Tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1) phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Số phức; Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác; Đa thức hàm hữu tỷ; Cách phép toán tuyến tính trên ma trận; Phương pháp tính định thức; Hạng của ma trận;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA H` a Nˆ o.i – 2006 http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c `au oi dˆ L` o.i n´ Sˆ o´ ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c ˜e n h`ınh ho.c Mˆod un v`a acgumen 1.3 Biˆe’u diˆ ˜e n sˆo´ ph´ 1.4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac - a th´ D u.c v` a h` am h˜ u.u ty’ - a th´ 2.1 D u.c - a th´ 2.1.1 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c C - a th´ 2.1.2 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 2.2 Phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ - i.nh th´ Ma trˆ a.n D u.c 3.1 Ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 3.1.1 D 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n - inh th´ 3.2 D u.c 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ - i.nh th´ 3.2.2 D u.c 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´ u.c ma trˆa.n 6 13 23 44 44 45 46 55 66 67 67 69 71 72 85 85 85 88 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 3.3 3.4 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´ u.c Ha.ng cu’a ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa 3.3.1 D 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n Ma trˆa.n nghi.ch da’o - i.nh ngh˜ıa 3.4.1 D 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o e´n t´ınh Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 4.2 Hˆe t` uy y ´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh `an nhˆa´t 4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ kh´ac 89 109 109 109 118 118 119 132 132 133 134 134 143 165 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5.1 D `e vecto ba’n vˆ - ˆo’i co so’ 5.2 Co so’ D 5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so’ tru c chuˆa’n 5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh - inh ngh˜ıa 5.4.1 D 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 5.4.3 C´ac ph´ep to´an 5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng Da.ng to` an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng d ˆ e’ v` a m˘ a.t bˆ a.c hai 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 177 177 188 201 213 213 213 215 216 o.ng nhˆ a.n da.ng du.` 236 236 237 241 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 6.2 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t D `e da.ng ch´ınh t˘´ac 263 bˆa.c hai vˆ http://tieulun.hopto.org `au L` o.i n´ oi dˆ Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´ an cao cˆ a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´ up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen n˘a´m v˜ u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´ uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong `au tiˆen ch´ mˆo˜ i mu.c, dˆ y thuyˆe´t ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜ u.ng co so’ l´ `an thiˆe´t Tiˆe´p d´o, phˆ `an C´ v`a liˆe.t kˆe nh˜ u ng cˆong th´ u c cˆ ac v´ı du ch´ ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ u b˘a`ng c´ach `an B` vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´ u.c l´ y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c` ung, l`a phˆ ’ `e tˆ a.p O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o c gˆo.p th`anh t` u ng nh´om theo t` u ng chu’ dˆ `an vˆ `e dˆo kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ `eu u tu t˘ang dˆ v`a du.o c s˘´ap xˆe´p theo th´ `e phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ c´o nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c `an C´ l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t phˆ ac v´ı du s˜e gi´ up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p n`ay c´o thˆe’ su’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆ˜a n cu’a `eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t gi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´ u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ `an C´ sˆo´ c´o chı’ dˆa˜ n v`a tru ´o c gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ ac v´ı du `e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an tr`ınh b`ay nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ `ay gi´ao: TS Lˆe D`ınh T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜ Ph` ung v`a PGS TS Nguyˆ y ba’n tha’o v`a d´ong http://tieulun.hopto.org y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c Co so’ l´ `eu y `e cˆa´u tr´ g´op nhiˆ ´ kiˆe´n qu´ y b´au vˆ uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y ´ cho t´ac `e nh˜ gia’ vˆ u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh `an dˆ `au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜ u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n H` a Nˆ o.i, M` ua thu 2004 T´ ac gia’ http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Sˆ o´ ph´ u.c 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c Da.ng d a.i sˆ ˜ a acgumen 13 Biˆ e’u diˆ e n h`ınh ho.c Mˆ od un v` ˜ o.i da.ng lu.o ng gi´ ac 23 Biˆ e’u diˆ e n sˆ o´ ph´ u.c du.´ - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´ ph´ u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe b˘a`ng a = a , (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng http://tieulun.hopto.org - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ) Tˆa.p ho p sˆo´ ph´ u.c du.o c k´ y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i bo’.i `an tu’ = (0, 0) dˆ `eu c´o phˆ `an tu’ nghi.ch da’o luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ `an Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c) v´o.i phˆ ´ du.ng quy `an tu’ n vi l`a c˘a.p (1; 0) Ap tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) `e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t T` u d´o vˆ v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜ u.ng sˆo´ thu c Do `ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a: vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = (a, b): `an thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆ `an 1+ Sˆo´ thu c a du.o c go.i l`a phˆ a’o v`a k´ y hiˆe.u l`a b = Im z 2+ Sˆo´ ph´ u.c z u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´ ´t cu’a t` def l` a c´ ach viˆe´t t˘ a u tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) http://tieulun.hopto.org u.c Chu.o.ng Sˆo´ ph´ 1.2 Da.ng da.i sˆ o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c `eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng Mo.i sˆo´ ph´ u.c z = (a; b) ∈ C dˆ z = a + ib (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib u (1.1) Biˆe’u th´ u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c z = (a, b) T` v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib u.c du.o c thu c Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´ hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau Gia’ su’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ) (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ) (III) Ph´ep chia: z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 = +i · 2 z1 a1 + b1 a1 + b21 ´ V´I DU CAC V´ı du 1+ T´ınh in T` u d´o ch´ u.ng minh r˘`ang a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1−i n 1+i n + √ = b) √ 2 Gia’i 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a `au l˘a.p la.i Ta kh´ai qu´at h´oa Gia’ su’ n ∈ Z v`a gi´a tri l˜ uy th` u.a b˘a´t dˆ n = 4k + r, r ∈ Z, r Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir http://tieulun.hopto.org 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c (v`ı i4 = i) T` u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in = i nˆe´u n = 4k, nˆe´u n = 4k + 1, (1.2) −1 nˆe´u n = 4k + 2, −i nˆe´u n = 4k + ˜e d`ang suy a) v`a b) T` u (1.2) dˆ u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy u hˆe th´ 2+ a) T` 1+i 1−i n = 1+i 1+i n = i nˆen = in = ⇒ n = 4k, k ∈ Z Nhu.ng 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i b) T` u d˘a’ng th´ u.c √ + √ = suy r˘`ang 1−i 2 v`a d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z n = −1 V´ı du Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a th`ı √ √ −1 − i n −1 + i n + =2 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho th`ı √ −1 + i n √ −1 − i + n = −1 Gia’i 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı √ √ −1 − i 3 m −1 + i 3 m + S= √ √ √ √ −1 + 3i + − 3i m −1 − 3i + + 3i = + 8 m m = + = m http://tieulun.hopto.org 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n 117 20 V´o.i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı ma trˆa.n A= λ −1 c´o ha.ng b˘`ang ? (DS λ = − ) 21 V´o i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı ha.ng r(A) = 2, nˆe´u λ (DS λ = ) A = 1? −1 22 V´o.i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı ha.ng r(A) = nˆe´u −1 A = 2 λ − ? (DS λ = 2) 23 V´o.i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı ha.ng r(A) = nˆe´u λ A = 2 ? 0 (DS ∀ λ ∈ R) 24 V´o.i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı ha.ng: 1) r(A) = 1; 2) r(A) = 2; 3) r(A) = nˆe´u: λ A = 2 4? (DS 1) λ = 1 `on ta.i) ; 2) λ = ; 3) Khˆong tˆ 2 http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 118 3.4 3.4.1 Ma trˆ a.n nghi.ch da’o - i.nh ngh˜ıa D Nˆe´u A l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n th`ı ma trˆa.n vuˆong B cˆa´p n tho’a m˜an `eu kiˆe.n diˆ AB = BA = En a.n nghi.ch da’o d´o En l`a ma trˆa.n do.n vi cˆa´p n du.o c go.i l`a ma trˆ −1 dˆo´i v´o i ma trˆa.n A v`a du o c k´ y hiˆe.u l`a B = A Nhu vˆa.y theo di.nh ngh˜ıa AA−1 = A−1 A = En - i.nh l´ a chı’ ma D y Ma trˆ a.n vuˆ ong A c´ o ma trˆ a.n nghi.ch da’o v` trˆ a.n A khˆ ong suy biˆe´n (t´ u c l` a detA = 0) v` a d´ o A−1 = PA , detA A11 A21 A12 A22 PA = A1n A2n (3.12) An1 An2 Ann `an b` `an tu’ aij (i, j = 1, n) cu’a ma d´ o Aij l` a phˆ u da.i sˆ o´ cu’a phˆ trˆ a.n A Ma trˆ a.n PA du.o c go.i l` a ma trˆ a.n phu ho p cu’a ma trˆ a.n A T´ınh chˆ a´t + Nˆe´u ma trˆa.n A c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o v`a m = th`ı ma trˆa.n mA c˜ ung c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o v`a (mA)−1 = −1 A m http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 119 `eu c´o ma trˆa.n 2+ Nˆe´u A v`a B l`a hai ma trˆa.n vuˆong c` ung cˆa´p v`a dˆ nghi.ch da’o th`ı (AB)−1 = B −1 A−1 ung c´o ma trˆa.n 3+ Nˆe´u A c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o A−1 th`ı A−1 c˜ nghi.ch da’o v`a A−1 3.4.2 −1 = A Phu.o.ng ph´ ap t`ım ma trˆ a.n nghi.ch da’o `om c´ac bu.´o.c sau ap I gˆ Phu.o.ng ph´ o.c T´ınh detA Bu.´ + Nˆe´u detA = th`ı A khˆong c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o + Nˆe´u detA = th`ı chuyˆe’n sang bu.´o.c o.c T`ım ma trˆa.n phu ho p PA T` u d´o ´ap du.ng cˆong th´ u.c Bu.´ (3.12) ta thu du.o c ma trˆa.n A−1 ap II (phu.o.ng ph´ap Gauss-Jordan) Phu.o.ng ph´ `au tiˆen ta viˆe´t ma trˆa.n do.n vi c` ung cˆa´p v´o.i ma trˆa.n A v`ao bˆen Dˆ pha’i ma trˆa.n A v`a thu du.o c ma trˆa.n M = A|En (3.13) Tiˆe´p theo thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen c´ac h`ang cu’a `e ma trˆa.n do.n vi En c`on khˆo´i En ma trˆa.n M dˆe’ du.a khˆo´i ma trˆa.n A vˆ (3.13) th`anh ma trˆa.n B: A|En −→ En |B Khi d´o B = A−1 ´ V´I DU CAC http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 120 V´ı du T`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa.n sau: −2 1) A = 1 −3 ; −3 −2 −7 −5 2) A = −2 1 Gia’i 1) Ta c´o detA = 10 = Do d´o ma trˆa.n A 1) c´o `an b` `an tu’ cu’a n´o b˘a`ng: ma trˆa.n nghi.ch da’o Phˆ u da.i sˆo´ cu’a c´ac phˆ A11 = −5; A12 = 15; A13 = 25; A21 = 1; A22 = 3; A23 = 9; A31 = 4; A32 = −8; A33 = −14 u.c (3.12) ta c´o T` u d´o theo cˆong th´ A−1 − −5 = 15 −8 = 10 25 −14 10 4 − 10 5 7 − 10 2) Ta t´ınh detA Lˆa´y h`ang th´ u ba cˆo.ng v`ao h`ang th´ u nhˆa´t ta c´o −5 detA = 6 −2 9 =0 v`ı ma trˆa.n thu du.o c c´o h`ang th´ u nhˆa´t v`a th´ u tu giˆo´ng Nhu vˆa.y ma trˆa.n A 2) l`a ma trˆa.n suy biˆe´n, d´o n´o khˆong c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o V´ı du D` ung c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o dˆo´i http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 121 v´o.i ma trˆa.n 1) A = −1 −2 ; −1 Gia’i 1) Ta lˆa.p ma trˆa.n M = −1 −2 −1 2) A = 2 12 0 0 0 1 Nhˆan h`ang th´ u nhˆa´t v´o.i ta thu du.o c 1 0 M −→ −1 −2 0 h2 − h1 → h2 −→ −1 0 h3 + h1 → h3 0 1 −→ 0 −1 −4 − 1 −−−−−−−→ 0 h2 (−1)→h2 1 −→ 0 0 −3 0 −→ −1 0 h − 2h2 → h3 0 −→ −1 0 1 h × (− ) → h3 − http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 122 1 0 0 1 0 0 h1 − 2h3 → h1 −1 −−−−−−−−−→ 0 2 h2 − 4h3 → h2 − − 0 3 3 − 1 − − 3 T` u d´o suy r˘a`ng A−1 53 = − 3 1 − − 3 2) Ta lˆa.p ma trˆa.n M = 2 12 0 0 0 Thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p h2 − h1 → h2 M −−−−−−−−−→ 0 h3 − h1 → h3 −−−−−−−−−→ 0 h3 − h2 → h3 0 h1 − h3 → h1 h2 − h3 → h2 0 −−−−−−−→ 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 −1 1 −1 −1 −1 −1 http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 123 h1 − h2 → h1 0 −−−−−−−→ 0 0 0 h1 ( 12 ) → h1 −−−−−−−→ 0 h2 ( 13 ) → h2 h3 ( ) → h 0 −1 −1 −1 −1 1 − 1 − − 3 3 1 − 4 T` u d´o suy r˘a`ng 1 − 1 −1 A = − − 3 3 1 − 4 V´ı du Ch´ u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay cu’a di.nh th´ u.c 1) detA−1 = (detA)−1 2) Nˆe´u A v`a B khˆong suy biˆe´n th`ı t´ıch AB c˜ ung khˆong suy biˆe´n v`a (AB)−1 = B −1 A−1 −1 3) A−1 = A −1 T 4) AT = A−1 Gia’i 1) Ta s˜e ´ap du.ng cˆong th´ u.c t´ınh di.nh th´ u.c cu’a t´ıch hai ma trˆa.n vuˆong c` ung cˆa´p A v`a B: detAB = detA · detB Ta c´o AA−1 = E ⇒det(AA−1) = detE = ⇒detA · detA−1 = ⇒ (detA)−1 = det(A−1 ) http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 124 2) Ta c´o (B −1 A−1)(AB) = B −1 (A−1A)B = B −1 B = E v`a t` u d´o suy B −1 A−1 = (AB)−1 Tu.o.ng tu B −1 A−1 (AB) = E v`a d´o ma trˆa.n B −1 A−1 l`a ma trˆa.n nghi.ch da’o cu’a ma trˆa.n AB −1 3) Ta thˆa´y A−1 l`a ma trˆa.n nhˆa´t m`a t´ıch cu’a n´o nhˆan v´o.i A−1 b˘a`ng E Nhu.ng ma trˆa.n A c˜ ung c´o t´ınh chˆa´t d´o Nhu vˆa.y 3) du.o c ch´ u.ng minh −1 T 4) Dˆe’ ch´ u.ng minh AT = A−1 ta x´et d˘a’ng th´ u.c AA−1 = E T` u d´o ´ap du.ng t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n chuyˆe’n vi ta c´o (AA−1)T = E ⇒ (A−1 )T AT = E ⇒ (A−1 )T = (AT )−1 theo di.nh ngh˜ıa ma trˆa.n nghi.ch da’o V´ı du 1) Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a ma trˆa.n vuˆong tho’a m˜an `eu kiˆe.n A2 − 3A + E = O th`ı A−1 = 3E − A diˆ 2) Ch´ u.ng minh r˘a`ng (E − A)−1 = E + A + A2 nˆe´u A3 = O `eu kiˆe.n d˜a cho ta c´o Gia’i 1) T` u diˆ E = 3A − A2 = A(3E − A) Do vˆa.y detA · det(3E − A) = detE = u.c l`a A c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o Do v`a d´o detA = 0, t´ E = A(3E − A) → A−1E = A−1 A(3E − A) ⇒ A−1 = 3E − A ung l`a 2) Ta c´o thˆe’ nhˆan ma trˆa.n E − A v´o.i E + A + A2 Nˆe´u ch´ ma trˆa.n nghi.ch da’o th`ı kˆe´t qua’ l`a ma trˆa.n do.n vi Ta c´o (E − A)(E + A + A2) = E − A + A − A2 + A2 − A3 = E − A3 = E http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 125 `eu pha’i ch´ v`ı theo gia’ thiˆe´t A3 = O T` u d´o suy diˆ u.ng minh V´ı du T`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o dˆo´i v´o.i ma trˆa.n A= α β γ δ `on ta.i ma trˆa.n nghi.ch da’o ta cˆ `an gia’ thiˆe´t r˘a`ng detA = Gia’i Dˆe’ tˆ `an b` αδ − γβ = V´o i gia’ thiˆe´t d´o ta t`ım c´ac phˆ u da.i sˆo´: A11 = δ; A12 = −γ; A21 = −β; A22 = α Do d´o A−1 = δ −β αδ − γβ −γ α T` u v´ı du n`ay ta r´ ut quy t˘a´c t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o v´o.i ma trˆa.n cˆa´p 2: Ma trˆa.n nghi.ch da’o cu’a ma trˆa.n cˆa´p hai b˘`ang t´ıch cu’a mˆo.t sˆo´ u.c cu’a n´o nhˆan v´o.i ma trˆa.n m`a du.`o.ng l`a nghi.ch da’o cu’a di.nh th´ `an tu’ cu’a du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ch´eo ch´ınh l`a ho´an vi cu’a hai phˆ `an tu’ cu’a du.`o.ng ch´eo th´ n´o v`a c´ac phˆ u hai c˜ ung ch´ınh l`a c´ac `an tu’ cu’a du `o ng ch´eo th´ phˆ u hai cu’a ma trˆa.n d˜a cho nhu.ng v´o.i dˆa´u ngu.o c la.i Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u A = th`ı 2 A−1 = −5 −2 V´ı du 1) Gia’ su’ A l`a ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n H˜ay gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh ma trˆa.n: AX = B, Y A = B 2) Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh 1) nˆe´u A= , B= −1 http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 126 Gia’i Nhˆan bˆen tr´ai hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh AX = B v´o.i A−1 v`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep t´ınh da.i sˆo´ tu.o.ng u ´.ng ta c´o A−1AX = A−1 B ⇒ EX = A−1 B ⇒ X = A−1B Tu.o.ng tu Y AA−1 = BA−1 ⇒ Y E = BA−1 ⇒ Y = BA−1 R˜o r`ang l`a nˆe´u A−1 v`a B khˆong giao ho´an th`ı X = Y 2) V´o.i A= −3 −3 ⇒ A−1 = = detA −2 −2 T` u d´o X = A−1B = −3 −2 Y = BA−1 = −1 = , −1 −2 −11 −3 −3 11 = −2 −7 ` TA ˆP BAI `on ta.i) ung tˆ T`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o cu’a ma trˆa.n d˜a cho (nˆe´u ch´ −1 (DS ) 13 −3 2 1 ) (DS 3 −2 −1 −9 11 −5 (DS 5 −4 13 ) 41 −1 19 −5 http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 127 −3 3 −1 −1 −3 −1 4 −2 1 0 2 −1 13 (DS − 17 25 −1 −3 1 (DS −2 −2 −1 2 −11 1 (DS − 0 −5 +2) −1 −1 `on ta.i) (DS Khˆong tˆ 15 −12 10 −8 ) −5 −1 2) −12 (DS −1 17 −7) −2 0 0 1 √ −√ √ √ (DS 0 ) 2 2 1 √ √ −√ √ 2 2 2 2 1 (DS 2 −2) 10 2 −2 −2 −2 1 −1 2 −1 1 (DS − 11 3 −2 − ) 2 1 − 2 1 0 http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 128 −1 12 1 13 −1 14 15 16 17 18 1 − 1 (DS 1 − ) 2 − − 9 9 1 (DS ) − 9 2 − 9 −3 −1 17 15 −1 (DS 1 ) −2 13 12 −1 −1 0 `on ta.i) (DS Khˆong tˆ −5 −1 −3 −1 −1 1 3 −1 1 1 0 0 1 1 (DS 0 0 1 0 0 1 0 −1 1 (DS 0 1 −1 1 1 −1 2 −3 5 −2 (DS 0 4 0 0 −1 ) −1 −1 1 −1 ) 0 1 −1 −2 −5 11 −9 ) −4 −6 http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 0 19 0 −5 −3 0 129 −3 11 −38 0 −2 (DS ) 0 −2 0 a22 , a11a12 · · · ann = ann a11 a22 (DS ) 0 ann a11 20 0 21 0 0 1 1 a a2 a 0 0 22 0 1 1 −1 0 0 −1 0 0 0 (DS ) 0 0 −1 0 −a an n−1 a 0 −a 0 an−2 (DS 0 0 0 0 ) −a 23 V´o.i gi´a tri n`ao cu’a λ th`ı c´ac ma trˆa.n sau dˆay c´o ma trˆa.n nghi.ch da’o: http://tieulun.hopto.org - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 130 λ 2) λ λ √ (DS 1) λ = ; 2) λ = 0, λ = ± 5) 24 T`ım ma trˆa.n X tho’a m˜an c´ac phu.o.ng tr`ınh −2 1) λ 0; 1 1) −1 −1 X= 1 (DS 1 ) −3 −2 = −1 (DS −5 ) 13 −5 2) X 3) −3 −1 1 −1 ) X = (DS 11 −2 −1 4) AX + B = 2C, d´o −1 1 A = 0 1 , B = , −2 −1 0 −5 16 −8 (DS −7 ) −2 C = 4 −3 5 −1 5) XA − 2B = E, d´o −2 −1 B = −1 A = −2 7 , −1 −1 −21 45 −156 (DS −21 15 −21 ) 15 51 20 −79 25 Gia’ su’ A l`a ma trˆa.n cˆa´p n v`a (E + A)k = O v´o.i sˆo´ tu nhiˆen k n`ao d´o Ch´ u.ng minh r˘`ang ma trˆa.n A khˆong suy biˆe´n http://tieulun.hopto.org 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 131 26 Ch´ u.ng minh r˘a`ng c´ac ma trˆa.n A + E v`a A − E khˆong suy biˆe´n v`a nghi.ch da’o nˆe´u A2 = O 27 Ch´ u.ng minh r˘`ang ma trˆa.n A + E v`a A2 + E − A khˆong suy biˆe´n v`a nghi.ch da’o nˆe´u A3 = O u.ng ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n 28 Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A, B, C l`a nh˜ th`ı ABC v`a C −1B −1 A−1 l`a nghi.ch da’o `ong da.ng v´ a dˆ a.n vuˆ ong o.i ma trˆ 29 Ma trˆ a.n vuˆ ong A cˆ a´p n du.o c go.i l` `on ta.i ma trˆ c` ung cˆ a´p B nˆe´u tˆ a.n kha’ nghi.ch T cho B = T −1AT `ong da.ng: Ch´ u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t sau cu’a ma trˆa.n dˆ + `eu dˆ `ong da.ng v´o i ch´ınh n´o Mo.i ma trˆa.n dˆ `ong da.ng v´o.i B th`ı B dˆ `ong da.ng v´o.i A 2+ Nˆe´u A dˆ `ong da.ng v´o.i B, c`on B dˆ `ong da.ng v´o.i C th`ı A dˆ `ong 3+ Nˆe´u A dˆ da.ng v´o i C ´ du.ng hˆe th´ ˜ Chı’ dˆ a n 1+ Ap u.c E −1 = E 2+ Nhˆan bˆen pha’i hˆe ´ du.ng di.nh th´ u.c B = T −1 AT v´o.i T −1 v`a nhˆan bˆen tr´ai v´o.i T 3+ Ap ngh˜ıa a ma trˆ a.n tru c giao nˆe´u AAT = AT A = 30 Ma trˆ a.n vuˆ ong du.o c go.i l` `ng ma trˆ E, ngh˜ıa l` a ma trˆ a.n chuyˆe’n vi AT b˘ a a.n nghi.ch da’o A−1 cu’a A Ch´ u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t sau cu’a ma trˆa.n tru c giao: 1+ Nˆe´u A tru c giao th`ı A−1 tru c giao 2+ T´ıch c´ac ma trˆa.n tru c giao c` ung cˆa´p l`a ma trˆa.n tru c giao 3+ Nˆe´u A l`a ma trˆa.n tru c giao th`ı AT c˜ ung l`a ma trˆa.n tru c giao 4+ Di.nh th´ u.c cu’a ma trˆa.n tru c giao l`a b˘a`ng ±1 ˜ Chı’ dˆ a n 4+ Xuˆa´t ph´at t` u AAT = E v`a ´ap du.ng di.nh l´ y det(AB) = detAdetB http://tieulun.hopto.org ... 89 10 9 10 9 10 9 11 8 11 8 11 9 13 2 13 2 13 3 13 4 13 4 14 3 16 5 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5 .1 D `e vecto ... cho v´o.i − ta c´o 1? ?? σ= + i 2n 1+ i 1? ?? 2 + i 2n +1 · 1+ i 1? ?? 1? ?? = `an t´ınh Ta cˆ 1+ i 2n +1 = 1+ i 2 2n i = 2n n i2 = 2n = 2n · 2 Do d´o 1 − 2n n 1+ i 2 × σ= = 1+ i 1? ??i 1+ i 1? ?? = − 2n (1 + i) √ ˜e n sˆo´... i + S= 2 √ √ ? ?1 + i ? ?1 − i + = ? ?1 = 2 √ ? ?1 − i 3 m √ 1? ??i ung c´o S = ? ?1 Tu.o.ng tu nˆe´u n = 3m + ta c˜ V´ı du T´ınh biˆe’u th´ u.c 1+ i σ = 1+ 1+ i 1+ 1+ i 1+ 2 22 1+ i ··· + 2n 1+ i Gia’i Nhˆan