III. NHU CẦU VÀ ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở VIỆT NAM
2.3. Một số năng lực kiến tạo kiến thức trong học Toán
Việc xác định các năng lực cơ bản kiến tạo kiến thức trong học Toán dựa trên các cơ sở nhận thức sau :
- Xuất phát từ cách hiểu mô hình dạy học theo quan điểm kiến tạo : lí thuyết (đã có) – dự đoán – thử nghiệm – thất bại – thích nghi – lí thuyết mới (kiến thức mới).
- Từ cách hiểu nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người, trong đó điều ứng là sự thay đổi những sơ đồ nhận thức hiện có sao cho tương hợp với những thông tin mới (có thể trái ngược với kiến thức đã có).
- Từ cách hiểu bản chất của quá trình thích nghi trí tuệ của Jean Piaget;
- Từ nhận thức về khả năng sản sinh cái mới của Jerome Bruner là khả năng chuyển di các nguyên tắc, các thái độ đã có vào các tình huống mới khác nhau.
Khi đề xuất các năng lực kiến tạo kiến thức toán học chúng tôi chú trọng xem xét các năng lực tư duy, đặc biệt là năng lực tư duy biện chứng, tư duy toán học liên quan đến việc dự đoán, phát hiện và lập luận xác nhận kiến thức mới. Đồng thời với các cơ sở lí luận khi đề xuất các năng lực kiến tạo kiến thức chúng tôi dựa vào các
kinh nghiệm thực tiễn dạy học tìm tòi lời giải các bài toán ở trường phổ thông của bản thân và của các chuyên gia.
Sau đây chúng tôi đề xuất một số năng lực cơ bản kiến tạo các kiến thức toán học của học sinh phổ thông; Các năng lực được xếp theo thứ tự logic, liên quan sau đây :
a) Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề, phương pháp dựa trên cơ sở các quy luật tư duy biện chứng, tư duy tiền logic, khả năng liên tưởng và di chuyển các liên tưởng.
b) Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải các bài toán.
c) Năng lực huy động kiến thức để giải quyết các vấn đề Toán học. Các thành tố của năng lực này chủ yếu là :
- Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề;
- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ;
- Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi các bài toán về dạng tương tự.
d) Năng lực lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề đặt ra;
e) Năng lực đánh giá, phê phán.
Sau đây chúng tôi phân tích chi tiết thêm các năng lực trên và xem xét các ví dụ minh họa.
* Để năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề học sinh cần được rèn luyện các năng lực thành tố như : năng lực xem xét các đối tượng Toán học, các quan hệ Toán học trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng; học sinh cần nắm mối quan hệ nhân quả, cần có các năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự. Những năng lực vừa nêu trên thuộc phạm trù năng lực tư duy tiền logic và năng lực tư duy biện chứng.
Ví dụ : Học sinh THCS và THPT có thể dự đoán phương pháp giải các bài tóan hoặc phát hiện các vấn đề sau đây :
Bài toán 1 : “Chứng minh công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A theo ba cạnh a, b, c là (2 2 ) 4 1 2 2 2 2 b c a ma = + − ”(1).
Công thức (1) được chứng minh nhờ khả năng liên tưởng : xem độ dài trung tuyến ma bằng nửa độ dài đường chéo AD của hình bình hành ABCD và sử dụng mệnh đề đã biết sau : “Tổng các bình phương độ dài hai đường chéo của hình bình hành gấp đôi tổng các bình phương độ dài hai cạnh liên tiếp”. Mệnh đề này được chứng minh nhờ sử dụng định lí Pitago.
Bài toán 2 : (học sinh đã được làm quen là cơ sở để phát hiện khái niệm
phương tích của một điểm đối với đường tròn) : “Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A; vẽ đường cao AH. Chứng minh CH.CB=CA2”.
Giáo viên có thể chỉ dẫn học sinh vẽ đường tròn đường kính AB tâm O và yêu cầu học sinh tính CH.CBqua CO và R= 12 AB.
O H C B A
Học sinh tính được CA2 = CO2-R2 và suy ra CH.CB=CO2−R2. Từ đó học sinh có thể phát biểu và chứng minh mệnh đề tổng quát sau : nếu từ điểm C bất kì vẽ cát tuyền cắt đường tròn tại A,B thì ta có hệ thức CH.CB=CO2 −R2.
Từ đó dẫn đến khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn. * Năng lực định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng sau đây của học sinh : khả năng phát hiện các đối tượng và quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân; Khả năng phát hiện ý tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân; Khả năng nhìn nhận một vấn
đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng các đối tượng và các phương pháp.
Chẳng hạn để chứng minh hệ thức liên quan đến độ dài, tích các độ dài thì người ta dùng tích vô hướng hoặc hình dọc đồng dạng; Học sinh có thể xem tích các độ dài a.b là tích vô hướng của hai véctơ cùng chiều m,nvà m =a; n =b, xem cosα là tích vô hướng của hai véctơ đơn vị mà góc giữa chúng bằng α ; Trong trường hợp riêng ta có bình phương độ dài a2 là bình phương vô hướng của véctơ
m có độ dài bằng a.
Như vậy, nhờ xem xét các khái niệm, các quy tắc, các định lí qua nhiều thể hiện khác nhau sẽ giúp học sinh định hướng tốt tìm tòi lời giải các bài toán. Chẳng hạn bạn đọc có thể giải các bài toán lượng giác sau nhờ sử dụng các nhận xét trên : “Với mọi tam giác ABC, luôn có cosA + cosB + cosC ≤ 3/2”.
* Năng lực huy động kiến thức đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với năng lực định hướng. Học sinh cần lựa chọn công cụ thích hợp để giải quyết các vấn đề; Chẳng hạn để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau người ta dùng phép dời hoặc tích vô hướng. Tuy nhiên trong trường hợp cụ thể nếu hai đoạn thẳng đó khác phương thì người ta chọn phép quay là thích hợp.
Học sinh huy động kiến thức để giải quyết tốt các vấn đề còn tùy thuộc vào khả năng chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại một nội dung Toán học và chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để diễn đạt cùng một nội dung Toán học. Khi xác định năng lực huy động kiến thức chúng tôi cho rằng khả năng biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán đóng vai trò rất quan trọng. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, các bài toán tương tự đã giải. Quá trình biến đổi chính là quá trình điều ứng để học sinh thích nghi – chuyển đến sơ đồ nhận thức mới tương hợp với tình huống mới.
Chúng ta có thể xem các ví dụ sau đây để làm sáng tỏ những điều phân tích nói trên.
Giải hệ phương trình sau : = + + = + + = + + 3 3 3 6 6 6 5 5 5 4 4 4 z y x z y x z y x ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (
Trước hết nhờ khả năng nhận dạng học sinh có thể nắm được đẳng thức (1) là bình phương vô hướng của véctơ u=(x2,y2,z2) và u = 3; Đẳng thức (3) là bình phương vô hướng của véctơ w=(x3,y3,z3) và w = 3; Đẳng thức (2) chính là tích vô hướng u.w. Từ định nghĩa u.w=u.w.cosα, suy ra hai véctơ u và w cùng chiều, có nghĩa là cosα = 1. Từ đó suy ra u=w, hay x2 = x3; y2 = y3; z2 = z3, kết hợp giả thuyết suy ra x = y = z = 1. Vậy nghiệm của hệ là (x,y,z) = (1,1,1).
Như vậy, việc giải hệ phương trình trân được chuyển sang hệ các phương trình véctơ; Điều đó có nghĩa là đã thực hiện việc chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải các bài toán.
Ví dụ 2 : Học sinh có thể chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất đường thẳng
cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau nhờ sự dẫn dắt huy động kiến thức bằng hệ thống câu hỏi, chỉ dẫn và từ đó rút ra quy trình xác định đường thẳng :
- Từ phương vuông góc với hai đường chéo nhau a,b suy ra đường thẳng c cần dựng vuông góc với mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau a,b vẽ từ điểm O nào đó trong không gian.
- Đường thẳng c cần dựng đã biết phương, cần xác định điểm H thuộc c; Điểm H chính là giao điểm của a’,b’ ảnh của a,b qua phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
- c chính là đường thẳng qua H và vuông góc với (P).
Chú ý : trong sách giáo khoa Hình học 11 người ta chọn (P) là mặt phẳng đi
qua b song song với đường thẳng a.
Bạn đọc có thể phân tích kĩ hơn về vai trò năng lực lập luận có căn cứ, năng lực đánh giá kiến thức của học sinh thông qua các ví dụ minh họa trong dạy học Toán ở trường phổ thông.