Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)... Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t.[r]
(1)onthionline.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT N THUỶ C
NGƯỜI THỰC HIỆN: Bùi Tuấn Anh
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
NĂM HỌC 2010 – 2011
(2)Chương Ơn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp hàm số
Chương Hệ thống số dạng tốn tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp đổi biến số
Chương Hệ thống số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến số phương pháp đổi biến số
Các dạng toán:
a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến b Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y tốn tìm GTLN, NN biểu thức đối xứng theo biến số x, y
c Phương pháp đổi biến số biểu thức đối xứng theo biến số x, y, z
d Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến) CHƯƠNG ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH
KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ
1.1/ Phương pháp giải bài tốn: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D. Phương pháp chung
- Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lưu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau:
- Tính đạo hàm y’
- Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x
1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)
- KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b]
Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận giá trị nào. 1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có hàm số sau:
2
( )
f x x x f x( ) x 1 3 x f x( ) 1 x2 1x2
( ) 1
f x x x f x( )x 1 x2 x
2
2
( )
1
x f x
x
( ) sin , ;
2
f x x x x
f(x)=5cosx–cos5x,
x
x s inx+2cos
2
( ) , 0;
x
cosx+2sin
f x x
42 2 2 64 2 6
y x x x x y x2 x 1 x2 x 1,x 1;1
y x24x21 x23 10x
CHƯƠNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.1/Phương pháp giải
(3)Bước Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x
Bước Chuyển ĐK biến số x sang ĐK biến số t Giả sử tìm t K
Bước Chuyển toán ban đầu thành toán đơn giản hơn Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN hàm số f(t) tập số K.
1.2/ Ví dụ minh họa
Trước tiên lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán phương pháp đổi biến số nói chung, tốn tìm GTLN, GTNN phương pháp đổi biến nói riêng thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1
Sai lầm thường gặp
Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t:
1 ( )
1
t f t
t t
. Ta có:
2 '
2
2 ( )
( 1)
t t
f t
t t
, f ’(t) =
2
t t
; xlim ( ) 0 f x
Bảng biến thiên hàm số f(t) sau:
t -2 f’(t
) + -f(t)
1
Từ BBT suy ra: Minf(t)=f(−2)=−1
3 ; Maxf(t)=f(0)=1
Từ có GTNN, GTLN hàm số ban đầu −1
3
Phân tích sai lầm
Theo lời giải hàm số f(x) nhận GTNN −1
3 khi: sinx = -2, điều không xảy
ra
Mặc dù lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí chưa tìm điều kiện cho dẫn đến tốn tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số
1 ( )
1
t f t
t t
khơng tương thích với bài tốn ban đầu (ngồi ví dụ xét ví dụ sau phải lưu ý điều này)
Lời giải đúng
Đặt t = sinx, điều kiện 1 t
Bài toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số
1 ( )
1
t f t
t t
trên đoạn 1;1.
Tìm GTNN, GTLN hàm số
sin
sin sin
x y
x x
(4)Bảng biến thiên hàm số f(t) trên đoạn 1;1 như sau:
t -1 f’(t) +
f(t)
0
2
Từ bảng biến thiên suy GTNN, GTLN hàm số f(t) trên đoạn 1;1 0 (khi t = -1) 1 (khi t = 0)
Từ có: Maxy = 1 đạt khi: x=kΠ , Miny = 0 khi: −Π
2 +k2Π
Nhận xét
Nếu biểu thức xác định hàm số phân chia thành nhóm số hạng chúng có mối liên hệ cho hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua ta đưa tốn tốn đơn giản phương pháp đổi biến số
Mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức xác định hàm số ví dụ rõ ràng dễ thấy, điều giúp ta phát cách đổi biến số khơng khó khăn, nhiên có trường hợp mối liên hệ nhóm số hạng ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều phép biến đổi có cách nhìn tinh phát
Ví dụ 2
Nhận xét hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx, Chúng có mối liên hệ với hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + 2sinx cosx,
Nhận xét gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u sinx cosx sin x
, với điều kiện biến số 2 u
Khi
2 1
sin cos
2
u
x x
tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số
2 1
( )
2
u f u u đoạn 2;
Trên đoạn 2; 2 dễ dàng tìm GTNN, GTLN hàm số f(u) -1 (khi u = -1) và √2+1
2 (khi u = √2 )
Từ có GTNN, LN hàm số ban đầu Ví dụ 3
Nhận xét hướng dẫn giải
Tìm GTNN GTLN hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx
(5)Ta có: sin4x + cos4x =
2
1
1 sin
2 x
1
sin cos sin
x x x
Từ phân tích ta thấy đặt t = sin2x (điều kiện 1 t 1) ta có hàm số theo biến số t sau:
2
1
( )
2
h t t t
Và tốn trở thành tìm GTNN, GTNN hàm số h(t) đoạn [-1; 1] Đáp số: Maxy =
17
8 ⇔ x 12 k
5 12
x k
; Miny = ⇔
( )
4
x k k Z Ví dụ 4
Nhận xét hướng dẫn giải
Tập xác định hàm số D 1;3
Để ý rằng:
2
1 ( 1)(3 )
x x x x , Vì đặt t x 1 3 x
2
4
( 1)(3 )
2
t x x
ta có hàm số theo biến t sau:
( )
2
t g t t
Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý t2 4 (x1)(3 x) 4, x 1;3 , từ suy 2 t 2.(hoặc lập BBT hàm số t x( ) x 1 3 x D 1;3 để suy 2 t 2.)
Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số
2
( )
2
t g t t
đoạn 2; 2 Đáp số: Maxy =2 ⇔ x = 3; Miny = −5
2 ⇔ x=1−√
7
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tìm GTLN, GTNN hàm số sau phương pháp đổi biến số:
y = cos
2
x+|cosx|+1
|cosx|+1 y
=
sinx+4 −
1
cosx −4
6
sin cos sin cos
y x x a x x
(với a tham số)
y=√1+sinx+√1+cosx y = sin2 os2 1
3 x 3c x
y=2(1+sin 2xcos 4x)−1
2(cos 4x −cos 8x)
y=3 cos
4
x+4 sin2x
3 sin4x+2 cos2x y =
1+sin6x+cos6x
1+sin4x+cos4x
cos
sin (2cos sin )
x y
x x x
, với 0 x 3
3
6 4 1 , 1;1 y x x x
y =
2
2
1 x 1 x
4 2
(4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos
y
3
3
1 1
y x x x
x x x
f(x)=
x4−4x3+8x2−8x+5 x2−2x+2
4 2
2
2 1
( )
1 1
x x x
f x
x x
(6)CHƯƠNG TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CĨ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
2.1/Phương pháp giải
Để tìm GTLN, GTNN biểu thức có chứa nhiều biến số ta dùng phương pháp đổi biến số sau:
Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số
Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước 3. Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng:
1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:
2
2
2 2
2 2
2
2 2
1/
2 /( )
3/ 2( ) ( )
4 /
5 /( ) 3( )
6 / 3( ) ( )
a b ab
a b ab
a b a b
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có:
3
2 , , 27
a b ab a b c abc a b c abc 2.2/ Ví dụ minh họa
a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến.
Ví dụ 1
Nhận xét hướng dẫn giải Dễ thấy
3
3
xyz x y z
x y z xyz
, đặt x y z t
xyz
ta biểu thức theo biến số t là:
1 ( )
P t t t
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có:
3
3
3
3
xyz x y z
t
xyz xyz
Do tốn quy tìm GTNN hàm số
1 ( )
P t t t
khoảng 3; Vì
2 '
2
1
( ) t 0,
P t t
t
nên hàm số P(t) đồng biến khoảng 3; Từ có 3;
10
( ) (3)
3
Min P t P
, GTNN biểu thức P.
Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức
3
3
xyz x y z
P
x y z xyz
(7)Ví dụ 2
Nhận xét hướng dẫn giải Ta có:
2
2
2 2 (2 )
x y x y
a
y x y x
2
2
4 2
4 2 2 (2 )
x y x y x y
b
y x y x y x
Từ (2a) (2b) ta thấy đặt
x y t
y x
thì: T t 4 5t2 t 4, Cũng từ (2a) có:
2
2
2 2 4
x y
t t
y x
Bài tốn trở thành: Tìm GTNN hàm số T t( ) t4 5t2 t miền D ( ; 2] [2; ) Ta có: T x'( ) 4 t310t 1 (t t2 4) 6 t1, để ý t2 0, x D nên suy dấu T’(t)
trên D có bảng biến thiên sau:
t -2 2 T’(t
) - +
T(t)
-2 2
Từ bảng biến thiên suy GTNN T(t) D -2 khi khi: t = -2. Từ có: Min(T) = -2, đạt x = - y (x y khác 0)
Ví dụ 3
Nhận xét hướng dẫn giải Ta có H = (x+y)(1
x+
1
y)=2+ x y+
y x Vì đặt t=x
y ta có hàm số theo biến số t sau: H(t)=2+t+
1
t Từ điều kiện ràng buộc 1≤ x ≤ y ≤2 ta suy ra: 12≤x
y≤1 , t∈[
1
2;1]
Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số H(t)=2+t+1
t đoạn [
1
2;1]
Cho x, y khác Tìm GTNN biểu thức
4 2
4 2
x y x y x y
T
y x y x y x
Tìm GTLN, NN H = (x+y)(1 x+
1
(8)Vì H'(t)=1− t
t2 ≤0∀t∈[
1
2;1] nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn
Từ có GTLN H(t) đoạn [12;1]
2 khi: t =
2 , GTNN đoạn
này H(t) 4 khi: t = 1
Đáp số: Max(H) = 92 ⇔ (x; y) = (1; 2) ; Min(H) = ⇔ x = y (với 1x y, 2) Ví dụ 4
Nhận xét hướng dẫn giải
Biến đổi:
2 2
1
2 2
x y x y
Q
x y
x y xy xy y x
y x xy
Đặt
x y t
y x
, theo t ta có:
1 ( )
2
Q t t
t
Hơn dễ thấy
x y
y x (với x, y dương x khác y) nên ta có t > 2. Vì quy tốn quen thuộc: Tìm GTNN hàm số
1 ( )
2
Q t t
t
khoảng (2;+∞) .
Ta có
t −2¿2 ¿
,Q ''(t)=0⇔
¿
t=1
¿
t=3
¿ ¿ ¿ ¿
Q''
(t)=t 2−4t
+3
¿
BBT Q(t) khoảng (2;+∞) sau:
t Q'(t
) - +
Q(t)
Từ bảng biến thiên suy GTNN Q(t) khoảng (2;+∞) Q(3) = 4. Đáp số:Min(P) = 4 đạt x2 + y2 – 3xy = 0.
Tìm GTNN
2 2
1 1
Q xy
x y
x y
(9)b Tìm GTLN, NN biểu thức M đối xứng với biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn đẳng thức đối xứng với x y.
Cách giải:
1. Đặt
x y S xy P
(ĐK S24P),
2. Biểu diễn giả thiết M theo S P (1)
3. Biểu diễn biểu thức M theo S P kết hợp với (1) để biểu diễn M theo biến S P 4. Tìm ĐK cho S P (M theo biến tìm ĐK cho biến đó) cách kết hợp (1)
điều kiện S2 4P.
5. Tìm GTLN, NN biểu thức M với điều kiện tìm biến số tìm bước Lưu ý: Cách tìm ĐK bước áp dụng cho x, y Ví dụ giả thiết cho thêm x > 0, y > phải lưu ý S > P > để tìm ĐK cho xác
Ví dụ 5
Nhận xét hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + = (xy)3 – 3xy + 2= P3 – 3P +
Lại có = S2 4P suy ra:
1
P
Vậy toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số M(P) = P3 – 3P + với
P
Ta lập bảng biến thiên M(P) trên khoảng
1 ;
4
như sau: P -1
1
M’(P
) + - 4
M’(P
)
(10)
8164
Từ bảng biến thiên suy GTNN khơng tồn cịn GTLN Q 4, đạt
1
x y xy
, giải hệ ta
; 1; , 1;
2 2
x y
Ví dụ 6
Nhận xét hướng dẫn giải
Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngoài biến đổi giả thiết tốn ta có: x2 + y2 = 2(x + y)2 – 2xy = (6b)
Qua phân tích thấy đặt t = x + y sẽ biểu diễn xy theo biến t, từ biểu diễn biểu thức M theo t.
Thật vậy, từ (6b) có:
2
( ) 2
2
x y t
xy
, kết hợp với (6a) ta biểu diễn biểu thức ban đầu theo t là:
3
( )
2
M t t t t
Để x, y tồn ta phải có: (x + y)2 4xy nên t2 2(t2 – 2) từ có 2 t 2.
Từ có GTNN, GTLN M t( ) [-2; 2] là: Max(M) =
13 ,
2 Min(M) = -7.
c Tìm GTLN, NN biểu thức M có tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2.
Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2
Cách giải:
Giả sử biểu thức M có mặt đại lượng nêu trên, đặt hai đại lượng biểu thức M ẩn phụ t dùng giả thiết toán cho kết hợp đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng cịn lại theo t.
Tìm ĐK cho t ta thường dùng ba BĐT sau:
x2 + y2 + z2 xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) (x + y +
z)2
3 Quy tốn đơn giản. Ví dụ 7
Nhận xét hướng dẫn giải
Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) (7a),
Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN M = (x3 + y3) – 3xy.
(11)Viết lại giả thiết toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = (7b).
Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx = 1
2
t
, kết hợp với (7a) ta biểu diễn biểu thức ban đầu theo t là: R(t) =
1
2(3t – t3).
Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, từ suy
2 1
1
t
suy 3 t Tìm GTLN, NN R(t) trên đoạn 3; 3 , được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1
d Trường hợp biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến, quy việc tìm GTNN, GTLN cách đổi biến số biểu thức trung gian.
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số đánh giá M N thay tìm GTLN, NN M ta thực tốn: tìm GTLN, NN biểu thức trung gian N
Ví dụ 8
Nhận xét hướng dẫn giải
Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho toán theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cơ si ta có M = x + y + z
3
3
1 1
3 xyz
x y z xyz
, đẳng thức xảy x = y = z (8a)
+ Để tìm GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức
3
3
T xyz
xyz
Đặt u33 xyz việc tìm GTNN biểu thức T được quy việc tìm GTNN hàm số
9 ( )
T u u u
khoảng
3 0;
2
(vì
3
0
2
u xyz x y z
) Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng
3 0;
2
, nên (0; ]32
3 15
( )
2
MinT u T
Suy GTNN biểu thức trung gian T là
15
2 (đạt x = y = z) Tức
3
3
3 15
3
2
T xyz
xyz
, đẳng thức xảy x = y = z (8b). + Từ kết (8a) (8b) suy GTNN biểu thức M ban đầu
15
2 đạt khi
x = y = z.
Cho x, y , z > 0 x + y + z
3
Tìm GTNN M = x + y + z
1 1
x y z
(12)Ví dụ 9
Nhận xét hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) ⇔ xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx)
= - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz (9a)
Áp dụng BĐT Cauchy ta xyz≤(x+y+z
3 )
3
, từ (9a) suy ra: x+y+z¿2−4(x+y+z
3 )
3
N ≥2−2(x+y+z)+¿
, đẳng thức có ⇔ x = y = z (9b)
Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) từ (9b) ta có:
3
2 ( )
27
t
N t t f t
Đến đây, cách khảo sát hàm số ta GTNN hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3)
3
4 , đạt t=
2 Từ có: Min(N) =
4 , đạt
x=y=z=1
2
Ví dụ 10
Nhận xét hướng dẫn giải
Vì P > 0 với x, y > 0 nên P đạt GTNN P2 đạt GTNN.
Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có: x+y¿3−3 xy
¿ ¿ ¿xy+2√xy
(x+y)¿ ¿
P2 = x
2
1− x+
y2
1− y+
2 xy
√(1− x)(1− y)= x2
y+ y2
x +
2 xy
√1− x − y+xy=¿ Từ giả thiết BĐT x+y¿2≥4 xy>0⇒0<t=xy≤14
¿
Chứng minh hàm số f(t) nghịch biến đoạn ¿ , suy GTNN hàm số
(chính GTNN P2) f(1
4)=2 , từ có kết tốn
BÀI T PẬ
Bài (PP thế) 1/ Cho x + y = Tìm GTLN, NN P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x + y). 2/ Cho x, y x + y = Tìm GTNN P = 32x + 3y.
Cho số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1).
Tìm GTNN biểu thức N = x2 + y2 + z2.
Cho số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN biểu
thức: P= x
√1− x+ y
(13)3/ Cho x, y > x + y =5/4 Tìm GTNN P =
4
x y
4/ Cho y0, x2 x y 12 Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17 Bài (Dựa vào tính đẳng cấp)
1/ Tìm GTLN GTNN M x2xy 2y2 biết: a x2 xy y 1. b x2 xy y 1 2/ Cho x2 + y2 = Tìm GTNN, GTLN
2
2
2( )
1 2
x xy P xy y .
Bài (Dấu hiệu đổi biến đơn giản) 1/ Cho x, y > Tìm GTNN
xy x y P x y xy
2/ Cho số dương x, y thỏa:
1
x y
Tìm GTNN biểu thức
x y H
y x
3/ Cho x, y dương x y 1 Tìm GTLN, NN của:
1
C xy xy
Bài (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P S = x2 + y2, P = xy ĐK S2 >= 4P2) 1/ Cho số dương x và y thoả mãn x + y = Tìm GTLN GTNN biểu thức sau: a A=
x3 +y3+
1
xy , b B=
x y+1+
y
x+1 , c D = x
2y2(x2 +y2).
2/ Cho x, y khác 0 thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy Tìm GTLN N=
x3+
1
y3 3/ Cho số x, y thỏa mãn: – y2 = x(x – y) Tìm GTLN, NN F =
6
3
1
x y
x y y x
4/ Cho số thực không âm x, y không âm thỏa mãn x + y = Tìm GTNN, GTLN của:
S 4x 3y 4y 3x 25xy
5/ Cho x, y > thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy Tìm GTNN:
2 2 (2 1) 3.
2
xy
A x y
xy
6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm GTNN N = x3 + y3 – 3x – 3y.
7/ Cho x, y không âm x2 + y2 + xy =3 Tìm GTLN, NN P = x3 + y 3 – x2 – y2 8/ Cho x, y > x2 - xy + y2 = Tìm GTLN, GTNN P =
4 2 1 x y x y .
9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = Tìm GTLN, NN của: P = x2(x2 – 4) + y2(y2 – 4) + 2(x2y2 – 4).
10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + Tìm GTLN, GTNN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2. 11/ Cho x, y hai số thực dương thỏa x3+y3=2 Chứng minh: x2+y2≤2
12/ Cho x, y dương xy + x + y = 3 CMR:
2
3 3
1
x y xy
x y
y x x y
Bài (PP Thế) Cho x, y, z thỏa x + y + z = x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN M = x5 + y5 + z5. Bài (Đổi biến)
1/ Cho x, y > x + 2y – xy = Tìm GTNN M =
2
4
x y
y x
.
(14)3/ Cho số thực x, y thoả mãn: x x 1 y 2 y Tìm GTLN, GTNN x + y 4/ Cho số x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = Tìm GTLN, NN M =
2
1
2
x y x y
x y
.
5/ Cho số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = Tìm GTLN, NN biểu thức P = x3 + 8y3 – 9xy. Bài
1/ Cho số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN GTNN của
biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.
2/ Cho x, y, z không âm x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +
5
x y z 3/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN M =
2 2
2 2 xy yz zx
x y z
x y z
Bài (Đánh giá trung gian)
1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2). 2/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2012. 3/ Cho x, y > x + y 1. Tìm GTNN
2 1 1 3
x y xy
A
x y x y xy
4/ Cho số thực x, y thay đổi thoả mãnx y 1 Tìm GTNN của: 4 2 2
A x y x y – x y 1
5/ Cho x, y, z > có tổng Tìm GTNN của:
1 1
Q x y z
y z x
6/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: A =
3 3
xy yz zx
x y z
B =
1 1
x y z
x y z
7/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN M = a + b + c +
1
abc
8/ Cho ba số dương x, y, z CMR: 2 2 2
1 1 36
9
x yz x y y z x z . 9/ Cho a, b, c > 0, CMR:
1 1
2
a b c abc.
10/ Cho x y z, , 0 thỏa x y z 1 Chứng minh
18
xyz xy yz zx
xyz
.
11/ Cho x, y, z > x + y + z = CMR:
18
xyz xy yz zx
xyz
.
12/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = CMR:
5 5
2 2 2
2 2
a a a b b b c c c
b c a c a b
(15)