Hàm nhiều biến và cực trị của hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM   - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Thái Ngun - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM   - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS – TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM   - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 1: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Phản biện : GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Ngày tháng 11 năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp lồi RN 1.2 Quan hệ hàm số 1.3 Tô pô RN 10 1.4 Tính liên tục 17 1.5 Định lí tồn 20 Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23 2.1 Hàm số thực tập có liên quan 23 2.2 Một số hàm thông dụng 26 2.2.1 Hàm lồi hàm tựa lồi 27 2.2.2 Hàm lõm hàm tựa lõm 29 2.3 Vi phân hàm số 30 2.3.1 Hàm biến 31 2.3.2 Hàm nhiều biến 32 2.3.3 Hàm 36 Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40 3.1 Cực trị hàm số 40 3.2 Tối ưu khơng ràng buộc 41 3.3 Tối ưu có ràng buộc 48 3.3.1 Ràng buộc đẳng thức 49 3.3.2 Ràng buộc không âm 59 3.3.3 Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạng nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thơng qua mơ hình kinh tế tốn (dùng tốn học để mơ tả, phân tích mối quan hệ, trình hay đối tượng kinh tế) Vì nhà nghiên cứu kinh tế ngày có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học, đặc biệt cơng cụ giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) phương pháp tối ưu hoá Đề tài luận văn đề cập tới kiến thức tốn giải tích tối ưu hố cần dùng kinh tế Việc tìm hiểu kiến thức hoàn toàn cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu cơng cụ tốn giải tích, tối ưu hố vận dụng tốt thực tiễn giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày khái quát kiến thức toán học cần dùng nghiên cứu kinh tế, đặc biệt nghiên cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory) Các nội dung đề cập tới luận văn trình bày khơng q hình thức mà gần gũi với tư kinh tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể có giải thích ý nghĩa kinh tế có thể, giữ tính xác, chặt chẽ mặt tốn học Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu tóm tắt số khái niệm tập hợp ánh xạ, quan hệ hàm số: tập mở, tập đóng, tập compact Rn; cận (cận dưới) tập hợp số thực; tính liên tục ánh xạ, mối quan hệ tính liên tục với ảnh ngược tập mở (đóng), ảnh liên tục tập compact; định lý Weierstrass tồn giá trị cực trị hàm liên tục tập compact; tập lồi tính chất, định lý Minkowski tách tập lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương “Hàm giá trị thực” đề cập tới hàm số thực thường gặp kinh tế số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức trên, tập mức Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt), độ dốc, độ cong mối liên hệ với tập mức, với đạo hàm vi phân hàm số, hàm tính chất Chương “Bài tốn tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị hàm số: cực trị địa phương cực trị toàn cục, cực trị tự cực trị có điều kiện, điều kiện cần, điều kiện đủ cực trị (cấp cấp 2) Tính điểm cực tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt hàm Cực trị với ràng buộc đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm tổng quát với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thày, cô Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 9/2009 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đề cập tới số khái niệm giải tích liên quan tới hàm cực trị hàm Nội dung chương dựa chủ yếu nguồn tài liệu [2], [3], [4] 1.1 TẬP LỒI TRONG ℝn (Convex sets in ℝn) Tập số thực biểu thị ký hiệu đặc biệt ℝ định nghĩa sau ℝ  {x | -  < x < + } Nếu ta xây dựng tích hai tập hợp ℝ  ℝ  {(x1, x2) | x1  ℝ, x2  ℝ } điểm thuộc tập (cặp hai số thực bất kỳ) đồng với điểm mặt phẳng Descarte vẽ Hình 1.1 Tập ℝ  ℝ gọi “không gian Euclid hai chiều” ký hiệu ngắn gọn ℝ2 + x2 0 x0 = (x , x ) - x2 x1 x1 +  - Hình 1.1 Mặt phẳng Descarte ℝ2 Tổng quát, véctơ n- chiều cặp có thứ tự n số (x1, x2, … , xn) xem “điểm” không gian Euclid n - chiều hay “n - không gian” Cũng trước, n - khơng gian định nghĩa tích n tập hợp ℝn  ℝ  ℝ  …  ℝ  {(x1, x2, … , xn) | xi  ℝ, i = 1, 2, … , n} n lần Ta thường ký hiệu véctơ (hay điểm) ℝn chữ in đậm Ví dụ, x  {x1, x2, … , xn} Đôi ta muốn thu hẹp ý vào tập ℝn, gọi “góc khơng âm” ký hiệu ℝ n , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ℝ n  {(x1, x2, …, xn) | xi  0, i = 1, 2, … , n}  ℝn Ta qui ước viết x  để véctơ ℝ n mà thành phần xi lớn hay dùng ký hiệu x > để véctơ mà thành phần thực dương Tổng quát, với x, y  ℝn, ta viết x  y  xi  yi, i = 1, … , n, x > y  xi > yi, i = 1, … , n Định nghĩa 1.1 Tập hợp lồi ℝn Tập S  ℝn gọi lồi với x1  S x2  S ta có tx1 + (1 – t)x2  S t khoảng  t  Như tập hợp lồi chứa hai điểm chứa tất điểm trung bình theo trọng số (tổng trọng số 1) hai điểm Các ví dụ tập lồi tập khơng lồi vẽ Hình 1.2 Các tập hợp lồi có hình dáng đẹp: khơng có hố, khơng nứt gẫy, khơng bị cong queo biên Các tập hợp lồi Các tập hợp khơng lồi Hình 1.2 Các tập lồi tập khơng lồi ℝ2 Ta ý tới tính chất đơn giản quan trọng tập lồi Định lý 1.1 Giao tập lồi lồi Giả sử S T tập lồi ℝn Khi đó, S  T tập lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử S T hai tập hợp lồi x1, x2 hai điểm thuộc S  T Do x1  S  T nên x1  S x1  T Cũng cậy, x2  S  T nên x2  S x2  T Cho z = tx1 + (1 – t)x2 với t  [0, 1] tổ hợp lồi x1 x2 Do S tập lồi nên z  S T tập lồi nên z  T Vì z  S z  T nên z  S  T Do tổ hợp lồi hai điểm thuộc S  T thuộc S  T nên S  T tập hợp lồi 1.2 QUAN HỆ VÀ HÀM SỐ(Relations and Functions)  Ta thấy cặp có thứ tự (s, t) tuỳ ý đặt tương ứng phần tử s  S với phần tử t  T Các phần tử S T không thiết số mà đối tượng (người, vật hay đồ vật, …) Ta nói họ hay tập tuỳ ý cặp có thứ tự quan hệ nhị nguyên (binary relation) hai tập S T Như vậy, quan hệ nhị nguyên tập hợp tích hai tập, phần tử đầu cặp thuộc S phần tử sau thuộc T Thông thường, họ cặp thiết lập hai phần tử cặp có mối quan hệ ý nghĩa Chẳng hạn, S tập thành phố {Hà Nội, Wasington, London, Paris, Marseilles, Huế} T tập nước {Việt Nam, Hoa Kỳ, Anh, Pháp, Đức} Cụm từ “là thủ đô của” xác định nên quan hệ mà tập tập tích S  T, bao gồm cặp {(Hà Nội, Việt Nam), (Wasington, Hoa Kỳ), (London, Anh), (Paris, Pháp)} Ta thường đặt ký hiệu chung để quan hệ, thay cho thân quan hệ cụm từ “là thủ của” Ký hiệu R để cụm từ “có quan hệ ý nghĩa với” Ta nói R xác định quan hệ đọc xRy “x có quan hệ với y” Để phân biệt tập tất cặp có quan hệ cụm từ R với thân phát biểu R đó, ta đặt ký hiệu xác định quan hệ hai dấu nháy kép Như vậy, định nghĩa tổng quát quan hệ cho “R”  {(s, t) | s  S, t  T sR t}  S  T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn lớn hay nhỏ có ràng buộc  Bây ta mơ tả phương pháp Lagrange cho hàm có số biến tuỳ ý, tốn có số ràng buộc tuỳ ý, miễn số ràng buộc số biến Xét tốn tìm cực tiểu hàm n biến với m ràng buộc (m < n) dạng f(x1, … , xn) với g1(x1, … , xn) = 0, … , gm(x1, … , xn) = x1 , , x n (3.10) Để giải toán ta lập hàm Lagrange cách nhân ràng buộc gj với nhân tử Lagrange j cộng vào hàm mục tiêu f Với x = (x1, … , xn)  = (1, … , m) ta nhận hàm m + n biến m L (x,  ) = f(x) +   j g j ( x ) (3.11) j1 Điều kiện cấp yêu cầu đạo hàm riêng cấp L điểm tối ưu Do L có n + m biến nên có tất n + m phương trình để xác định n + m biến x*  Cụ thể L f ( x*) m g j ( x*)    j  0, i  1, , n , x i x i x i j1 L  g j ( x*)  0, j  1, , m  j (3.12) Về nguyên tắc giải hệ phương trình theo n + m biến x*  Khi đó, véctơ x* nghiệm tối ưu tốn có ràng buộc (3.10) Phương pháp Lagrange hữu ích Trên thực tế thuật tốn để tìm nghiệm tối ưu có ràng buộc cho lớp rộng toán thực tiễn Định lý sau nêu điều kiện cho phép tìm x*  Định lý 3.9 Định lý Lagrange (Lagrange‟s Theorem) Giả sử f(x) gj(x), j = 1, … , m, hàm thực hai lần khả vi liên tục miền D  |Rn Giả sử x* điểm D x* điểm tối ưu hàm f(x) với ràng buộc gj(x) = 0, j = 1, … , m Nếu m < n véctơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.Lrc-tnu.edu.vn građiên gj(x*), j = 1, … , m, độc lập tuyến tính tồn m số j, j = 1, … , m, cho hàm Lagrange L có điểm tối ưu theo x x* m g j ( x*) L(x*,  ) f ( x*) = +  j = 0, i = 1, … , n x i x i x i j1 3.3.1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC(Geometrical Interpretation) Trở lại xét tốn (3.1) Về hình học, ta biểu diễn hàm mục tiêu tập mức L()  {(x1, x2) | f(x1, x2) = } với số  thuộc miền trị Tất điểm tập mức cần thoả mãn phương trình f(x1, x2) =  Nếu ta thay đổi x1, x2 không rời khỏi tập mức vi phân dx1, dx2 cần giữ cho giá trị hàm f không đổi mức a, tức cần thoả mãn: f ( x1 , x ) f ( x1 , x ) dx1 + dx2 = 0, x1 x (3.13) đẳng thức nhận cách lấy vi phân tồn phần hai vế phương trình xác định tập mức nhớ vi phân toàn phần số a Đẳng thức cần thoả mãn điểm tập mức hàm mục tiêu Ta tính độ dốc đường mức điểm dừng Giải (3.13) theo dx2/dx1, độ dốc tập mức qua (x1, x2) dx2 dx1 doc theo L ( y ) f1' ( x1 , x ) =- ' f ( x1 , x ) (3.14) Ký hiệu |dọc theo … dùng để ta nhớ loại thay đổi đặc biệt xét dx1, dx2 Vậy, vẽ Hình 3.3, độ dốc tập mức qua điểm (x1, x2) cho (số đối) tỉ số đạo hàm riêng cấp f điểm (x1, x2) Cùng vậy, giả sử ràng buộc g(x) = có dạng Hình 3.2, vẽ mặt phẳng với tập mức Ta xem ràng buộc loại tập mức Đó tập tất điểm (x1, x2) thoả mãn g(x1, x2) = \ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.Lrc-tnu.edu.vn x2 x2 x2 x2 x x  f1' ( x ) f 2' ( x ) g(x) = L(a) x1 x1 Hình 3.3 Độ dốc tập mức  g1' ( x ) g '2 ( x ) x1 x1 Hình 3.4 Độ dốc ràng buộc Tương tự, với điểm (x1, x2) thoả mãn ràng buộc hệ thức g( x1 , x ) g( x1 , x ) dx1 + dx2 = 0, x1 x cần thoả mãn thay đổi dx 1, dx2 dọc theo ràng buộc Độ dốc ràng buộc điểm (x1, x2) dx2 dx1 doc theo g (.)  g1' ( x1 , x ) =- ' g ( x1 , x ) (3.15) Mặt khác, ta viết lại điều kiện (3.4) – (3.6) dạng f ( x1 , x 2 ) g ( x1 , x 2 ) =- x x1 f ( x1 , x 2 ) g ( x1 , x 2 ) =- x x g(x 1 , x 2 ) = Khử  từ hai hệ thức đầu ta nhận điều kiện xác định biến x 1 , x 2 f1' ( x1 , x 2 ) g1' ( x1 , x 2 ) = f 2' ( x1 , x 2 ) g '2 ( x1 , x 2 ) (3.16) g(x 1 , x 2 ) = (3.17) Hai điều kiện nói gì? Vế trái (3.16) (- 1) lần độ dốc tập mức hàm mục tiêu qua điểm (x 1 , x 2 ) Vế phải (3.16) (- 1) lần độ dốc tập mức hàm ràng buộc Điều kiện (3.16) cho thấy nghiệm (x 1 , x 2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.Lrc-tnu.edu.vn điểm độ dốc tập mức hàm mục tiêu độ dốc tập mức hàm ràng buộc Điều kiện (3.17) cho thấy ta cần phải tập mức phương trình ràng buộc Điểm tập ràng buộc có độ dốc tập mức mục tiêu độ dốc tập mức ràng buộc, theo định nghĩa, điểm tiếp xúc (point of tangency) ràng buộc tập mức mục tiêu 3.3.1.3 ĐIỀU KIỆN CẤP HAI(Second – Order Conditions)  Trước hết xét toán tối ưu hai biến, ràng buộc Xem x1 biến tự x2 hàm x1 Ràng buộc có dạng: g(x1, x2(x1)) = Lấy vi phần toàn phần theo dx2/dx1 ta hệ thức quen thuộc: dx g1' =- ' dx1 g2 (3.18) độ dốc hệ thức ràng buộc mặt phẳng (x1, x2) Đặt y = f(x1, x2(x1)) giá trị hàm mục tiêu có ràng buộc, ta xem y hàm biến x1 Lấy vi phân x1 ta dy/dx1 = f 1' + f '2 (dx2/dx1) Chú ý đến (3.18) ta dy g' = f 1' - f '2 1' dx1 g2 (3.19) Lấy vi phân lần nhớ ràng x2 hàm x1 ta vi phân cấp hai: d2 y dx12  dx  dx g1 g2   f22  dx2  f11  f12 dx2  f21 dx2   g2 (g11   g12  dx      )  g ( g  g ) 21 22 dx1 dx1    f2   (g2 )   (3.20) Điều kiện cần cấp hai cho cực tiểu hàm biến đòi hỏi đạo hàm cấp hai lớn hay điểm thoả mãn điều kiện cấp Điều kiện đủ đòi hỏi bất đẳng thức thoả mãn chặt điểm Các điều kiện cấp (3.4) – (3.6) đòi hỏi f1 = -  g1 f 2 = -  g 2 Định lý Young cho thấy f12 =  f 21  = g21  Chú ý tới (3.18) ta viết lại (3.20) dạng g12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.Lrc-tnu.edu.vn d2y = [(f11 + g11)(g2)2 – 2(f12 + g12)g1g2 + (f22 + g22)(g1)2] 2 (g 2 ) dx1 (3.21) Từ L = f + g ta suy đạo hàm riêng hàm Lagrange xi Li = fi + gi Các đạo hàm riêng cấp hai hàm Lagrange L11 = f11 + g11 L12 = f12 + g12 (3.22) L22 = f22 + g22  L11 L12 Lập ma trận đối xứng H =  L 21 L 22   g1 g g1  g2   0 Ma trận gọi ma trận Hessian biên (bordered Hessian) hàm Lagrange chứa đạo hàm riêng cấp hai hàm L bao quanh đạo hàm riêng cấp hàm ràng buộc số Tính định thức ma trận (khai triển theo cột cuối) ta  L11 L12 D   L 21 L 22   g1 g g1  g  = [L 11(g2)2 – 2L 12g1g2 + L 22(g1)2]  0 (3.23) Kết hợp (3.21), (3.22) (3.23) ta thấy đạo hàm cấp hai hàm mục tiêu có ràng buộc viết lại theo định thức ma trận Hessian biên hàm Lagrange sau 1 d2y = D (g 2 ) dx1 (3.24) Như vậy, độ cong hàm mục tiêu dọc theo ràng buộc đặc trưng dấu đạo hàm cấp hai d2y/dx 12 suy trực tiếp từ dấu định thức ma trận Hessian biên hàm Lagrange (giả thiết g2  0) Đến ta phát biểu điều kiện đủ cho tốn hai biến, ràng buộc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định lý 3.10 Điều kiện đủ toán tối ƣu hai biến, ràng buộc (Sufficient Conditions for the Two-Variables, One-Constraint Optimization Problem) Nếu (x 1 , x 2 , ) nghiệm điều kiện cấp (3.4) – (3.6) D < (> 0) (3.23) điểm (x 1 , x 2 , ) (x 1 , x 2 ) cực tiểu (cực đại) hàm f(x1, x2) với ràng buộc g(x1, x2) = Ví dụ 3.4 Hãy xét xem điểm dừng nhận từ Ví dụ 3.1 (tr ?) cực tiểu hay cực đại Dễ thấy L11 = 2a, L12 = L21 = 0, L22 = 2b Từ phương trình ràng buộc g1 = g2 = Xây dựng ma trận Hessian biên tính định thức 2a D = 2b = - 2(a + b) < 1 Vì D < với x1, x2 , nên có D < nghiệm (E.5) điều kiện cấp Ví dụ 3.1 Do đó, giá trị hàm mục tiêu (E.6) giá trị  cực tiểu có ràng buộc  Trường hợp nhiều biến, nhiều ràng buộc: ma trận Hessian biên có dạng  L11    L H =  n11  g1    m  g1  L1n    L nn  g1n    gm n g11  g1n   g1m       gm n  ,         (3.25) Lkj đạo hàm riêng cấp hai hàm Lagrange L theo xk, xj g ij đạo hàm riêng hàm gi theo xj (i = 1, 2, … , m; j, k = 1, 2, … , n) Các tử thức định thức ma trận nhận từ ma trận H nhờ di chuyển từ xuống từ trái sang phải theo đường chéo Các tử thức ta quan tâm định thức cấp kết thúc định thức cấp (n + m) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.Lrc-tnu.edu.vn L11 L12 D = L 21 L 22 g11 g12 L11 L12 g1 L 21 L 22 g , D = L31 L32 g11 g12 g12 g 22 L13 L 23 L33 g13 g 32 g11 g12 g13 0 g12 g 22 g 32 , … , | H | (3.26) 0 Ta tóm tắt điều kiện đủ tối ưu trường hợp tổng quát định lý sau Định lý 3.11 Điều kiện đủ cho tối ƣu với ràng buộc đẳng thức (Sufficient Conditions for Optima with Equality Constraints) Giả sử f(x) hàm mục tiêu m ràng buộc gi(x) = 0, i = 1, … , m Giả sử hàm Lagrange cho (3.11) Giả sử (x*,  ) nghiệm điều kiện cấp (3.12) Khi đó: a) x* đạt cực tiểu có ràng buộc f(x) tử thức (3.26) âm D3 < 0, D4 < 0, … tính (x*,  ) b) x* đạt cực đại có ràng buộc f(x) tử thức (3.26) luân phiên đổi dấu dấu dương D3 > 0, D4 < 0, … tính (x*,  ) 3.3.2 RÀNG BUỘC KHƠNG ÂM (Non-negativity Constraints) Trong ứng dụng kinh tế ta thường gặp toán cực tiểu (cực đại) với ràng buộc bất đẳng thức, thay bổ sung cho ràng buộc đẳng thức Ràng buộc bất đẳng thức đơn giản ràng buộc không âm x  (các biến kinh tế lấy giá trị không âm) Để giúp hiểu rõ toán phức tạp hơn, ta xét trường hợp biến (Có ba trường hợp xảy ra Hình 3.5) f(x) với điều kiện x  (3.27) x Nghiệm x* toán (3.27) cần thoả mãn ba điều kiện sau: + Điều kiện f‟(x*)  + Điều kiện x*.f‟(x*) = (3.28) + Điều kiện x*  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.Lrc-tnu.edu.vn f(x) f(x) f(x) f ‟(x1) < f ‟(x*) > f ‟(x*) = x1 x* = f ‟(x*) = x* = x1 = x x* > Hình 3.5 Cực tiểu với ràng buộc khơng âm Ví dụ 3.5 Xét toán {x2 + 4x - 2} với điều kiện x  x Lấy vi phân ta f‟(x) = 2x + Từ 3.28 x* cần thoả mãn - 2x* -  x*[2x* + 4] = x*  Từ điều kiện cho thấy x* = nghiệm cực tiểu  Điều kiện cho cực đại f(x) với x  dễ dàng nêu ra: Nếu ~ x điểm cực đại tốn với ràng buộc khơng âm x  + Điều kiện f‟( ~ x) + Điều kiện ~ x [f‟( ~ x )] = + Điều kiện ~ x  (3.29) Trong trường hợp nhiều biến, ba điều kiện cần với biến riêng biệt đạo hàm riêng hàm thay cho đạo hàm Định lý sau mở rộng trực tiếp trường hợp biến Định lý 3.12 Điều kiện cần tối ƣu hàm với ràng buộc không âm (Necessary Conditions for Optima of Real Valued Functions Subject to Non-negativity Constraints) Giả sử f(x) hàm khả vi liên tục Khi đó, Nếu x* đạt cực tiểu f(x) với điều kiện x  x* thoả mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1) f ( x*)  0, i = 1, … , n x i (2) x i [ f ( x*) ] = 0, i = 1, … , n x i (3) x i  0, i = 1, … , n Nếu ~ x đạt cực đại f(x) với điều kiện x  ~ x thoả mãn f (~ x) (1)  0, i = 1, … , n x i f (~ x) (2) ~ ] = 0, i = 1, … , n x i[ x i (3) ~ x  0, i = 1, … , n i 3.3.3 ĐIỀU KIỆN KARASH-KUHN-TUCKER(KKT Conditions) Cho đến thực tế ta chưa sử dụng đến phương pháp Lagrange, ràng buộc bất đẳng thức xét đơn giản Bây ta xét toán với ràng buộc bất đẳng thức phức tạp f(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2)  0, x1  0, x2  x1 , x (3.30) Bài toán gọi toán quy hoạch phi tuyến (non-linear programming problem) Thêm biến z  để đưa toán (3.30) dạng: f(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2) + z = 0, x1  0, x2  0, z  (3.31) x1 ,x ,z Định lý 3.1 cho thấy cực tiểu theo x f với ràng buộc đẳng thức trùng với cực tiểu không điều kiện theo x hàm Lagrange tương ứng khơng có ràng buộc dấu Định lý 3.4 cho biết phải thay đổi điều kiện cấp cực tiểu không ràng buộc hàm Lagrange để tính đến ràng buộc khơng âm Để vận dụng định lý trên, trước hết ta xây dựng hàm Lagrange cho toán (3.31): L(x1, x2, z, )  f(x1, x2) + [g(x1, x2) + z] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ta mô tả đặc trưng cho điểm cực tiểu hàm Lagrange L với ràng buộc x1  0, x2  0, z  Điều kiện cấp x1, x2 z có dạng L1  f1 + g1  (i) x1L1  x1[f1 + g1] = (ii) L2  f2 + g2  (iii) x2L2  x2[f2 + g2] = (iv) Lz    (v) zLz  z = (vi) x1  0, x2  0, z  (vii) Điều kiện cấp , khuyết điều kiện không âm, đơn giản L  g(x1, x2) + z = (viii) Từ điều kiện (v) – (viii) suy g(x1, x2)  g(x1, x2) =   Kết hợp điều kiện với (i) – (iv) ta nhận điều kiện gọi điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (hay đơn giản điều kiện KKT): f1 + g1  (i) x1[f1 + g1] = (ii) f2 + g2  (iii) x2[f2 + g2] = (iv) g(x1, x2)  (v‟) g(x1, x2) = (vi‟) x1  0, x2  0,   (vii‟) Ta bàn kỹ điều kiện này: Các điều kiện từ (i) – (iv) với hai điều kiện đầu (vii‟) điều kiện cấp thông thường cho cực tiểu L với ràng buộc không âm x1, x2 Các điều kiện (v‟), (vi‟) điều kiện cuối Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 http://www.Lrc-tnu.edu.vn (vii‟) xem điều kiện cho cực tiểu L theo , bất đẳng thức (v‟) “đảo ngược dấu” Song nhìn lại Định lý 3.4 ta biết nhận ta định tìm cực đại L theo  với ràng buộc không âm Đúng thế, điều kiện (v‟), (vi‟) điều kiện cuối (vii‟) điều kiện L  0, L =   mà ta nhận ta định tìm cực đại L theo  với điều kiện không âm   Bây thấy (i) – (vii‟) điều kiện cần hay điều kiện cho điểm cực tiểu hàm Lagrange theo biến xi cho cực đại hàm Lagrange theo nhân tử  Nếu điểm (x 1 , x 2 , ), L đạt cực tiểu theo x1 x2, đồng thời L đạt cực đại theo , (x 1 , x 2 , ) gọi điểm yên ngựa (saddle point) hàm Lagrange Tất nhiên điều mở rộng cho trường hợp toán có nhiều biến nhiều ràng buộc, miễn hàm ràng buộc cần thoả mãn số điều kiện định (gọi điều kiện qui) Ta đưa điều kiện tương tự, khơng đồng nhất, tốn cực đại với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc khơng âm Với tốn cực đại ta qui ước viết (các) bất đẳng thức ràng buộc dạng g(.)  0, dạng g(.)  làm xét toán cực tiểu Lúc ta áp dụng lập luận phương pháp để tìm thấy điểm yên ngựa hàm Lagrange trùng với nghiệm toán cực đại có ràng buộc Tuy nhiên, lúc điểm yên ngựa bao gồm cực đại hàm Lagrange theo biến định cực tiểu theo nhân tử Lagrange Ta tổng kết kết định lý sau Định lý 3.13 Điều kiện cần tối ƣu KKT hàm thực với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc không âm (KKT Necessary Conditions for Optima of Real Valued Functions Subject to Inequality and Non-negativity Constraints) Giả sử f(x) hai lần khả vi liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Xét toán cực tiểu: f(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1, … , m, x  (T.1) x với hàm Lagrange m L(x,  ) = f(x) +   jg j ( x ) (T.2) j1 Nếu x* nghiệm (T.1) véctơ građiên ràng buộc chặt x* độc lập tuyến tính tồn m số j  0, j = 1, … , m cho (x*,  * ) điểm yên ngựa hàm Lagrange thoả mãn điều kiện Karush Kuhn - Tucker: Li(x*,  * )  x j Li(x*,  * ) = 0, j = 1, … , n L  i (x*,  * )  i L  i (x*,  * ) = 0, i = 1, … , m Xét toán cực đại: max f(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1, … , m, x  x (T.3) với hàm Lagrange tương ứng (T.2) Nếu ~ x nghiệm (T.3) véctơ ~ građiên ràng buộc chặt ~ x độc lập tuyến tính tồn m số  i  ~ 0, i = 1, … , m cho ( ~ x ,  ) điểm yên ngựa hàm Lagrange thoả mãn điều kiện Karush - Kuhn - Tucker: ~ ~ Li( ~ x ,  )  ~ x iLj( ~ x ,  ) = 0, j = 1, … , n ~ ~ ~ L (~ x ,  )   L ( ~ x ,  ) = 0, i = 1, … , m i i i Chứng minh đầy đủ định lý tìm Luenberger (1973) Điều kiện Karush - Kuhn - Tucker nêu Định lý 3.13 điều kiện cần Chúng cho biết điều kiện cần thoả mãn ta biết (hay giả thiết) có nghiệm tối ưu cho tốn quy hoạch phi tuyến Vì thế, chúng khơng cho ta “thuật tốn” để giải thực tốn Muốn cần có thêm điều kiện đủ chúng thực khó trường hợp tổng quát Tuy nhiên, số trường hợp riêng hàm mục tiêu lồi (lõm) hay tựa lồi (lõm) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 http://www.Lrc-tnu.edu.vn điều kiện đủ bàn tới Với nhà kinh tế điều kiện cần nêu Định lý 3.13 tạm đủ L(x, l) (0, 0) x l Hình 3.6 Điểm yên ngựa hàm Lagrange  Tóm lại, chương chúng tơi trình bày khái quát vấn đề tìm cực trị hàm số hay nhiều biến số giới thiệu tương đối đày đủ khái niệm kiến thức tối ưu bản, chủ yếu hình thức phi tốn, kết ghi thành định lý, phần lớn chúng giải thích minh hoạ thơng qua nhiều ví dụ số hình vẽ cụ thể Đáng ý điều kiện cần điều kiện đủ, cấp cấp 2, cho điểm cực tiểu hay cực đại hàm số có hay khơng có ràng buộc Phương pháp quen biết tìm cực trị phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát phương pháp dùng điều kiện cần KKT, kết hợp với điều kiện đủ tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 http://www.Lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Hàm (rộng ánh xạ) khái niệm giải tích tốn học Nói riêng, hàm thực nhiều biến sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Nhiều tính chất đáng quí hàm khai thác triệt để giả thiết thiếu nhiều nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi tính chất cực trị hàm Luận văn nhằm tập trung tìm hiểu kiến thức giải tích tối ưu hố liên quan đến hàm nhiều biến số, cần dùng phân tích nghiên cứu kinh tế mặt định lượng (bổ sung cho nghiên cứu định tính) Chương giới thiệu tóm tắt số kiến thức giải tích tập hợp ánh xạ: tập mở, tập đóng, tập compact Rn, cận (cận dưới) tập hợp số thực, tập lồi tính chất; tính liên tục ánh xạ, quan hệ tính liên tục với ảnh ngược tập mở (đóng), ảnh liên tục tập compact Chương đề cập tới hàm số thường gặp kinh tế tính tốn tối ưu: hàm lồi, hàm lõm, hàm Khảo sát tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), độ dốc, độ cong hàm qua tập liên quan mật thiết với hàm (đồ thị, tập mức, tập mức trên, dưới), qua đạo hàm vi phân hàm Chương trình bày khái quát cực trị hàm số nhiều biến số kiến thức tối ưu bản: điều kiện cần (điều kiện đủ) điểm cực trị tốn tối ưu có hay khơng có ràng buộc, phương pháp Lagrange cho tối ưu với ràng buộc đẳng thức mở rộng cho tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức Tác giả cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa ví dụ hình vẽ để minh hoạ cho nhiều khái niệm kiện đề cập tới luận văn Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho đối tượng khơng chun sâu tốn mn tìm hiểu vận dụng cơng cụ giải tích, đặc biệt phương pháp tối ưu chun mơn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 http://www.Lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] N T B Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu (Lý thuyết thuật toán), Nxb Bách khoa - Hà Nội [2] Đ V Lưu P H Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội Tiếng Anh [3] G A Jehle (1995), Advanced Microeconomic Theory, Part I, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [4] W F Trench (2003), Introduction to Real Analysis, Free Edition, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data [5] D G Luenberger and Y Ye (2008), Linear and Nonlinear Programming, 3rd Edition, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... với tập mức, với đạo hàm vi phân hàm số, hàm tính chất Chương “Bài tốn tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị hàm số: cực trị địa phương cực trị toàn cục, cực trị tự cực trị có điều kiện, điều... lồi hàm tựa lồi 27 2.2.2 Hàm lõm hàm tựa lõm 29 2.3 Vi phân hàm số 30 2.3.1 Hàm biến 31 2.3.2 Hàm nhiều biến 32 2.3.3 Hàm 36 Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40 3.1 Cực trị hàm số 40 3.2 Tối ưu khơng... giá trị hàm theo thay đổi biến x j giữ nguyên giá trị biến khác Xét ví dụ sau hàm biến Ví dụ 2.1 Cho f(x1, x2) = x 12 + 3x1x2 – x 22 Đây hàm hai biến, có hai đạo hàm riêng Lấy đạo hàm theo biến