Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 1

Tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2) phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Giới hạn và liên tục của hàm số; Giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm một biến; Hàm liên tục;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ Gi´ o.i ha.n v` 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac `e gi´o.i ha.n di.nh l´ y vˆ `eu 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ y Bolzano-Weierstrass) `eu 7.1.4 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ `an v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ kiˆe.n cˆ y hˆo.i tu 7.2 7.3 7.4 Bolzano-Cauchy) Gi´o i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n `e gi´o.i ha.n y co ba’n vˆ 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´ H`am liˆen tu.c `eu biˆe´n Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ 11 17 25 27 27 41 51 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ e´n 60 - a.o h`am 61 8.1 D - a.o h`am cˆa´p 61 8.1.1 D - a.o h`am cˆa´p cao 62 8.1.2 D 8.2 Vi phˆan 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 75 75 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 8.3 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao `e h`am kha’ vi Quy t˘´ac l’Hospital C´ac di.nh l´ y co ba’n vˆ Cˆong th´ u.c Taylor `e h`am kha’ vi 8.3.1 C´ac d i.nh l´ y co ba’n vˆ 8.3.2 Khu’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘´ac Lˆopitan (L’Hospitale) 8.3.3 Cˆong th´ u.c Taylor `eu biˆ Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ e´n - a.o h`am riˆeng 9.1 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p 9.1.1 D - a.o h`am cu’a h`am ho p 9.1.2 D 9.1.3 H`am kha’ vi - a.o h`am theo hu.´o.ng 9.1.4 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 9.1.5 D `eu biˆe´n 9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p ´ du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆ `an d´ 9.2.2 Ap ung 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 9.2.5 Cˆong th´ u.c Taylor 9.3 9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n `eu biˆe´n Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 9.3.1 Cu c tri `eu kiˆe.n 9.3.2 Cu c tri c´o diˆ 9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ o.i 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆen quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ ha.n o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆ `e gi´ y vˆ o.i ha.n c´ ac di.nh l´ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆ `eu kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyˆen trˆen diˆ Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen Ch´ u.ng minh su hˆ `an v` `eu kiˆe.n cˆ a du’ dˆe’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyˆen diˆ l´ y hˆ o.i tu Bolzano-Cauchy) 25 7.2 am mˆ o.t biˆ e´n 27 Gi´ o.i ha.n h` `e gi´ y co ba’n vˆ o.i ha.n 27 7.2.1 C´ ac kh´ niˆe.m v` a di.nh l´ 7.3 H` am liˆ en tu.c 41 `eu biˆ a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ e´n 51 Gi´ o.i ha.n v` 7.4 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng: a1, a2, , an , (7.1) ho˘a.c {an }, d´o an = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng d˜ay `an lu.u y Ta cˆ ´ c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay: i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | M ; v`a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M ii) Sˆo´ a du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k` y v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c` ung b´e nˆe´u lim an = v`a go.i l`a d˜ay n→∞ vˆo c` ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v`a viˆe´t lim an = ∞ `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n vi) Diˆ Ch´ u ´y: i) Hˆe th´ u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) http://tieulun.hopto.org 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay Hˆe th´ u.c (7.4) ch´ `eu n˘a`m khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan hˆo.i tu dˆ cˆa.n cu’a diˆe’m a Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr` u `eu n˘`am ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k` y b´e bao mˆo.t sˆo´ h˜ u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆ nhiˆeu t` uy y ´ cu’a diˆe’m a ii) Ta lu.u y ´ r˘`ang d˜ay sˆo´ vˆo c` ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´ y hiˆe.u lim an = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c` y hiˆe.u d´o ung l´o n v`a k´ ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n `an tiˆe´n Dˆe’ ch´ u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ h`anh theo c´ac bu ´o c sau dˆay: i) Lˆa.p biˆe’u th´ u.c |an − a| `eu d´o c´o lo i) cho |an − a| bn ∀ n v`a ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆ v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k` y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n: bn < ε (7.5) ˜e d`ang Gia’ su’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε), c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆ `an f (ε) > Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f (ε)], d´o [f (ε)] l`a phˆ nguyˆen cu’a f(ε) ´ V´I DU CAC n V´ı du Gia’ su’ an = n(−1) Ch´ u.ng minh r˘`ang: i) D˜ay an khˆong bi ch˘a.n ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c` ung l´o.n Gia’i i) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi ch˘a.n n v`a l´o.n ho.n M Diˆ http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ ii) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c` ung l´o.n Thˆa.t vˆa.y, ta x´et khoa’ng (−2, 2) Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’ `eu thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta c´o: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u d´o, Nhu vˆa.y kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay T` theo di.nh ngh˜ıa suy an khˆong pha’i l`a vˆo c` ung l´o.n V´ı du D` ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´ u.ng minh r˘`ang: 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 `an ch´ Gia’i Dˆe’ ch´ u.ng minh u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆ r˘a`ng dˆo´i v´o.i mˆ˜o i sˆo´ ε > cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o c sˆo´ N (N phu thuˆo.c ε) cho n > N th`ı suy |an − a| < ε Thˆong thu.`o.ng ta ˜e n N qua ε c´o thˆe’ chı’ cˆong th´ u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆ 1) Ta c´o: |an − 0| = (−1)n−1 = · n n Gia’ su’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t` uy y ´ Khi d´o: 1 · n ε `eu kiˆe.n: V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆ N> 1 ⇒ < ε ε N `an nguyˆen (Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], d´o [1/ε] l`a phˆ cu’a 1/ε) Khi d´o ∀ n N th`ı: |an − 0| = n < ε N http://tieulun.hopto.org 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ (−1)n `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a lim = Diˆ n→∞ n 2) Ta lˆa´y sˆo´ ε > bˆa´t k` y v`a t`ım sˆo´ tu nhiˆen N (ε) cho ∀ n > N (ε) th`ı: n − < ε n+1 Bˆa´t d˘a’ng th´ u.c |an − 1| < ε ⇔ 1 < ε ⇔ − n+1 ε `an nguyˆen cu’a Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N (ε) l`a phˆ − 1, t´ u.c l`a: ε N(ε) = E((1/ε) − 1) Khi d´o v´o.i mo.i n N ta c´o: n n 1 −1 = < ε ⇒ lim = n→∞ n + n+1 n+1 N +1 V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k` y: n∈N 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) Gia’i 1) Gia’ su’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y ε = `on ta.i sˆo´ hiˆe.u N cho ∀ n > N th`ı Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆ ta c´o |an − a| < ngh˜ıa l`a |n − a| < ∀ n > N T` u d´o −1 < n − a < ∀ n > N ⇔ a − < n < a + ∀ n > N Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´ y v`ı tˆa.p ho p c´ac u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´ sˆo´ tu nhiˆen khˆong bi ch˘a.n 2) C´ ach Gia’ su’ d˜ay an hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y lˆan 1 cu’a diˆe’m a Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng: cˆa.n a − , a + 2 {an } = −1, 1, −1, 1, (7.9) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 1 l`a b˘`ang nˆen hai diˆe’m −1 V`ı dˆo d`ai cu’a khoa’ng a − , a + 2 1 `ong th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a + cu’a diˆe’m a, v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ 2 `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a o’ ngo`ai v`ı khoa’ng c´ach gi˜ u.a −1 v`a +1 b˘`ang Diˆ 1 c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´ u lˆan cˆa.n a − , a + 2 y ´ o’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay C´ ach Gia’ su’ an → a Khi d´o ∀ ε > (lˆa´y ε = ) ta c´o ∀ n N |an − a| < V`ı an = ±1 nˆen |1 − a| < , | − − a| < ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⇒2 < 1, |1 − a| + |a + 1| 1 + =1 2 vˆo l´ y `e v´o.i n´o Sˆo´ ha.ng kˆ ´ r˘a`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = + 3) Lu.u y 2m c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + (hay 2m − 1) v`a a2m+1 = −1 + 1 < (hay a2m−1 = −1 + 2m + 2m − 0) T` u d´o suy r˘`ang |an − an−1 | > `au t` Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (an ) th`ı b˘´at dˆ u sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o (an ) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´ u.c |an − a| < Khi d´o 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 2 `e bˆa´t k` u.a hai sˆo´ ha.ng kˆ y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon Nhu.ng hiˆe.u gi˜ `eu mˆau thuˆ˜a n n`ay ch´ l´o.n ho.n Diˆ u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo.t sˆo´ thu c n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho http://tieulun.hopto.org 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ ` TA ˆP BAI H˜ay su’ du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe’ ch´ u.ng minh r˘`ang 2n − 1 lim an = nˆe´u an = n→∞ 2n + 3n2 + ´ lim an = nˆeu an = n→∞ 5n − `au t` u sˆo´ hiˆe.u N n`ao th`ı: B˘´at dˆ |an − 3/5| < 0, 01 lim an = nˆe´u an = n→∞ (DS N = 5) 3n + 3n cos n = n→∞ n 2n + · 6n lim = n→∞ 3n + 6n √ n2 sin n2 = lim n→∞ n+1 Ch´ u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an = n2 − 2n2 − Ch´ u.ng minh r˘`ang lim n2 + 2n + + sin n lim = n→∞ n2 + n + Ch´ u.ng minh r˘`ang d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k` y 10 Ch´ u.ng minh r˘`ang d˜ay; an = sin n0 phˆan k` y 11 T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2, ˜ ˜e n an du.´o.i da.ng Chı’ dˆ a n Biˆe’u diˆ an = 0, 22 = 22 2 + + ··· + n 10 10 10 n (DS lim an = 2/9) http://tieulun.hopto.org 7.3 H`am liˆen tu.c 45 `an pha’i n˘`am U (x0 ; 1) nˆen ta lˆa´y V`ı δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x0 cˆ ε ε ; v`a v´o i |x − x0| < δ = ; ta s˜e δ = + 2|x0 | + 2|x0| c´o |x2 − x20| < ε V´ı du X´ac di.nh v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa n cu’a h`am f (x) = · + x−1 Gia’i H`am d˜a cho x´ac di.nh ∀ x = Nhu vˆa.y diˆe’m gi´an doa n l`a diˆe’m x0 = 1 l`a d˜ay vˆo Nˆe´u (xn ) l`a d˜ay hˆo.i tu dˆe´n v`a xn > th`ı xn − 1 `eu du.o.ng Do d´o + xn −1 l`a d˜ay vˆo c` ung l´o.n v´o.i mo.i sˆo´ ha.ng dˆ u d´o suy r˘a`ng f(xn ) = l`a d˜ay vˆo c` ung b´e, t´ u.c c` ung l´o.n T` x −1 n 1+2 l`a lim f(xn ) = v`a lim f(x) = n→∞ x→1+0 l`a d˜ay vˆo c` ung l´o.n v´o.i c´ac xn − → (n → ∞) v`a Nˆe´u (xn ) → v`a xn < th`ı `eu ˆam Do vˆa.y xn −1 sˆo´ ha.ng dˆ f(xn ) = 1 →1 (n → ∞), + xn −1 t´ u.c l`a lim f(x) = Do d´o diˆe’m x0 = l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I x→1−0 V´ı du X´ac di.nh v`a phˆan loa.i diˆe’m    x cos   x   f (x) =      cos x gi´an doa n cu’a h`am x < x = x > http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 46 Gia’i Diˆe’m gi´an doa.n c´o thˆe’ c´o cu’a h`am l`a x0 = Ta x´et c´ac gi´o.i ha.n mˆo.t ph´ıa ta.i diˆe’m x0 = i) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng lim f (x) = Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u d˜ay (xn ) x→0−0 hˆo.i tu dˆe´n v`a xn < ∀ n th`ı |f (xn )| = |xn | cos xn |xn | V`ı |xn | → n → ∞ nˆen lim f (xn ) = n→∞ ii) H`am d˜a cho khˆong c´o gi´o.i ha.n bˆen pha’i ta.i diˆe’m x0 = Dˆe’ `eu d´o ta x´et hai d˜ay hˆo.i tu dˆe´n lˆa.p nˆen t` ch´ u.ng minh diˆ u c´ac d˜ay 1 v`a xn = Nˆe´u nhu h`am f c´o gi´o.i ha.n sˆo´ du.o.ng xn = π 2πn + nπ bˆen pha’i ta.i diˆe’m x0 = th`ı hai d˜ay f(xn ) v`a f (xn ) pha’i hˆo.i tu dˆe´n c` ung mˆo.t gi´o.i ha.n Thˆe´ nhu.ng f(xn ) = cos 2πn = hˆo.i tu dˆe´n 1, c`on π + nπ = hˆo.i tu dˆe´n f (xn ) = cos T` u d´o suy r˘`ang h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’u II ta.i diˆe’m x0 = V´ı du T`ım v`a phˆan loa.i c´ac diˆe’m gi´an doa.n cu’a c´ac h`am: 1) y = (signx)2; 2) y = [x] Gia’i 1) T` u di.nh ngh˜ıa h`am signx suy r˘`ang  1, x = (signx) = 0, x = `o T` u d´o suy r˘a`ng h`am y = (signx)2 liˆen tu.c ∀ x = (h˜ay du ng dˆ thi cu’a h`am) v`a ta.i diˆe’m x0 = ta c´o y(0 − 0) = y(0 + 0) = y(0) `eu d´o c´o ngh˜ıa r˘`ang x0 = l`a diˆe’m gi´an doa n khu’ du.o c Diˆ 2) Gia’ su’ n ∈ Z Nˆe´u n − x < n th`ı [x] = n − 1, nˆe´u `o thi cu’a h`am phˆ `an nguyˆen n x < n + th`ı [x] = n (h˜ay du ng dˆ `on ta.i lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x0 (khˆong ch´ [x]) Nˆe´u x0 ∈ Z th`ı tˆ u.a c´ac sˆo´ http://tieulun.hopto.org 7.3 H`am liˆen tu.c 47 nguyˆen) cho ta.i d´o h`am b˘a`ng h˘a`ng sˆo´ Do vˆa.y n´o liˆen tu.c ta.i x0 Nˆe´u x0 = n l`a sˆo´ nguyˆen th`ı [n − 0] = n − 1, [n + 0] = n T` u d´o suy r˘`ang x0 = n l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I V´ı du Kha’o s´at su liˆen tu.c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’a c´ac h`am  x nˆe´u x x − x1 1) f (x) = , 2) f (x) = e , 3) f(x) = lnx nˆe´u x > x Gia’i 1) H`am f (x) = x nˆe´u x = v`a khˆong x´ac di.nh x = V`ı ∀ a ta c´o lim x = a nˆen a = 0: x→a lim f(x) = a = f(a) x→a v`a vˆa.y h`am f(x) liˆen tu.c ∀ x = Ta.i diˆe’m x = ta c´o gi´an doa.n `on ta.i khu’ du.o c v`ı tˆ lim f(x) = lim x = x→0 x→0 2) H`am f (x) = e− x l`a h`am so cˆa´p v`ı n´o l`a ho p cu’a c´ac h`am y = −x−1 v`a f = ey Hiˆe’n nhiˆen l`a h`am f (x) x´ac di.nh ∀ x = v`a d´o n´o liˆen tu.c ∀ x = V`ı h`am f (x) x´ac di.nh lˆan cˆa.n diˆe’m x = v`a khˆong x´ac di.nh ta.i ch´ınh diˆe’m x = nˆen diˆe’m x = l`a diˆe’m gi´an doa n Ta t´ınh f (0 + 0) v`a f (0 − 0) Ta x´et d˜ay vˆo c` ung b´e t` uy y ´ (xn ) cho xn > ∀ n V`ı 1 − x1 lim − = −∞ nˆen lim e n = T` u d´o suy r˘`ang lim e− x = x→∞ x→∞ x→0+0 xn Bˆay gi`o ta x´et d˜ay vˆo c` ung b´e bˆa´t k` y (xn ) cho x0 < ∀ n V`ı 1 − lim − = +∞ nˆen lim e xn = +∞ Do d´o lim e− x = +∞ n→∞ x→0 x→0−0 xn t´ u.c l`a f(0 − 0) = +∞ `on Nhu vˆa.y gi´o.i ha.n bˆen tr´ai cu’a h`am f (x) ta.i diˆe’m x = khˆong tˆ ta.i d´o diˆe’m x = l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u II http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 48 3) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng f (x) liˆen tu.c ta.i diˆe’m x = a = Ta lˆa´y ε < |a − 1|, ε > Khi d´o ε-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x = a khˆong ch´ u.a diˆe’m x = nˆe´u ε < |a − 1| Trong ε-lˆan cˆa.n n`ay h`am f (x) ho˘a.c tr` ung v´o.i h`am ϕ(x) = x nˆe´u a < ho˘a.c tr` ung v´o.i h`am ϕ(x) = lnx nˆe´u a > V`ı c´ac h`am so cˆa´p co ba’n n`ay liˆen tu.c ta.i diˆe’m x = a nˆen h`am f (x) liˆen tu.c ta.i diˆe’m x = a = Ta kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c cu’a h`am f (x) ta.i diˆe’m x = a = Dˆe’ l`am `an t´ınh c´ac gi´o.i ha.n mˆo.t ph´ıa cu’a f (x) ta.i diˆe’m x = a = viˆe.c d´o ta cˆ Ta c´o f (1 + 0) = lim f (x) = lim lnx = 0, x→1+0 x→1+0 f (1 − 0) = lim f (x) = lim x = lim x = x→1−0 x→1−0 x→1 Nhu vˆa.y f (1 + 0) = f (1 − 0) v`a d´o h`am f(x) c´o gi´an doa n kiˆe’u I ta.i x = a = ` TA ˆP BAI Kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’a h`am |2x − 3| (DS H`am x´ac di.nh v`a liˆen tu.c ∀ x = ; ta.i f(x) = 2x − 3 x0 = h`am c´o gi´an doa n kiˆe’u I)   nˆe´u x = f (x) = x 1 nˆe´u x = (DS H`am liˆen tu.c ∀ x ∈ R) `on ta.i hay khˆong gi´a tri a dˆe’ h`am f(x) liˆen tu.c ta.i x0 nˆe´u: C´o tˆ  4 · 3x nˆe´u x < 1) f (x) = 2a + x x (DS H`am f liˆen tu.c ∀ x ∈ R nˆe´u a = 2) http://tieulun.hopto.org 7.3 H`am liˆen tu.c 49  x sin , x = 0; x 2) f(x) = a, x = 0, x = (DS a = 0)   + x , x = −1 3) f (x) = + x3  a, x = −1, x0 = −1 (DS a = ) 3 cos x, x 0; 4) f(x) = a(x − 1), x > 0; x0 = (DS a = −1) | sin x| f (x) = sin x (DS H`am c´o gi´an doa.n ta.i x = kπ, k ∈ Z v`ı:  1 nˆe´u sin x > f(x) = −1 nˆe´u sin x < 0) f(x) = E(x) − E(−x) (DS H`am c´o gi´an doa.n khu’ du.o c ta.i x = n, x ∈ Z v`ı:  −1 nˆe´u x = n f (x) = 0 nˆe´u x = n.) f(x) =  e1/x 0 x = x = (DS Ta.i diˆe’m x = h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’u II; f (−0) = 0, f(+0) = ∞) T`ım diˆe’m gi´an doa.n v`a t´ınh bu.´o.c nha’y cu’a c´ac h`am: x+2 f(x) = x + |x + 2| (DS x = −2 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I, δ(−2) = 2) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 50 2|x − 1| x2 − x3 (DS x = l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u II, x = l`a diˆe’m gi´an doa n kiˆe’u I, δ(1) = −4) H˜ay bˆo’ sung c´ac h`am sau dˆay ta.i diˆe’m x = dˆe’ ch´ ung tro’ th`anh f(x) = liˆen tu.c tgx (DS f (0) = 1) x √ 1+x−1 (DS f (0) = ) 10 f (x) = x f (x) = sin2 x (DS f (0) = 2) − cos x 12 Hiˆe.u cu’a c´ac gi´o.i ha.n mˆo.t ph´ıa cu’a h`am f (x): 11 f(x) = d = lim f (x) − lim f (x) x→x0 +0 x→x0 −0 o.c nha’y cu’a h`am f(x) ta.i diˆe’m x0 T`ım diˆe’m gi´an doa n du.o c go.i l`a bu.´ v`a bu.´ o.c nha’y cu’a h`am f (x) nˆe´u:  − x2 nˆe´u x 2, 1) f(x) = x nˆe´u x > (DS x0 = l`a diˆe’m  √   x   2) f (x) = − 2x    2x − gi´an doa.n kiˆe’u I; d = 4) nˆe´u x nˆe´u < x 1; 2, 5; nˆe´u 2, x < +∞ (DS x0 = 2, l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I; d = −1)  2x + nˆe´u − ∞ < x < −1, 3) f (x) =  nˆe´u − x < +∞ x (DS x0 = l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u II; diˆe’m x0 = −1 l`a diˆe’m gi´an doa n kiˆe’u I, d = −4) http://tieulun.hopto.org `eu biˆe´n 7.4 Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ 7.4 51 `eu Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ biˆ e´n Gia’ su’ u = f(M) = f (x, y) x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p D Gia’ su’ M0(x0 , y0) l`a diˆe’m cˆo´ di.nh n`ao d´o cu’a m˘a.t ph˘a’ng v`a x → x0 , y → y0, `eu n`ay tu.o.ng du.o.ng v´o.i khoa’ng d´o diˆe’m M(x, y) → M0 (x0, y0 ) Diˆ `an dˆe´n Ta lu.u y c´ach ρ(M, M0 ) gi˜ ´ r˘a`ng u.a hai diˆe’m M v`a M0 dˆ ρ(M, M0 ) = [(x − x0)2 + (y − y0)2 ]1/2 Ta c´o c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: i) Di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n (theo Cauchy) Sˆo´ b du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a h`am f(M) M → M0 (hay ta.i diˆe’m M0 ) nˆe´u ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > : ∀ M ∈ {D : < ρ(M, M0 ) < δ(ε)} ⇒ |f(M ) − b| < ε ii) Di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n (theo Heine) Sˆo´ b du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a h`am f(M) ta.i diˆe’m M0 nˆe´u dˆo´i v´o.i d˜ay diˆe’m {Mn } bˆa´t k` y hˆo.i tu dˆe´n M0 cho Mn ∈ D, Mn = M0 ´.ng cu’a h`am {f (Mn )} hˆo.i tu dˆe´n b ∀ n ∈ N th`ı d˜ay c´ac gi´a tri tu.o.ng u K´ y hiˆe.u: i) lim f(M ) = b, ho˘a.c M →M lim f(x, y) = b x → x0 y → y0 Hai di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n trˆen dˆay tu.o.ng du.o.ng v´o.i Ch´ u ´y Ta nhˆa´n ma.nh r˘a`ng theo di.nh ngh˜ıa, gi´o.i ha.n cu’a h`am khˆong `an t´o.i M0 Do d´o nˆe´u M → M0 theo phu thuˆo.c v`ao phu.o.ng M dˆ `an dˆe´n c´ac gi´a tri kh´ac th`ı c´ac hu.o´.ng kh´ac m`a f(M) dˆ M → M0 h`am f(M) khˆong c´o gi´o.i ha.n ii) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 52 iii) Sˆo´ b du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a h`am f (M) M → ∞ nˆe´u ∀ ε > 0, ∃ R > : ∀ M ∈ {D : ρ(M, 0) > R} ⇒ |f (M) − b| < ε `eu biˆe´n, c` ung v´o.i gi´o.i ha.n thˆong thu.`o.ng d˜a nˆeu o’ Dˆo´i v´o.i h`am nhiˆ trˆen (gi´ o.i ha.n k´ep !), ngu.`o.i ta c`on x´et gi´o.i ha.n l˘a.p Ta s˜e x´et kh´ai niˆe.m n`ay cho h`am hai biˆe´n u = f(M) = f (x, y) Gia’ su’ u = f(x, y) x´ac di.nh h`ınh ch˜ u nhˆa.t Q = {(x, y) : |x − x0| < d1 , |y − y0 | < d2 } c´o thˆe’ tr` u ch´ınh c´ac diˆe’m x = x0 , y = y0 Khi cˆo´ di.nh mˆo.t gi´a tri y th`ı h`am f (x, y) tro’ th`anh h`am mˆo.t biˆe´n Gia’ su’ dˆo´i v´o.i gi´a tri cˆo´ `eu kiˆe.n < |y − y0| < d2 tˆ `on ta.i gi´o.i ha.n y tho’a m˜an diˆ di.nh y bˆa´t k` lim f (x, y) = ϕ(y) x→x0 y cˆ o´ di.nh `on ta.i Khi d´o ngu.`o.i ta n´oi r˘`ang Tiˆe´p theo, gia’ su’ lim ϕ(y) = b tˆ y→y0 `on ta.i gi´ a.p cu’a h`am f (x, y) ta.i diˆe’m M0 (x0 , y0) v`a viˆe´t tˆ o.i ha.n l˘ lim lim f (x, y) = b, y→y0 x→x0 d´o gi´o.i ha.n lim x→x0 y cˆ o´ di.nh 0