do.c s˜e thu du.o c miˆ `au tiˆen lˆa´y t´ıch phˆan theo x v`a tiˆe´p dˆe´n lˆa´y t´ıch phˆan theo Nˆe´u dˆ ˜e n bo’.i mˆo.t t´ıch phˆan bˆo.i `en D du.o c biˆe’u diˆ y th`ı t´ıch phˆan theo miˆ y4 I= xydxdy = ydy −2 D xdx, y /2 `en D lˆen tru.c Oy T` u d´o d´o doa.n [−2, 4] l`a h`ınh chiˆe´u cu’a miˆ I= x2 y y4 y /2 dy = −2 y (y + 4)2 − y4 dy = 90 −2 `au tiˆen theo y, sau d´o theo Nˆe´u t´ınh t´ıch phˆan theo th´ u tu kh´ac: dˆ `an chia miˆ `en D th`anh hai miˆ `en bo’.i du.`o.ng th˘a’ng qua B v`a x th`ı cˆ song song v´o.i tru.c Oy v`a thu du.o c √ I= + D1 = xdx ydy + √ − 2x D2 √ 2x xdx · + xdx 2 = 2x y2 x ydy x−4 √ 2x dx = 90 x−4 http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 123 Nhu vˆa.y t´ıch phˆan 2-l´o.p d˜a cho khˆong phu thuˆo.c th´ u tu t´ınh t´ıch `an cho.n mˆo.t th´ phˆan Do vˆa.y, cˆ u tu t´ıch phˆan dˆe’ khˆong pha’i chia `en miˆ `en D du.o c (y − x)dxdy d´o miˆ V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D gi´o.i ha.n bo’.i c´ac du.`o.ng th˘a’ng y = x + 1, y = x − 3, y = − x + , 3 y = − x + Gia’i Dˆe’ tr´anh su ph´ u.c ta.p, ta su’ du.ng ph´ep dˆo’i biˆe´n u = −y − x; u.c (12.5) Qua ph´ep dˆo’i biˆe´n d˜a cho.n, v = y + x v`a ´ap du.ng cˆong th´ du.`o.ng th˘a’ng y = x + biˆe´n th`anh du.`o.ng th˘a’ng u = 1; c`on y = x − biˆe´n th`anh u = −3 m˘a.t ph˘a’ng Ouv; tu.o.ng tu , c´ac du.`o.ng th˘a’ng 7 y = − x + , y = − x + biˆe´n th`anh c´ac du.`o.ng th˘a’ng v = , v = 3 3 ∗ ∗ ˜e d`ang thˆa´y `en D = [−3, 1] × , Dˆ `en D tro’ th`anh miˆ Do d´o miˆ D(x, y) r˘`ang = − Do d´o theo cˆong th´ u.c (12.5): D(u, v) u+ v − 4 (y − x)dxdy = 3 − u+ v 4 dudv D∗ D ududv = = D∗ udu = −8 dv 7/3 −3 Nhˆ a.n x´et Ph´ep dˆo’i biˆe´n t´ıch phˆan hai l´o.p nh˘`am mu.c d´ıch `en lˆa´y t´ıch phˆan C´o thˆe’ l´ do.n gia’n h´oa miˆ uc d´o h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan tro’ nˆen ph´ u.c ta.p ho.n (x2 + y 2)dxdy, d´o D l`a h`ınh tr`on V´ı du T´ınh t´ıch phˆan D gi´o.i ha.n bo’.i du.`o.ng tr`on x2 + y = 2x u.c (12.7) Gia’i Ta chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c v`a ´ap du.ng cˆong th´ Cˆong th´ u.c liˆen hˆe (x, y) v´o.i to.a dˆo cu c (r, ϕ) v´o.i cu c ta.i diˆe’m O(0, 0) http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 124 c´o da.ng x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (12.14) Thˆe´ (12.14) v`ao phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on ta thu du.o c r2 = 2r cos ϕ ⇒ r = ho˘a.c r = cos ϕ (dˆay l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on to.a dˆo cu c) Khi d´o D∗ = (r, ϕ) : − π π ,0 ϕ r cos ϕ T` u d´o thu du.o c π/2 I= (x + y )dxdy = r drdϕ = D∗ D π/2 r3 dr dϕ −π/2 π/2 r4 = cos ϕ cos ϕ cos4 ϕf ϕ = dϕ = −π/2 3π · −π/2 Nhˆ a.n x´et Nˆe´u lˆa´y cu c ta.i tˆam h`ınh tr`on th`ı x − = r cos ϕ y = r sin ϕ D∗ = (r, ϕ) : r 1, ϕ 2π} v`a x2 + y = + 2r cos ϕ + r2 nˆen r(1 + 2r cos ϕ + r2 )drdϕ I= D∗ 2π (r + 2r2 cos ϕ + r3 )dr = dϕ = 3π · V´ı du T´ınh thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ T gi´o.i ha.n bo’.i paraboloid z = x2 + y 2, m˘a.t tru y = x2 v`a c´ac m˘a.t ph˘a’ng y = 1, z = http://tieulun.hopto.org 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 125 Gia’i H`ınh chiˆe´u cu’a vˆa.t thˆe’ T lˆen m˘a.t ph˘a’ng Oxy l`a D(x, y) = (x, y) : −1 x 1, x2 y Do d´o ´ap du.ng (12.12) ta c´o zdxdy = V (T ) = D(x,y) (x + y )dxdy = x2 y + = y3 x2 dx = (x2 + y 2)dy dx −1 D(x,y) 1 x2 88 · 105 −1 `au b´an k´ınh R v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo V´ı du T`ım diˆe.n t´ıch m˘a.t cˆ `au d˜a cho c´o da.ng Gia’i Phu.o.ng tr`ınh m˘a.t cˆ x2 + y + z = R2 `au l`a Do d´o phu.o.ng tr`ınh nu’.a trˆen m˘a.t cˆ R2 − x2 − y z= u.ng nˆen ta chı’ t´ınh diˆe.n t´ıch nu’.a trˆen l`a du’ Ta c´o Do t´ınh dˆo´i x´ ds = + zx2 + zy dxdy = Rdxdy R2 − x2 − y `en lˆa´y t´ıch phˆan D(x, y) = {(x, y) : x2 + y Miˆ · R2 } Do d´o x = r cos ϕ dxdy = y = r sin ϕ R2 − x2 − y J =r R S=2 D(x,y) 2π = 2R R rdr √ R2 − r2 dϕ 0 √ = 4πR − R2 − r2 R = 4πR2 http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n Chu.o.ng 12 T´ıch phˆan h`am nhiˆ 126 `an m˘a.t tru x2 = 2z gi´o.i ha.n bo’.i giao V´ı du T´ınh diˆe.n t´ıch phˆ √ tuyˆe´n cu’a m˘a.t tru d´o v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng x − 2y = 0, y = 2x, x = 2 ˜e thˆa´y r˘a`ng h`ınh chiˆe´u cu’a phˆ `an m˘a.t d˜a nˆeu l`a tam gi´ac Gia’i Dˆ v´o i c´ac ca.nh n˘a`m trˆen giao tuyˆe´n cu’a m˘a.t ph˘a’ng Oxy v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng d˜a cho x2 T` u phu.o.ng tr`ınh m˘a.t tru ta c´o z = , vˆa.y ∂z = x, ∂x √ ∂z = → dS = + x2dxdy ∂y T` u d´o suy r˘a`ng √ 2 √ + x2dx S= √ 2 2x √ x + x2dx = 13 dy = x/2 ` TA ˆ P BAI T`ım cˆa.n cu’a t´ıch phˆan hai l´o.p `en D gi´o.i f (x, y)dxdy theo miˆ D ha.n bo’.i c´ac du.`o.ng d˜a chı’ (Dˆe’ ng˘´an go.n ta k´ y hiˆe.u f (x, y) = f (−)) x = 3, x = 5, 3x − 2y + = 0, 3x − 2y + = 3x+4 5 (DS dx f (−)dy) 3x+1 x = 0, y = 0, x + y = 2 (DS 2−x dx f (−)dy) http://tieulun.hopto.org 314 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `en nhiˆe.t 2+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ ∂u ∂ 2u = a2 · ∂t ∂x + Phu o ng tr`ınh Laplace ∂ 2u ∂ 2u + = ∂x2 ∂y (15.8) (15.9) Thˆong thu.`o.ng ngu.`o.i ta khˆong t`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at m`a l`a t`ım `eu kiˆe.n n`ao d´o go.i nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh tho’a m˜an nh˜ u.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen v`a diˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au l`a diˆ 15.3.1 `en s´ ong Phu.o.ng tr`ınh truyˆ B` to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh (15.7) tho’a `eu kiˆe.n biˆen v`a diˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au sau: m˜an c´ac diˆ `eu kiˆe.n biˆen: (1) u(0, t) = 0; (2) u( , t) = i) Diˆ ∂u(x, 0) `eu kiˆe.n ban dˆ `au: (1) u(x, 0) = ϕ1 (x); (2) = ϕ2(x) ii) Diˆ ∂t ´ du.ng phu.o.ng ph´ap Fourier dˆ `au tiˆen ta t`ım nghiˆe.m riˆeng Gia’i Ap cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho du.´o.i da.ng t´ıch hai h`am m`a mˆo.t h`am chı’ phu thuˆo.c x, c`on h`am chı’ phu thuˆo.c t: u(x, t) = X(t)T (t) (15.10) Thay u(x, t) v`ao phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta thu du.o c T X = · (15.11) X aT Vˆe´ tr´ai cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c t, vˆe´ pha’i khˆong phu thuˆo.c x `eu d´o chı’ xˆa’y ca’ hai vˆe´ cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c ca’ x lˆa˜ n Diˆ t t´ u.c l`a b˘`ang mˆo.t h˘a`ng sˆo´ K´ y hiˆe.u h˘a`ng sˆo´ d´o l`a −λ2 Ta thu du.o c XT − a2T X = → X = −λ2 ⇒ X + λ2 X = ⇒ X = A cos λx + B sin λx, (15.12) X T = −λ2 ⇒ T + a2λ2 T = ⇒ T = C cos aλt + D sin aλt, a2T (15.13) http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 315 uy y ´ T` u (15.12), (15.13) v`a d´o A, B, C, D l`a nh˜ u.ng h˘a`ng sˆo´ t` (15.10) suy r˘a`ng u(x, t) = (A cos λx + B sin λx)(C cos aλt + D sin aλt) (15.14) ´ du.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen Ap u(0, t) = 0, u( , t) = cho (15.14) v`a sau d˜a do.n gia’n cho T (t) ≡ ta c´o = A cos + B sin ⇒ A = 0, = A cos λ + B sin λ ⇒ sin λ = (v`ı B = A = 0) nπ , n = 1, 2, l`a tham sˆo´ t` uy T` u d´o ta x´ac di.nh du.o c tham sˆo´ λ = y ´ Lu.u y ´ r˘`ang nˆe´u (15.12) v`a (15.13) thay cho −λ2 ta lˆa´y +λ2 `eu kiˆe.n i) v`a th`ı X = Ae−λx + Beλx v`a dˆo´i v´o.i h`am X da.ng n`ay c´ac diˆ ii) chı’ du o c tho’a m˜an X ≡ `eu tu.o.ng u ´.ng v´o.i nghiˆe.m riˆeng Nhu vˆa.y mˆ˜o i gi´a tri λ (hay n) dˆ da.ng un = Xn Tn = αn cos anπt + βn sin anπt sin nπx uy y ´ d´o αn = Bn Cn , βn = Bn Dn l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t` `an nhˆa´t nˆen tˆo’ng c´ac V`ı phu.o.ng tr`ınh d˜a cho l`a tuyˆe´n t´ınh v`a thuˆ nghiˆe.m c˜ ung l`a nghiˆe.m Do d´o tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i u(x, t) = αn cos un = n anπt + βn sin anπt sin nπx n (15.15) `eu kiˆe.n c˜ ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho v`a n´o tho’a m˜an c´ac diˆ biˆen http://tieulun.hopto.org 316 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `eu kiˆe.n ban dˆ `au: Dˆe’ x´ac di.nh αn v`a βn ta s˜e ´ap du.ng c´ac diˆ t = th`ı u(x, t) = ϕ1(x) nˆen ∞ ϕ1 (x) = αn sin nπx (15.16) n=1 T` u (15.15) ta c`on c´o ∂u = ∂t anπ βn cos anπt − αn sin anπt sin nπx n `eu kiˆe.n ut(x, 0) = ϕ2(x) nˆen v`a diˆ anπ ϕ2 (x) = βn sin nπx · (15.17) n C´ac d˘a’ng th´ u.c (15.16) v`a (15.17) l`a khai triˆe’n cu’a c´ac h`am ϕ1 (x) v`a ϕ2 (x) th`anh chuˆo˜ i Fourier khoa’ng (0, ) C´ac khai triˆe’n n`ay chı’ u.c ch´ u.a h`am sin C´ac hˆe sˆo´ cu’a khai triˆe’n du.o c t´ınh theo cˆong th´ αn = ϕ1 (x) sin nπx dx; βn = naπ ϕ2 (x) sin nπx dx (15.18) `eu kiˆe.n d˜a nˆeu l`a h`am Nhu vˆa.y nghiˆe.m riˆeng tho’a m˜an c´ac diˆ (15.15) v´o i c´ac hˆe sˆo´ αn v`a βn du o c t´ınh theo cˆong th´ u.c (15.18) ` TA ˆP BAI T`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ∂ 2u 2∂ u = a ∂t2 ∂x2 (15.19) `eu kiˆe.n ban dˆ `au v`a diˆ `eu kiˆe.n biˆen tho’a m˜an c´ac diˆ http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 317 `eu kiˆe.n ban dˆ `au (i) C´ac diˆ   x v´o.i u(x, 0) = f(x) =  − (x − ) v´o.i ∂u(x, 0) = ϕ(x) = ∂t x , x `eu kiˆe.n biˆen u(0, t) = 0, u( , t) = (ii) C´ac diˆ (DS u(x, t) = 5π (−1)n−1 n πnx πant sin ) cos (2n − 1) ∂u(x, 0) = 1; (i) u(x, 0) = 0, ∂t (ii) u(0, t) = u( , t) = (DS u(x, t) = π2a n 1 (2n − 1)πx 2n − πat sin ) sin (2n − 1)2 C˜ ung ho’i nhu trˆen dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh ∂ 2u ∂ 2u = ∂t2 ∂x2 `eu kiˆe.n: v`a c´ac diˆ 4πx , ut(x, 0) = 0; (i) u(x, 0) = sin (ii) u(0, t) = 0, u(3, t) = (DS u(x, t) = cos 15.3.2 4πx 8πt sin ) 3 `en nhiˆ e.t Phu.o.ng tr`ınh truyˆ B` to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ∂u ∂ 2u = a2 ∂t ∂x http://tieulun.hopto.org 318 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ `eu kiˆe.n tho’a m˜an c´ac diˆ 1) u(x, 0) = ϕ(x) 2) u(0, t) = u( , t) = ´ du.ng phu.o.ng ph´ap Fourier, ta d˘a.t Gia’i Ap u(x, t) = X(x)T (t) v`a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho tro’ th`anh T X = = −λ2 X aT v`a thu du.o c hai phu.o.ng tr`ınh X + λ2 X = ⇒ X = A cos λx + B sin λx, T + a2λ2 T = ⇒ T = Ce−a λ2 t Do d´o u(x, t) = e−a λ2 t α cos λx + β sin λx d´o α = AC, β = BC l`a nh˜ uy y ´ u.ng h˘`ang sˆo´ t` ´ du.ng diˆ `eu kiˆe.n 2) ta c´o Ap = α cos + β sin nπ ⇒ α = 0, λ = , n = 1, 2, 3, = α cos λ + β sin λ C˜ ung nhu 1+ , mˆo˜ i gi´a tri λ (hay n) tu.o.ng u ´.ng v´o.i nghiˆe.m riˆeng un = βn e− a2 n2 π t sin nπx v`a tˆo’ng cu’a ch´ ung c˜ ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh βn e− u(x, t) = a2 n2 π t sin πnx · (15.20) n http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 319 `eu kiˆe.n 1) ta c´o: u(x, 0) = ϕ(x): Bˆay gi`o ´ap du.ng diˆ nπx ϕ(x) = · βn sin n D´o l`a khai triˆe’n Fourier cu’a h`am ϕ(x) khoa’ng (0, ) Do d´o ta c´o βn = ϕ(x) sin nπx dx (15.21) Nhu vˆa.y tˆo’ng chuˆo˜ i (15.20) v´o.i hˆe sˆo´ t´ınh theo vˆong th´ u.c (15.21) l`a `eu kiˆe.n d˜a cho nghiˆe.m riˆeng tho’a m˜an c´ac diˆ ` TA ˆ P BAI Gia’i phu.o.ng tr`ınh ∂u ∂ 2u = a2 ∂t  ∂x  x v´o.i u(x, 0) =   − x v´o.i u(0, t) = u( , t) = (DS u = π2 (−1)n−1 n (15.22) x x , ; π a2 (2n−1)2 π(2n−1) − t x e sin ) (2n − 1) `eu kiˆe.n Gia’i phu.o.ng tr`ınh (15.22) v´o.i c´ac diˆ u(x, 0) = f(x); u(0, t) = A, u( , t) = B; A, B − const ˜ Chı’ dˆ a n Du.a v`ao ˆa’n h`am m´o.i v(x, t) = u(x, t) − B−A x − A http://tieulun.hopto.org 320 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ ∂v 2∂ v `eu kiˆe.n v(0, t) = 0, ’ =a Khi d´o (15.22) tro th`anh v´o.i c´ac diˆ ∂t ∂x2 B−A B−A x − A = f (x) − x−A = v( , t) = 0, v(x, 0) = u(x, 0) − g(x) D´o l`a b`ai to´an d˜a biˆe´t c´ach gia’i ∂u ∂ u `eu = T`ım nghiˆe.m u(x, y) cu’a phu.o.ng tr`ınh tho’a m˜an c´ac diˆ ∂y ∂x2 `eu kiˆe.n ban dˆ `au u(x, 0) = sin 2x kiˆe.n biˆen u(0, y) = u(π, y) = v`a diˆ (DS u(x, y) = 3e−4y sin 2x) 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace `eu h`oa miˆ `en ph˘a’ng D nˆe´u n´o H`am u(x, y) du.o c go.i l`a h`am diˆ c´o c´ac da.o h`am riˆeng liˆen tu.c cˆa´p trˆen D v`a trˆen D n´o tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ∆u ≡ ∂ 2u ∂ 2u + = ∂x2 ∂y (15.23) `eu h`oa - ch´ınh l`a tˆa.p ho p mo.i nghiˆe.m cu’a Tˆa.p ho p c´ac h`am diˆ phu.o.ng tr`ınh Laplace C˜ ung nhu dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng, dˆe’ t´ach mˆo.t nghiˆe.m x´ac di.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace ngu.`o.i `eu kiˆe.n bˆo’ sung Dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh Laplace ta pha’i cho nh˜ u.ng diˆ `eu kiˆe.n bˆo’ sung d´o du.o c ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng diˆ `eu kiˆe.n biˆen, nh˜ u.ng diˆ `an t`ım pha’i tho’a m˜an trˆen biˆen t´ u c l`a cho nh˜ u ng hˆe th´ u c m`a nghiˆe.m cˆ `eu kiˆe.n n gia’n nhˆ `eu h`oa Diˆ a´t sˆo´ d´o l`a cho gi´a tri cu’a h`am diˆ `an t`ım ta.i mˆ˜o i diˆe’m biˆen cu’a miˆ `en Ngu.`o.i ta go.i b`ai to´an n`ay l`a b`ai cˆ to´an biˆen th´ u nhˆa´t hay b`ai to´an Dirichlet B`ai to´an biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace du.o c d˘a.t nhu sau Gia’ `en D ⊂ R2 v´o.i biˆen ∂D l`a du.`o.ng cong d´ong H˜ay t`ım h`am su’ miˆ u(x, y) liˆen tu.c D = D ∪ ∂D cho a) Tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh Laplace D `eu kiˆe.n biˆen b) Tho’a m˜an diˆ u(x, y) (x,y)∈∂D = f (x, y), http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 321 d´o f(x, y) l`a h`am du.o c cho trˆen biˆen ∂D B`ai to´an v` u.a nˆeu c`on du.o c go.i l`a b`ai to´an Dirichlet Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta chı’ x´et b` to´ an Dirichlet dˆ on o´i v´ o.i h`ınh tr` `e Trong to.a dˆ o Bˆ o’ dˆ o cu c (r, ϕ) phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) c´ da.ng ∂ 2u ∂ 2u ∂u = + + ∂r2 r2 ∂ϕ2 r ∂r (15.24) L`o.i gia’i cu’a b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on (c˜ ung t´ u.c l`a l`o.i `eu kiˆe.n biˆen gia’i cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) hay (15.24)) v´o.i diˆ cho tru o´ c du o c mˆo ta’ di.nh l´ y sau dˆay - i.nh l´ a h`ınh tr` on do.n vi mo’ v´ o.i tˆ am ta.i gˆ o´c to.a dˆ o v` a D y Gia’ su’ S l` `an ho` gia’ su’ trˆen biˆen ∂S cho h` am 2π-tuˆ an liˆen tu.c f (θ), d´ oθ l` a g´ oc cu c cu’a c´ ac diˆe’m biˆen cu’a ∂D `en S = S + ∂S tˆ `on ta.i h` o miˆ am nhˆ a´t u(x, y) liˆen Khi d´ `eu h` tu.c trˆen S v` a diˆ oa trˆen S cho u(x, y) (x,y)∈∂S = f (θ) Trong ˜e n du.o c du.´ ˜i to.a dˆ am u(r, θ) biˆe’u diˆ o.i da.ng chuˆ o o cu c (r, θ) h` u(r, θ) = a0 + n rn (an cos nθ + bn sin nθ) d´ o π an = π bn f(θ) cos nθ dθ, sin nθ n = 0, 1, 2, −π l` a c´ ac hˆe sˆ o´ Fourier cu’a h` am f(θ) `eu h`oa c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a tho’a m˜an Di.nh l´y vˆ `e gi´ a tri H`am diˆ trung b`ınh - i.nh l´ ong tˆ am O(0, 0) D y Nˆe´u h` am u(x, y) liˆen tu.c h`ınh tr` on d´ `eu h` v` a b´ an k´ınh R v` a diˆ oa h`ınh tr` on d´ o th`ı gi´ a tri cu’a h` am http://tieulun.hopto.org 322 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ ` u(x, y) ta.i tˆ am h`ınh tr` on b˘ ang trung b`ınh cˆ o.ng c´ ac gi´ a tri cu’a n´ o trˆen du ` o ng tr` on, t´ u c l` a u(0, 0) = 2πR u(x, y)ds x2 +y =R2 V´ı du Ch´ u.ng to’ r˘a`ng h`am u(x, y) = a(x2 − y ) + bxy d´o a, b `eu h`oa l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t` uy y ´, l`a h`am diˆ Gia’i Ta c´o ∂u = 2ax + by, ∂x ∂u = −2ay + bx, ∂y  ∂ 2u  = 2a;   ∂x2 ⇒ ∆u = ∂ 2u   = −2a ∂y `e V´ı du Ch´ u.ng minh Bˆo’ dˆ Gia’i X´et u(x, y) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) Ta c´o  ∂u ∂u ∂u   = cos ϕ + sin ϕ ,  ∂r ∂x ∂y ⇒ ∂u ∂u ∂u   = −r sin ϕ + r cos ϕ  ∂ϕ ∂x ∂y ∂u ∂u sin ϕ ∂u = cos ϕ − , ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u cos ϕ ∂u ∂u = sin ϕ + · ∂y ∂r r ∂ϕ (15.25) http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 323 ∂ 2u ∂ 2u ´ ’ v`a Ta c´o Ap du.ng (15.25) dˆe t´ınh ∂x2 ∂y ∂u sin ϕ ∂u sin ϕ ∂ ∂u sin ϕ ∂u ∂ ∂ 2u cos ϕ − − cos ϕ − = cos ϕ ∂x2 ∂r ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r r ∂ϕ 2 2 sin ϕ ∂ u ∂ u sin ϕ cos ϕ ∂ u = cos2 ϕ − + ∂r r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ2 2 sin ϕ cos ϕ ∂u sin ϕ ∂u + + r2 ∂ϕ r ∂r 2 cos2 ϕ ∂ 2u sin ϕ cos ϕ ∂ 2u ∂ u ∂ u + = sin ϕ + ∂y ∂r2 r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ2 sin ϕ cos ϕ ∂u cos2 ϕ ∂u + · − r2 ∂ϕ r ∂r T` u d´o suy r˘`ang ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂ 2u ∂ 2u + + = + · ∂x2 ∂y ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 `eu h`oa u(x, y) ta.i tˆam h`ınh tr`on V´ı du H˜ay t`ım gi´a tri cu’a h`am diˆ 2 ´ x +y R nˆeu u(x, y) x2 +y =R2 = xy + x − ´ du.ng di.nh l´ Gia’i Ap y trung b`ınh d˜a ph´at biˆe’u o’ trˆen ta c´o u(0, 0) = 2πR u(x, y)ds x2 +y =R2 Chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c: x = R cos ϕ, y = R sin ϕ ta thu du.o c u x2 +y =R2 = f(ϕ); ds = Rdϕ v`a d´o 2π u(0, 0) = 2π f (ϕ)dϕ http://tieulun.hopto.org 324 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ Theo gia’ thiˆe´t f (ϕ) = R cos ϕ · R sin ϕ + R cos ϕ − = R2 sin 2ϕ + R cos ϕ − v`a d´o 2π R2 sin 2ϕ + R cos ϕ − dϕ u(0, 0) = 2π R2 2π − cos 2ϕ + R sin ϕ − ϕ = −1 = 2π `eu h`oa h`ınh tr`on x2 + y < R2 v`a V´ı du T`ım h`am u(x, y) diˆ trˆen biˆen h`ınh tr`on n´o nhˆa.n c´ac gi´a tri u x2 +y2 =R2 = x2 − y + y Gia’i B`ai to´an d˘a.t l`a b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on Chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c ta c´o u x2 +y2 =R2 = u(R, ϕ) = R2 cos2 ϕ − R2 sin2 ϕ + R sin ϕ R (15.26) = R2 cos 2ϕ + sin ϕ Trong l´ y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Laplace ngu.`o.i ta d˜a ch´ u.ng minh `eu h`oa u(r, ϕ) trˆen du.`o.ng tr`on b´an k´ınh r˘`ang nˆe´u gi´a tri cu’a h`am diˆ R c´o khai triˆe’n Fourier da.ng Rn (An cos nϕ + Bn sin nϕ) u(R, ϕ) = f (ϕ) = n th`ı h`ınh tr`on ta c´o rn (An cos nϕ + Bn sin nϕ) u(r, ϕ) = (15.27) n π π A0 = 2π f(ϕ)dϕ, An = πRn −π f (ϕ) cos nϕdϕ, −π π Bn = πRn f (ϕ) sin nϕdϕ −π http://tieulun.hopto.org y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ 325 `eu kiˆe.n biˆen (15.26) thu du.o c T` u diˆ u(R, ϕ) = R2 cos 2ϕ + R sin ϕ n = (R An cos nϕ + Rn Bn sin nϕ) n So s´anh c´ac hˆe sˆo´ cu’a cos 2ϕ v`a sin ϕ ta thu du.o c R2 = R2 A2, R = `eu b˘a`ng Thˆe´ R · B1 Do d´o A2 = 1, B1 = ; tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ c`on la.i dˆ c´ac gi´a tri t`ım du o c n`ay v`ao (15.27) ta thu du o c nghiˆe.m 1 u(r, ϕ) = r2 cos 2ϕ + r sin ϕ = r2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + r sin ϕ 2 1 = x2 − y + y ⇒ u(x, y) = x2 − y + y 2 ` TA ˆP BAI `eu h`oa Ch´ u.ng minh r˘a`ng c´ac h`am d˜a cho l`a nh˜ u.ng h`am diˆ ´ du.ng v´ı du ˜ a n Ap u = ln Chı’ dˆ r u = rn cos nϕ, v = rn sin nϕ u − x3 − 3y 2x u = x+ ˜ x2 + y Chı’ dˆ a n D˘a.t t = x + x2 + y u = arctg yx `eu h`oa u(x, y) ta.i tˆam h`ınh tr`on x2 +y T`ım gi´a tri cu’a h`am diˆ nˆe´u trˆen biˆen h`ınh tr`on n´o nhˆa.n c´ac gi´a tri chı’ ra: R2 y2 (DS u(0, 0) = ) R u(x, y) = R + x (DS u(0, 0) = R) u(x, y) = u(x, y) = |x| + |y| (DS u(0, 0) = 4R ) π http://tieulun.hopto.org 326 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆ u(x, y) = + 3y (DS u(0, 0) = 2) Gia’i b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on x2 + y R2 nˆe´u cho c´ac `eu kiˆe.n biˆen du.´o.i dˆay (10-11): diˆ 3x 3x (DS u(r, ϕ) = r cos ϕ = ) 10 u r=R = R R R 11 u r=R = − 5y (DS u = − 5y = − 5r sin ϕ) http://tieulun.hopto.org T` liˆ e.u tham kha’o [1] R Ph Apatenok Co so’ Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh, Minsk, 1977 (tiˆe´ng Nga) [2] Ia S Bugrov, S M Nikolski Co so’ Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh v` a H`ınh ho.c gia’i t´ıch, M 1988 (tiˆe´ng Nga) [3] Ia S Bugrow, S, M Nikolski B` tˆ a.p To´ an cao cˆ a´p, M 1987 (tiˆe´ng Nga) [4] P E Danko v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p T1, H`a Nˆo.i 1983 [5] V˜ u V˘an Khu.o.ng Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh, H`a Nˆo.i 2002 an [6] M L Krasnov v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p phu.o.ng tr`ınh vi phˆ thu ` o ng, M 1978 (tiˆe´ng Nga) [7] L D Kudriasev v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p gia’i t´ıch T1, 2, M 1985 (tiˆe´ng Nga) [8] L Ia Okunev B` tˆ a.p da.i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1964 (tiˆe´ng Nga) [9] L B Sneperman B` tˆ a.p da.i sˆ o´ v` a l´y thuyˆe´t sˆ o´, Minsk 1982 (tiˆe´ng Nga) [10] V S Sipatchev B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p, M 1997 (tiˆe´ng Nga) http://tieulun.hopto.org 328 T` liˆe.u tham kha’o [11] I Ia Vilenkin v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` tˆ a.p gia’i t´ıch, T1, 2, M 1971 (tiˆe´ng Nga) [12] D K Phadeev, I S Sominski B` tˆ a.p da.i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1977 ˜e n Thuy’ Thanh B` [13] Nguyˆ tˆ a.p gia’i t´ıch, NXBGD, H`a Nˆo.i 2002 ˜ ˜e n Thuy’ Thanh, Dˆ˜o D´ ´.ng dˆ a n gia’i b` tˆ a.p gia’i u.c Gi´ao Hu.o [14] Nguyˆ t´ıch to´ an ho.c T1, 2, DHQG H`a Nˆo.i 1999 http://tieulun.hopto.org ... = 2a cos ϕ, − ϕ 2 Vi phˆan dˆo d`ai cung ds = r2 + rϕ dϕ = 4a2 cos2 ϕ + 4a2 sin2 ϕdϕ = 2adϕ Do d´o π /2 I= (x − y)ds = L (2a cos ϕ) cos ϕ − (2a sin ϕ) sin ϕ 2adϕ −π /2 π /2 = 4a2 cos2 ϕdϕ = 2? ?a2... z = − 3(a2 − x2 − y 2) dˆe´n m˘a.t biˆen trˆen 3(a2 − x2 − y 2) z=+ T` u d´o theo ( 12. 17) ta c´o √ 3(a2 −x2 −y ) + I= (x2 + y + z )dz dxdy √ D(x,y) − 3(a2 −x2 −y ) √ = 2a2 a2 − x2 − y 2dxdy =... 2) dxdydz; z = x2 + y 2, z = 20 (DS π ) D x2 + y + z dxdydz; x2 + y + z 21 R2 (DS πR4 ) D 22 z x2 + y 2dxdydz; x2 + y = 2x, y = 0, z = 0, z = D (DS 8) zdxdydz; x2 + y + z 23 R2 , x 0, y 0, z

Ngày đăng: 08/12/2022, 09:07

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w