III. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
PHỤ LỤC 9: ĐÁP ÁN BÀI KIỂM TRA 1,2 Bài kiểm tra 1 (Thời gian 50 phút)
Bài kiểm tra 1 (Thời gian 50 phút)
Câu 1. Thế nào là bất biến của một nhóm biến đổi? Nêu một số bất biến xạ ảnh, bất biến Afin, bất biến của nhóm tịnh tiến, quay,vị tự tỉ số k khác 0, 1.
Đáp án:
- Tính chất A của hình H gọi là bất biến của một nhóm biến đổi S nếu mọi hình H’ tương đương với H đối với nhóm S đều có tính chất A.
- Bất biến xạảnh: tính chất thẳng hàng, đồng quy, tỉ số kép. - Bất biến Afin: bất biến xạảnh, tỉ sốđơn, tính chất song song.
- Bất biến của nhóm tịnh tiến: bất biến Afin, góc, khoảng cách, phương của đường thẳng.
- Bất biến của phép quay: bất biến Afin, góc, khoảng cách, góc giữa ảnh và tạo ảnh.
- Bất biến của phép vị tự: bất biến Afin, góc,tỉ sốđộ dài đoạn thẳng ảnh và tạo ảnh.
Câu 2. Bài toán sau chứa bất biến của nhóm nào? Giải thích lí do.
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn
đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CB. Tìm quỹ tích các điểm D.
Đáp án: Bất biến của phép quay góc quay 900 vì AD = BC và tạo với nhau góc 900.
Câu 3. Giải bài toán trên và nêu lí do dẫn tới lời giải đó.
Xét phép dời hình biến BC tương ứng thành AD, tức là biến B thành A, C thành D. Do góc giữa 2 đường thẳng là 900 nên đó là phép quay với góc quay 900. Tâm quay thuộc trung trực đoạn AB và nhìn AB góc 900 nên là trung
góc (-900), điểm C biến thành D. C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên quỹ tích D là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB qua phép quay đó. Đó là nửa đường tròn đường kính AE ( Như hình vẽ).
Bài kiểm tra 2( Thời gian 50 phút)
Câu 1. Dựa vào bất biến, xét xem bài toán sau thuộc hình học nào?
Giả sử A1, B1, C1 là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC sao cho
BA BC = CB CA = AC AB = 1 3
Chứng minh rằng diện tích của tam giác được tạo bởi các đường thẳng AA1, BB1 và CC1 bằng diện tích của tam giác ABC.
Đáp án: Đây là bài toán của hình học Afin.
Câu 2. Dùng mô hình xạ ảnh của không gian Afin giải bài toán rồi dựa vào gợi ý đó, giải bài toán theo cách giải PT:
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O). Một đường thẳng t tiếp xúc với (O) tại T và một đường thẳng ∆đi qua P’ là điểm xuyên tâm đối của T trên đường tròn (O). Một điểm P di động trên ∆sao cho từ P kẻ được hai
PE E B A C D
tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt t ở M và N. Chứng minh rằng: M,N đối xứng với nhau qua một điểm cốđịnh.
Đáp án
Trước hết ta trình bày lời giải bài toán trên bằng kiến thức của hình học xạ ảnh.
Lời giải 1.
Rõ ràng f: M →N là một phép biến đổi xạảnh trên t và thuộc loại hypebolic vì nó có hai điểm bất động, trong đó một điểm ở xa vô tận còn một
điểm là trung điểm S của đoạn thẳng TT’ với T’ là giao điểm của ∆và t. Vì thế f là một phép đồng dạng trên t. Phép đồng dạng này là phép vị tự
tâm S tỉ số k. Hơn nữa phép đồng dạng này có tính chất đối hợp nên k = -1. Vậy f là phép đối xứng tâm S. Điều này chứng tỏ M, N đối xứng với nhau qua S cốđịnh (đpcm).
Với lời giải xạảnh trên ta biết được điểm cốđịnh mà M, N đối xứng qua đó chính là trung điểm S của TT’.Từ đó định hướng cho lời giải sơ cấp của bài toán đã cho.
Lời giải 2.
Qua P’ kẻ một đường thẳng song song với t cắt PM, PN lần lượt ở M’ và N’. suy ra MNN’M’ là hình thang ngoại tiếp đường tròn (O).
Do đó : ' ' ' ' ' ' ' ' ' P N EN M N P N MT T N MT = EM = MN = T N ⇒ = hay SM = SN Vậy M và N đối xứng với nhau qua S cốđịnh (đpcm).
Câu 3: Cho bài toán:
Cho hai đường tròn (O ,R )1 1 và (O ,R )2 2 ngoài nhau, R1 ⇒R2. Một đường
tròn (O) thay đổi, tiếp xúc ngoài với (O ,R )1 1 tại A, với (O ,R )2 2 tại B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cốđịnh.
c) Bài toán trên chứa bất biến của phép biến đổi nào? - Phép quay.
- Phép tịnh tiến. - Phép vị tự.
Đáp án: Phép vị tự vì liên quan tới sự thẳng hàng và các đường tròn không bằng nhau.
d) Sử dụng phép biến đổi tương ứng để giải bài toán.
A là tâm vị tự trong biến (O1) thành ( O); B là tâm vị tự biến (O) thành (O2). Khi đó AB qua I là tâm vị tự biến ( O1) thành (O2).( tính chất tích 2 phép vị
tự)
V1 là phép vị tự tâm A tỉ số R1/R ; V2 là phép vị tự tâm B, tỉ số R/R2. V1V2 là phép vị tự V tâm I, tỉ số R1/R2. V1V2 (B) = B’ thì A,B,B’ thẳng hàng, mặt khác, V(B) = B’ thì B, B’,I thẳng hàng, hay A, B, I thẳng hàng. Vậy đường thẳng AB luôn qua điểm I cốđịnh. O1 O O2 A B I