III. NHU CẦU VÀ ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở VIỆT NAM
3.2.1. Năng lực mô hình hóa các lớp đối tượng, hiện tượng toán học theo một số quan hệ và tính chất chung của chúng
quan hệ và tính chất chung của chúng
Mô hình hóa các lớp đối tượng quan hệ hiện thực khách quan là phương pháp chủ yếu của Toán học để nhận thức các lớp đối tượng và quan hệ nói trên.
Để thu được các mô hình (sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán để mô tả các lớp đối tượng, quan hệ của hiện thực khách quan) đòi hỏi sinh viên cần phải tiến hành các thao tác, các hành động như: mô tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa và chuyển di các liên tưởng, các chức năng, thái độ vào các tình huống khác nhau. Từ đó họ mới có thể rút ra các tính chất chung, các quan hệ chung từ lớp các đối tượng, hiện tượng muôn màu muôn vẻ để dẫn tới các khái niệm mới, các lí thuyết mới.
Ví dụ: Để định nghĩa khái niệm hình hộp theo quan điểm của lí thuyết tập hợp có thể tiến hành thực hiện các thao tác, các hành động sau:
- Mô tả, phân tích, so sánh tất cả các dạng hình hộp đã được nghiên cứu ở trường phổ thông như hình kập phương, hình hộp chữ nhật, hình hộp bất kí ABCD. A1B1C1D1 (xem hình 10).
B' C' D' A' C B D A Hình 10 - Tổng hợp chúng rút ra tính chất chung sau đây:
Mọi hình hộp được xác định bởi đại diện ba phương đôi một chéo nhau: AD, BB1 và C1D1.
Các đường thẳng trên không thuộc ba mặt phẳng đôi một song song.
- Liên tưởng tới các kiến thức: “Tồn tại cặp mặt phẳng duy nhất (P), (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau a, b”.
Ta gọi miền không gian giữa hai mặt phẳng (P), (Q) kể cả (P) và (Q) là D (a,b). Khi đó ta định nghĩa hình hộp (khối hộp) như sau:
Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a; b; c không lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song. “Giao của ba miền không gian D(a,b); D(b,c); D(a,c) là hình hộp.
Tùy thuộc vào vị trí tương đối cùa a; b; c ta có hình hộp bất kì, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…
Có thể mô tả hình hộp trên (hình 10) với a; b; c tương ứng là các đường thẳng AD; BB1; C1D1.
Bạn đọc có thể giải bài toán sau đây nhờ sử dụng định nghĩa trên: Cho ba đường thẳng chéo nhau a; b; c không lần lượt thuộc ba mặt phẳng đôi một song song; Giao của ba miền không gian D(a,b); D(b,c); D(a,c) là hình hộp; Hãy tìm quỹ tích tâm hình hộp đó khi a, b cố định và c có phương không đổi thuộc mặt phẳng (α) cố định.
3.2.2. Năng lực chuyển di chức năng hành động nhờ chuyển đổi các đối tượng của hoạt động
Năng lực này được xem xét dựa trên quan điểm của lí thuyết hoạt động, thuyết liên tưởng và các thành tố của sơ đồ cấu trúc khám phá. Việc bồi dưỡng năng lực này
góp phần phát triển, mở rộng kiến thức hình học và bồi dưỡng phương thức khám phá cho sinh viên từ cơ sở các kiến thức đã có, phát hiện tìm tòi kiến thức mới.
Các ví dụ sau đây làm sáng tỏ ý tưởng nêu trên:
Ví dụ 1: Nhờ các kiến thức về các bất biến của phép đối xứng tâm và tính chất hình bình hành có tâm đối xứng, sinh viên đã được làm quen với hai cách giải của bài toán sau:
“ Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó; Dựng đường thẳng ∆qua A sao cho ∆cắt Ox; Oy tại các điểm M, N và đoạn MN nhận A là trung điểm”.
- Nhờ chuyển di liên tưởng trung điểm đoạn MN là trọng tâm của hệ hai điểm <M, N> sang trọng tâm của tam giác;
- Nhờ liên tưởng đoạn thẳng, tam giác, tứ diện, chúng đều là các đơn hình đặc biệt trong không gian một chiều, hai chiều và ba chiều;
Có thể gợi động cơ để sinh viên hình thành các giả thuyết sau:
• Nếu điểm A nằm trong góc tam diện Qxyz thì tồn tại mặt phẳng (α) đi qua A sao cho (α)cắt tia Ox, Oy, Oz tại các điểm tương ứng M, N, P và A là trọng tâm cùa tam giác đó.
• Cho góc tứ diện lồi Oxyzt. Điểm A là nằm trong góc đó.
Tồn tại tứ diện MNPQ sao cho A là trọng tâm của tứ diện đó và M; N; P; Q lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz, Ot.
Có thể kiểm tra giả thuyết đầu theo trình tự các bước sau đây:
- Do phép đối xứng tâm là trường hợp đặc biệt của phép vị tự nên có thể chuyển thao tác với công cụ là phép vị tự.
- Thực hiện phép vị tự −2
A
V : (Oxy) -> (Oxy). Khi đó mặt phẳng (Oxy)’ cắt Oz tại P.
- Đường thẳng PA cắt mặt phẳng (Oxy) tại I.
- Chuyển về bài toán phẳng: “Dựng qua I đường thẳng MN sao cho M thuộc tia Ox; N thuộc tia Oy và I là trung điểm đoạn MN”. Mặt phẳng MNP là mặt phẳng cần tìm.
Cũng có thể kiểm tra giả thuyết đầu bằng cách khác nhờ chuyển đổi thao tác sử dụng hình bình hành và đối xứng tâm của bài toán phẳng; nhờ chuyển hành động sang đối tượng hình hộp và sử dụng phép vị tự (xem hình 11).
A z y x P K M1 A1 N1 M N Q Hình 11 - Thực hiện phép vị tự 3 o V : A A1.
- Dựng hình hộp có đường chéo OA1 và có các cạnh xuất phát từ O là OM, ON, OP thuộc tia Ox; Oy; Oz. Khi đó OA1 cắt mặt phẳng (MNP) tại trọng tâm A của tam giác MNP; Trong đó MNP là các đỉnh của hình hộp OMKN.PM1A1N1. Vậy (MNP) là mặt phẳng cần tìm.
Ví dụ 2 : bạn đọc có thể kiểm tra một giả thuyết đúng xuất phát từ sự chuyển
hóa chức năng khi tiếp cận bài toán phổ thông sau : “Cho tam giác MNP. Qua các đỉnh MNP lần lượt vẽ các đường thẳng song song với PN; Mp; MN; các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tạo thành tam giác ABC; trong đó M; N; P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng M; N; P lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CA”.
Di chuyển thao tác hành động lên đối tượng tứ diện chúng ta đề xuất giả thuyết : “Nếu từ các đỉnh M; N; P; Q của tứ diện MNPQ dựng các mặt phẳng lần lượt song song với các mặt (NPQ); (PQM); (MNQ); (MNP); các mặt phẳng trênn đôi một cắt nhau tạo thành tứ diện ABCD; trong đó M; N; P; Q lần lượt thuộc các mặt đối diện với các đỉnh : A; B; C; D thì M; N; P; Q lần lượt là trọng tâm các mặt BCD; ACD; ABD; ABC”.
3.2.3. Năng lực thể hiện qua các quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong việc phát hiện khám phá kiến thức mới
Việc phát triển cho sinh viên năng lực nói trên nhằm vào các mục tiêu chủ yếu sau : - Khám phá, phát triển từ một bài toán thành nhiều bài toán mới theo quan điểm một cái riêng nằm trong nhiều cái chung khác nhau;
- Tìm tòi các kiến thức mới, bài toán mới từ nhiều trường hợp riêng theo tư tưởng nhiều cái riêng được bao trùm bởi một cái chung, cái tổng quát.
Các tư tưởng trên được sáng tỏ qua bài báo : Phát triển hoạt động nhận thức
toán học cho học sinh PTTH thông qua khai thác SGK theo quan điểm duy vật biện chứng; GS. TS. Đào Tam, (N6o-2006); Tạp chí giáo dục.
- Giúp sinh viên sư phạm ngành Toán phân tích nhìn nhận các tư tưởng nòng cốt của toán học phổ thông trên một quan điểm cao, xem xét nhiều sự kiện riêng lẻ của toán học thành hệ thống tổng thể nhất quán.
- Khi sinh viên được xem xét mối quan hệ giữa toán học trừu tượng ở trường đại học và các thể hiện cụ thể của nó ở trường phổ thông theo quan điểm biện chứng sẽ góp phần giúp họ ý thức định hướng giải toán phổ thông bằng tư tưởng toán học cao cấp, toán học hiện đại và sau đó chuyển sang cách giải phổ thông.
- Từ việc xem xét cẩn thận các quy luật về mối quan hệ nhân quả trong dạy học toán; sinh viên được ý thức về cơ sở của việc huy động kiến thức trong quá trình giải quyết các vấn đề toán học nói chung, trong giải toán nói riêng. Cũng từ việc nắm mối quan hệ nhân quả trong dạy học toán sẽ giúp sinh viên chuyển hóa các liên tưởng, các chức năng trong các tình huống khác nhau.
Có thể minh họa điều nói trên qua ví dụ sau :
Ví dụ : Từ kiến thức của hình học Ơclit có thể bồi dưỡng cho sinh viên
phương pháp định hướng tìm tòi lời giải lớp các bài toán liên quan đến độ dài, độ lớn góc, tích các độ dài, tỉ số độ dài các đoạn thẳng, so sánh độ lớn góc bằng hai cách : - Sử dụng tích vô hướng; - Sử dụng hình học đồng dạng. Độc giả có thể bằng hai cách định hướng trên giải các bài toán sau :
1) Gọi O và I là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có các bán kính tương ứng là R, r. Chứng minh hệ thức OI2 = R2 - 2Rr.
2) Chứng minh độ dài đường phân giác trong la của góc A của tam giác ABC được tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC bằng công thức :
[ ] 2 2 2 2 ) ( ) ( c b a c b bc la + − + =
Chú ý : Ngoài các năng lực cơ bản của hoạt động phát hiện tìm tòi kiến thức
mới kể trên, để kiểm chứng giả thuyết, giải quyết các vấn đề chúng ta cần chú trọng rèn luyện cho sinh viên năng lực “Tìm tòi các phương thức giải quyết vấn đề”.
Các thành tố của năng lực này bao gồm :
- Năng lực huy động đúng đắn kiến thức và phương pháp để giải quyết vấn đề, giải các bài toán.
- Năng lực huy động kiến thức và phương pháp bằng nhiều cách khác nhau. - Năng lực biến đổi vấn đề, bài toán để dễ dàng huy động kiến thức, phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề.
- Năng lực lập luận logic, lập luận có căn cứ.
Chúng ta sẽ đề cập sâu sắc thêm trong phần trình bày các biện pháp dưới đây.