SKKN nhận dạng và phương pháp giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chƣơng trình Hình học 12, tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian tốn hay khơng q khó Để làm tốt tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đƣờng thẳng, mặt phẳng Là dạng tốn ln có mặt đề thi tốt nghiệp THPT thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc dạng tốn cần thiết Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dƣỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học tọa độ nói chung, có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhƣng theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học toạ độ, học sinh “giải hình học đại số” mà khơng để ý đến tính chất hình học Các phƣơng pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính dẫn đến tình trạng em bị lúng túng trƣớc câu hỏi câu hỏi xoay quanh vấn đề: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian Với vai trị giáo viên dạy Tốn qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy đồng nghiệp với mong muốn tìm hƣớng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ đƣợc kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giải tốn Viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian là: "GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN" Với ý tƣởng trên, tơi phân dạng tập viết phƣơng trình đƣờng thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ tự học, tự giải vấn đề Ngoài ra, giúp cho em làm tốt thi tốt nghiệp nhƣ thi vào trƣờng Cao đẳng Đại học 1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài với mong muốn giúp học sinh: + Khắc phục đƣợc yếu điểm nêu trên, từ đạt đƣợc kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung + Tìm đƣợc phƣơng pháp tối ƣu để giải toán, nhƣ nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc nhận dạng phƣơng pháp giải tốn thích hợp Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em Đối tượng nghiên cứu - Các dạng tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng phƣơng pháp giảng dạy toán - Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trƣờng THPT Tô Hiến Thành - TP Thanh Hóa năm học: 2015 - 2016 Phương pháp nghiên cứu: - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập, sách tài liệu tham khảo đề thi - Phƣơng pháp điều tra thực tiễn : Dự giờ, quan sát việc dạy học phần tập - Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm - Phƣơng pháp thống kê PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Kiến thức bản: Trong chƣơng trình Sách giáo khoa Hình Học Lp 12 Chun thỡ phơng trình ca ng thng khơng gian có hai dạng là: Phương trình tham s v phng trỡnh chớnh tc ể viết phơng trình ca ng thng khụng gian cần phải xác định hai yếu tố: + Một điểm mà ng thng qua + Mét vÐc t¬ phương đường thẳng Khi đó, đƣờng thẳng ua ; b ; c làm véc tơ ch phng thỡ: Phng trỡnh tham s đƣờng thẳng có dạng: Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng có dạng : Kiến thức có liên quan: Phƣơng trình tổng qt ( ) có dạng: Ax Nếu ( ) có phƣơng trình: Ax By Cz D véc tơ pháp tuyến ( ) n A ; B ; C Nếu ( ) qua điểm M x0;y0;z0 nhận n A ; B ; C véc tơ pháp tuyến phƣơng trình ( ) : A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) Nếu ( ) chứa hay song song với giá hai vectơ không phƣơng aa ; a ; a Cho A xA;yA;zA - Vectơ - Toạ độ trung điểm I AB là: I Chú ý: Trªn sở kiến thức hình học không gian lớp 11, có cách xác định ng thng nh sau: - Có ng thng qua hai ®iĨm phân biệt cho trƣớc - Cã mét vµ chØ mét đƣờng thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Ngoài nhiều cách xác định ng thng khác 2.2 Thc trng ca đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nhƣ để viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian (cụ thể phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc) ta cần phải xác định hai đại lƣợng: +) Điểm mà đƣờng thẳng qua +) Véctơ phƣơng đƣờng thẳng Nhƣng trƣờng hợp, ta tìm đƣợc cách dễ dàng hai đại lƣợng nói trên, nhƣ nhiều vấn đề khác toán học Bài toán viết phƣơng trình đƣờng thẳng chủ yếu có hai dạng: tường minh không tường minh Dạng tường minh: Các đại lƣợng để giải tốn đề cho sẵn, dạng toán chủ yếu để học sinh củng cố cơng thức Dạng tường minh theo tơi là: Viết phƣơng trình tham số (hoặc tắc) đƣờng thẳng biết: 1) Đƣờng thẳng qua hai điểm 2) Đƣờng thẳng qua điểm có véctơ phƣơng Dạng không tường minh: Các đại lƣợng để giải tốn đề khơng cho sẵn mà đƣợc ẩn dƣới số điều kiện định Dạng tốn địi hỏi ngƣời học phải biết kết hợp kiến thức, có tƣ logíc tốn học, vận dụng linh hoạt điều kiện có đề Trong đề tài xin bàn dạng tốn khơng tường minh, dạng toán chủ yếu xuất đề thi tốt nghiệp đại học Tùy thuộc vào yêu cầu tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, tơi chia thành hai tốn để học sinh dễ nhận dạng: Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm mà đường thẳng qua + Ở toán này: đề cho biết điểm qua, không cho trực tiếp phƣơng đƣờng thẳng + Yêu cầu phải xác định phƣơng đƣờng thẳng dựa vào điều kiện tốn Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước + Ở tốn này: đề khơng cho trực tiếp điểm qua phƣơng đƣờng thẳng, + Yêu cầu phải xác định đại lƣợng dựa vào điều kiện toán Chú ý: Trong tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian đặc biệt ý đến điều kiện xác định đƣờng thẳng khơng gian là: - Có ng thng qua hai điểm phõn bit cho trc - Có chØ mét đƣờng thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Từ đó, tơi hướng cho học sinh giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian theo hai cách sau: Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng qua Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt là: Phƣơng trình dạng tổng quát đƣờng thẳng khơng đƣợc trình bày sách giáo khoa, học sinh để dƣới dạng tổng qt có đƣợc chấp nhận hay khơng? khơng đƣợc chấp nhận làm nào? Cách khắc phục khơng có khó khăn, ta hƣớng dẫn học sinh chuyển dạng tham số thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đƣờng thẳng ( ):x y 2z Ta đặt ẩn làm tham số Đặt: z Vậy ta có phƣơng trình dạng tham số Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đƣờng thẳng ( ):x y 2z +) Với z +) Đƣờng thẳng phƣơng tích có hƣớng hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng đó: Vậy Ngoài trƣờng hợp cụ thể, với mối quan hệ toán cần hƣớng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải có phƣơn Các giải pháp thực để giải vấn đề Trên sở kiến thức hình học giải tích đƣợc trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức đƣờng thẳng không gian lớp 11 Tơi xin đƣợc trình bày nội dung đề tài dƣới hai dạng toán mà phƣơng pháp giải đƣợc rút từ hai phƣơng pháp nêu a Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm mà đường thẳng qua +) Điểm qua cho đề +) Phƣơng đƣờng thẳng xác định thông qua đại lƣợng, mối quan hệ tốn Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm A ; 1; cắt hai đƣờng thẳng Phân tích tốn: Đề cho đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đƣờng thẳng cần tìm : A ; 1; +) Đƣờng thẳng +) Đƣờng thẳng +) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt hai đƣờng thẳng 2) Cần xác định véctơ phƣơng đƣờng thẳng Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đƣờng thẳng +) Đƣờng thẳng Vậy đƣờng thẳng đƣờng thẳng PQ Giải Gọi Q giao điểm Ta có: Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đƣờng thẳng Q A t '; 22 t '; P QA A Q Với Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm +) Đƣờng thẳng +) Đƣờng thẳng Vậy đƣờng thẳng Giải : Gọi Khi suy véc tơ pháp tuyến Gọi mặt phẳng xác định hai đƣờng thẳn có hai véc tơ phƣơng A N véc tơ pháp tuyến ( x phƣơng trình : y z Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phƣơng trình đƣờng thẳng A 1; ; đồng thời vng góc với d Phân tích tốn: Đề cho đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đƣờng thẳng cần tìm : A 1; ; +) Đƣờng thẳng d +) Đƣờng thẳng d +) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt d , đƣờng thẳng vng góc với d (có thể cắt khơng cắt) 2) Cần xác định véctơ phƣơng đƣờng thẳng Từ mối quan hệ ta có hai hƣớng giải sau (không thể dựa vào điều kiện cắt d mối quan hệ khơng chắn xảy ra) 1 Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đƣờng thẳng +) Đƣờng thẳng Suy đƣờng thẳng 11 Gọi N x; MN Do P M Nd x 3y x 2y Đặt z t 5z phƣơng tr Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Gợi ý: Trong cách đƣờng thẳng mặt phẳng (P) ( Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng mặt phẳng P cách d khoảng Phân tích toán: Đề cho đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n P 1; 1; +) Đƣờng thẳng d qua M ( ; ; +) Quan hệ: Đƣờng thẳng 2) Cần xác định điểm qua véctơ phƣơng đƣờng thẳng Cách giải: Cách 1: Xác định điểm mà đường thẳng qua Giải hình chiếu M đƣờng thẳng AM 14 AM d AP x0 4x0 x0 12 x0 y0 4x0 x0 2y0 y0 2t x0 y x0 83 t t 14t2 196t y0 83 t x0 +V ới y0 t t t có phƣơng trình: có phƣơng trình: +V ới Vậy Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Giải: Đƣờng thẳng với (P) cách d khoảng Mặt phẳng ( dạng: Mà d x 3y d , + Với d Đƣờng thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng ( x 3y x 2z y 2z + Với d 27 Đƣờng thẳng 13 x x 3y 2z y 2z Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phƣơng trình hình chiếu vng x góc đƣờng thẳng d : t y z Phân tích tốn: Đề cho đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng ( ) có véctơ pháp tuyến n ; ; +) Đƣờng thẳng d qua A 1; 1; có véc tơ phƣơng u 1; ; 2) Cần xác định điểm qua véctơ phƣơng đƣờng thẳng Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Nếu d cắt ( d không thuộc ( qua +) Nếu d không chiếu M’, N’ M N ( Giải: Để xét tƣơng giao d ( x y I : z 2x Vậy d giao với ( Gọi d’ đƣờng thẳng qua A vng góc với ( ( ) phƣơng Hình chiếu vng góc M mặt phẳng ( ) giao điểm đƣờng thẳng d’ với mặt phẳng ( ) Có tọa độ nghiệm hệ: 3y 14 x 2t y z t1 t 2x 3y z M ' ; ; có phƣơng Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Giải: Gọi Theo mp phƣơng trình ( ( ) x 2x thỏa mãn hệ: y t 3y t x t 55 Vậy đƣờng thẳng cần tìm có phƣơng trình: Bài tập tự luyện Bài 1: Viết phƣơng trình hình chiếu vng góc đƣờng thẳng x d: y z Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đƣờng thẳng x d1: d vng góc với mặt phẳng ( P ) : x y z cắt hai đƣờng thẳng d1 d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007) Bài 3: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A ; ; , vng góc với đƣờng thẳng d1: Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1; ;3 thẳng d1: thẳng d qua A vng góc với d1 cắt d2 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006) Đáp số 34 x Bài 1: Bài 2: 13 167 y 13 Bài 3: z x 578 Bài 4: t y z x 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm a Đánh giá định tính Tơi áp dụng đề tài vào tiết dạy lớp, qua trình thực nghiệm quan sát tơi thấy: lớp đối chứng học sinh ngại em giải đƣợc tốn kiểu Cịn dạy cho lớp thực nghiệm, học sinh khơng cịn ngại mà hứng thú Các em giải tốt toán giáo viên yêu cầu, số em bƣớc đầu sáng tạo đƣợc cách giải khác cho thơng qua gợi ý giáo viên nhƣ ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 6, Điều rút cho giáo viên đứng lớp giảng dạy, chịu khó đọc tài tiệu tham khảo kết hợp với sáng tạo phƣơng pháp giảng dạy Sẽ mang lại cho học sinh nhiều tiết dạy hiệu hơn, làm cho học sinh hiểu rõ đƣợc vấn đề giúp em hứng thú học mơn tốn, hình tọa độ không gian Chúng ta cụ thể tốt, nên quy toán dạng Từ giúp học sinh có cách nhìn khái quát tổng hợp tìm phương pháp chung để giải toán b Đánh giá định lượng Kết làm lớp đối chứng lớp thực nghiệm qua kiểm tra nhƣ sau: Điểm Lớp Đối chứng (12A2) Thựcnghiệm ( 12A1) Loại Lớp Đối chứng (12A2) Thực nghiệm ( 12A1) Căn vào kết việc giúp em khai thác tìm cách giải cho tốn nói có kết tốt 17 PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tơi thấy kết thu đƣợc ngồi dự kiến tơi Khi chƣa có phƣơng pháp có 20% học sinh nháp có 610% học sinh lớp có làm đƣợc theo cách nhƣng lúng túng khơng tự tin Sau áp dụng hầu hết bắt tay vào làm theo hai cách học cách Các em làm xong nhanh có nhiều học sinh làm tự tin với kết làm Đề tài giúp cho học sinh số công cụ hiệu để giải tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng không gian Đề tài cung cấp không nhỏ dạng tập viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian cịn gợi ý cho học sinh khả sáng tạo cách giải khác mở rộng tốn dạng tổng qt Khơng với mà nhận thấy áp dụng đề tài giúp cho em có tự tin việc tiếp cận với tốn khó từ rèn luyện thêm cho em tƣ mơn tốn 3.2 Kiến nghị Tôi viết đề tài để trao đổi với q thầy dạy mơn tốn phần viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian phần có SGK hay sách tập nhƣng lại có khơng đề thi đại học, mong đƣợc góp ý bổ sung thêm cách làm hay tốn cho dạng này.Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên tài liệu thiếu sót, tơi xin chân thành đón nhận góp ý quý thầy để đề tài có chất lƣợng tốt Hàng năm sáng kiến có chất lƣợng đề nghị sở nên phổ biến rộng rãi để giáo viên học hỏi áp dụng vào thực tế Cuối tơi xin trân trọng cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích thầy tổ chun mơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày13 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung ngƣời khác Ngƣời thực Nguyễn Thị Thu Huyền 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tác giả – Các đề thi tốt nghiệp THPT trƣờng đại học năm gần 19 ... dƣới hai dạng toán mà phƣơng pháp giải đƣợc rút từ hai phƣơng pháp nêu a Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm mà đường thẳng qua +) Điểm qua cho đề +) Phƣơng đƣờng thẳng. .. để học sinh dễ nhận dạng: Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm mà đường thẳng qua + Ở toán này: đề cho biết điểm qua, không cho trực tiếp phƣơng đƣờng thẳng + Yêu cầu... để giải tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng không gian Đề tài cung cấp khơng nhỏ dạng tập viết phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian cịn gợi ý cho học sinh khả sáng tạo cách giải khác mở rộng toán