Ham nhieu bien va cuc tri cua ham

 Tóm lại, chương này đã trình bày khái quát về hàm thực nhiều biến số và một số tập liên quan mật thiết với hàm (đồ thị, các tập mức), đồng thời phân tích các hàm thường gặp t[r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-  -

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-  -

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS – TS Trần Vũ Thiệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-  -

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số:60.46.01

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Trần Vũ Thiệu

Phản biện 1: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Phản biện : GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Tập hợp lồi RN

1.2 Quan hệ hàm số

1.3 Tô pô RN 10

1.4 Tính liên tục 17

1.5 Định lí tồn 20

Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23

2.1 Hàm số thực tập có liên quan 23

2.2 Một số hàm thông dụng 26

2.2.1 Hàm lồi hàm tựa lồi 27

2.2.2 Hàm lõm hàm tựa lõm 29

2.3 Vi phân hàm số 30

2.3.1 Hàm biến 31

2.3.2 Hàm nhiều biến 32

2.3.3 Hàm 36

Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40

3.1 Cực trị hàm số 40

3.2 Tối ưu không ràng buộc 41

3.3 Tối ưu có ràng buộc 48

3.3.1 Ràng buộc đẳng thức 49

3.3.2 Ràng buộc không âm 59

3.3.3 Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61

KẾT LUẬN 66

LỜI NĨI ĐẦU

Tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạng nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thơng qua mơ hình kinh tế tốn (dùng tốn học để mơ tả, phân tích mối quan hệ, trình hay đối tượng kinh tế) Vì nhà nghiên cứu kinh tế ngày có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học, đặc biệt cơng cụ giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) phương pháp tối ưu hoá

Đề tài luận văn đề cập tới kiến thức tốn giải tích tối ưu hoá cần dùng kinh tế Việc tìm hiểu kiến thức hồn tồn cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu cơng cụ tốn giải tích, tối ưu hố vận dụng tốt thực tiễn giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế

Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày khái quát kiến thức toán học cần dùng nghiên cứu kinh tế, đặc biệt nghiên cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory) Các nội dung đề cập tới luận văn trình bày khơng q hình thức mà gần gũi với tư kinh tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể có giải thích ý nghĩa kinh tế có thể, giữ tính xác, chặt chẽ mặt toán học

Nội dung luận văn chia thành ba chương:

Chương “Hàm giá trị thực” đề cập tới hàm số thực thường gặp kinh tế số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức trên, tập mức Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt), độ dốc, độ cong mối liên hệ với tập mức, với đạo hàm vi phân hàm số, hàm tính chất

Chương “Bài tốn tối ƣu” trình bày khái qt vấn đề cực trị hàm số: cực trị địa phương cực trị toàn cục, cực trị tự cực trị có điều kiện, điều kiện cần, điều kiện đủ cực trị (cấp cấp 2) Tính điểm cực tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt hàm Cực trị với ràng buộc đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm tổng quát với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn thày, cô Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 9/2009

Chƣơng

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương đề cập tới số khái niệm giải tích liên quan tới hàm cực trị hàm Nội dung chương dựa chủ yếu nguồn tài liệu [2], [3], [4]

1.1 TẬP LỒI TRONG ℝn

(Convex sets in ℝn)

Tập số thực biểu thị ký hiệu đặc biệt ℝ định nghĩa sau ℝ  {x | -  < x < + }

Nếu ta xây dựng tích hai tập hợp

ℝ  ℝ  {(x1, x2) | x1 ℝ, x2 ℝ }

thì điểm thuộc tập (cặp hai số thực bất kỳ) đồng với điểm mặt phẳng Descarte vẽ Hình 1.1 Tập ℝ  ℝ gọi “không gian Euclid hai chiều” ký hiệu ngắn gọn ℝ2

Hình 1.1 Mặt phẳng Descarte ℝ2

Tổng quát, véctơ n- chiều cặp có thứ tự n số (x1, x2, … , xn)

được xem “điểm” không gian Euclid n - chiều hay “n - không gian” Cũng trước, n-khơng gian định nghĩa tích n tập hợp

ℝn ℝ  ℝ

…  ℝ {(x1, x2, … , xn) | xi ℝ, i = 1, 2, … , n}

n lần

Ta thường ký hiệu véctơ (hay điểm) ℝn

chữ in đậm Ví dụ, x  {x1, x2, … , xn} Đơi ta muốn thu hẹp ý vào tập ℝn,

x1 x2

-

-

+ +

x02 x0 =(x10, x02)

ℝn

  {(x1, x2, …, xn) | xi  0, i = 1, 2, … , n} ℝn

Ta qui ước viết x  để véctơ ℝn mà thành phần xi

nó lớn hay dùng ký hiệu x > để véctơ mà thành phần thực dương Tổng quát, với x, y ℝn, ta viết x  y xi

yi, i = 1, … , n, x > y  xi > yi, i = 1, … , n

Định nghĩa 1.1 Tập hợp lồi ℝn

Tập S ℝn

gọi lồi với x1  S x2  S ta có tx1 + (1 – t)x2 S

đối với t khoảng  t 

Như tập hợp lồi chứa hai điểm chứa tất điểm trung bình theo trọng số (tổng trọng số 1) hai điểm

Các ví dụ tập lồi tập khơng lồi vẽ Hình 1.2 Các tập hợp lồi có hình dáng đẹp: khơng có hố, không nứt gẫy, không bị cong queo biên

Các tập hợp lồi Các tập hợp khơng lồi

Hình 1.2 Các tập lồi tập không lồi ℝ2

Ta ý tới tính chất đơn giản quan trọng tập lồi Định lý 1.1 Giao tập lồi lồi

Chứng minh. Giả sử S T hai tập hợp lồi x1, x2 hai điểm thuộc S  T Do x1  S  T nên x1  S x1  T Cũng cậy, x2 S  T nên x2  S x2  T Cho z = tx1 + (1 – t)x2 với t  [0, 1] tổ hợp lồi x1 x2 Do S tập lồi nên z  S T tập lồi nên z T Vì z  S z

 T nên z  S  T Do tổ hợp lồi hai điểm thuộc S  T

thuộc S  T nên S  T tập hợp lồi

1.2 QUAN HỆ VÀ HÀM SỐ(Relations and Functions)

 Ta thấy cặp có thứ tự (s, t) tuỳ ý đặt tương ứng phần tử s  S với phần tử t  T Các phần tử S T không thiết số mà đối tượng (người, vật hay đồ vật, …) Ta nói họ hay tập tuỳ ý cặp có thứ tự quan hệ nhị nguyên (binary relation) hai tập S T Như vậy, quan hệ nhị nguyên tập hợp tích hai

tập, phần tử đầu cặp thuộc S và phần tử sau thuộc T

Thông thường, họ cặp thiết lập hai phần tử cặp có mối quan hệ ý nghĩa Chẳng hạn, S tập thành phố {Hà Nội, Wasington, London, Paris, Marseilles, Huế} T tập nước {Việt Nam, Hoa Kỳ, Anh, Pháp, Đức} Cụm từ “là thủ đô của” xác định nên quan hệ mà tập tập tích S  T, bao gồm cặp {(Hà Nội, Việt Nam), (Wasington, Hoa Kỳ), (London, Anh), (Paris, Pháp)} Ta thường đặt ký hiệu chung để quan hệ, thay cho thân quan hệ cụm từ “là thủ đô của”

Ký hiệu R để cụm từ “có quan hệ ý nghĩa với” Ta nói R xác định quan hệ đọc xRy “x có quan hệ với y” Để phân biệt tập tất cặp có quan hệ cụm từ R với thân phát biểu R đó, ta đặt ký hiệu xác định quan hệ hai dấu nháy kép Như vậy, định nghĩa tổng quát quan hệ cho

Hay gặp quan hệ nhị nguyên xác định tập tích tập hợp với Chẳng hạn, S tập điểm thuộc khoảng đóng đơn vị S = [0, 1] Với cụm từ có nghĩa R  “lớn hay bằng” quan hệ nhị nguyên

“”  {(x, y) | x  S, y  S x  y}

được minh hoạ Hình 1.3 Quan hệ bao gồm cặp có thứ tự số 1, số thứ lớn hay số thứ hai Khi quan hệ nhị nguyên tập tích tập S với ta nói quan hệ trên S

1 

S = {0, 1}

S  S = {(x, y) | x  S, y  S} “” = {(x, y) | x  S, y  S, x  y} “”  S  S

 

Hình 1.3. Quan hệ “” S = [0, 1]

 Hàm (function) quan hệ kiểu quan hệ đặc biệt Cụ thể, hàm quan hệ đặt tương ứng phần tử tập với phần tử tập khác Ta nói hàm f ánh xạ (mapping) từ tập D vào tập khác T viết f : D  T Tập D phần tử có ánh xạ từ gọi miền xác định (domain) tập T phần tử ánh xạ chuyển tới gọi miền trị (range) Nếu y điểm thuộc miền trị ánh xạ chuyển tới từ điểm x thuộc miền xác định ta viết y = f(x) gọi y ảnh (image) x Nếu tập điểm A miền trị ánh xạ tới tập điểm B miền xác định ta viết A = f(B) Để minh hoạ, ta xét Hình 1.4 Hình vẽ (A) khơng phải hàm, nhiều điểm miền trị gắn với điểm miền xác định, x1 chẳng hạn Hình vẽ (B) mơ tả hàm,

điểm thuộc miền xác định gắn với điểm miền trị

y"1

y1'

y1

(A) (B) Hình 1.4. Hàm hàm

Ảnh D tập điểm miền trị mà có điểm thuộc miền xác định ánh xạ tới đó, tức tập I  f(D) = {y | y = f(x) với x  D}  T Ảnh ngƣợc tập điểm S  I định nghĩa tập f-1(S)  {x | x  D, f(x)  S} Đồ thị hàm f hiểu theo nghĩa thơng thường, tập cặp có thứ tự G  {(x, y) | x  D, y = f(x)} Một số khái niệm đồ thị minh hoạ Hình 1.5 Hình 1.5 (A), D = ℝ, T = ℝ mơ tả đồ thị hàm y = sin(x) Tuy nhiên, hàm sin(x) không lấy giá trị nhỏ - lớn Vì ảnh D tập I = {-1, 1} miền trị T Hình 1.5 (B) đồ thị hàm f : [0,1]  [0, 1] cho y = 21x ta giới hạn miền xác định miền trị khoảng

đơn vị [0, 1] ảnh D tập I = [0, 21] miền trị

y y - -

I = [-1, 1]

x 21 - -  -/2 /2  T S I

-1 - - x

(A) (B)

Hình 1.5. Miền hữu hiệu, miền trị miền ảnh (image)

x1

A = f(B)

B



f-1D (S)

Hình 1.5 (A) cho thấy định nghĩa hàm khơng ngăn cấm có nhiều phần tử miền xác định ánh xạ vào phần tử miền trị Nếu điểm miền trị gắn tối đa với điểm miền xác định hàm gọi ánh xạ một-một Thêm vào đó, điểm miền trị ảnh điểm miền xác định hàm gọi ánh xạ lên Nếu hàm ánh xạ - lên hàm ngƣợc f-1 : T  D tồn tại, ánh xạ - lên

1.3.TÔ PÔ TRONG ℝn

 Mục đề cập tới số khái niệm tôpô thiết lập số kết quan trọng tập hợp ánh xạ liên tục từ tập vào tập khác Mặc dù nhiều khái niệm đề cập tới mở rộng cho loại tập bất kỳ, song ta hạn chế xét tập ℝn, tức tập số thực hay tập véctơ thực

Ta bắt đầu khái niệm metric không gian metric (metric space) Mêtric hiểu đơn giản số đo khoảng cách (distance) Khơng gian metric tập, có định nghĩa khái niệm khoảng cách phần tử tập Đường thẳng số thực ℝ không gian metric Khoảng cách hay metric ℝ hàm giá trị tuyệt đối Với hai điểm x1, x2 thuộc ℝ khoảng cách chúng, ký hiệu d(x1

, x2) cho d(x1, x2) = |x1 - x2|

Mặt phẳng Descarte ℝ2

không gian metric Khoảng cách hai điểm tuỳ ý x1 = (x11, x12) x2 = (x12, x22) ℝ2 cho

d(x1, x2) = (x12 x11)2 (x22 x12)2

Tổng quát, với hai điểm x1 x2 ℝn ta định nghĩa

Euclid Cũng lẽ tự nhiên, ta gọi không gian metric ℝn sử dụng chuẩn để đo khoảng cách khơng gian Euclidℝn

Khi có metric, ta đưa khái niệm “gần nhau” hai điểm Ta lấy điểm x0  ℝn

gọi tập điểm có khoảng cách tới x0 nhỏ  >

-hình cầu mở tâm x0 Tập điểm có khoảng cách tới x0 không  >

-hình cầu đóng tâm x0 Nói cách xác, ta có

Định nghĩa 1.2 Hình cầu bán kính  mở đóng (open & closed -balls) 1. Hình cầu mở tâm điểm x0  ℝn bán kính  > ( số

thực) tập điểm ℝn

:

B(x0)  {x ℝn | d(x0, x) < } nhỏ hẳn

2. Hình cầu đóng tâm điểm x0  ℝn bán kính  > tập điểm ℝn

:

B(x0)  {x ℝn | d(x0, x)  } nhỏ hay

Các khoảng mở khoảng đóng đường thẳng số thực tập có tính chất hồn tồn khác Trong ℝ ta có cảm nhận trực quan tốt khác Khái niệm -hình cầu cho phép ta hình thức hố khác biệt tổng qt hố để áp dụng cho tập không gian số chiều cao

 Dưới ta dùng khái niệm -hình cầu để định nghĩa tập mở, tập đóng thiết lập số tính chất quan trọng chúng

Định nghĩa 1.3 Tập mở ℝn

(open set) Ta nói tập S  ℝn

Định lý 1.2 Về tập mở ℝn

1. Tập rỗng là tập mở

2. Tồn khơng gianℝn là tập mở

3. Hợp hai (hay số bất kỳ) tập mở tập mở

4. Giao số hữu hạn tập mở tập mở

Chứng minh. (1) hiển nhiên, tập  khơng chứa phần tử (2) tự nhiên, B(x)  ℝn x  ℝn  > Để chứng minh (3) giả sử A, B tập mở, ta chứng minh A  B tập mở Thật vậy, với x  A  B x

 A x  B Nếu x  A A mở nên tìm  > cho B(x)  A Nếu x  B B mở nên tìm ‟ > cho B‟(x)  B Trong

trường hợp, với x  A  B ta ln tìm hình cầu mở tâm x nằm

trọn A  B, A  B tập mở Chứng minh (4) tương tự Các tập mở có tính chất lý thú hữu ích Tập mở ln

mơ tả xác họ tập mở khác nhau! Giả sử ta tập mở Vì tập mở nên ta “bọc” điểm tập hình cầu mở cho điểm thuộc hình cầu nằm tập chọn Bản thân hình cầu mở lại tập mở, minh hoạ Hình 1.6

Hình 1.6 Hình cầu mở tập mở Hình 1.7 Tập mở/ đóng ℝ2

Bây xét hợp tất hình cầu mở Theo Định lý 1.2, hợp tập mở Có thể thấy thực tế hai tập Tính chất tập mở quan trọng đủ để chứng tỏ vai trò định lý sau

S = Be(x0) d(x0, x) x‟ e‟ e

x1 x2

x0

 x S

S

 x  int S

x1 x2

Định lý 1.3 Mọi tập mở họ hình cầu mở

Giả sử S  ℝn là tập mở Với mỗi x  S chọn só x > sao cho B

x

 (x)

 S Khi đó

S = 

S x

) x ( B

x

 

 Ta dùng tập mở để định nghĩa tập đóng Định nghĩa 1.4 Tập đóng ℝn

Ta nói tập S  Rn đóng phần bù cS = (ℝn \ S) tập mở Nói nơm na, tập mở khơng chứa điểm “biên” tập đóng chứa điểm biên Chính xác hơn, điểm x gọi điểm biên tập S -hình cầu tâm x chứa điểm thuộc S điểm không thuộc S Tập điểm biên S ký hiệu

S Tập S mở khơng chứa điểm biên hay S  S =  Tập S đóng chứa điểm biên hay S  S

Cho tập S  ℝn Điểm x 

S gọi điểm trong S tìm

-hình cầu tâm x nằm trọn S: B(x)  S Tập tất điểm S gọi phần trong S ký hiệu int S Theo cách ta thấy tập S mở chứa điểm trong, tức S = int S Trái lại, tập S đóng chứa điểm với điểm biên nó, tức S = int S S

Tập đóng có tính chất tương tự tính chất tập mở nêu Định lý 1.2 Định lý 1.4 Về tập đóng ℝn

1. Tập rỗng là tập đóng

2. Tồn khơng gianℝn là tập đóng

3. Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng

Chứng minh. Tập rỗng  toàn |Rn hai tập vừa đóng vừa mở ℝn Theo Định lý 1.2 hai tập mở Do ℝn tập phần bù tập nên chúng tập đóng

Để chứng minh (3) giả sử A, B hai tập đóng Ta chứng minh A  B tập đóng Thật vậy, A, B đóng nên theo Định nghĩa 1.4 phần bù cA, cB chúng tập mở Theo Định lý 1.2 tương giao cA  cB tập mở Luật De Morgan định nghĩa tập đóng cho thấy c(cA  cB) = A  B tập đóng

Chứng minh (4) tương tự Các tập đóng đường thẳng thực có tính chất đặc thù thực tế

nó tỏ hữu ích: tập đóng ℝ xem tương giao (hữu hạn hay vô hạn) hợp khoảng đóng đơn giản

Chính xác hơn, chứng minh định lý sau

Định lý 1.5 Các tập đóng ℝ khoảng đóng

Giả sử S là tập đóng trongℝ Khi đó,

S =  

I i

i

i] [b , )

a , ( 

 



với số thực < bivà tập số I nào đó

Định lý 1.5 cho tập đóng gồm số thực khơng âm Ta có định lý sau

Định lý 1.6 Các tập đóng ℝ+ khoảng đóng

Giả sử S là tập đóng trongℝ+ Khi đó,

S =  

I i

i

i] [b , )

a , [ 





với số thực  < bivà tập số I nào đó

 Một khái niệm quan trọng khác tập bị chặn Nói nơm na, tập bị chặn khơng “đi vơ hạn” Sau định nghĩa xác khái niệm

Định nghĩa 1.5 Tập bị chặn ℝn

Tập S ℝn

gọi bị chặn chứa hình cầu (mở hay đóng) bán kính  Nghĩa là, S bị chăn x ℝn số  > để S  B(x)

Theo định nghĩa này, tập bị chặn ta vẽ -hình cầu bao quanh tập Có cách định nghĩa khác với nội dung trực quan ta hạn chế hình cầu tâm gốc  ℝn Theo cách thấy tập S bị chặn có e > hữu hạn cho điểm S cách gốc khơng q 

Có số thuật ngữ liên quan tới tập bị chặn đường thẳng thực ℝ Giả sử S  ℝ tập số thực khác rỗng Một số thực l (không thiết thuộc S) thoả mãn l  x với x  S gọi cận dƣới (lower bound) S Chẳng hạn, S = {3, 5, 7} số  S cận S, số  S cận S Cũng vậy, số thực u (không thiết rhuộc S) cho x  u với x  S gọi cận trên (upper bound) S Trong ví dụ vừa xét  S cận S, số  S cận S Tập S  ℝ gọi bị chặn dƣới có cận bị chặn trên có cận Khoảng (- , 3) bị chặn không bị chặn Tập số vừa bị chặn vừa bị chặn tất nhiên bị chặn theo Định nghĩa 1.5

Ta vừa thấy tập hợp số có nhiều cận hay cận Số lớn cận gọi cận dƣới lớn nhất (greatest lower bound) hay cận đúng tập S Số nhỏ cận gọi cận nhỏ nhất (least upper bound) hay cận đúng tập S Có thể dùng tiên đề hệ thống số thực để chứng minh tập bị chặn ℝ ln có cận lớn cận nhỏ

Trái lại, tập mở ℝ không chứa cận lớn cận nhỏ

Định lý 1.7 Cận cận dƣới tập hợp số thực

1. Giả sử S  ℝ là tập mở bị chặn giả sử a là cận lớn

của S và b là cận nhỏ của S Khi đó, a  S và b  S

2. Giả sử S  ℝ là tập đóng bị chặn giả sử a là cận lớn

nhất của S và b là cận nhỏ của S Khi đó, a  S và b  S

Chứng minh. Ta chứng minh kết luận đầu, phần sau chứng minh tương tự Giả sử S  ℝ tập mở số thực a cận lớn S Định lý khẳng định a  S Nếu giả sử a  S ta tìm mâu thuẫn Thật vậy, giả thiết a  S S tập mở nên tìm  > cho B(a)  S Từ điểm a - /2  S Do a - /2 < a a - /2  S nên điều trái với a cận lớn S Vì khơng thể có a  S mà phải có a  S

Để chứng minh định lý cho trường hợp tập đóng, giả sử S ℝ tập đóng, bị chặn a cận lớn S Theo định nghĩa cận dưới, a  x x  S Nếu a = x với x  S a  S chứng minh kết thúc

Nếu a < x x  S a  S, a  cS (phần bù S) Do S đóng nên cS mở Khi tìm  > cho điểm thuộc hình cầu mở B(a) = (a- , a+) chứa cS Từ cho thấy điểm thuộc khoảng mở (a - , a + ) thực nhỏ điểm S Nói riêng, điểm a + /2  (a - , a + ) a +

/2 < x x  S, nghĩa a + /2 cận S a < a + /2, trái với a cận lớn S Vậy ta phải có a  S

Một tập ℝn

vừa đóng, vừa bị chặn gọi tập compact. Các tập quen thuộc nhiều ứng dụng Ta nhắc lại định nghĩa để dùng sau

Định nghĩa 1.6 (Heine - Borel) Tập compact ℝn

Tập S ℝn

Khoảng mở ℝ khơng phải tập compact Nó bị chặn khơng đóng Cũng vậy, hình cầu mở ℝn

không compact Tuy nhiên khoảng đóng bị chặn ℝ, hình cầu đóng ℝn

tập compact Tồn ℝn

khơng compact khơng bị chặn, đóng Tính compact thực tính chất tơpơ Tuy nhiên, Định lý Heine-Borel cho thấy tập ℝn

tính chất compact tương đương với tính đóng bị chặn

1.4 TÍNH LIÊN TỤC(Continuity)

Khái niệm ánh xạ liên tục (continuous mapping) hay hàm liên tục (conti-nuous function) khái niệm quan trọng giải tích Trong nhiều ứng dụng kinh tế ta muốn giả thiết hàm đề cập tới hàm liên tục muốn biết liệu chúng có liên tục mà ta không muốn đơn giản giả thiết Dù trường hợp nữa, tốt nên có hiểu biết rõ hàm liên tục tính chất hàm liên tục

Về đại thể, hàm gọi liên tục “di chuyển nhỏ” miền xác định không gây “bước nhảy lớn” miền trị Cụ thể hơn, hàm gọi liên tục điểm x0

miền xác định với  > tìm  > cho điểm miền xác định, cách x0

không  ánh xạ f chuyển tới điểm miền trị, cách f(x0

) không  Định nghĩa sau cho cách hiểu xác ánh xạ liên tục, áp dụng cho ánh xạ từ tập D vào tập T khác, không thiết không gian Euclid mà không gian mêtric

Định nghĩa 1.7 (Cauchy) Tính liên tục (Continuity)

Cho D tập, T tập khác giả sử f : D  T Hàm f gọi liên tục điểm x0

D với  > tồn  > cho f(B(x0))  B(f(x0))

 B(f(x0)) f(x0) - 

B(x0)  

x0

Hình 1.8. Tính liên tục hàm (ánh xạ)

Định nghĩa liên tục nêu tập trung chủ yếu vào quan hệ hai tập: tâp f(B(x0)) (ảnh tập mở miền xác định) tập mở khác - tập B(f(x0)), hai tập miền ảnh

Hai định lý sau thiết lập tương đương tính liên tục ánh xạ với bảo tồn tính chất tơpơ tập ảnh ngược

Định lý 1.8 Tính liên tục ảnh ngƣợc tập mở

Giả sử f : D  T là ánh xạ và f-1 : T  D là ánh xạ ngược của f từ T

tới D Giả sư U  T là tập mở miền trị của f Khi đó, f là liên tục

và ảnh ngược f-1(U)  D là tập mở miền xác định của f

Chứng minh. Cần. Giả sử f ánh xạ liên tục thoả mãn Định nghĩa 1.7 Cho U  T tập mở miền trị f Xét tập ảnh ngược f-1(U) U miền xác định f Ta chứng minh f-1(U) mở Thật vậy, lấy điểm x  f-1U)  D Theo định nghĩa ảnh ngược f(x)  U Do U mở nên có  > cho hình cầu mở B(f(x))  U Do f liên tục nên theo Định nghĩa 1.7 tìm  > cho f(B(x))  B(f(x)) Nhưng B(f(x))  U nên f(B(x))  U Bằng cách áp dụng hàm f-1

vào hai vế bao hàm thức ta có f-1(f(B(x))

 f-1(U) hay B(x)  f-1(U) Chứng tỏ f-1(U) tập mở

Đủ. Ta cần chứng minh tập mở miền trị f f-1 biến thành tập mở miền xác định f f ánh xạ liên tục Lấy tập mở

miền trị mà ảnh điểm x miền xác định f Như vậy, hình cầu B(f(x)) tập mở miền trị f ta giả thiết ảnh ngược f-f(B(f(x))) tập mở miền xác định f Ta chứng minh f liên tục Thật vậy, theo giả thiết f-1

(B(f(x))) mở D nên tìm hình cầu mở quanh điểm x  f-1(B(f(x))) nằm trọn f-1(B(f(x))) Giả sử bán kính hình cầu  > 0: B(x)  f-1(B(f(x))) Từ f(B(x))  f(f-1(B(f(x)))) hay f(B(x))  B(f(x)) Như vậy, f thoả mãn định nghĩa hàm liên tục

Ta có định lý tương tự hàm liên tục ảnh ngược tập đóng

Định lý 1.9 Tính liên tục ảnh ngƣợc tập đóng

Giả sử f : D  T là ánh xạ và f-1 : T  D là ánh xạ ngược của f từ T

tới D Giả sư U  T là tập đóng miền trị của f Khi đó, f là liên tục

khi ảnh ngược f-1(U)  D là tập đóng miền xác định của f

Chứng minh. Cho U tập đóng miền trị T Ta tìm cách chứng minh ảnh ngược f-1(U) U tập đóng miền xác định D 

f liên tục Thật vậy, U tập đóng phần bù cU tập mở T Định lý 1.8 cho thấy f liên tục ảnh ngược tập mở f-1(cU) tập

mở D Có thể chứng minh ảnh ngược phần bù tập trùng với phần bù ảnh ngược tập đó, f-1

(cU) = c(f-1(U)) Như vậy, f liên tục tập c(f-1(U)) mở D Lấy phần bù lần ta

thấy f liên tục f-1

(U) = c(c(f-1(U))) tập đóng D Hai định lý tổng quát mạnh Nếu biết điều ảnh

Ta chứng minh S  D tập compact f ánh xạ liên tục tập ảnh f(S)  T tập compact

Định lý 1.10 ảnh liên tục tập compact tập compact

Giả sử f : D  ℝ là ánh xạ liên tục Nếu tập con S  D là tập

compact tập ảnh nó f(S) ℝ cũng tập compact

Chứng minh. Xem chứng minh đầy đủ Nikaido (1972) 1.5 ĐỊNH LÍ TỒN TẠI(Existence Theorems)

Các định lý tồn rõ điều kiện thoả mãn bảo đảm có kết luận Hai điểm cần lưu ý bàn định lý tồn Thứ nhất, điều kiện nêu định lý nói chung điều kiện đủ, không thiết điều kiện cần Nghĩa điều kiện định lý thoả mãn tồn đối tượng đề cập tới bảo đảm Đồng thời trường hợp khơng có điều kiện đối tượng tồn Thứ hai, định lý đảm bảo cho tồn tại, nói chung chúng khơng cho ta hình dung rõ tồn đâu

Định lý thứ kết lý thuyết tối ƣu Nhiều tốn kinh tế địi hỏi tìm cực tiểu hay cực đại hàm số xác định tập ℝn Ta chủ yếu quan tâm tới tốn tìm cực tiểu hay cực đại

các hàm biến đổi véctơ ℝn

thành số ℝ Các hàm gọi hàm giá trị thực ta xét chi tiết lớp hàm chương sau Tuy nhiên, ta dùng số tính chất tơpơ (đóng, mở, bị chặn …) để thiết lập định lý tồn thông dụng với tên gọi định lý Weierstrass Định lý đưa điều kiện đủ cho tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm liên tục

Định lý 1.11 (Weierstrass). Tồn giá trị cực trị (Extreme Values)

Giả sử f : ℝn  ℝ là hàm thực liên tục Giả sử S là tập compact

f(x*)  f(x)  f( x ) với mọi x  S

Chứng minh. Do f liên tục S compact nên theo Định lý 1.10, f(S) tập compact Do f hàm thực nên f(S) ℝ Do f(S) compact nên đóng bị chặn Theo Định lý 1.7, tập đóng bị chặn tập số thực chứa cận lớn nhất, gọi a, cận nhỏ nhất, gọi b Theo định nghĩa tập ảnh, tìm điểm x*  S cho f(x*) = a  f(S) điểm x  S cho f( x ) = b  f(S) Kết hợp với định nghĩa cận lớn cận nhỏ

nhất ta có f(x*)  f(x) f(x)  f( x ) với x  S

 Định lý tách (Separation Theorems) Nói nơm na, định lý tách cho điều kiện đủ để siêu phẳng (Hyperplane) “đi xuyên qua” hai tập hợp lồi chúng có nhiều ứng dụng toán học lý thuyết kinh tế Trước nêu định lý ta làm quen với số thuật ngữ

Định nghĩa 1.8 Siêu phẳng H ℝn tập hợp điểm x  ℝn thoả mãn phương trình <a, x> = , véctơ a  ℝn, a  0,   ℝ số thực

Trong ℝ2 siêu phẳng đường thẳng có dạng a1x1 + a2x2 =  với a1

hoặc a2  hay x2 = /a2 – a1x1/a2 (giả sử a2  0) Dễ nhận đường

thẳng có độ dốc - a1/a2 cắt trục tung điểm / a2 Trong ℝ

siêu phẳng mặt phẳng Trong không gian số chiều cao siêu phẳng tập afin (n – 1) chiều

Định nghĩa 1.9. Ta nói siêu phẳng H tách hai tập S T ℝn <a, x>   với x  S <a, y> với y  T,

nghĩa siêu phẳng H tách hai tập S T điểm thuộc S nằm phía H, cịn điểm thuộc T nằm phía H Nếu H có điểm chung với biên hai tập ta nói H tựa (support) vào tập hợp gọi H siêu phẳng tựa (supporting hyperplane)

Định lý sau nêu điều kiện đủ để tách hai tập hợp lồi ℝn

Định lý 1.12.Định lý tách Minkowski (Minkowski‟s Separation Theorem)

Cho S và T là hai tập lồi, khác rỗng, rời trong ℝn Khi đó, tìm véctơ

a ℝn, a  và sốℝ sao cho <a, x>  x  S và <a, y> y T

Hình 1.9 Siêu phẳng ℝ2

&ℝ3 Hình 1.10 Siêu phẳng tách

x0 T H

S

a1x1 + a2x2 = a x1 x2

a1x1 + a2x2 + a3x3 = a

x1

Chƣơng

HÀM GIÁ TRỊ THỰC

Chương đề cập tới hàm số thực thường gặp kinh tế tính tốn tối ưu Khảo sát hàm số thơng qua tập có liên quan (đồ thị, tập mức), phân tích số hàm thông dụng: hàm lồi, hàm lõm, hàm cuối xét tính vi phân hàm số Nội dung chương dựa chủ yếu tài liệu [1], [2], [3], [4]

2.1 HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC HÀM CÓ LIÊN QUAN

Hàm giá trị thực hay gặp lý thuyết kinh tế vi mơ Hàm chi phí sản xt, hàm lợi ích tiêu dùng, hàm cung cầu vật tư, hàng hoá … hàm quen thuộc Nói cách hình thức

Định nghĩa 2.1 Hàm giá trị thực (Real Valued Functions) f : D  T là hàm giá trị thực nếu D là tập T ℝ (D miền xác định, T miền giá trị hàm ℝ tập hợp số thực)

Nói nơm na, f hàm giá trị thực biến đổi phần tử miền xác định vào đường thẳng thực Nếu miền xác định tập ℝn

hàm thực biến đổi véctơ ℝn thành số thực ℝ Các hàm

y = ax1 + bx2, y = z2 w2 hay y =  n

1 i

2 i ix a

Lớp hàm thực rộng Chương giới thiệu số loại hàm thực đặc biệt khám phá tính chất quan trọng chúng Trong suốt chương, ta hạn chế ý tới hàm thực có miền xác định tập lồi

Giả thiết 2.1 Hàm giá trị thực tập hợp lồi (over Convex Sets)

Cho f : D  T là hàm thực, D  ℝn là tập lồi T  ℝ, nghĩa x1

D, x2  D xt = tx1 + (1 – t)x2 với t  [0, 1] xt  D Các hàm thực nhiều ứng dụng kinh tế tiêu biểu thường có xu hướng tăng giảm cách đặn miền xác định chúng Ta gọi hàm tăng hàm giảm Ta nêu định nghĩa chặt chẽ cho thuật ngữ để dùng sau

Định nghĩa 2.2 Hàm tăng (Increasing Functions)

Hàm f : D  T gọi tăng hay hàm tăng f(x0)  f(x1)  x0  x1

và x0 x1 Ta nói hàm f tăng chặt f(x0) > f(x1)  x0 x1 x0  x1

Theo định nghĩa này, hàm gọi tăng tăng hay số thành phần véctơ x = (x1, … , xn) không làm giảm giá trị hàm Ta nói

hàm tăng chặt tăng hay nhiều thành phần x làm tăng thực giá trị hàm Hàm giảm định nghĩa tương tự

Định nghĩa 2.3 Hàm giảm (Decreasing Functions)

Hàm f : D  T gọi giảm hay hàm giảm f(x0)  f(x1)  x0 x1 x0 x1 Ta nói hàm f giảm chặt f(x0) < f(x1)  x0 x1 x0 x1

CÁC TẬP CÓ LIÊN QUAN VỚI HÀM(Relateed Sets)

Sau ta nêu định nghĩa tập có liên quan nêu mối quan hệ chúng với nói chung với hàm nói riêng, Tiếp đó, ta xét số hàm thực đặc biệt tính chất đặc trưng tập có liên quan

Khái niệm tập mức (hay đƣờng mức) chắn quen thuộc với nhiều người, mặc dàu có tên gọi khác Nhiều đối tượng quen thuộc kinh tế vi mô đường “đẳng mức”, đường “đẳng lượng”, đường “đẳng lợi nhuận” … đường mức hàm thực Đại thể, tập mức tập hợp phần tử thuộc miền xác định hàm mà chúng biến đổi thành giá trị số hay “mức” miền trị Như vậy, hai phần tử tập mức cho giá trị số miền trị, đưa phần tử vào hàm Một cách hình thức:

Định nghĩa 2.4 Tập mức (Level Sets)

L() gọi tập mức hàm thực f : D  T  L( ) = {x | x  D, f(x) = } với   T  ℝ

Có thể thấy hai tập mức khác hàm không cắt nhau, trái lại có phần tử miền xác định đặt tương ứng với hai giá trị (hai mức) khác nhau, trái với định nghĩa hàm

Ta xác định tập mức theo mức  = f(x0) với x0 thuộc miền xác định: Định nghĩa 2.5 Tập mức điểm x0 

D

L (x0) gọi tập mức điểm x0 D L (x0) = {x | x  D, f(x) = f(x0)} (Nhận xét L (x0) = L(f(x0)) hai ký hiệu khác nhau: L L)

Hình 2.1 Tập mức L( ) L (x0)

x5 x0

x1

x2 x3

x4

L (x0) = L(f(x0)) L()={(x1,x2): f(x1,x2)=}

L(2) L( 3) L( 4)

Định nghĩa 2.6 Tập mức dƣới / mức trên (Inferior & Superior Sets)

1. I()  {x | x  D, f(x)   } gọi tập mức dƣới mức  2. S( )  {x | x  D, f(x)  } gọi tập mức trên mức  3. I‟( )  {x | x  D, f(x) <  } gọi tập mức dƣới chặt mức  4. S‟( )  {x | x  D, f(x) >  } gọi tập mức chặt mức Tập mức dƣới bao gồm tất điểm D có giá trị hàm nhỏ giá trị , tập mức dƣới chặt gồm điểm D có giá trị hàm nhỏ hẳn giá trị  Tập mức trên bao gồm tất điểm thuộc D có giá trị hàm lớn giá trị  , tập mức trên chặt gồm điểm thuộc D có giá trị hàm lớn hẳn giá trị 

Định lý sau cho thấy rõ mối quan hệ tập mức

Định lý 2.1. Tập mức, tập mức & tập mức dƣới (sup./ inf level sets) Với f : D  I   I ta có hệ thức

1. L( )  I() 5. S‟( )  S( ) L( )  S( ) 6. I‟( )  L() =  3. L( ) = I( )  S( ) 7. S‟( )  L( ) = 

4. I‟( )  I() 8. I‟( )  S‟( ) = 

a) Hàm tăng b) Hàm giảm

Hình 2.2 Tập mức, tập mức dưới/ tập mức hàm tăng/ hàm giảm Nhận xét f(x) hàm tăng, S() nằm phía tập mức L( ), cịn I( ) nằm phía tập mức L( ) Ngược lại, hàm giảm, S( ) nằm phía tập mức L(), cịn I( ) nằm phía tập mức L( ) (xem Hình 2.2)

L( ) S( )

I( )

L( ) I()

2.2 CÁC HÀM THÔNG DỤNG

2.2.1 HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI(Convex and Quasi-convex Functions) Định nghĩa 2.7. Hàm lồi (Convex Functions)

f : D ℝ gọi hàm lồi với x1, x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2)  tf(x1) + (1 – t)f(x2) với t  [0, 1] Định nghĩa 2.8. Hàm lồi chặt (Strictly Convex Functions)

f : D ℝ gọi hàm lồi chặt với x1 x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2) < tf(x1) + (1 – t)f(x2) với t  (0, 1)

Định nghĩa hàm lồi đòi hỏi giá trị hàm tổ hợp lồi hai điểm x1, x2 không lớn giá trị nhận lấy tổ hợp lồi hai giá trị f(x1), f(x2) Về hình học, f lồi điểm (xt, tf(x1) + (1 – t)f(x2)) dây cung nối hai điểm (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) không thấp điểm (xt, f(xt)) đồ thị f Đồ thị hàm lồi không nằm cao dây cung nối hai điểm tập điểm nằm phía đồ thị hàm lồi ln tập lồi (Hình 2.3)

Hình 2.3 Hàm lồi (chặt) Hình 2.4 Hàm lồi (khơng chặt)

Định lý 2.2. Toàn điểm thuộc đồ thị điểm nằm phía trên đồ thị hàm lồi tạo nên tập hợp lồi

Cho D  ℝn là tập hợp lồi Ký hiệu A  {(x,) | x  D, f(x)   } là

tập hợp điểm “thuộc phía trên” đồ thị của f : D ℝ Khi đó

f là hàm lồi  A là tập hợp lồi

Ta xét lớp hàm rộng hàm lồi hàm lồi chặt

x

y f(x)

f(xt)

x2 x1 xt

yt y2

y1

y

x y1

yt y2

f : D ℝ gọi hàm tựa lồi với x1, x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2)  max[f(x1), f(x2)] t  [0, 1]

Định nghĩa 2.10 Hàm tựa lồi chặt (Strictly Quasi-convex Functions) f : D ℝ gọi hàm tựa lồi chặt với x1 x2 thuộc D ta có

f(tx1 + (1 – t)x2) < max[f(x1), f(x2)] t  (0, 1)

Trong định nghĩa vừa nêu, phép toán max[a, b] số lớn a b Nếu a > b max[a, b] = a Nếu a = b max[a, b] = a hay b

Hình 2.5 Hàm tựa lồi (chặt) Hình 2.6 Hàm tựa lồi (không chặt)

Định lý 2.3. Tựa lồi tập mức dƣới (Quasi-convexity & the Inferior Sets)

f : D ℝlà hàm tựa lồi  I( ) là tập lồi với mọi ℝ Tập mức hàm tựa lồi chặt không chứa đoạn thẳng biên

Định lý 2.4. Tính lồi kéo theo tính tựa lồi

Hàm lồi hàm tựa lồi Hàm lồi chặt hàm tựa lồi chặt

Chứng minh Ta nêu chứng minh kiến thiết cho trường hợp hàm lồi, trường hợp lồi chặt chứng minh tương tự

Giả sử f : D  ℝ hàm lồi Lấy x1, x2  D Không giảm tổng quát ta xem f(x1)  f(x2) Từ định nghĩa hàm lồi, với xt tx1 + (1 – t)x2 ta có

f(xt)  tf(x1) + (1 – t)f(x2) với t  [0, 1] hay f(xt)  f(x2) + t(f(x1) – tf(x2)) với t  [0, 1]

Do t  f(x1)  f(x2) nên t(f(x1) – tf(x2))  Từ f(xt)  f(x2) Theo f(x2) = max{f(xt), f(x2)} Vì thế, f(xt)  max{f(xt), f(x2)} t  [0, 1], nghĩa f thoả mãn định nghĩa hàm tựa lồi

mức 

b

a

mức 

b

Định nghĩa 2.11 Hàm lõm (Concave Functions)

f : D  T gọi hàm lõm với x1 x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – 1)x2)  t.f(x1) + (1 – t).f(x2)] t  [0, 1]

Hàm lõm phản ánh qui luật “tiết kiệm qui mô mang lại”: khối lượng sản xuất lớn chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm hạ

Về trực giác, ta thấy: Đồ thị hàm lõm không nằm thấp dây cung nối hai điểm đồ thị tập điểm nằm phía đồ thị hàm lõm ln tập lồi

Định lý 2.5. Tập điểm thuộc đồ thị điểm nằm phía dƣới đồ thị hàm lõm tạo nên tập hợp lồi

Cho D  ℝn là tập hợp lồi Ký hiệu B  {(x,  ) | x  D,   f(x)} là

tập hợp các điểm “thuộc phía dưới” đồ thị của f : D ℝ Khi đó

f là hàm lõm  B là tập hợp lồi

Chứng minh Cần rõ: f lõm  B lồi B lồi  f lõm Định nghĩa 2.12 Hàm lõm chặt (Strictly Concave Functions)

f : D ℝ gọi hàmlõm chặt  với x1 x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2) > t.f(x1) + (1 – t).f(x2)] t  (0, 1)

Định nghĩa 2.13 Hàm tựa lõm (Quasi-concave functions)

f : D ℝ gọi hàm tựa lõm với x1 x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2)  min[f(x1), f(x2)] t  [0, 1]

Trong định nghĩa trên, phép toán min[a, b] số nhỏ a b Nếu a > b min[a, b] = b Nếu a = b min[a, b] = a b

Định nghĩa 2.14 Hàm tựa lõm chặt (Strictly Quasi-concave Functions) f : D ℝ gọi tựa lõm chặt với x1  x2 thuộc D ta có f(tx1 + (1 – t)x2) > min[f(x1), f(x2)] t  (0, 1)

Định lý 2.6. Tựa lõm tập mức trên(Quasi-concavity & the superior sets)

Tập mức hàm tựa lõm chặt khơng chứa đoạn thẳng biên Định lý 2.7. Tính lõm kéo theo tính tựa lõm

Hàm lõm hàm tựa lõm Hàm lõm chặt hàm tựa lõm chặt

Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.4 Định lý sau cho thấy mối liên hệ chặt chẽ hàm lồi (lồi chặt) với hàm lõm (lõm chặt) hàm tựa lồi (tựa lồi chặt) với hàm tựa lõm (tựa lõm chặt)

Định lý 2.8. Hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lồi, hàm tựa lõm 1. f(x) là hàm lồi (lồi chặt)  - f(x) là hàm lõm (lõm chặt)

2.f(x) là hàm tựa lồi (tựa lồi chặt)- f(x) là hàm tựa lõm (tựa lõm chặt)

Chứng minh hiển nhiên, tính (tựa) lồi „đảo dấu‟ tính (tựa) lõm Mối quan hệ xét hàm lồi lõm tóm tắt sau

1 f lồi  phía đồ thị tập lồi 2 f lõm  phía đồ thị tập lồi 3 f tựa lồi  tập mức lồi 4 f tựa lõm  tập mức lồi 5 f lồi (lồi chặt)  - f lõm (lõm chặt)

6 f tựa lồi (tựa lồi chặt)  - f tựa lõm (tựa lõm chặt)

7 f lồi  f tựa lồi

8 f lõm  f tựa lõm

2.3 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

2.3.1 HÀM MỘT BIẾN (Functions of a Single Variable)

Hình 2.7 Hàm khả vi Hình 2.8 Hàm khơng khả vi

Khi nói tới đạo hàm hàm giá trị x, ta hiểu độ dốc hay tốc độ thay đổi tức thời giá trị f(x), Vì đơi ta viết

dx dy

= f‟(x) (2.1)

để f‟(x) cho biết y thay đổi (tức thời) lượng dy x thay đổi lượng dx Nếu đạo hàm cấp hàm khả vi ta lại lấy đạo hàm nhận đạo hàm cấp hai hàm ban đầu

2

2 dx y d

= f”(x) (2.2)

Nếu hàm có đạo hàm liên tục f‟, f”, … , f(n)

hàm gọi khả vi liên tục n lần hay hàm thuộc lớp Cn

 Vi phân khái niệm liên quan chặt chẽ với đạo hàm, khác biệt với đạo hàm Vi phân hàm f ký hiệu dy hay df(x) xem số đo độ gia tăng tức thời giá trị hàm điểm x theo thay đổi “nhỏ” dx x Nếu y = f(x) độ gia tăng dy theo thay đổi dx

dy = f‟(x)dx (2.3) Vi phân hàm ta lấy vi phân Ta gọi vi phân cấp hai xem để đo điểm x “mức độ thay đổi gia tăng” giá trị hàm theo gia tăng x Vi phân cấp hai, ký hiệu d2

y hay d2f(x), nhận cách lấy vi phân vi phân cấp

d2y = d(dy) = d(f‟(x)dx) = (f”(x)dx)dx = f”(x)dx2 (2.4)

x y

Vi phân cấp cấp hai bao gồm đạo hàm cấp cấp hai hàm Các đạo hàm cho thông tin quan trọng hành vi tổng quát hàm xét Đạo hàm cấp cho biết giá trị hàm tăng hay giảm tăng x, đạo hàm cấp hai cho biết “độ cong” hàm Vi phân cấp hai cho thông tin tương tự

Định lý sau cho thông tin độ dốc, độ cong rút từ vi phân cấp Định lý 2.9 Độ dốc, độ cong vi phân(Slope, Curvature & Differentials)

Với hàm lần khả vi liên tục f(x) trong lân cận điểm x vàdx  0, ta có

Vi phân cấp một:

dy   f‟(x)   f tăng địa phương dy   f‟(x)   f giảm địa phương dy =  f‟(x) =  f hằng địa phương

Vi phân cấp hai:

d2y   f”(x)   f lồi địa phương d2y   f”(x)   f lõm địa phương

d2y =  f”(x) =  f tuyến tính địa phương 2.3.2 HÀM NHIỀU BIẾN (Functions of Several Variables)

Ta thường xuyên làm việc với hàm thực nhiều biến số Có thể dễ dàng mở rộng ý tưởng vừa nêu cho hàm

Định nghĩa 2.15 Đạo hàm riêng (Partial Derivatives)

Cho y = f(x1, … , xn) Khi đạo hàm riêng f xj xác định

j

x ) x ( f

  

0 h

lim

 h

) x , x , , x ( f ) x , , h x , , x (

f 1 j  n  1 j n

Đơi ta cịn dùng số ký hiệu khác để đạo hàm riêng, thơng dụng y/xj hay fj(x)

một hàm Cuối cùng, đạo hàm riêng xác định điểm thuộc miền xác định cho biết thay đổi giá trị hàm theo thay đổi biến xj giữ

nguyên giá trị biến khác Xét ví dụ sau hàm biến

Ví dụ 2.1. Cho f(x1, x2) = x12 + 3x1x2 – x22 Đây hàm hai biến,

có hai đạo hàm riêng Lấy đạo hàm theo biến x1 ta

1 x ) x , x ( f  

= 2x1 + 3x2

Lấy đạo hàm theo biến x2 ta

2 x ) x , x ( f  

= 3x1 - 2x2

Nhận xét đạo hàm riêng lại hàm x1, x2 Các đạo hàm

riêng có giá trị khác điểm (x1, x2) khác nhau: Tại điểm (1, 2),

f1' (1, 2) = 8, f'2(1, 2) = - Tại điểm (2, 1), f1'(2, 1), = 7, f'2(2, 1) =  Với hàm nhiều biến y = f(x), để xét xem giá trị y thay đổi biến xj đồng thời thay đổi, biến lượng “nhỏ” dxj, ta dùng vi phân toàn

phần cấp hàm dy = x ) x ( f  

dx1 + … + n x ) x ( f  

dxn = f1dx1 + … + fndxn = 

 n j j '

j(x)dx

f Dùng ký hiệu véctơ f(x)  (f1, … , fn)T dx = (dx1, … , dxn)

T Ta thấy

dy = f(x).dx (2.5) Lập ma trận đạo hàm riêng cấp hai, gọi ma trận Hess f x:

H(x) 

Sau định lý quan trọng đạo hàm riêng cấp hai Định lý 2.10 Định lý Young (Young‟s Theorem)

Với hàm hai lần khả vi liên tục f(x) ta có

j i x x ) x ( f    = i j x x ) x ( f    

i và j

Định lý Young cho thấy ma trận Hess đối xứng Tuy không nêu chứng minh định lý, ta dễ dàng kiểm tra việc xét ví dụ

Ví dụ 2.2. Xét hàm hai biến f(x1, x2) = x1x22 + x1x2 Các đạo hàm riêng cấp

một hàm

1 x f   

f(x) = x22 + x2 x f   

f(x) = 2x1x2 + x1

Lấy đạo hàm f1 theo x2 ta

2 x x f     12

f (x) = 2x2 +

Lấy đạo hàm f2 theo x1 ta

1 2 x x f     21

f (x) = 2x2 +

Rõ ràng f12 = f21 với x, khẳng định Định lý Young Lấy vi phân (2.5) ta có

d2y = (f(x).dx).dx = dxT.H(x).dx (2.6) Biểu thức (2.6) dạng toàn phương dx1, … , dxn mở rộng

của f”(x)dx2

trường hợp biến Dấu dạng thức cho ta biết độ cong hàm Định lý sau mở rộng phần hai Định lý 2.9

Định lý 2.11 Độ cong theo nhiều biến (Curvature in Several Variables)

Giả sử f : D ℝ hai lần khả vi liên tục vàx  D Khi đó

d2y >  f lồi chặt tại x dxT.H(x).dx > dx  0 d2y <  f lõm chặt tại x dxT.H(x).dx < dx 0

Các quan hệ toàn cục chúng với mọi x  D

Ta không nêu chứng minh định lý đây, mặc dàu kết luận nêu định lý biết rõ Hai phần cuối định lý có kết luận chiều Bằng ví dụ cho thấy thay dấu  hay  dấu 

Chú ý trường hợp biến điều kiện cần đủ để hàm lồi (lõm) miền đạo hàm cấp khơng giảm (khơng tăng) Trong trường hợp nhiều biến, ta có điều kiện cần, khơng đủ, cho tính lồi hay tính lõm tuỳ thuộc dấu tất đạo hàm riêng cấp hai

Định lý 2.12 Tính lồi, tính lõm đạo hàm riêng cấp hai (Convexity, Concavity and Second-Order Partial Derivatives)

Giả sử y = f(x) là hàm hai lần khả vi liên tục

1.Nếu f(x) lồi thì fjj(x)  0, j = 1, … , n 2.Nếu f(x) lõm thì fjj(x)  0, j = 1, … , n

3. Nếu f(x) lồi chặt hay lõm chặt bất đẳng thức thay

tương ứng bất đẳng thức thực sự > hay <

Chứng minh. Ta nêu chứng minh cho trường hợp hàm lồi phản chứng (với hàm lõm chứng minh tương tự)

Giả sử f hàm lồi fjj < với j Do f lồi nên theo Định lý 2.11 ta có d2y  với dx Nói riêng, d2y  với dx = (0, … , dxj, … , 0), dxj 

Nhưng d2

y = dxTHdx = (fjj)(dxj) 2

Do dxj  fjj < nên d

y < Nhưng theo Định lý 2.11, hàm f lõm, ta gặp mâu thuẫn

2.3.3 HÀM THUẦN NHẤT(Homogeneous Functions)

Định nghĩa 2.16 Hàm nhất (Homogeneous Functions) Hàm thực f(x) gọi

1.thuần bậc k f(tx)  tkf(x) t >

2.thuần bậc 1 (hay tuyến tính) f(tx)  tf(x) t >

3.thuần bậc 0 f(tx)  f(x) t >

Tính đặc trưng toàn cục (đúng với x) Hàm biểu thị hành vi đặn, biến tăng theo tỉ lệ Chẳng hạn, hàm bậc tăng gấp đơi (gấp ba) biến, giá trị hàm tăng lên gấp đôi (gấp ba) Với hàm bậc 0, biến thay đổi theo tỉ lệ giá trị hàm khơng thay đổi

Ví dụ 2.3. Dạng Cobb-Douglas: f(x1, x2)  Ax1x



2, A > 0,  > 0,  >

Đây hàm bậc  +  > Thật vậy, f(tx1, tx2)  A(tx1)(tx2) t.tAx



1 x



2  t

+

f(tx1, tx2)

Nếu hệ số thoả mãn  +  = hàm bậc Các đạo hàm riêng hàm hàm Định lý 2.13 Đạo hàm riêng hàm nhất

(Partial Derevatives of Homogeneous Functions )

Nếu f(x) là hàm bậc k thì đạo hàm riêng hàm

thuần bậc k -

Chứng minh. Giả sử f(x) hàm bậc k Khi

j

x

 

(f(tx)) 

j x ) tx ( f   = j j x ) tx ( x ) tx ( f    

= t

x ) tx ( f j  

, (P.2)

Lấy đạo hàm vế phải theo xj ta

j

x

 

(tkf(x)) = tk

j x ) x ( f  

(P.3)

Do (P.1) đồng thức nên (P.2) phải (P.3), nghĩa t x ) tx ( f j  

= tk

j x ) x ( f  

Chia hai vế cho t ta nhận j x ) tx ( f  

= tk-1

j x ) x ( f  

với j = 1, … , n t >

Nhiều ứng dụng thường gặp hàm bậc ta ghi lại kết hệ trực tiếp

Hệ 2.1. Hàm tuyến tính (Linear Homogeneous Functions) Nếu f(x) là hàm bậc thì

j x ) tx ( f   = j x ) x ( f  

với j = 1, … , n t >

Hệ nói hàm tuyến tính tăng biến theo tỉ lệ, tất n đạo hàm riêng hàm không thay đổi Ta kiểm tra lại tính chất hàm Cobb-Douglas

Ví dụ 2.4. Giả sử f(x1, x2)  Ax1x2  +  = 1, hàm tuyến tính

thuần x ) x , x ( f  

= Ax11x2

Nhân x1, x2 với t lấy đạo hàm riêng (tx1, tx2) ta nhận

1 x ) tx , tx ( f  

= A(tx1)-1(tx2) = t+-1Ax11x2 =

do  +  = t+-1 = t0 = Đó điều cần chứng minh Tính chất cuối hàm nêu chi tiết định lý Euler, gọi định lý cộng (Adding-up Theorem): Hàm viết theo đạo hàm riêng Ta nhận kết quan trọng hàm tuyến tính

Định lý 2.14 Định lý Euler (Euler‟s Theorem) 1.Nếu f(x) là hàm bậc k thì

kf(x) = 

   n j j j x x ) x ( f

2. Nếu f(x) là hàm bậc thì f(x) = 

   n j j j x x ) x ( f

Chứng minh. Giả thiết f(x) hàm bậc k Theo định nghĩa tkf(x)  f(tx) t >

Cách chứng minh xem đồng thức hàm t, lấy vi phân hai vế theo t Trước hết lấy vi phân vế trái ta

ktk-1f(x) (P.1) Khi lấy vi phân vế phải t ta cần nhớ f phụ thuộc n biến t tác động vào tất n biến Ta cần xem hàm f dạng f(g1(t), … , gn(t)),

gj(t)  txj áp dụng qui tắc lấy đạo hàm hàm hợp ta

t ) tx ( x ) tx , , tx ( f j n j j n      

Nhưng (txj)/t = xj, biểu thức trở thành

j n j j x x ) tx ( f    

(P.2)

ktk-1f(x) = j

n

1

j j

x x

) tx ( f



 



Bất đẳng thức với t > Đặt t = ta

kf(x) = j

n

1

j j

x x

) tx ( f



 



Đó điều ta muốn chứng minh Phần hai trường hợp riêng k =

Chƣơng

BÀI TOÁN TỐI ƢU

Chương đề cập tới cách tiếp cận giải tích cho toán tối ưu, dạng toán thường gặp nhiều nghiên cứu phân tích kinh tế Xét tốn khơng ràng buộc có ràng buộc Giới thiệu khái quát điều kiện tối ưu cần đủ trình bày phương pháp Lagrange thơng dụng Nội dung chương dựa chủ yếu tài liệu [1], [3] [5]

3.1 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Xét hàm hay nhiều biến số y = f(x) giả thiết hàm khả vi (hàm trơn) bậc bậc hai tuỳ theo yêu cầu

Ta nói hàm f đạt cực tiểu địa phƣơng điểm x* f(x*)  f(x) với x lân cận x* (chẳng hạn ||x – x*|| < ) Ta nói hàm f đạt cực tiểu toàn cục điểm x* f(x*)  f(x) với x miền xác định hàm Hàm f đạt cực tiểu địa phƣơng chặt điểm x* f(x*) < f(x) với x lân cận x*,x  x* Hàm f đạt cực tiểu toàn cục nhất điểm x* f(x*) < f(x) với x miền xác định, x  x*

Tương tự, ta nói hàm f đạt cực đại địa phƣơng (cực đại địa phƣơng chặt) điểm ~x f(~x)  f(x) (f(~x) > f(x)) với x lân cận

x

~ (chẳng hạn ||x - x~ || < ) Ta nói hàm f đạt cực đại toàn cục (cực đại toàn

cục nhất) điểm ~x f(x~)  f(x) (f(~x) > f(x)) với x miền

xác định hàm,x x

Nếu điểm cực tiểu x* (điểm cực đại x~) điểm miền xác

định ta nói điểm cực tiểu (cực đại) bên trong (interior minima/ maxima) Cịn điểm biên miền xác định ta nói điểm cực tiểu (cực đại) trên biên (boundary minima/ maxima)

 Đồ thị hàm biến số Khoảng xác định [a; + )

x1 điểm cực tiểu tồn cục (Khơng có cực đại tồn cục) x2 điểm cực đại địa phương chặt

x3 điểm cực tiểu địa phương (không nhất) x4 điểm cực đại địa phương (không nhất) x5 điểm cực tiểu địa phương chặt

Hình 3.1 Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục)

Trong lý thuyết kinh tế, người ta cần tới tính tốn điểm tối ưu (cực tiểu hay cực đại) mà thường muốn mô tả đặc trưng điểm để nêu điều kiện phải thoả mãn điểm tối ưu (gọi điều kiện cần tối ưu) sau làm việc với điều kiện với số cụ thể

3.2 TỐI ƢU KHÔNG RÀNG BUỘC(Uncontrained Optimization)

Định lý 3.1 Điều kiện cần tối ƣu địa phƣơng - trƣờng hợp biến

Giả sử f(x) là hàm biến, khả vi Khi đó, f(x) đạt

a)cực tiểu địa phương tại x*  f‟(x*) = (điều kiện cần cấp 1)  f”(x*)  (điều kiện cần cấp 2) b)cực đại địa phương tại x~  f‟(x~) = (điều kiện cần cấp 1)

 f‟(x~)  (điều kiện cần cấp 2)

Với hàm hay nhiều biến, cực tiểu địa phương hàm lồi (lồi chặt) ln trùng với cực tiểu tồn cục hàm cực đại địa phương hàm lõm (lõm chặt) ln trùng với cực đại tồn cục hàm

Định lý 3.2 Định lý tối ƣu địa phƣơng & tồn cục (khơng ràng buộc) a) Giả sử f(x) là hàm lồi Khi đó, f(x) đạt cực tiểu địa phương điểm

x5 a = x1

x2 x4

b) Giả sử f(x) là hàm lõm Khi đó, f(x) đạt cực đại địa phương điểm

x

~  f(x) đạt cực đại toàn cục tại ~x

a) Hàm lồi b) Hàm lõm

Hình 3.2 a) f‟(x*) = 0, f‟(x) tăng dần; b) f‟(x~) = 0, f‟(x) giảm dần

Chứng minh a) Điều kiện cần hiển nhiên, điểm cực tiểu tồn cục điểm cực tiểu địa phương Ta chứng minh điều kiện đủ phản chứng: giả sử x* điểm cực tiểu địa phương f x* không điểm cực tiểu tồn cục, dựa vào tính lồi f ta mâu thuẫn

Thật vậy, giả sử D miền xác định f Do x* cực tiểu địa phương f nên tìm e > cho f(x*)  f(x) với x  D thoả mãn ||x – x*|| < e Nếu x* khơng cực tiểu tồn cục f D tìm x  D cho f(x) < f(x*) hay f(x) - f(x*) < Đặt xt = (1 – t)x* + tx,  t  Khi đó, xt  D (giả thiết D lồi) ||xt

– x*|| = t||x - x*|| < e với t > đủ nhỏ Do f hàm lồi x* điểm cực tiểu địa phương f nên với t > đủ nhỏ ta có

f(xt)  (1 – t)f(x*) + tf(x) = f(x*) + t[f(x) – f(x*)] < f(x*),

nghĩa f(xt) < f(x*), trái với x* điểm cực tiểu địa phương Vậy x*

điểm cực tiểu địa phương f x* phải điểm cực tiểu toàn cục f b) Chứng minh tương tự Định lý 3.2 cho thấy với tính lồi lõm, điểm tối ưu địa phương điểm tối ưu tồn cục, có giá trị nhỏ giá trị lớn hàm Tuy nhiên, giá trị nhỏ (lớn nhất) đạt nhiều điểm thuộc miền xác định Nếu ta muốn giá trị nhỏ (lớn

f‟(x1) <

x x

f(x) f(x)

f‟(x*) =

f‟(~x) = f‟‟(x*) 

f‟‟(~x) 

x1 x2 x2

x*

x1 x~

f‟(x2) > f‟(x

2

nhất) hàm đạt điểm ta phải giả thiết thêm hàm lồi chặt hay lõm chặt

Định lý 3.3 Tính lồi / lõm chặt tính tối ƣu toàn cục a) Giả sử f(x) là hàm lồi chặt Nếu x* đạt cực tiểu của f(x) thì x* là

điểm cực tiểu toàn cục và f(x*) < f(x) x  D

b) Giả sử f(x) là hàm lõm chặt Nếu x~ đạt cực đại của f(x) thì ~x là

điểm cực đại tồn cục và f(~x) > f(x) x  D

Chứng minh. Ta chứng minh định lý cho hàm lồi chặt phản chứng Trường hợp lại chứng minh tương tự Giả sử x* cực tiểu toàn cục f, x* khơng Khi đó, tìm điểm x  x* cho f(x) = f(x*) Đặt xt = tx + (1 – t)x* với < t < 1, tính lồi chặt hàm f kéo theo

f(xt) < tf(x) + (1 – t)f(x*) với t  (0, 1) Do f(x) = f(x*) nên bất đẳng thức cho thấy

f(xt) < tf(x*) + (1 – t)f(x*) = f(x*)  f(xt) < f(x*),

trái với x* cực tiểu toàn cục f Vậy điểm cực tiểu toàn cục hàm lồi chặt phải

3.2.1. ĐIỀU KIỆN CẤP MỘT(First – Order Conditions)

Cho f : |Rn |R Nếu x* điểm tối ưu f khơng thể tăng hay giảm thay đổi nhỏ dxi  biến i nào, i = 1, … , n Như vậy, ta

có

dy = f(x*).dx = dx = (dx1, … , dxn) T 

0

Từ suy f(x*) = Hệ thức đặc trưng cho điểm tối ưu hàm nhiều biến Đó điều kiện cần cấp cho điểm tối ưu địa phương

Định lý 3.4 Điều kiện cần cấp cho điểm tối ƣu địa phƣơng của hàm thực nhiều biến

1 x *) x ( f   = 0, x *) x ( f  

= 0, … ,

n x *) x ( f   =

Chứng minh. Mặc dù tính đắn định lý này, song ta đưa chứng minh khác Giả sử f(x) đạt cực trị địa phương điểm x* tìm cách f(x*) = Ta nêu chứng minh kiến thiết nhờ dùng qui tắc quen thuộc giải tích hàm biến Để bắt đầu ta chọn véctơ gia số dx  0 Khi đó, với t ta lập hàm biến

g(t) = f(x* + tdx) = f(x1* + dx1, … , xn + tdxn) (P.1)

Khi t  0, x* + tdx véctơ khác x*, g(t) trùng với giá trị f khác f(x*) Khi t = 0, x* + tdx trùng với x*, g(0) trùng với giá trị f x* Do g(t) trùng với giá trị f với t trùng với f(x*) t = nên g(0) đạt cực trị địa phương t = (vì giả thiết f đạt cực trị x*) Theo Định lý 3.1 g‟(0) = Lấy đạo hàm (P.1) theo t ta có

g‟(t) = 

    n i i i dx x ) tdx * x ( f ,

với t Nếu ta tính t = áp dụng điều kiện g‟(0) = cực trị địa phương g kéo theo

g‟(0) = 

    n i i i dx x ) x ( f

= f(x*)dx =

Do dx véctơ khác tuỳ ý nên đẳng thức kéo theo f(x*) = dx  Ví dụ 3.1. Tính điểm dừng hàm biến f = 2x12 + 3x22 - 2x1x2 - 10x2

Giải. Lấy đạo hàm riêng f theo biến x1, x2 cho chúng 0:

1 x ) x , x ( f  

= 4x1 - 2x2 = 0,

2 x ) x , x ( f  

= 6x2 - 2x1 - 10 =

Vậy hàm cho có điểm dừng điểm x* = (1, 2) Tuy nhiên ta chưa biết liệu có phải điểm cực tiểu hay cực đại khơng? Muốn thế, ta cần xét điều kiện cấp

3.2.2 ĐIỀU KIỆN CẤP HAI(Second – Order Conditions)

Về đại thể, điều kiện cấp hai trường hợp nhiều biến giống trường hợp biến Khi tìm thấy điểm f(x) = 0, ta biết điểm cực tiểu hàm lồi địa phương ta biết điểm cực đại hàm lõm địa phương Định lý 3.3 cho thấy độ cong phụ thuộc thay đổi y tăng hay giảm phụ thuộc vào dấu vi phân cấp hai d2

y = dxTH(x)dx Hàm lồi (địa phương) quanh x dạng tồn phương khơng âm lõm (địa phương) khơng dương gần x Như vậy, trực giác gợi ý điều kiện cần cấp hai sau cho điểm tối ưu địa phương

Định lý 3.5 Điều kiện cần cấp hai cho điểm tối ƣu địa phƣơng của hàm thực nhiều biến

Giả sử y = f(x) hai lần khả vi

a)Nếu f(x) đạt cực tiểu địa phương bên tại x* thì d2y = dxTH(x*)dx = 

  

n i

n j

j i ij(x*)dx dx

f  dx b)Nếu f(x) đạt cực đại địa phương bên tại x~ thì

d2y = dxTH(~x)dx =   



n i

n j

j i ij(x~)dx dx

f  0dx

Chứng minh. Ta thiết lập trực tiếp từ chứng minh Định lý 3.4 Nhớ ta xây dựng hàm biến

g(t) = f(x + tdx)

g‟(t) =      n i i i dx x ) tdx x ( f

Lấy đạo hàm lần theo t ta nhận đạo hàm cấp hai g”(t) = 

      n j n i j i j i dx dx x x ) tdx x ( f

(P.1)

Bây giả sử f đạt cực tiểu x = x* Theo Định lý 3.1, g”(0)  Đánh giá (P.1) x* t = ta

g”(0) = 

      n j n i j i j i dx dx x x ) x ( f 

Hoàn toàn tương tự, f đạt cực đại x = ~x g”(0)  Vì

g”(0) = 

     n j n i j i j i dx dx x x ) x ~ ( f 

Định lý chứng minh đầy đủ 

 Các Định lý 3.4 3.5 quan trọng hữu ích Ta dùng định lý để mơ tả tính cách điểm tối ưu ta biết hay giả sử tồn Điều kiện cần nói “nếu x* đạt cực tiểu f(x)

fi'(x*) = 0, i = 1, … , n, d2y = dxTH(x*)dx = 

   n i n j j i ij(x*)dx dx

f  0”

Tuy nhiên, điều kiện khơng giúp ta tìm điểm cực tiểu (hay cực đại) hàm cụ thể Muốn thế, ta cần tới điều kiện đủ

Định lý 3.6 Điều kiện đủ cho tính lồi chặt/lõm chặt hàm thực

Giả sử f(x) 2 lần khả vi,Di(x)-tử thức thứ i của ma trận Hess H(x)

a)Nếu Di(x) > 0, i = 1, … , n, thì f(x) lồi chặt tạix,

b) Nếu (-1)nDn(x) > thì f(x) lõm chặt tại x

Nếu điều kiện hay nêu với mọi x thuộc miền xác định hàm

Nói cách khác, hàm f lồi chặt x tử thức ma trận Hess f x có dấu dương Hàm f lõm chặt x tử thức ma trận Hess f x đan dấu, dấu âm

Chứng minh xem [3] tr 83 – 84 Bây ta phát biểu điều kiện đủ cấp cấp hai cho điểm tối ưu địa phương Các điều kiện suy trực tiếp từ điều kiện thiết lập, chúng khơng cần phải chứng minh Ta đơn giản ghép kết có lại với viết để tiện theo dõi, trích dẫn sau

Định lý 3.7 Điều kiện đủ cho điểm tối ƣu địa phƣơng hàm thực nhiều biến

Giả sử hàm f(x) hai lần khả vi:

a) Nếu f'i(x*) = và Dn(x*) > 0, i = 1, … , n, thì f(x) đạt cực tiểu địa

phương tại x*,

b)Nếu f'i(~x) = và (-1)nDi(~x) > 0, i = 1, … , n, thì f(x) đạt cực đại địa

phương tại ~x

Ví dụ 3.2. Ta kiểm tra xem điểm dừng tìm ví dụ 3.1 điểm cực tiểu hay cực đại? Ta có f(x1, x2) = 2x12 + 3x22 - 2x1x2 - 10x2

1 x ) x , x ( f  

= 4x1 - 2x2,

2 x ) x , x ( f  

= 6x2 - 2x1 - 10

Điểm dừng x* = (x1, x2) = (1, 2) Tính đạo hàm riêng cấp hai

2 x f   = 4, 2 x x f   

= - 2,

1 2 x x f   

= - 2, 2

2 x f   =

và lập ma trận Hess

H(x) = 

       2

D2(x) =

6

2

 

= 24 – = 20 >

Hai tử thức dương Định lý 3.7 cho thấy điểm dừng x* = (1, 2) điểm cực tiểu địa phương

 Ma trận Hess ví dụ hồn tồn khơng phụ thuộc x Vì thế, tử thức dương vậy, ta tính đạo hàm riêng cấp hai điểm Định lý 3.6 cho thấy điều kiện đủ đảm bảo cho hàm nói tới lồi chặt tồn cục Ta thử hình dung đồ thị hàm khơng gian ba chiều Nếu đồ thị có điểm thấp có điểm thấp điểm thấp nhất, theo Định lý 3.2 cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục theo Định lý 3.3 điểm cực tiểu toàn cục Điều gợi ý điều kiện đủ sau cho cực trị toàn cục hàm lồi chặt hay hàm lõm chặt

Định lý 3.8 Điều kiện đủ cho tối ƣu toàn cục

Giả sử f(x) khả vi:

a) Nếu f(x) là hàm lồi chặt toàn cục và f'i(x*) = 0, i = 1, … , n, thì x* là

điểm cực tiểu toàn cục của f(x)

b)Nếu f(x) là hàm lõm chặt toàn cục và fi'(x~) = 0, i = 1, … , n, thì x~ là

điểm cực đại toàn cục của f(x)

Chứng minh xem [3], tr 86 – 87

3.3 TỐI ƢU CÓ RÀNG BUỘC(Contrained Optimization)

có thể cho biến với ràng buộc đặt cho họ Đó loại toán ta gặp thường xuyên Ta cần sửa đổi kỹ thuật tối ưu hoá thuật ngữ đặc trưng cho tối ưu trường hợp cách tương ứng

Ta bàn tới ba loại ràng buộc chính: ràng buộc đẳng thức, ràng buộc không âm tổng quát ràng buộc bất đẳng thức Ta nêu phương pháp giải toán loại ràng buộc Ta xét đại diện toán cực tiểu ghi thay đổi (nếu có) toán cực đại

3.3.1 RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC(Equality Contraints)

Trước hết xét toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức hai biến

2 1,x

x

minf(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2) = (3.1)

ở f(x1, x2) gọi hàm mục tiêu hay hàm chi phí x1, x2 biến lựa

chọn thường viết toán tử “min” để nhắc ta cần tìm giá trị x1, x2 Cịn

g(x1, x2) gọi hàm ràng buộc Nó qui định giá trị biến

xem chấp nhận đƣợc hay đƣợc phép giải toán Tập hợp tất x1, x2

thoả mãn ràng buộc gọi tập ràng buộc hay tập chấp nhận đƣợc Một cách giải đơn giản toán dùng phép Nếu hàm ràng buộc cho phép giải biến xi theo biến cịn lại ta đưa tốn có ràng

buộc hai biến tốn khơng ràng buộc biến Chẳng hạn, giả sử từ g(x1, x2) = viết tách biệt x2 vế

x2 = g~(x1) (3.2)

Thế trực tiếp biểu thức vào hàm mục tiêu ta nhận toán

1

x

minf(x1, ~g(x1)) (3.3)

Điều kiện cần cấp địi hỏi ta cho đạo hàm tồn phần df/dx1 giải

1 dx df = 1 x )) x ( g ~ , x ( f     + 1 x )) x ( g ~ , x ( f     1 dx ) x ( g ~ d  =

Sau tìm x1 ta thay vào (3.2) để tìm x2 = g~(x1) Khi đó, cặp (x1, x2) nghiệm cực tiểu tốn có ràng buộc, miễn điều kiện cấp hai tương ứng thoả mãn

Đáng tiếc nhiều toán cần giải có hai biến lựa chọn bao gồm nhiều ràng buộc, nhiều trường hợp hệ ràng buộc lại phức tạp, không cho phép ta giải dễ dàng biến theo biến khác Vì thế, phương pháp khơng phải thích hợp: số trường hợp phương pháp thực được, song nhiều trường hợp khác phương pháp lại áp dụng Tuy nhiên, có cách khác tốt cho phép xử lý hiệu lớp toán rộng nhiều

3.3.1.1.PHƢƠNG PHÁP LAGRANGE (Lagrange‟s Method)

Phương pháp Lagrange phương pháp mạnh hay sử dụng để giải tốn tối ưu có ràng buộc kinh tế

 Xét toán tối ưu hai biến ràng buộc đẳng thức:

2 1,x

x

minf(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2) =

Thêm biến  lập hàm Lagrange theo ba biến x1, x2 

L(x1, x2, )  f(x1, x2) + g(x1, x2)

Tìm cực tiểu khơng ràng buộc hàm L(.) cách lấy đạo hàm L theo biến x1, x2,  cho đạo hàm Cách làm cho ta

x  L = x ) x , x ( f     +  x ) x , x ( g    

= (3.4)

x  L = 2 x ) x , x ( f     +  2 x ) x , x ( g    

= (3.5)

  L

Có ba phương trình theo ba biến x1, x2  Phương pháp Lagrange khẳng

định nghiệm x1, x2,  hệ ba phương trình điểm dừng hàm f(x1, x2) với ràng buộc g(x1, x2) =

Với nghiệm tìm ta thấy (x1, x2) thoả mãn ràng buộc toán Ta chứng tỏ (x1, x2) đạt cực trị f(x1, x2) với ràng buộc g(x1, x2) =

Thật vậy, lấy vi phân toàn phần hàm L(.) ta

dL =

1 x 

L

dx1 + x 

L

dx2 +   L

d

Do giả thiết x1, x2  thoả mãn điều kiện cấp (3.4) – (3.6) điểm tối ưu L nên dL tính điểm phải

dL =

1 x ) x , x ( f    

dx1 +

2 x ) x , x ( f    

dx2 + g(x1, x2)d

+                 2 1 dx x ) x , x ( g dx x ) x , x ( g

= (3.7)

với dx1, dx2 d Ta chứng tỏ (3.7) kéo theo df = với dx1, dx2

được phép, tức đảm bảo thoả mãn ràng buộc g(x1,x2) = Do g(x1  + dx1, x2 +

dx2) = với dx1, dx2 nên vi phân toàn phần dg = 0, tức

dg = 

              2 1 dx x ) x , x ( g dx x ) x , x ( g

= (3.8)

Nhớ g(x1, x2) = nên từ (3.7) (3.8) suy

dL =

1 x ) x , x ( f    

dx1 +

2 x ) x , x ( f    

dx2 = hay df(x1, x



2) =

với dx1, dx2 thoả mãn ràng buộc Điều có nghĩa hàm f có giá trị cực

dừng điểm cực tiểu (cực đại) có ràng buộc Để phân biệt rõ cực tiểu hay cực đại địi hỏi có hiểu biết thêm “độ cong” hàm mục tiêu ràng buộc điểm dừng xét Ta bàn tới vấn đề sau Bây xét ví dụ đơn giản

Ví dụ 3.3. Xét tốn với ràng buộc đẳng thức áp dụng phương pháp Lagrange để giải Giả sử tốn cần giải có dạng

2 1,x

x

min(ax12 + bx22) với điều kiện x1 + x2 – = 0, (E.1)

trong a > b > Trước hết ta xây dựng hàm Lagrange L(x1, x2, )  (ax12 + bx22) + (x1 + x2 – 1)

Cho đạo hàm riêng bậc hàm

1 x 

L

= 2ax1 + = (E.2)

2 x 

L

= 2bx2 +  = (E.3)

  L

= x1 + x2 – = (E.4)

Giải hệ phương trình x1, x2  ta

x1 = b a

b

 , x2 = b a

a

 ,  = - a b ab

 (E.5)

Nhân tử Lagrange  “phụ” x1, x2 (E.5) điểm “dừng” có khả

năng nghiệm toán (E.1) Giá trị hàm mục tiêu tương ứng y* = a

2 b a b      

 + b

2 b a a      

 =

2 ) b a ( ba ab   = b a ab

 (E.6)

Nhớ dựa vào điều kiện cấp ta chưa thể biết giá trị hàm mục tiêu điểm

        a b

a , b a

là lớn hay nhỏ có ràng buộc

 Bây ta mơ tả phương pháp Lagrange cho hàm có số biến tuỳ ý, tốn có số ràng buộc tuỳ ý, miễn số ràng buộc số biến

Xét tốn tìm cực tiểu hàm n biến với m ràng buộc (m < n) dạng

n 1, ,x

xmin f(x1, … , xn) với g1(x1, … , xn) = 0, … , gm(x1, … , xn) = (3.10)

Để giải toán ta lập hàm Lagrange cách nhân ràng buộc gj với nhân

tử Lagrange j cộng vào hàm mục tiêu f Với x = (x1, … , xn)  = (1, …

, m) ta nhận hàm m + n biến

L (x, ) = f(x) + 

 

m j

j(x) g

j (3.11)

Điều kiện cấp yêu cầu đạo hàm riêng cấp L điểm tối ưu Do L có n + m biến nên có tất n + m phương trình để xác định n + m biến x*  Cụ thể

m , , j , *) x ( g , n , , i , x *) x ( g x *) x ( f x j j m j i j j i i                    L L (3.12)

Về nguyên tắc giải hệ phương trình theo n + m biến x*  Khi đó, véctơ x* nghiệm tối ưu tốn có ràng buộc (3.10)

Phương pháp Lagrange hữu ích Trên thực tế thuật tốn để tìm nghiệm tối ưu có ràng buộc cho lớp rộng tốn thực tiễn Định lý sau nêu điều kiện cho phép tìm x* 

Định lý 3.9 Định lý Lagrange (Lagrange‟s Theorem)

Giả sử f(x) và gj(x), j = 1, … , m, là hàm thực hai lần khả vi liên tục

trên miền D  |Rn Giả sử x* là điểm của D và x* là điểm tối ưu

građiên gj(x*), j = 1, … , m, độc lập tuyến tính tồn nhất m sốj, j =

1, … , m, sao cho hàm Lagrange Lcó điểm tối ưu theoxtại x* và

i x (x*

  L , )

= i x *) x ( f   +      m j i j j x *) x ( g

= 0, i = 1, … , n

3.3.1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC(Geometrical Interpretation)

Trở lại xét tốn (3.1) Về hình học, ta biểu diễn hàm mục tiêu tập mức L()  {(x1, x2) | f(x1, x2) = } với số  thuộc

miền trị Tất điểm tập mức cần thoả mãn phương trình f(x1, x2) = 

Nếu ta thay đổi x1, x2 không rời khỏi tập mức vi phân dx1,

dx2 cần giữ cho giá trị hàm f không đổi mức a, tức cần thoả mãn:

x ) x , x ( f  

dx1 +

2 x ) x , x ( f  

dx2 = 0, (3.13)

đẳng thức nhận cách lấy vi phân tồn phần hai vế phương trình xác định tập mức nhớ vi phân toàn phần số a Đẳng thức cần thoả mãn điểm tập mức hàm mục tiêu

Ta tính độ dốc đường mức điểm dừng Giải (3.13) theo dx2/dx1, độ dốc tập mức qua (x1, x2)

0

1 doc theo (L y ) dx

dx = - f (x ,x )

) x , x ( f ' 2 '

1 (3.14)

Ký hiệu |dọc theo … dùng để ta nhớ loại thay đổi đặc biệt xét

dx1, dx2 Vậy, vẽ Hình 3.3, độ dốc tập mức qua điểm (x1, x2)

cho (số đối) tỉ số đạo hàm riêng cấp f điểm (x1, x2)

Cùng vậy, giả sử ràng buộc g(x) = có dạng Hình 3.2, vẽ mặt phẳng với tập mức Ta xem ràng buộc loại tập mức Đó tập tất điểm (x1, x2) thoả mãn g(x1, x2) =

x2 x2

x2 x

x2 x

g(x)=0 L(a)

x1 x1

Hình 3.3. Độ dốc tập mức Hình 3.4. Độ dốc ràng buộc Tương tự, với điểm (x1, x2) thoả mãn ràng buộc hệ thức

1 x ) x , x ( g  

dx1 +

2 x ) x , x ( g  

dx2 = 0,

cần thoả mãn thay đổi dx1, dx2 dọc theo ràng buộc Độ dốc

ràng buộc điểm (x1, x2)

1 doc theo (.) 0g

dx

dx  = - g (x ,x )

) x , x ( g ' 2 '

1 (3.15)

Mặt khác, ta viết lại điều kiện (3.4) – (3.6) dạng

1 x ) x , x ( f     = -  x ) x , x ( g     2 x ) x , x ( f     = -  2 x ) x , x ( g     g(x1, x2) =

Khử  từ hai hệ thức đầu ta nhận điều kiện xác định biến x1, x2

) x , x ( f ) x , x ( f ' 2 '      = ) x , x ( g ) x , x ( g ' 2 '      (3.16)

g(x1, x2) = (3.17) Hai điều kiện nói gì? Vế trái (3.16) (- 1) lần độ dốc tập mức hàm mục tiêu qua điểm (x1, x2) Vế phải (3.16) (- 1) lần độ dốc tập mức hàm ràng buộc Điều kiện (3.16) cho thấy nghiệm (x1, x2)

là điểm độ dốc tập mức hàm mục tiêu độ dốc tập mức hàm ràng buộc Điều kiện (3.17) cho thấy ta cần phải tập mức phương trình ràng buộc Điểm tập ràng buộc có độ dốc tập mức mục tiêu độ dốc tập mức ràng buộc, theo định nghĩa, điểm tiếp xúc (point of tangency) ràng buộc tập mức mục tiêu

3.3.1.3 ĐIỀU KIỆN CẤP HAI(Second – Order Conditions)

 Trước hết xét toán tối ưu hai biến, ràng buộc

Xem x1 biến tự x2 hàm x1 Ràng buộc có dạng: g(x1,

x2(x1)) = Lấy vi phần toàn phần theo dx2/dx1 ta hệ thức quen thuộc:

dx dx = - ' ' g g (3.18)

đối với độ dốc hệ thức ràng buộc mặt phẳng (x1, x2) Đặt y = f(x1,

x2(x1)) giá trị hàm mục tiêu có ràng buộc, ta xem y hàm biến x1

Lấy vi phân x1 ta dy/dx1 = f1' + f '

2(dx2/dx1) Chú ý đến (3.18) ta

được

1 dx

dy

= f1' - f'2

' ' g g (3.19)

Lấy vi phân lần nhớ ràng x2 hàm x1 ta vi phân cấp hai:

                               2 dx dx 22 21 dx dx 12 11 2 g g dx dx 22 21 dx dx 12 11 2 ) g ( ) g g ( g ) g g ( g f f f f f dx y d 2 1 2 (3.20)

Điều kiện cần cấp hai cho cực tiểu hàm biến đòi hỏi đạo hàm cấp hai lớn hay điểm thoả mãn điều kiện cấp Điều kiện đủ đòi hỏi bất đẳng thức thoả mãn chặt điểm Các điều kiện cấp (3.4) – (3.6) đòi hỏi f1 = - g1 f2 = - g2 Định lý Young cho thấy f12 =

2 dx y d

= 2

2)

g (

1

 [(f11 + g11)(g2)

– 2(f12 + g12)g1g2 + (f22 + g22)(g1)

] (3.21)

Từ L = f + g ta suy đạo hàm riêng hàm Lagrange xi

Li = fi + gi

Các đạo hàm riêng cấp hai hàm Lagrange L11 = f11 + g11

L12 = f12 + g12 (3.22)

L22 = f22 + g22

Lập ma trận đối xứng H = 

      g g g g 2 22 21 12 11 L L L L

Ma trận gọi ma trận Hessian biên (bordered Hessian) hàm Lagrange chứa đạo hàm riêng cấp hai hàm L bao quanh đạo hàm riêng cấp hàm ràng buộc số Tính định thức ma trận (khai triển theo cột cuối) ta

D  

      g g g g 2 22 21 12 11 L L L L

= [L 11(g2)2 – 2L 12g1g2 + L 22(g1)2] (3.23)

Kết hợp (3.21), (3.22) (3.23) ta thấy đạo hàm cấp hai hàm mục tiêu có ràng buộc viết lại theo định thức ma trận Hessian biên hàm Lagrange sau

2 dx y d

= 2

2) g (  

D (3.24)

Như vậy, độ cong hàm mục tiêu dọc theo ràng buộc đặc trưng dấu đạo hàm cấp hai d2

y/dx12 suy trực tiếp từ dấu định thức ma trận Hessian biên hàm Lagrange (giả thiết g2  0) Đến ta phát biểu

Định lý 3.10 Điều kiện đủ toán tối ƣu hai biến, ràng buộc (Sufficient Conditions for the Two-Variables, One-Constraint Optimization Problem)

Nếu (x1, x2, ) nghiệm điều kiện cấp 1 (3.4) – (3.6) và nếu D < (>

0) trong (3.23) tại điểm (x1, x2, ) thì (x1, x2) là cực tiểu (cực đại) của hàm f(x1, x2) với ràng buộc g(x1, x2) =

Ví dụ 3.4. Hãy xét xem điểm dừng nhận từ Ví dụ 3.1 (tr ?) cực tiểu hay cực đại Dễ thấy L11 = 2a, L12 = L21 = 0, L22 = 2b Từ phương trình

ràng buộc g1 = g2 = Xây dựng ma trận Hessian biên tính định thức

D =

0 1 b a

= - 2(a + b) <

Vì D < với x1, x2 , nên có D < nghiệm (E.5)

của điều kiện cấp Ví dụ 3.1 Do đó, giá trị hàm mục tiêu (E.6) giá trị cực tiểu có ràng buộc 

 Trường hợp nhiều biến, nhiều ràng buộc: ma trận Hessian biên có dạng

H =

                0 g g g g g g g g m n m 1 n 1 m n n nn n m 1 n 11                     L L L L

, (3.25)

trong Lkj đạo hàm riêng cấp hai hàm Lagrange L theo xk, xj gij

đạo hàm riêng hàm gi theo xj (i = 1, 2, … , m; j, k = 1, 2, … , n)

D3 = g g g g 1 22 21 1 12 11 L L L L

, D4 =

0 g g g 0 g g g g g g g g g 2 1 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 L L L L L L L L L

, … , |H| (3.26)

Ta tóm tắt điều kiện đủ tối ưu trường hợp tổng quát định lý sau

Định lý 3.11 Điều kiện đủ cho tối ƣu với ràng buộc đẳng thức (Sufficient Conditions for Optima with Equality Constraints)

Giả sử f(x) là hàm mục tiêu và m ràng buộc là gi(x) = 0, i = 1, … , m Giả

sử hàm Lagrange cho bởi (3.11) Giả sử (x*, ) nghiệm điều kiện cấp

trong (3.12) Khi đó:

a) x* đạt cực tiểu có ràng buộc của f(x) tử thức trong

(3.26) đều âm D3 < 0, D4 < 0, … khi tính tại (x*, )

b) x* đạt cực đại có ràng buộc f(x) tử thức trong

(3.26) luân phiên đổi dấu dấu dương D3 > 0, D4 < 0, … khi tính tại

(x*, )

3.3.2 RÀNG BUỘC KHÔNG ÂM (Non-negativity Constraints)

Trong ứng dụng kinh tế ta thường gặp toán cực tiểu (cực đại) với ràng buộc bất đẳng thức, thay bổ sung cho ràng buộc đẳng thức Ràng buộc bất đẳng thức đơn giản ràng buộc không âm x  0 (các biến kinh tế lấy giá trị khơng âm) Để giúp hiểu rõ tốn phức tạp hơn, ta xét trường hợp biến (Có ba trường hợp xảy ra Hình 3.5)

x

minf(x) với điều kiện x  (3.27) Nghiệm x* toán (3.27) cần thoả mãn ba điều kiện sau:

+ Điều kiện f‟(x*) 

Hình 3.5 Cực tiểu với ràng buộc khơng âm Ví dụ 3.5. Xét tốn

x

min{x2 + 4x - 2} với điều kiện x  Lấy vi phân ta f‟(x) = 2x + Từ 3.28 x* cần thoả mãn 1. - 2x* - 

2. x*[2x* + 4] = 3. x* 

Từ điều kiện cho thấy x* = nghiệm cực tiểu

 Điều kiện cho cực đại f(x) với x  dễ dàng nêu ra: Nếu

x

~ điểm cực đại tốn với ràng buộc khơng âm x  0

+ Điều kiện f‟(x~) 

+ Điều kiện x~[f‟(~x)] = (3.29) + Điều kiện x~  0

Trong trường hợp nhiều biến, ba điều kiện cần với biến riêng biệt đạo hàm riêng hàm thay cho đạo hàm Định lý sau mở rộng trực tiếp trường hợp biến

Định lý 3.12 Điều kiện cần tối ƣu hàm với ràng buộc không âm

(Necessary Conditions for Optima of Real Valued Functions Subject to Non-negativity Constraints)

Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục Khi đó,

1.Nếux* đạt cực tiểu của f(x) với điều kiện x thìx* thoả mãn

x*=0

x1 x*=0 x1 x*>0 x

=0

f(x) f(x) f(x)

f‟(x*)>0

(1)

i x

*) x ( f



 

0, i = 1, … , n

(2) xi [

i x

*) x ( f

 

] = 0, i = 1, … , n (3) xi  0, i = 1, … , n

2.Nếu ~x đạt cực đại của f(x) với điều kiện x thì x~ thoả mãn

(1)

i x

) x ~ ( f   

0, i = 1, … , n

(2) ~xi[ i x

) x ~ ( f  

] = 0, i = 1, … , n (3) ~xi  0, i = 1, … , n

3.3.3 ĐIỀU KIỆN KARASH-KUHN-TUCKER(KKT Conditions)

Cho đến thực tế ta chưa sử dụng đến phương pháp Lagrange, ràng buộc bất đẳng thức xét đơn giản Bây ta xét toán với ràng buộc bất đẳng thức phức tạp

2 1,x

x

minf(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2)  0, x1 0, x2 (3.30)

Bài toán gọi toán quy hoạch phi tuyến (non-linear programming problem) Thêm biến z  để đưa toán (3.30) dạng:

z , x ,

xmin1 2 f(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2) + z = 0, x1  0, x2 0, z  (3.31)

Định lý 3.1 cho thấy cực tiểu theo x f với ràng buộc đẳng thức trùng với cực tiểu không điều kiện theo x hàm Lagrange tương ứng khơng có ràng buộc dấu Định lý 3.4 cho biết phải thay đổi điều kiện cấp cực tiểu không ràng buộc hàm Lagrange để tính đến ràng buộc khơng âm Để vận dụng định lý trên, trước hết ta xây dựng hàm Lagrange cho toán (3.31):

Ta mô tả đặc trưng cho điểm cực tiểu hàm Lagrange L với ràng buộc x1 0, x2 0, z  Điều kiện cấp x1, x2 z có dạng

L1 f1 + g1 (i)

x1L1  x1[f1 + g1] = (ii)

L2 f2 + g2 (iii)

x2L2  x2[f2 + g2] = (iv)

Lz   (v)

zLz z = (vi)

x1  0, x2 0, z  (vii)

Điều kiện cấp , khuyết điều kiện không âm, đơn giản L g(x1, x2) + z = (viii)

Từ điều kiện (v) – (viii) suy g(x1, x2)  g(x1, x2) =  

Kết hợp điều kiện với (i) – (iv) ta nhận điều kiện gọi điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (hay đơn giản điều kiện KKT): f1 + g1 (i)

x1[f1 + g1] = (ii)

f2 + g2 (iii)

x2[f2 + g2] = (iv)

g(x1, x2)  (v‟)

g(x1, x2) = (vi‟)

x1  0, x2 0,   (vii‟)

của (vii‟) xem điều kiện cho cực tiểu L theo , bất đẳng thức (v‟) “đảo ngược dấu” Song nhìn lại Định lý 3.4 ta biết nhận ta định tìm cực đại L theo  với ràng buộc không âm Đúng thế, điều kiện (v‟), (vi‟) điều kiện cuối (vii‟) điều kiện L 0, L =  mà ta nhận ta định tìm cực đại L theo  với điều kiện không âm  

Bây thấy (i) – (vii‟) điều kiện cần hay điều kiện cho điểm cực tiểu hàm Lagrange theo biến xi cho cực đại hàm

Lagrange theo nhân tử  Nếu điểm (x1, x2, ), L đạt cực tiểu theo x1 x2, đồng thời L đạt cực đại theo , (x1, x



2, ) gọi điểm

yên ngựa (saddle point) hàm Lagrange Tất nhiên điều mở rộng cho trường hợp tốn có nhiều biến nhiều ràng buộc, miễn hàm ràng buộc cần thoả mãn số điều kiện định (gọi điều kiện qui)

Ta đưa điều kiện tương tự, khơng đồng nhất, tốn cực đại với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc khơng âm Với tốn cực đại ta qui ước viết (các) bất đẳng thức ràng buộc dạng g(.)  0, dạng g(.)  làm xét toán cực tiểu Lúc ta áp dụng lập luận phương pháp để tìm thấy điểm yên ngựa hàm Lagrange trùng với nghiệm tốn cực đại có ràng buộc Tuy nhiên, lúc điểm yên ngựa bao gồm cực đại hàm Lagrange theo biến định cực tiểu theo nhân tử Lagrange

Ta tổng kết kết định lý sau

Định lý 3.13 Điều kiện cần tối ƣu KKT hàm thực với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc không âm (KKT Necessary Conditions for Optima of Real Valued Functions Subject to Inequality and Non-negativity Constraints)

1 Xét toán cực tiểu:

x

minf(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1, … , m, và x  (T.1)

với hàm Lagrange

L(x, ) = f(x) + 

 

m j

j

jg (x) (T.2)

Nếu x* là nghiệm của (T.1) và véctơ građiên ràng buộc

chặt tại x* độc lập tuyến tính tồn tại m số j  0, j = 1, … , m sao cho

(x*,*) là điểm yên ngựa hàm Lagrange thoả mãn điều kiện Karush -

Kuhn - Tucker:

Li(x*, *)  và xjLi(x*, *) = 0, j = 1, … , n

L

i

 (x*, *)  và iLi(x*, *) = 0, i = 1, … , m

2 Xét toán cực đại:

x

max f(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1, … , m, và x 0 (T.3)

với hàm Lagrange tương ứng (T.2) Nếu ~x là nghiệm của (T.3) và véctơ

građiên ràng buộc chặt tại ~x độc lập tuyến tính tồn tại m số ~i 

0, i = 1, … , m sao cho (~x, ~ ) là điểm yên ngựa hàm Lagrange thoả

mãn điều kiện Karush - Kuhn - Tucker:

Li(x~,  ~

)  và x~iLj(~x, 

~ ) = 0, j = 1, … , n

L

i

 (x~, ~)  i

~

 L

i

 (~x, ~ ) = 0, i = 1, … , m

các điều kiện đủ bàn tới Với nhà kinh tế điều kiện cần nêu Định lý 3.13 tạm đủ

Hình 3.6 Điểm yên ngựa hàm Lagrange

 Tóm lại, chương chúng tơi trình bày khái qt vấn đề tìm cực trị hàm số hay nhiều biến số giới thiệu tương đối đày đủ khái niệm kiến thức tối ưu bản, chủ yếu hình thức phi tốn, kết ghi thành định lý, phần lớn chúng giải thích minh hoạ thơng qua nhiều ví dụ số hình vẽ cụ thể

Đáng ý điều kiện cần điều kiện đủ, cấp cấp 2, cho điểm cực tiểu hay cực đại hàm số có hay khơng có ràng buộc Phương pháp quen biết tìm cực trị phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát phương pháp dùng điều kiện cần KKT, kết hợp với điều kiện đủ tối ưu

L(x,l)

l

KẾT LUẬN

Hàm (rộng ánh xạ) khái niệm giải tích tốn học Nói riêng, hàm thực nhiều biến sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Nhiều tính chất đáng quí hàm khai thác triệt để giả thiết thiếu nhiều nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi tính chất cực trị hàm

Luận văn nhằm tập trung tìm hiểu kiến thức giải tích tối ưu hoá liên quan đến hàm nhiều biến số, cần dùng phân tích nghiên cứu kinh tế mặt định lượng (bổ sung cho nghiên cứu định tính)

Chương giới thiệu tóm tắt số kiến thức giải tích tập hợp ánh xạ: tập mở, tập đóng, tập compact Rn, cận (cận dưới) tập hợp

số thực, tập lồi tính chất; tính liên tục ánh xạ, quan hệ tính liên tục với ảnh ngược tập mở (đóng), ảnh liên tục tập compact

Chương đề cập tới hàm số thường gặp kinh tế tính tốn tối ưu: hàm lồi, hàm lõm, hàm Khảo sát tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), độ dốc, độ cong hàm qua tập liên quan mật thiết với hàm (đồ thị, tập mức, tập mức trên, dưới), qua đạo hàm vi phân hàm

Chương trình bày khái quát cực trị hàm số nhiều biến số kiến thức tối ưu bản: điều kiện cần (điều kiện đủ) điểm cực trị tốn tối ưu có hay khơng có ràng buộc, phương pháp Lagrange cho tối ưu vớiràng buộc đẳng thức mở rộng cho tối ưu vớiràng buộc bất đẳng thức

Tác giả cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa ví dụ hình vẽ để minh hoạ cho nhiều khái niệm kiện đề cập tới luận văn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] N T B Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu (Lý thuyết

thuật toán), Nxb Bách khoa - Hà Nội

[2] Đ V Lưu P H Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội

Tiếng Anh

[3] G A Jehle (1995), Advanced Microeconomic Theory, Part I, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey

[4] W F Trench (2003), Introduction to Real Analysis, Free Edition, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

[5] D G Luenberger and Y Ye (2008), Linear and Nonlinear