D P S P SP t Lấy đạo hàm hai vế theo t ta được:
p z (y y x, y) 0 Nếu*
3.4.2 Tối đa hóa phúc lợi xã hộ
Làm thế nào để tối đa hóa phúc lợi xã hội?
Trước hết, một phân bổ tối đa hóa phúc lợi xã hội phải là một phân bổ hiệu quả Pareto. Thật vậy, với một phân bổ không hiệu quả Pareto, luôn tồn tại một phân bổ khác làm tăng thêm lợi ích, đo đó, phân bổ đó chưa phải là phân bổ tối đa hóa phúc lợi. Để minh họa điều này, chúng ta hãy xem hình xxx.
Hình 4.18
Hình 4.18 minh họa quá trình tối đa hóa phúc lợi xã hội với giả định xã hội chỉ gồm 2 cá nhân. Tập hợp U thể hiện các kết hợp lợi ích u1 và u2 giữa 2
101
cá nhân. Đường bao tập hợp U chính là đường giới hạn lợi ích thể hiện kết hợp lợi ích tối đa có thể giữa 2 cá nhân. Các điểm nằm trên đường giới hạn lợi ích đều là các phân bổ Pareto. Bất kỳ sự thay đổi nào làm tăng lợi ích của người này đều làm giảm lợi ích của người kia. Vấn đề là kết hợp nào đem lại phúc lợi tối đa cho xã hội?
Sử dụng cách tiếp cận đường bàng quan, ta xây dựng các đường đồng phúc lợi xã hội (isowelfare). Đường đồng phúc lợi xã hội thể hiện tập hợp các kết hợp lợi ích khác nhau giữa 2 cá nhân đem lại cùng một mức phúc lợi xã hội. Rõ ràng, những đường đồng phúc lợi cắt đường giới hạn lợi ích không mang lại phúc lợi xã hội tối đa bởi có thể tăng phúc lợi xã hội bằng cách dịch chuyển đường đồng phúc lợi sang phải. Những đường đồng phúc lợi không cắt đường giới hạn lợi ích là không khả thi. Đường đồng phúc lợi tiếp xúc với đường giới hạn lợi ích ứng với mức phúc lợi tối đa khả thi cho xã hội. Như vậy, phân bổ tối đa hóa phúc lợi xã hội là phân bổ Pareto.
Ngược lại, một phân bổ Pareto luôn là một phân bổ tối đa hóa phúc lợi xã hội ứng với một hàm phúc lợi xã hội nào đó.
102
Giả sử ta có điểm O nằm trên đường giới hạn lợi ích. Điểm này do vậy là một phân bổ hiệu quả Pareto. Giả sử hệ số góc của đường giới hạn lợi ích tại điểm O là α. Ta cần tìm một hàm phúc lợi xã hội có đường đồng phúc lợi tiếp xúc với đường giới hạn lợi ích tại điểm O. Để đơn giản ta có thể lấy trường hợp hàm phúc lợi xã hội tổng lợi ích có trọng số dạng:
1 2