D P S P SP t Lấy đạo hàm hai vế theo t ta được:
p z (y y x, y) 0 Nếu*
3.4.1 Hàm phúc lợi xã hộ
Để đo lường phúc lợi của xã hội, người ta sử dụng hàm phúc lợi. Hàm phúc lợi tổng hợp lợi ích của các tác nhân khác nhau trong xã hội. Giả sử rằng ta có hai phân bổ X và Y và rằng mỗi cá nhân đều có thể đánh giá xem họ thích X hơn hay thích Y hơn. Nếu chúng ta biết đánh giá của mỗi cá nhân, chúng ta có thể tìm cách xếp hạng xem xã hội thích X hay thích Y hơn. Ta giả thiết cơ chế quyết định thích X hay Y của xã hội thỏa mãn các điều kiện sau:
Từ các sở thích của mỗi cá nhân, cơ chế quyết định xã hội sẽ hình thành các sở thích xã hội thỏa mãn các tính chất của các sở thích cá nhân.
Nếu tất cả mọi người thích X hơn Y thì sở thích xã hội sẽ đánh giá X cao hơn Y.
Sở thích giữa X và Y chỉ phụ thuộc vào đánh giá của mọi người giữa X và Y mà không phụ thuộc vào đánh giá về một phân bổ nào khác.
99
Định lý bất khả khi Arrow (Arrow’s Impossibility Theorem):
Nếu cơ chế quyết định xã hội thỏa mãn các điều kiện trên, sở thích xã hội sẽ mang tính độc tài: tất cả xếp hạng sở thích của xã hội là xếp hạng sở thích của một cá nhân.
Định lý bất khả thi Arrow cho rằng không có cách nào để có quyết định “hoàn hảo” cho toàn xã hội, không có cách nào tổng hợp tất cả sở thích cá nhân thành sở thích xã hội. Nếu chúng ta muốn tổng hợp sở thích cá nhân thành sở thích xã hội, chúng ta phải hi sinh một trong những giả thiết về cơ chế quyết định xã hội ở trên. Đó thường là giả thiết thứ 3: xếp hạng sở thích giữa 2 phân bổ chỉ phụ thuộc vào đánh giá giữa 2 phân bổ mà không phụ thuộc vào một phân bổ nào khác. Khi đó, chúng ta có khả năng xếp hạng sở thích xã hội của các phân bổ và xây dựng hàm phúc lợi xã hội. Hàm phúc lợi xã hội là hàm số của các hàm lợi ích cá nhân, thể hiện đánh giá của xã hội về lợi ích thu được từ việc sử dụng hàng hóa. Hàm phúc lợi xã hội ký hiệu là SW.
1 2
( , ) W[ ( , y), ( , y),..., n( , y)]
SW x y S U x U x U x
Trong đó U(x,y) là hàm lợi ích cá nhân từ việc tiêu dùng hai hàng hóa X và Y. Một dạng của hàm phúc lợi xã hội là hàm phúc lợi xã hội là tổng các hàm lợi ích cá nhân. 1