tính đơn điệu hàm số và cực trị của hàm số

BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. y  f (x) đồng biến (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b). 2. y  f (x) nghịch biến (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b). Chú ý: Trong chương trình phổ thông, khi sử dụng 1., 2. cho các hàm số một quy tắc có thể bỏ điều kiện (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b). CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Tìm m để nghịch biến trên 1, ) Giải: Hàm số nghịch biến trên 1, )    . Ta có:

Bài 4. Cực trị hàm đa thức Chuyên đề 2 BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1.y=fxab⇔ƒ′x≥∀x∈abƒ′x= ∈ab 2.y=fxab⇔ƒ′x≤∀x∈abƒ′x= ∈ab Chú ý:  !"#$%&'(1. 2.)* +,-./0%1ƒ′x=∈a b CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. !m ( ) ( ) 2 3 4 2 5 6 5 mx m x m y x + + − − = + 785+∞ Giải: 9*785+∞⇔ ( ) 2 2 2 :  5 5 mx mx y x x + + ′ = ≤ ∀ ≥ +  ⇔ ( ) 2 2 2 :  2 : 5mx mx m x x x + + ≤ ⇔ + ≤ − ∀ ≥  ⇔ ( ) 2 : 5 2 u x m x x x − = ≥ ∀ ≥ + ( ) 5 ; x u x m ≥ ⇔ ≥ <.= ( ) ( ) 2 2 : 2 2  5  2  x u x x x x + ′ = > ∀ ≥ +  ⇒ux785+∞⇒ ( ) ( ) 5 : ; 5 6 x m u x u ≥ − ≤ = = Bài 2. !m ( ) ( ) 6 2 5 5 6 > 6 y x m x m x − = + − + + − 76 Giải. 9*?76 ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 5 6  6y x m x m x ′ = − + − + + ≥ ∀ ∈ 5 @ ( ) y x ′ A7(x=B*x=675⇔y′≥∀x∈86C ⇔ ( ) [ ] 2 2 5 2 6 6m x x x x+ ≥ + − ∀ ∈ ⇔ ( ) [ ] 2 2 6 6 2 5 x x g x m x x + − = ≤ ∀ ∈ +  5 Chương I. Hàm số – Trần Phương [ ] ( ) 6 ;<D x g x m ∈ ⇔ ≤ <.= ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 E  6 2 5 x x g x x x + + ′ = > ∀ ∈ + ⇒gx786C⇒ [ ] ( ) ( ) 6 52 ;<D 6 : x m g x g ∈ ≥ = = Bài 3. !m ( ) ( ) 6 2 5 5 6 2 6 6 m y x m x m x= − − + − + 7 [ ) 2+∞ Giải: 9*? [ ) 2+∞ ⇔ ( ) ( ) 2 2 5 6 2  2y mx m x m x ′ = − − + − ≥ ∀ ≥ 5 ⇔ ( ) 2 5 2 2 3 2m x x x   − + ≥ − + ∀ ≥   ⇔ ( ) ( ) 2 2 3 2 5 2 x g x m x x − + = ≤ ∀ ≥ − +  <.= ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6   2 6 x x g x x x − + ′ = = − + 5 2 6 3 6 3 x x x x  = = − ⇔  = = +   F ( ) A  x g x →∞ =  GHH⇒ ( ) ( ) 2 2 ;<D 2 6 x g x g m ≥ = = ≤  Bài 4. ( ) ( ) ( ) 6 2 2 2 : : 2 5 2 6y x mx m m x m m= − − − + + − −  [ ) 2+∞ Giải: 9*?7 [ ) 2+∞ ( ) 2 2 6 2 2 : :  2y x mx m m x ′ ⇔ = − − − + ≥ ∀ ≥ <  .  ( ) 2 : 6 6m m ′ = − +V ( ) 2 6 6 :  2 > m   = − + >      7  y ′ =  .  2  1 5 2 x x< HIgx≥. 01JA*= <. ( ) y x ′ ≥ K 2x∀ ≥ ⇔ [ ) 2 G+∞ ⊂  ( ) ( ) 2 5 2  4 5 4 2 2 6 2 6 2 6 4  5 2 3 2 2 6 m x x y m m m S m m ′ ∆ >   − ≤ ≤   ′ ⇔ < ≤ ⇔ = − + + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤     < = <   Bài 5. !m ( ) 2 2 5 5x m x m y x m + − + + = − 7 ( ) 5 +∞ Giải: 9*        7  ( ) 5 +∞  ⇔ ( ) 2 2 2 2 > 2 5  5 x mx m m y x x m − + − − ′ = ≥ ∀ > − ⇔ ( ) ( ) 2 2  5 2 > 2 5  5 5  g x x g x x mx m m x m x m   ≥ ∀ > = − + − − ≥ ∀ >   ⇔   ≤ − ≠     2 5 x 2 x x2LM N Bài 4. Cực trị hàm đa thức Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2 <.= ( ) 2 2 5 m ′ ∆ = + ≥ ,<g x =.21 5 2 x x≤  HIgx≥. 01JA*= <.gx≥K∀x∈5+∞⇔ ( ) 5 G+∞ ⊂  ( ) ( ) 2 5 2 5 5  5 2 5 2 3 5  6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 5 2 m m x x g m m m m S m ′ ≤ ≤ ∆ ≥      ⇔ ≤ ≤ ⇔ = − + ≥ ⇔ ⇔ ≤ − ≤ −      ≥ + = − ≤    Cách 2:Phương pháp hàm số <.=g′ x => x −m≥> x −5O∀ x O5⇒gx785 +∞ @. ( ) ( ) ( ) 2 5 5 3 5  6 2 2 ;  5 6 2 2 6 2 2 5 5 5 x g m m m g x m m m m m ≥    = − + ≥ ≤ −  ≥     ⇔ ⇔ ⇔ ≤ − ⇔    ≥ +  ≤     ≤ ≤   Bài 6. !m ( ) ( ) 2 > 4  2 6 6 5y m x m x m m= − + − + − + P x∀ ∈¡ Giải:Q7R*) ( ) 4 >  2 6 y m x m x ′ ⇔ = − + − ≤ ∀ ∈¡ ( ) ( ) [ ] 4 > 2 6  5F5g u m u m u⇔ = − + − ≤ ∀ ∈ − @ ( ) [ ]  5F5y g u u= ∈ − A* S7, ( ) ( ) 5 3 E  > 5 6 5 2 2  g m m g m  − = − ≤  ⇔ ⇔ ≤ ≤  = − + ≤   Bài 7. ! m   *   5 5   2  6 > T y mx x x x= + + +  ?  BU  V x ∈¡ Giải: Q7R*) 5 5   2 6  2 6 y m x x x x ′ ⇔ = + + + ≥ ∀ ∈¡ ⇔ ( ) ( ) 2 6 5 5  2 5 > 6  2 6 m x x x x x+ + − + − ≥ ∀ ∈¡ ( ) [ ] 6 2 > 5  55 6 2 m u u g u u⇔ ≥ − − + = ∀ ∈ − BU [ ]  55u x= ∈ − <. ( ) ( ) 2 5 > 2 2 2 5  F  2 g u u u u u u u ′ = − − = − + = ⇔ = − = WX"HH,<,7R*)⇔ [ ] ( ) ( ) 55 4 ;<D 5 3 x g u g m ∈ − = − = ≤  6 5 x 2 x Chương I. Hàm số – Trần Phương Bài 8. N* ( ) ( ) ( ) 6 2 5 5 2 5 6 2 6 y m x m x m x m= + + − − + +  !m%PY<*.'*Z> Giải. [\  ( ) ( ) ( ) 2 5 2 2 5 6 2 y m x m x m ′ = + + − − + =   @  2 : 6 m m ′ ∆ = + + > 7 y ′ = .21 5 2 x x< ]PY<*.'* Z> [ ] 5 2 2 5 F F F >y x x x x x ′ ⇔ ≤ ∀ ∈ − =  5 m⇔ + > B* 2 5 >x x− = <. 2 5 >x x− = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 > 2 5 > 6 2 53 > 5 5 m m x x x x x x m m − + = − = + − = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 > 5 2 5 6 2 5m m m m⇔ + = − + + + 2 : 35 6 : 5  3 m m m ± ⇔ − − = ⇔ = %^"BU 5 m + > ,< : 35 3 m + = B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài 1. JP" != 4 6 5 6 > x x x+ − − + =  Giải. _0%1= 5 6 x ≤ _` ( ) 4 6 5 6 > f x x x x= + − − + =  <.= ( ) > 2 6 4 6  2 5 6 f x x x x ′ = + + > − ⇒f x 7 ( 5  6  −∞    ;`%)f −5=7" !f x =.1',a x = −5 Bài 2. JP" != 2 2 54 6 2 Ex x x+ = − + +  Giải. Ha" !⇔ ( ) 2 2 6 2 E 54f x x x x= − + + − + =5 Mb 2 6 x ≤ !f x c⇒5B$1 Mb 2 6 x > ! ( ) 2 2 5 5 2 6  6 E 54 f x x x x x   ′ = + − > ∀ >  ÷ + +   ⇒f x 7 ( ) 2  6 +∞ *f 5=75.K51 x = 5 Bài 3. JPa" != 6 4 > 5 4 : : 4 56 : Ex x x x+ + − + − + − < d > Bài 4. Cực trị hàm đa thức Giải. _0%1 4 : x ≥ _` ( ) 6 4 > 5 4 : : 4 56 :f x x x x x= + + − + − + − <.= ( ) ( ) ( ) 2 6 > 4 6 > 4 : 56 5  2 5 4 56 : 6 4 : > : 4 f x x x x x ′ = + + + > + × − × − × − ⇒f x 7 ) 4  :  +∞   ;*f6=E7d⇔f x cf6⇔ x c6 eX,1Y<a" !fA* 4 6 : x≤ < Bài 4. JPI= 6 2 5 5 5 4 > 6 2 2 4 : 5: 2 6 3 x x x x x x x x x x+ + + = + + − + − + d Giải. d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 5 5 5 4 > 6 2 2 4 : 5: 2 6 3 x x x x x x x f x x x x g x ⇔ = + + + − − − = − + − + = <.fxB*g′x=−3x 2 +5x−:c∀x⇒gx  b1Y<fx=gxA**<Y< ( ) ( ) B*y f x y g x= =  @fx?FgxPB* ( ) ( ) 5 5 56f g= = 7d.1',a x  =5 Bài 5. !m;<D ( )   5  2   2m x x x x x x + + ≤ + + + ∀ d Giải. _`  ( ) 2 2      5  2t x x t x x x= + ≥ ⇒ = + = +  ⇒ 2 5 2t≤ ≤ ⇒ 5 2t≤ ≤ %.d⇔ ( ) 2 5 5 5 2m t t t t   + ≤ + + ∀ ∈    ⇔ ( ) 2 5 5 2 5 t t f t m t t + +   = ≥ ∀ ∈   + ⇔ ( ) 5 2 ; t f t m   ∈   ≥ @ ( ) ( ) 2 2 2  5 t t f t t + ′ = > +  7  f t        5 2      ⇒ ( ) ( ) 5 2 6 ; 5 2 t f t f   ∈   = =  ⇒ 6 2 m ≤  ⇒ 6 ;<D 2 m = Bài 6. JP" ! 2 2   2E 2E  2 x x x− = 2 2 2 2   2 2  2  2 2E 2E   2E  2E  x x x x x x x x− = − ⇔ + = + d 4 Chương I. Hàm số – Trần Phương [\ ( ) 2E u f u u= + <. ( ) 2E A 5  u f u u ′ = + > g,< ( ) f u  d ( ) ( ) 2 2 2 2      2 f x f x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =  > 2 k x k π π ⇔ = + ∈¢ Bài 7. ! ( )  x y ∈ π /<f1     6 4 2 x y x y x y − = −   + = π  Giải.         x y x y x x y y− = − ⇔ − = −  [\  *    `    ( ) ( )    f u u u u= − ∈ π   <  . ( ) 2 5 5   f u u ′ = + >  g,< ( ) f u 7 ( ) π ]. ( ) ( ) > 6 4 2 f x f y x y x y  = π ⇔ = =  + = π  Bài 8. JP1" ! 6 2 6 2 6 2 2 5 2 5 2 5 x y y y y z z z z x x x  + = + +  + = + +   + = + +  d Giải. [\ ( ) 6 2 f t t t t= + + BU t ∈¡ ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 5 f t t t ′ = + + > ⇒ft ? ]$ah#+)P& x ≤y≤z ⇒ ( ) ( ) ( ) f x f y f z≤ ≤ ⇒ 2 5 2 5 2 5z x y z x y+ ≤ + ≤ + ⇔ ≤ ≤ ⇒ x =y=z=± 5 Bài 9. JP1a" ! 2 6 6 2 5  6 5  x x x x  + − <   − + >   Giải. 2 5 6 2 5  5 6 x x x+ − < ⇔ − < < _` ( ) 6 6 5f x x x= − + <.= ( ) ( ) ( ) 6 5 5 f x x x ′ = − + < ⇒ ( ) f x PB* ( ) ( ) ( ) 5 5 5  5 6 2: 6 f x f x> = > ∀ ∈ − II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1. NiZ= 6 6 4  6j 6j 4j x x x x x x− < < − + ∀xO Giải  6  6j x x x− < ∀xO⇔ ( ) 6   6j x f x x x= − + > ∀xO 3 Bài 4. Cực trị hàm đa thức <. ( ) 2 5  2j x f x x ′ = − + ⇒ ( ) f x x x ′′ = − ⇒ ( ) 5  f x x ′′′ = − ≥ ∀xO ⇒ ( ) f x ′′ 8M∞⇒ ( ) ( )  f x f ′′ ′′ > = ∀xO ⇒ ( ) f x ′ 8M∞⇒ ( ) ( ) f x f ′ ′ > k∀xO ⇒ ( ) f x 8M∞⇒fxOfk∀xO⇒"  6 4  6j 4j x x x x< − + ∀xO⇔gxk 4 6   4j 6j x x x x− + − > ∀xO <.g′xk > 2 5  >j 2j x x x− + − ⇒g′′xk 6  6j x x x− + kfxO∀xO ⇒g′x8M∞⇒g′xOg′k∀xO ⇒gx8M∞⇒gxOgk∀xO⇒" Bài 2.NiZ= 2   2 x x x π   > ∀ ∈  ÷ π   Giải. 2  2    x x x f x x > ⇔ = > π π ∀x∈  2 π    ÷   [\i* 2 2       g x x x x f x x x − ′ = = lm,%h1gxkxx−x <.g′xkx−xx−xk−xxc∀x∈  2 π    ÷    ⇒gxP7  2 π    ÷   ⇒gxcgk ⇒ ( ) 2    g x f x x ′ = < ∀x∈  2 π    ÷   ⇒f xP7  2 π    ÷    ⇒ ( ) ( ) 2 2 f x f π > = π ⇔ 2    2 x x x π   > ∀ ∈  ÷ π   Bài 3.NiZ= 2 A A x y x y x y + − > − ∀xOyO Giải. @xOyOAxOAy⇔Ax−AyO7#aS i : Chương I. Hàm số – Trần Phương ⇔ 5 A A 2 A 2 5 x x y yx x y x x y y y − − − > × ⇔ > × + + ⇔ 5 A 2 5 t t t − > × + BU x t y = O5 ⇔ 5   A 2  5 t f t t t − = − × > + ∀tO5<. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 > 5  5 5 t f t t t t t − ′ = − = > + + ∀tO5 ⇒ft85M∞⇒ftOf5k∀tO5⇒" Bài 4.NiZ= 5 A A > 5 5 y x y x y x   − >  ÷ − − −    ( )  5x y x y  ∀ ∈   ≠   5 Giải. [\<%P?<m,= MbyOx!5⇔ ( ) A A > 5 5 y x y x y x − > − − − ⇔ A > A > 5 5 y x y x y x − > − − − Mbycx!5⇔ ( ) A A > 5 5 y x y x y x − < − − − ⇔ A > A > 5 5 y x y x y x − < − − − [\*`ftk A > 5 t t t − − BUt∈5 <. ( ) ( ) 2 5 2 5 >  5  5  t f t t t t t − ′ = − = > − − ∀t∈5⇒ft5 ⇒fyOfxyOxB*fycfxycx ⇒" Bài 5.NiZ= b a a b< ∀aOb≥n Giải. a b cb a ⇔Aa b cAb a ⇔bAacaAb⇔ A Aa b a b <  [\*`fxk A x x ∀x≥n <. 2 2 5 A 5 A    x e f x x x − − ′ = ≤ = ⇒fx8nM∞ ⇒facfb⇔ A Aa b a b < ⇔a b cb a  Bài 6. (Đề TSĐH khối D, 2007) E Bài 4. Cực trị hàm đa thức NiZ ( ) ( ) 5 5 2 2   2 2 b a a b a b a b+ ≤ + ∀ ≥ > Giải. H#aSi ( ) ( ) 5 5 5 > 5 > 2 2 2 2 2 2 b a b a a b a b a b a b     + + + ≤ + ⇔ ≤  ÷  ÷     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 5 > A 5 > 5 > 5 > A 5 > A 5 > a b b a b a a b a b a b + + ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤  [\*`<B ( ) ( ) A 5 > x f x x + = BU x > <. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 > A > 5 > A 5 >  5 > x x x x x f x x − + + ′ = < + ( ) f x⇒ P7 ( ) ( ) ( )  f a f b+∞ ⇒ ≤ Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt) NiZ= 6 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + ∀abO5 Giải. ]$ah#+)P&a≥b≥_`xka⇒x≥b≥ O <.5⇔f xk x b c b c c x x b + + + + + BUx≥b≥O ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5    b c b c f x b c b c x c x b b c b c ′ = − − > − − = + + + + + +  ⇒fx8bM∞⇒ 2     b c f x f b b c + ≥ = + 2 _`xkb⇒x≥OD\*gxk 2x c x c + + BUx≥O ⇒ ( ) 2    c g x x c ′ = > + ∀O⇒gx8M∞⇒ 6     2 g x g c ≥ = 6 G26,< 6 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + ∀abO T Chương I. Hàm số – Trần Phương BÀI 4. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số: y=fx ( ) 6 2 ax bx cx d a= + + + ≠  2. Đạo hàm: ( ) 2 6 2y f x ax bx c ′ ′ = = + + 3. Điều kiện tồn tại cực trị y=fx.o⇔y=fx.oB*o ⇔ ( ) f x ′ = .21"m1⇔∆′=b 2 −6acO 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị JP&∆′=b 2 −6acO%. ( ) f x ′ = .21"m1 5 2 x x BU 2 52 6 6 b b ac x a − ± − = B**ox 5 x 2  np<<.)oY<*A*= ( ) ( ) 2 2 5 5 2 2 6 6 F 6 6 b b ac b b ac y f x f y f x f a a     − − − − + − = = = =  ÷  ÷     ^"x 5 x 2 A*B$q!)ofx 5 fx 2 hn p<r"i" BU)hnX)<m,= Bước 1:o1"\"<fxf′x<.= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 6 T 6 6 T b b bc f x x f x c x d a a a   ′ = + + − + −  ÷   <, ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x q x r x ′ = + BUX ( ) 5r x = Bước 2:@ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2  6 6 T 7  2 6 6 T b bc y f x r x c x d f x a a f x b bc y f x r x c x d a a    = = = − + −  ÷  ′  =       ′ =      = = = − + −  ÷     Hệ quả: _S+<oo." !A*=y=rx _BU*#+)=y=fx ( ) 6 2 ax bx cx d a= + + + ≠ ! S+<oo." != ( ) 2 2 6 6 T b bc y c x d a a   = − + −  ÷   5 [...]... Hm s: y = f (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ( a 0 ) 2 o hm: y = f ( x ) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d cú đúng 1 nghiệm 1 nghiệm đơn có đúng 1 cực trị có đúng 2 nghiệm 3 Cc tr: Xột f ( x ) = 0 1 nghiệm kép có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ và CT 4 K nng tớnh nhanh cc tr Gi s f (x) trit tiờu v i du ti x = x0, khi ú f (x) t cc tr ti x0 vi s 4 3 2 cc tr l f ( x 0 ) = ax 0 + . < d > Bài 4. Cực trị hàm đa thức Giải. _0% 1  4 : x ≥ _` ( ) 6 4 > 5 4 : : 4 56 :f x x x x x= + + − + − + − <.= ( ) ( ) ( ) 2 6 > 4 6 > 4 : 56 5  2 5 4 56 : 6 4 : > : 4 f. − ⇒f x 7 ) 4  :  +∞   ;*f6=E7d⇔f x cf6⇔ x c6 eX, 1 Y<a" !fA* 4 6 : x≤ < Bài 4. JPI= 6 2 5 5 5 4 > 6 2 2 4 : 5: 2.        ⇒              ⇒  ®óng 1 nghiÖm cã ®óng 1 cùc trÞ 1 nghiÖm ®¬n cã ®óng 2 nghiÖm 1 nghiÖm kÐp cã 3 nghiÖm ph©n biÖt cã 3 cùc trÞ gåm C§ vµ CT  4. Kỹ năng tính nhanh cực trị JP&f′ x  1 7B*#'ax=x  %.f x ox  BU oA* (