D. Phát hiện các bài toán tương tự
1.5.2.1Về cách xây dựng chương trình HHPT
E. Phát hiện bài toán mớ
1.5.2.1Về cách xây dựng chương trình HHPT
Theo[24], [59], [60], chương trình HHPT hiện nay được xây dựng chủ
yếu dựa trên tư tưởng của 3 hệ tiên đề: Pogorelov, Hinbert, Weyl(Phần phương pháp vectơ trong mặt phẳng và không gian xây dựng theo tư tưởng của hệ tiên đề Weyl). SGK hiện nay lựa chọn cách thể hiện một số nội dung theo tinh thần của phương pháp tiên đề. Chẳng hạn, phần hình học phẳng và hình học không gian được trình bày theo tinh thần của hệ tiên đề Pogorelov. Thể hiện rõ nhất ở sách Toán 6,7 và hình học 11. Tuy nhiên, vì yêu cầu SP nên có những chỗ được các tác giả trình bày trực quan phù hợp với nhận thức của HS như: Các tiên đề được chuyển thành “Các tính chất thừa nhận”.
Phần vectơ trong mặt phẳng – Hình học 10 được xây dựng chủ yếu bằng mô tả theo các bước: định nghĩa vectơ, hai vectơ cùng phương, bằng nhau, các phép toán tổng, hiệu 2 vectơ và nhân vectơ với một số, biểu thị một vectơ
Ta nhận thấy, cách xây dựng trên dựa trên đưa khái niệm vectơ trước sau đó mới xây dựng các phép toán và chứng minh các tính chất phép toán. Thực tế
khái niệm vectơ, các phép toán và các tính chất của nó là nội dung của hệ tiên
đề về không gian vectơ (Hệ tiên đề Weyl), một nội dung của HHCC. Như
vậy, vectơ theo cách đề cập trong chương trình HHPT có thể xem là một ví dụ
cụ thể cho vectơ xét ở bình diện tổng quát trong HHCC.
Một số nội dung ngầm ẩn khái niệm của hình học cao cấp
+ Phương của vectơ:
Định nghĩa: Hai vectơ cùng phương nếu có giá song song hoặc trùng nhau. (SGK Hình học 10, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên)
Như vậy, khái niệm phương của vectơ được ngầm hiểu là phương của đường thẳng, một khái niệm trong HHCC. Chú ý rằng, theo HHCC, để định nghĩa phương ta phải dựa vào một quan hệ tương đương: Hai vectơ ,x y gọi là tương đương nếux k y k R= , ∈ .
Quan hệ này là một quan hệ tương đương theo nghĩa có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Mỗi lớp tương đương theo quan hệ này gọi là một phương. Hai vectơ thuộc cùng một lớp gọi là cùng phương. Phương của đường thẳng thực chất là một lớp tương đương theo quan hệ đó nên theo chúng tôi những người viết SGK hiện hành đã chuyển một cách khá hợp lý khi quan niệm phương của vectơ là phương của đường thẳng .
+ Phép lấy tổng 2 vectơ được định nghĩa theo cách của SGK hiện hành (dựng vectơ bằng tổng của hai vectơ cho trước)về bản chất là một tiên đề của hệ tiên đề xây dựng không gian Afin(Hệ thức Salơ). Theo chúng tôi, các tác giả đã khôn khéo chọn cách thể hiện vừa phù hợp nhận thức của HS mà vẫn
đảm bảo tính chính xác khoa học.
+ Trong HHPT, độ dài vectơ được hiểu là độ dài đoạn thẳng, xác định bởi điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Như vậy, độ dài được định nghĩa
trước sau đó mới đến tích vô hướng. Còn trong HHCC, ngược lại, sau khi
định nghĩa tích vô hướng mới định nghĩa độ dài(mô đun). Độ dài sẽ thay đổi nếu tích vô hướng thay đổi. Tuy nhiên cách trình bày này của các tác giả
SGK phổ thông cũng dẫn đến một tích vô hướng và môđun của vectơ phù hợp với định nghĩa của HHCC.
+ Biểu thị một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương: Thực chất trong mặt phẳng hay không gian afin 2 chiều, hệ 2 vectơ không cùng phương là một cơ sở của không gian vectơ liên kết với mặt phẳng đó và một vectơ luôn biểu thị một cách duy nhất qua cơ sở. Trong SGK phổ thông, các tác giả tuy có cách biểu đạt khác, nhưng vẫn đảm bảo được ý nghĩa này, vừa phù hợp với HS vừa đảm bảo tính khoa học.
+ Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng hoặc không gian chính là một ví dụ cụ
thể của mục tiêu trực chuẩn của không gian Euclide. Do đó, cách biểu đạt về
tọađộ của vectơ, tọa độ của điểm phù hợp với khái niệm tọa độ của vectơ,
điểm với mục tiêu Afin, trong HHCC.
Phần Phép biến hình (Hình học 11)
+ Định nghĩa phép biến hình tương tự với khái niệm ánh xạ trong TCC . + Định nghĩa phép dời hình tương tự với nội dung định lí về điều kiện
tương đương, với định nghĩa phép đẳng cự trong HHCC. + Định nghĩa 2 hình bằng nhau phù hợp với định nghĩa của HHCC.
+ Định nghĩa phép đồng dạng và hình đồng dạng phù hợp với định nghĩa
của HHCC.……….. + Phần phép chiếu song song : Các tính chất của phép chiếu song song
chính là những tính chất Afin vì phép chiếu song song từ mặt phẳng lên mặt phẳng là phép Afin. Trong phần này các tính chất được các tác giả đưa ra một cách trực quan, công nhận, không chứng minh. Phần các tính chất của phép chiếu song song chưa được đề cập đầy đủ, mà chỉ đề cập và ứng dụng một
phần trong việc biểu diễn một hình trong không gian, chưa ứng dụng giải toán. Có nghĩa là mới sử dụng phép chiếu song song ở khía cạnh khái quát hóa mà chưa xét đặc biệt hóa. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Phép đối xứng qua đường thẳng trong mặt phẳng và đối xứng qua mặt phẳng trong không gian là trường hợp riêng của phép đối xứng qua siêu phẳng, là phép biến đổi cơ sở, tạo nên các phép biến đổi khác.
Phần Vectơ trong không gian (Hình học 11)
+ Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng, 1 vectơ trong không gian biểu diễn
qua hệ 3 vectơ không đồng phẳng là vấn đề tọa độ của vectơ với một cơ sở. + Định nghĩa góc(giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,
giữa 2 mặt phẳng) phù hợp với định nghĩa góc (giữa 2 đường thẳng, giữa
đường thẳng và siêu phẳng, giữa 2 siêu phẳng) trong HHCC.
+ Tính chất hai đường thẳng vuông góc là tính chất hai phẳng trực giao;
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là tính chất hai phẳng bù trực giao. Các tính chất này được miêu tả, không chứng minh.
+ Vấn đề có hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau ngầm ẩn cách xác định phẳng trong không gian Afin nếu biết một
điểm và cơ sở của không gian phương của nó.
Phần Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian ( Hình học 10 và Hình học 12)
+ Hệ trục tọa độĐề các vuông góc, tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ có liên quan đến khái niệm mục tiêu trực chuẩn trong không gian Euclide và tọa
độ của điểm, vectơ với mục tiêu trực chuẩn theo tích vô hướng Euclide. Cách trình bày phần này có thể xem là tương đồng với cách trình bàyt rong HHCC, với trường hợp số chiều là 2 hoặc 3.
hướng là cách trình bày mang tính trực quan,còn cách trình bày của HHCC là từ phương trình mới có vectơ pháp tuyến.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng hay khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian có thể xem là trường hợp riêng của khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng với cách xây dựng thống nhất.
Phần đường bậc hai
+ Đường tròn, elip, hypecbol, parabol là một số đường bậc hai cụ thể
trong mặt phẳng;mặt cầu, mặt tròn xoay, mặt trụ, nón là một số mặt bậc hai trong không gian. Có thể xem đường bậc hai hay mặt bậc hai lànhững trường hợp riêng của siêu mặt bậc hai trong không gian Afin, hay Euclide.
+ Các tính chất “giao của mặt phẳng và mặt nón là elip, hay hypecbol, hay parabol; giao của mặt trụ tròn xoay và mặt phẳng là elip” có thể xem là trường hợp riêng của tính chất tổng quát: “Giao của một siêu mặt bậc hai và siêu phẳng là siêu mặt bậc hai nằm trong siêu phẳng đó”, trong HHCC.