Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Theo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Thông qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành phát triển lực toán học Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.Tùy vào đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt khối lớp, lực toán học học sinh biểu mức độ khác Dạy học theo hướng phát triển lực học sinh chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết làm gì” tình bối cảnh khác Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân “Phương pháp tọa độ không gian” phần kiến thức trọng tâm Hình học lớp 12 nội dung xuất nhiều đề thi THPT Quốc gia thi tốt nghiệp Việc giải toán phương pháp tọa độ khơng gian nói chung giải tốn viết phương trình đường thẳng nói riêng chứa đựng tiềm lớn việc phát triển, rèn luyện lực tư lập luận toán học cho học sinh Với lí trên, tơi lựa chọn đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xn qua tốn viết phương trình đường thẳng không gian Oxyz” để nghiên cứu, áp dụng vào giảng dạy nhằm phần đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường 1.2 Mục đích nghiên cứu - Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua việc phân loại tìm lời giải cho tốn viết phương trình đường thẳng Oxyz khơng gian với hệ tọa độ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Oxyz - Các tập viết phương trình đường thẳng khơng gian nằm chương trình tốn học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa, nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trình đường thẳng khơng gian - Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy học phân mơn Hình học THPT rút số nhận xét phương pháp giúp học sinh rèn luyện lực tư lập luận toán học - Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khả tiếp thu kiến thức lực tư toán học học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Khái niệm lực tư lập luận toán học Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Tốn, lực tư lập luận toán học học sinh cấp trung học phổ thông thể qua việc: - Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát - Sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề - Nêu trả lời câu hỏi lập luận, giải vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học 2.2.2 Phát triển lực tư lập luận toán học qua toán viết phương trình đường thẳng Khi giải tốn viết phương trình đường thẳng, lực tư lập luận toán học học sinh thể việc: - Trước hết học sinh cần nắm quy tắc : muốn viết phương trình đường thẳng cần biết hai yếu tố điểm thuộc đường thẳng vectơ phương đường thẳng - Biết phân tích, so sánh tìm điểm giống nhau, khác dạng toán với quy tắc trên; xác định yếu tố biết gì, yếu tố cần tìm tìm - Căn vào kiến thức hình học khơng gian, phương pháp tọa độ không gian học, lập luận để giải vấn đề, đưa toán từ lạ quen 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy trường THPT Thường Xuân 2, nhận thấy đa số em học sinh nhà trường học yếu mơn tự nhiên, đặc biệt mơn Tốn Trong trình học, em thường lúng túng phải giải tốn địi hỏi khả tư lập luận toán học Chẳng hạn, tốn viết phương trình đường thẳng em viết phương trình đường thẳng giả thiết cho cụ thể điểm thuộc đường thẳng vectơ phương, gặp khó khăn tốn u cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện đó, em khơng biết cách phân tích, lập luận để tìm hướng giải Từ thực trạng trên, áp dụng đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân qua toán viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp em khắc phục điểm yếu học mảng kiến thức 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp: - Hệ thống số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng; quan hệ song song quan hệ vng góc khơng gian - Phân loại hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho tốn Oxyz viết phương trình đường thẳng khơng gian - Triển khai dạy lớp kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề Nội dung giải pháp: 2.3.1 Kiến thức 1) Khái niệmuvectơ phương đường thẳng u r ud Vectơ khác vectơ-không gọi vectơ phương (VTCP) uu r ud d d đường thẳng giá song song trùng với đường thẳng 2) Khái niệmuu vectơ ur pháp tuyến mặt phẳng n( P ) Vectơ khác vectơ-không gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) uuur n( P) ( P) ( P) mặt phẳng giá vng góc với mặt phẳng 3) Quan hệ song song quan hệ vng góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng uu r uu r ud = k u∆ (k ≠ 0) d / /∆ +) Nếu uu rthìuu r uu r uu r d ⊥ ∆ ⇔ ud ⊥ u∆ ⇔ ud u∆ = +) uu r uuur ud = k n( P) (k ≠ 0) d ⊥ ( P) ) Nếu + uu r uuur uu r uuur ud ⊥ n( P) ⇔ ud n( P ) = d / / ( P) +) Nếu ( P) , ( Q) d +) Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng đường uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q)  ( P) , ( Q) d thẳng song song với hai mặt phẳng +) Đường thẳng uu r uur uur ud = ud1 ; ud  d vng góc với hai đường thẳng d1 , d 4) Phương trình đường thẳng khơng gian với hệ tọa độ Oxyz M ( x0 ; y0 ; z0 ) d Cho đường thẳng qua điểm có VTCP uu r ud = (u1;u ;u ) Khi đó:  x = x0 + u1t  d :  y = y0 + u2t (t ∈ R) z = z + u t  a Phương trình tham số đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = u1 u2 u3 b Phương trình tắc đường thẳng a1 ≠ 0; a2 ≠ 0; a3 ≠ (với ) 2.32 Phân loại tìm cách giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz M ( x0 ; y0 ; z0 ) d Dạng 1: Viết uphương trình đường thẳng qua điểm có vectơ u r ud = (u1;u ;u ) phương Cách giải: d Phương trình tham số đường thẳng có dạng:  x = x0 + u1t   y = y0 + u2t z = z + u t  ∈ với t R u1, u , u ≠ d Nếu đường thẳng có phương trình tắc là: x − x0 y − y0 z − z0 = = u1 u2 u3 Nhận xét: Để viết phương trình đường thẳng dạng tham số (hoặc tắc ) cần biết hai yếu tố biết điểm thuộc đường thẳng vectơ phương đường thẳng d Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng uu r M (3;2; −1) ud = (2; −1;3) qua điểm có vectơ phương Giải:  x = + 2t   y = − t , t ∈R  d  z = −1 + 3t Phương trình tham số đường thẳng : x − y − z +1 = = d −1 Phương trình tắc đường thẳng : M (2;0; −1) ∆ Bài tập tương tự: Cho đường thẳng qua điểm có vectơ r a = (4; −6;2) ∆ phương Phương trình tham số  x = −2 + 4t  x = −2 + 2t  x = + 2t  x = + 2t      y = −6t  y = −3t  y = −3t  y = −6 − 3t  z = + 2t z = 1+ t  z = −1 + t z = + t     A B C D (BT SGK Hình học 12 tr96) A ( xA; y A; z A ) d Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B ( xB ; y B ; z B ) Ở dạng 2, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng học sinh thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố biết (điểm thuộc A B đường thẳng điểm điểm ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng dạng 1: Từ định nghĩa VTCP uu r đường uuu r thẳng ta nhận ud = AB A, B d thấy đường thẳng qua hai điểm nên có VTCP - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uuu r ud = AB - Tìm vectơ phương: uu r -uuViết u r phương trình đường thẳng qua điểm ud = AB A Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng A(−1;3; −2), B(4;2; −3) Giải: d điểm d B có VTCP qua hai điểm A(−1;3; −2), B(4;2; −3) Đườnguu có vectơ rthẳng uuu r qua hai điểm ud = AB = (5; −1; −1) d phương Khi phương trình tham số là:  x = −1 + 5t  , t ∈R y = 3− t z = − t  Oxyz Bài tập tương tự: Trong không gian , đường thẳng qua hai điểm A(1;2; −1) B (2; −1;1) có phương trình tham số là: x = + t x = + t x = + t x = + t      y = − 3t  y = − 3t  y = −3 + 2t  y = + 2t  z = + 2t  z = −1 + 2t z = − t  z = −t     A B C D (Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021) A ( xA ; y A ; z A ) d Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm song ∆ song với đường thẳng cho trước Ở dạng 3, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố A đường thẳng điểm ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa d ∆ biết, từ đưa dạng dạng 1: Đường thẳng song song với đường thẳng uu r u∆ ∆ nên ta có VTCP uu r uu r VTCP ud = u∆ chọn - Nêu cách giải dạng Cách giải: - Từ phương trìnhuu đường r uu r thẳng ud = u∆ d đường thẳng ∆ - Viết phương trình đường thẳng d uu r ud đường thẳng xác định VTCP , tức ta , từ suy VTCP r ud A có VTCP A(−1;3; −2) d Ví dụ 3: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm  x = + 2t   y = − t , t ∈R  z = −1 + 3t  ∆ song song với đường thẳng có phương trình Giải: uu r uu r ud = u∆ = ( 2; −1;3) d ∆ Do đường thẳng song song với nên ta có:  x = −1 + 2t  , t ∈ R y = 3− t  d  z = −2 + 3t Phương trình tham số : A(1;2;0), B(1;1;2) Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm C (2;3;1) A Đường thẳng qua song song với BC có phương trình A C x −1 y − z = = −1 x +1 y + z = = qua uur u∆ d B D x −1 y − z = = x +1 y + z = = −1 (Mã đề 103 –TN THPT - 2020) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng ( P) mặt phẳng cho trước d qua điểm A vng góc với Ở dạng 4, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố A đường thẳng điểm ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Từ hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ ( P) d đưa dạng vng góc với mặt phẳng nên ta uuur4 dạng 1: Đường thẳng uu r n( P) ( P) ud d có VTPT VTCP đường thẳng , tức ta uu r uu r u d = u∆ chọn - Nêu cách giải dạng Cách giải: uuur n ( P) ( P) - Từ phương trình mặtuu xác định VTPT , từ suy rphẳng uuur ud = n( P) d VTCP đường thẳng r u d d A - Viết phương trình đường thẳng qua có VTCP d Ví dụ 4: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm ( P ) : x − y + 3z − = A(−1;3; −2) vng góc với mặt phẳng Giải: uuu r uuur (d ) ⊥ ( P) ⇒ u( d ) = n( P ) = (2; −1;3) Do  x = −1 + 2t  d : y = 3− t , t ∈R  z = −2 + 3t  Phương trình tham số Oxyz Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình A(2;3;0) phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với mặt ( P) : x + y − z + = 0? phẳng  x = + 3t x = + t x = + t  x = + 3t      y = 3t  y = 3t  y = + 3t  y = 3t z = − t z = − t z = − t z = + t     A B C D ( Mã đề 101 THPT.QG - 2017) d A Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với d1 , d hai đường thẳng không song song cho trước Ở dạng 5, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố A đường thẳng điểm ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa d1 , d d dạng dạng 1: Đường thẳng uurvng thẳng nên ta uur góc với hai đường uu r ud1 , ud2 ud d có tích có hướng hai VTCP VTCP đường thẳng uu r uur uur ud = ud1 ; ud2  , tức ta chọn - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uur uur   u d = ud1 ; u d2  d - Xác định VTCP đường thẳng r u d d A - Viết phương trình đường thẳng qua có VTCP d Ví dụ 5: Viết phương trình tham số đường thẳng qua A(−1;3; −2) vng góc với hai đường thẳng:  x = −1 + 2t  d1 :  y = − t , t ∈R x +1 y − z + d2 : = =  z = −2 + 3t  −1 −1 Giải: uur uur ud = (2; −1;3) d ud = (5; −1; −1) d1 Đường thẳng có VTCP ; có VTCP Do d vng góc với d1 điểm uur uuu r uur   ⇒ VTCP u = u d d2  d , ud2  = (4;17;3)  x = −1 + 4t  d :  y = + 17t , t ∈ R  z = −2 + 3t  Vậy phương trình tham số đường thẳng Oxyz M (−1;1;3) Bài tập tương tự: Trong không gian , cho điểm hai đường x −1 y + z −1 ′ x +1 y z ∆: = = ,∆ : = = 1 −2 thẳng Phương trình ∆′ ? M ∆ phương trình đường thẳng qua vng góc với  x = −1 − t  x = −t  x = −1 − t  x = −1 − t     y = 1+ t y =1+ t y =1− t y = 1+ t  z = + 3t z = + t z = + t z = + t     A B C D ( Mã đề 101, THPTQ G-2017 ) d A Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm , vng góc cắt d1 đường thẳng cho trước Ở dạng 6, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố A đường thẳng điểm ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa 10 d ( P) , ( Q) uu r ud thuộc hai mặt phẳng VTCP uuur uuur n ( P) , n( Q ) d đường thẳng vuông góc với hai VTPT hai mặt phẳng hay ta có uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q)  thể chọn - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q)  d - Xác định VTCP đường thẳng ( P) , ( Q) A - Chọn điểm thuộc hai mặt phẳng r u d d A - Viết phương trình đường thẳng qua có VTCP d Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) : x + y − z + = 0; (Q) : x − y + z − = nên điểm thuộc Giải: Mặt phẳng ( P) , ( Q) uuur uuur n( P) = ( 1;2; −1) , n( Q ) = ( 2; −1;1) có VTPT là: uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q )  = ( 1; −3; −5) d Khi đó, VTCP đường thẳng A ( 0;0;3) ( P) , ( Q) Mặt khác, ta có điểm điểmr thuộc hai mặt phẳng nên u d = ( 1; −3; −5) d d A A thuộc Vậy, qua có VTCP có ptts là: x = t   y = −3t , t ∈ R  z = − 5t  d Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai (P) : −3 x + y + = 0; (Q) : x + y − z − = mặt phẳng d ng 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt Dạ ( P) ( P) d phẳng ( khơng vng góc với ) 14 Ở dạng 9, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố biết; yếu tố chưa đường thẳng) biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP - Từ hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ d' d đưa dạng dạng 8: Do đường thẳng hình chiếu vng góc lên ( Q) ( P) ( P) , ( Q) d' mặt phẳng nên giao tuyến hai mặt phẳng với mặt ( P) d phẳng chứa vng góc với - Nêu cách giải dạng Cách giải: ( Q) ( P) d - Lập phương trình mặt phẳng chứa vng góc với d ' = ( P) ∩ ( Q) d' - Do nên ta tìm VTCP viết phương trình đường thẳng theo dạng d' d Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng có  x = + 2t  y = − t  z = −1 + t (P) : x − y + z + =  phương trình lên mặt phẳng Giải: uu r M 3;0; − ( ) u = (2; −1;1) d d Đường thẳng qua có VTCP uuu r điểm n( P) = (1; −2;1) ( P) Mp có VTPT M ( 3;0; −1) ( Q) ( Q) ( P) d Mp chứa vng góc với nên qua điểm uuur uu r uuur n( Q) = ud ; n( P)  = ( 1; −1; −3) ⇒ ptmp ( Q ) x − y − 3z − = cóVTPT : 15 Do đường thẳng d' d ( P) hình chiếu vng góc lên mặt phẳng nên ( P) , ( Q) d' giao tuyến hai mặt phẳng uur uuur uuur ud ' =  n( P) ; n( Q)  = ( 7;4;1) d' Khi đó, VTCP đường thẳng A ( −11; −5;0) ( P) , ( Q) Mặt khác, ta có điểm điểm thuộc hai mặt phẳng d' d' A nên thuộc Vậy đường thẳng có phương trình tham số là:  x = −11 + 7t   y = −5 + 4t , t ∈ R z = t  Oxyz ( P) : x + y + z − = Bài tập tương tự: Trong không gian , cho mặt phẳng x y +1 z − d: = = ( P) d −1 đường thẳng Hình chiếu vng góc x +1 y +1 z +1 x −1 y −1 z −1 = = = = −1 −4 −2 −1 A B x −1 y −1 z −1 x −1 y − z + = = = = −5 1 C D (Đề minh họa THPTQG- 2019) d A Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cắt hai đường d1 , d thẳng Ở dạng 10, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 10 dạng để xác định yếu tố biết ( điểm thuộc đường thẳng); yếu tố chưa biết ( VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 10 dạng dạng theo hướng: 16 +) Hướng 1: d1 , d d qua điểm cắt hai đường thẳng nên ( P) , ( Q) ( P) A, d1 giao tuyến hai mặt phẳng với mặt phẳng chứa , ( Q) A, d mặt phẳng chứa +) Hướng 2: d1 , d M1, M d Giả thẳng cắt hai đường thẳng uuuursửuuđường uuu r AM , AM Khi đó: phương - Nêu cách giải dạng 10 Do đường thẳng d A Cách giải: +) Cách 1: ( P) A, d1 ( Q) Lập phương trình mặt phẳng chứa , cịn mặt phẳng chứa d = ( P) ∩ ( Q) A, d d Do nên ta tìm VTCP viết phương trình đường thẳng theo dạng +) Cách 2: d1 , d M1, M d Giả sử đườnguuu thẳng ur uuuuu r cắt hai đường thẳng t,t ' M1, M AM , AM Tìm tham số để phương, suy tọa độ điểm Viết A, M d phương trình đường thẳng qua hai điểm dạng A ( 1;1;1) d Ví dụ 10: Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm  x = + 2t x +1 y − z −1  d1 :  y = − t ; d : = =  z = −1 + t  cắt hai đường thẳng Giải: uur u A1 ( 1;2; −1) d1 d = (2; −1;1) Đường thẳng qua điểm có VTCP uur ud = (1;2;1) A2 ( −1;2;1) d2 Đường thẳng qua điểm có VTCP uuur uuur uur n( P) =  AA1; ud1  = ( −1; −4; −2) ⇒ ptmp ( P ) ( P) A, d1 Mp chứa có VTPT: : x + y + z − = 17 Mp ( Q) chứa x + y − z + = Vậy, d A, d Do có VTPT: d = ( P) ∩ ( Q) uuur uuuu r uur n( Q) =  AA2 ; ud2  = ( 1;2; −5) ⇒ ptmp ( Q ) nên VTCP A ( 1;1;1) qua điểm có VTCP x −1 y −1 z −1 = = −24 −2 trình tắc là: Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d1 , d cắt hai đường thẳng d là: uu r uuu r uuur ud =  n( P ) ; n( Q)  = ( −24;7; −2) uu r ud = ( −24;7; −2) nên có phương song song với đường thẳng ∆ Ở dạng 11, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 11 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 11 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: d1 d ∆ Do đường thẳng song song với cắt nên có mặt phẳng ( P) d , d1 d ∆ ∆ chứa song song với Tương tự, đường thẳng song song với d2 ( Q) d , d2 ∆ cắt nên có mặt phẳng chứa song song với d = ( P) ∩ ( Q) Vậy: +) Hướng 2: uu r uu r u = u d d ∆ ∆ Do song song với nên 18 d d1 , d Giả sử giaouđiểm u r uuuu uur đưởng thẳng với hai đường thẳng M1, M u d , M 1M Khi đó, phương - Nêu cách giải dạng 11 Cách giải: +) Cách 1: ( Q) ( P) d1 ∆ Lập phương trình mặt phẳng song song với chứa , d = ( P) ∩ ( Q) d2 ∆ song song với chứa Khi đó: nên ta tìm VTCP, điểm d thuộc đường thẳng viết phương trình đường thẳng theo dạng +) Cách 2: uu r uu r M1, M u = u d d ∆ Xác định VTCP đường thẳnguu Lấy thuộc r ulà: uuuuur d1 , d t,t ' ud , M 1M Tìm tham số để hai vectơ phương, từ suy tọa M 1, M M1 d độ điểm Viết qua điểm ( điểm uu r phương trình đường thẳng M1 ud ) có VTCP  x = + 2t  ∆ :y = − t  z = −1 + t  d Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng song song với x +1 y − z −1 x y +1 z − d2 : = = d1 : = = −1 cắt hai đường thẳng ; Giải: A1 ( −1;2;1) ( P) d1 ∆ Mặt phẳng song song với chứa qua điểm có uuur uu r uur n( P) = u∆ ; ud1  = ( −3; −1;5) ⇒ ptmp ( P ) : − 3x − y + 5z − = VTPT A2 ( 0; −1;3) ( Q) d2 ∆ Mặt phẳng song song với chứa qua điểm uuur uur uur n( Q) = u∆ ; ud2  = ( −3; −5;1) ⇒ ptmp ( Q ) : − 3x − y + z − = có VTPT 19  4  A  − ; − ;0÷   d = ( P) ∩ ( Q) Đường thẳng nên qua điểm có VTCP uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q)  = ( 24; −12;12) = ( 2; −1;1) Vậy, phương trình đường thẳng 4 x+ y+ 9= = z d: −1 Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d1 , d cắt hai đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P) Ở dạng 12, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 12 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 12 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: ( P) d1 d Do đường thẳng vng góc với cắt nên có mặt phẳng ( Q) d , d1 ( P) d chứa vng góc với Tương tự, đường thẳng vng góc với ( P) d2 ( R) d , d2 ( P) cắt nên có mặt phẳng chứa vng góc với d = ( Q) ∩ ( R) Vậy: +) Hướng 2: 20 Do d (α) uu r uuu r ud = n( α ) vng góc với nên VTCP Giả sử giao điểm d1 , d M1, M d đường với hai đường thẳng Khi đó: uu r uuuuuthẳng ur ud , M 1M phương - Nêu cách giải dạng 12 Cách giải: +) Cách 1: ( R) ( Q) ( P) d1 Lập phương trình mặt phẳng vng góc với chứa , cịn ( P) d2 mặt phẳng vng góc với chứa d = ( Q) ∩ ( R) Khi đó: nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng viết d phương trình đường thẳng theo dạng +) Cách 2: uu r uuu r u = n d (α) d Xác định VTCP đường thẳng là: M 1, M d1 , d t,t ' Lấy thuộc Tìm tham số để hai vectơ uu r uuuuu ur hai điểm M1, M ud , M 1M phương, từ suy tọa độ điểm Viết uu r phương trình M1 M1 ud d đường thẳng qua điểm ( điểm ) có VTCP d Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng  x = + 2t x = − t '   d2 :  y = + t ' d1 :  y = − t  z = −1 + t '  z = −1 + t (α) : x + y + z − =   cắt hai đường thẳng ; Giải: uuu r n( α ) = ( 1;1;1) (α) : x + y + z − = Mặt phẳng có VTPT (α) : x + y + z − = d Đường vng góc với mặt phẳng nên uu r thẳng uuu r ud = n( α ) = ( 1;1;1) có VTCP 21 d1 , d d M1, M Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng uu Giả r M ( + 2t;2 − t; −1 + t ) ∈ d1; M ( − t ';1 + t '; −1 + t ') ∈ d ud sửuuu : uuur Suy ra, M 1M = ( −t '− 2t + 1; t '+ t − 1; t '− t ) phương Khi đó:  1  11  −t '− 2t + t '+ t − t '− t , M2  ; ;− ÷ = = ⇔ t = ; t ' = − ⇒ M  2; ; − ÷  4 4 2 1 d Vậy, ptđt là: Bài tập tương tự: x−2 = Oxyz z+ 2= 1 y− ( P) : x + y − z − = Trong không gian cho mặt phẳng hai x −1 y z +1 x − y z +1 d1 : = = , d2 : = = −2 −1 đường thẳng Đường thẳng vng góc ( P), d1 d2 với đồng thời cắt có phương trình là: x−3 y−2 z+2 x − y − z +1 = = = = 2 −1 −2 A B x −1 y z +1 x − y +1 z − = = = = −2 −1 2 −1 C D ( Đề tham khảo- THPTQG-2018) d ng 13: Viết phương trình đường thẳng đường vng góc chung Dạ d1 , d hai đường thẳng chéo Ở dạng 13, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 13 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) 22 - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 13 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: d Đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d d1 , d d d nên vừa vng góc, vừa cắt Do giao tuyến ( P) ( Q) ( P) d1 ( Q) d2 d, d hai mặt phẳng , chứa cịn chứa +) Hướng 2: d1 , d M1, M d Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 , d2 d Do đường nên uur uulà uuuu r uuuur vng uuuuuurgóc chung hai đường thẳng chéo ud1 ⊥ M 1M ; ud ⊥ M 1M Cách giải: +) Cách 1: uu r uur uur ud = ud1 ; ud2  d Xác định VTCP đường thẳng : ( P) d1 ( Q) d2 d, d Lập phương trình mặt phẳng chứa chứa d = ( P) ∩ ( Q) Khi đó: nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng viết d phương trình đường thẳng theo dạng +) Cách 2: M1, M d1 , d Lấy hai điểm thuộc hai đường thẳng uur uuuuuur ud M 1M = uur uuuuuur uuuur uuuuuur ⇔  uur uuuuuur ud1 ⊥ M 1M ; ud2 ⊥ M 1M ud2 M 1M = t,t ' Xác định tham số để M1, M Từ suy tọa độ điểm M 1, M d Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm dạng Ví dụ 13: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng  x = + 3t  d1 :  y = −2 + 2t x −1 y +1 z − d2 : = =  z = −1 + 2t  23 Giải: Ta có: M ( 1; −1;5) d1 M ( 1; −2; −1) uur ud1 = ( 3;2;2) d qua điểm , có VTCP qua uur ud2 = ( 2;3;1) điểm , có VTCP d1 , d d Đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng uu r uur uur ud = ud1 ; ud  = ( −4;1;5) nên VTCP: M ( 1; −2; −1) ( P) ( P) d1 , d Mặt phẳng chứa nên qua điểm có uuur uu r uur n( P) = ud ; ud1  = ( −8;23; −11) ⇒ ptmp ( P ) : −8 x + 23 y − 11z + 43 = VTPT: M ( 1; −1;5) ( Q) d2 , d ( Q) Mặt phẳng chứa nên qua điểm có uuur uu r uur n( Q ) = ud ; ud2  = ( −14;14; −14) ⇒ ptmp ( Q ) : − x + y − z + = VTPT: 13  34 A  − ;0; − ÷ d = ( P) ∩ ( Q)  3 Đường thẳng nên qua điểm có uu r uuur uuur ud =  n( P) ; n( Q)  = ( −12;3;15) = 3.( −4;1;5) VTCP 34  x = − − 4t   ⇒ pt d :  y = t  13  z = − + 5t  d: Bài tập tương tự: Cho đường thẳng x −1 y − z = = −1 d , d ' x = + t '  d' :  y = − 2t ' z =  Viết phương trình đường vng góc chung ( Bài 3.42- Sách BTHH12) ( P) d Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng cắt d1 , d hai đường thẳng 24 Ở dạng 14, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 14 dạng để xác định yếu tố biết (chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, d từ đưa dạng 14 dạng 2: Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng M , M ∈( P ) ( P) d1 , d M1, M d Do nằm mặt phẳng nên , ( P) M1, M d1 , d suy giao điểm mặt phẳng Cách giải: ( P) M 1, M d1 , d - Xác định giao điểm mặt phẳng M1, M d - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm dạng ( P) : x + y + z − = d Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng nằm x −1 y − z +1 x − y −1 z +1 d1 : = = ; d2 : = = −1 −1 −1 1 cắt hai đường thẳng ( P) M1 d1 M1 Giải: Điểm giao điểm mặt phẳng Tọa độ điểm nghiệm hệ phương trình:  x + y + z − = x =  x − y −   = ⇔  y = ⇔ M ( 5;0; −3)  −1    z = −3  y − z +1 =   −1 −1 25 M ( 2;1; −1) d2 ( P) Tương tự, điểm giao điểm mặt phẳng ( P) d1 , d2 M 1, M d d d Do nằm mặt phẳng cắt nên qua , có uuuuuur M 1M = ( −3;1;2) VTCP giao điểm x−5 y z +3 = = d −3 Vậy ptct : ( α ) : y + 2z = ∆ Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng nằm x = 1− t x = − t '   d1 :  y = t ; d :  y = + 2t '  z = 4t z =   cắt hai đường thẳng ( Bài 3.32- Sách BTHH12) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với mục đích đề tài hướng tới đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình, trường THPT Thường Xuân khuôn khổ SKKN nên dạng tốn trình bày đề tài dạng bản, thường gặp sách giáo khoa, sách tập hay đề thi tốt nghiệp, thi THPT QG Các dạng tốn trình bày theo trình tự từ dễ đến khó; từ đến nâng cao Ở dạng tốn có phân tích, lập luận, nêu cách giải, ví dụ cụ thể tập tương tự nên phù hợp để học sinh phát triển lực tư lập luận toán học Đối với học sinh, hiệu sáng kiến kinh nghiệm mang lại thể việc: - Học sinh phát triển lực tư tốn học, có nhiều thay đổi tích cực kỹ giải tốn, biết phân tích, so sánh, lập luận sử dụng kiến thức học để giải vấn đề Học sinh hứng thú giải toán, kiến thức, kỹ mà em cịn lúng túng, mơ hồ trình bày cách tường minh, dễ hiểu - Kết kiểm tra nội dung viết phương trình đường thẳng có nhiều tiến sau em tiếp thu chuyên đề (kết thực nghiệm nêu phần phụ lục) Đối với thân, đề tài phần giúp thực mục tiêu đổi phương pháp dạy học, trọng đến việc phát triển phẩm chất, lực cho học sinh; góp phần giúp nhà trường nâng cao chất lượng giáo dục đại trà Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy, học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu gặp nhiều khó 26 khăn việc tìm lời giải cho tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, kể tập dạng Sau triển khai đề tài học sinh làm tốt tập mức độ thông hiểu vận dụng sách giáo khoa đề thi tốt nghiệp Đặc biệt, lực tư lập luận toán học em cải thiện rõ rệt, giúp em tiếp thu hiệu kiến thức mơn Tốn môn học khác 3.2 Kiến nghị Với nội dung trình bày đề tài, tơi hy vọng đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh thầy cô giáo Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân trình thực việc đổi phương pháp dạy học đề tài không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thanh Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy ( Chủ biên) [2] Sách tập Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Nguyễn Mộng Hy ( Tổng chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên [3] Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đồn Quỳnh ( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương ( Chủ biên) [4] Sách tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) [5] Đề thi, đề minh họa thi THPT QG thi tốt nghiệp mơn Tốn từ năm 2017 đến năm 2021 27 28 ... 2.2.2 Phát triển lực tư lập luận toán học qua tốn viết phương trình đường thẳng Khi giải tốn viết phương trình đường thẳng, lực tư lập luận toán học học sinh thể việc: - Trước hết học sinh cần nắm... tích, lập luận để tìm hướng giải Từ thực trạng trên, áp dụng đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân qua tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian. .. 2017) d A Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với d1 , d hai đường thẳng không song song cho trước Ở dạng 5, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng