(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh cách giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH GIẢI BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Mai Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC TRANG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 1 2.1.1 Vectơ phương đường thẳng 2.1.2 Định nghĩa phương trình tham số đường thẳng 2.1.3 Các kiến thức khác liên quan 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các dạng toán viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm, có véctơ phương cho trực tiếp cho gián tiếp Dạng Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến góc khoảng cách 2.3.2 Bài tập vận dụng 2.4 Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4 15 18 20 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học lớp 12 THPT, chương phương pháp tọa độ khơng gian nói chung phương trình đường thẳng khơng gian nói riêng chiếm khối lượng kiến thức lớn Trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, kể từ năm 2017 mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, thống kê cho thấy số lượng câu hỏi viết phương trình đường thẳng chiếm tỉ lệ tương đối, trải mức độ kiến thức, phong phú nhiều dạng, nhiều cách giải, liên quan đến nhiều kiến thức: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, góc, khoảng cách …Do trình giảng dạy giáo viên nên lựa chọn, hệ thống cách giải cho học sinh cách cụ thể rõ ràng cần thiết Đặc biệt học sinh trung bình yếu Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh giúp em xây dựng kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập cần thiết, kỹ tư duy, tổng kết học cách xác, vững có hệ thống, đồng thời giúp học sinh ơn luyện dạng tốn viết phương trình đường thẳng tốt Từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2022 với nội dung “Hướng dẫn học sinh cách giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em học sinh lớp 12 ghi nhớ hệ thống lại kiến thức, cách giải số dạng toán viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian cách khoa học xác, dễ nhớ, dễ hiểu, giúp em vận dụng cách linh hoạt sáng tạo việc học tập rèn luyện, góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành đề tài nói trên, tơi nghiên cứu hướng dẫn cho học sinh cách giải toán viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian lớp 12 (cơ bản) chương trình THPT, giúp em học sinh tự tin trình học tập rèn luyện, ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : - Đọc SGK, loại sách tham khảo, tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài -Tham khảo đề minh họa, đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Bộ GDĐT, tỉnh trường toàn quốc - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài, nghiên cứu khả nắm bắt học sinh qua tiết học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức sử dụng đề tài kiến thức liên quan đến cách giải tốn viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian, trình bày sách giáo khoa hình học 12 mà học sinh học 2.1.1 Vectơ phương đường thẳng: r r Véc tơ u ≠ có giá song song trùng với đường thẳng d gọi vectơ phương đường thẳng d r r Véc tơ u véctơ phương d k u véctơ phương đường thẳng d ( k ≠ ) 2.1.2 Định nghĩa phương trình tham số đường thẳng Phương trình thamr số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) có r r vectơ phương a = (a1; a2 ; a3 ) , a ≠ phương trình có dạng:  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t  Chú ý: Nếu a1, a2, a3 khác khơng Phương trình đường thẳng ∆ viết dạng tắc sau: x − x0 y − y0 z − z0 ( trang 83 SGK Hình học12 ) = = a1 a2 a3 2.1.3 Các kiến thức khác liên quan: - Trong không gian Oxyz cho A ( xA ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; zB ) ta có: uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A )  x + x y + yB z A + z B  ; M trung điểm đoạn thẳng AB : M  A B ; A ÷ 2   r r - Tích có hướng a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) vectơ có tọa độ tính cơng thức sau: r r a a a a aa   a, b  =  ; ; ÷= (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )    b b3 b3b1 b1b  Chú ý:  ar , br  ⊥ ar ,  ar , br  ⊥ br     rr r r - Vectơ a b vng góc ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = uuur uuur - Ba điểm M , A, B thẳng hàng tồn số thực k ≠ : MA = k MB 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tế giảng dạy, thân nhận thấy tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian khai thác nhiều góc độ khác nhau, tập vô phong phú, nhiều dạng, nhiều cách giải khiến học sinh khó nhớ, gây tâm lí chán nản ngại học.Trong q trình ơn luyện đề thi trắc nghiệm cho học sinh, qua quan sát để ý thấy phận học sinh trung bình yếu bỏ qua câu viết phương trình đường thẳng mức độ thông hiểu, vận dụng, học sinh giỏi nhiều em làm sai, bỏ dở nên điểm thường thấp Tôi thực khảo sát hai lớp 12M, 12P trường THPT Ba Đình năm học 2021 - 2022, lớp 10 em học sinh có lực trung bình trở lên giải tập sau 10 phút Bài 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường r A 3; − 2; u ( ) thẳng qua điểm có véctơ phương = ( 2; −1; ) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 1; − 3; ) , đường thẳng x+ y −5 z −2 = = mặt phẳng ( P ) : x + z − = Viết phương trình đường −5 −1 thẳng ∆ qua M vng góc với d song song với ( P ) d: Kết thu sau: Phân tích giả thiết Lớp Giải Giải 12M 8/10 3/10 1/10 12P 9/10 1/10 0/10 Từ kết tơi thấy: Ở số liệu để viết phương trình đường thẳng rõ ràng học sinh việc thay vào cơng thức phương trình tham số đường thẳng Trong 2, hầu hết em không giải khơng xác định véc tơ phương đường thẳng Do q trình trực tiếp giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia thấy việc hướng dẫn cho học sinh cách viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Vì vậy, kinh nghiệm có đề tài “Hướng dẫn học sinh cách giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian”, phương pháp mà mạnh dạn áp dụng trình giảng dạy trường THPT Ba Đình - Nga Sơn - Thanh Hố 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong tốn viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian, phương pháp chung xác định vectơ phương đường thẳng toạ độ điểm thuộc đường thẳng sau dựa vào cơng thức định nghĩa phương trình đường thẳng (trang 83 SGK Hình học 12) Hầu hết tốn viết phương trình đường thẳng đề ôn thi THPT quốc gia nằm mức độ kiến thức, mức độ nhận biết mức độ cịn lại đề cho véc tơ phương đường thẳng chưa tường minh, phải thông qua nhiều kiện, phức tạp, gây rối có tốn lại nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh khó nhớ Trên sở định hướng tiến hành hướng dẫn cho học sinh cách giải tốn viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian cách cụ thể cho dễ nhớ, dễ hiểu, dễ nhận diện dựa vào đặc thù riêng bài, đồng thời cách nhận dạng số theo nhóm cách giải Tùy theo mức độ áp dụng cho đối tượng học sinh, từ dễ đến khó, từ thấp đến cao Vì phạm vi kiến thức rộng nên đề tài hướng dẫn cho học sinh cách giải toán thường gặp viết phương trình đường thẳng khơng gian, cịn tốn gặp khuyến khích học sinh nhà tự nghiên cứu đưa dạng thường gặp), tốn có nhiều cách giải tơi hướng dẫn cách giải tự luận mà cá nhân cho dễ nhớ nhất, (các cách giải khác tơi khuyến khích học sinh nhà tự nghiên cứu thêm), tốn có ví dụ minh họa, cuối tập áp dụng Cụ thể sau: 2.3.1 Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm, có véctơ phương cho trực tiếp cho gián tiếp Bài toán Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( xo; yo; zo) có r véctơ phương (vtcp) ud = (a1 ; a2 ; a3 ) r Cách giải Đường thẳng ∆ qua điểm M ( xo; yo; zo) và có vtcp u ∆ = (a1; a2 ; a3 )  x = xo + a1t  Phương trình dạng tham sớ:  ∆ :  y = yo + a2t , (t ∈ ¡ ) z = z + a t o  x−x y− y z−z o o o Hoặc phương trình dạng tắc: ∆ : a = a = a , (a1a2 a3 ≠ 0) Chú ý: Nếu đề bài khơng nêu rõ viết theo dạng tham sớ hay tắc ta viết theo loại nào uu r ur uu r uur uur - Kí hiệu ud ; u1; u2 ; ud ' ; u∆ là vtcp đường thẳng d ; d1 ; d ;d’, ∆ uur uur r - Kí hiệu nP ; nQ ; nα là vectơ pháp tuyến(vtpt) mặt phẳng (P), (Q), (α ) Ví dụ Trong không gian tọar độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( 1; −2;3) có vtcp u = ( 2; −1; −2 ) Lời giải r Đường thẳng qua điểm A ( 1; −2;3) có vtcp u = ( 2; −1; −2 ) có phương trình tắc là: x −1 y + z − = = −1 −2 Nhận xét: Trong q trình luyện tốn nhiều bài tốn viết phương trình đường thẳng cho véc tơ phương gián tiếp ví dụ sau: Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B cho trước B ∆ Hướng dẫn cách giải A Đường thẳng ∆ qua điểm A uuur và có vtcp phương với AB Ví dụ.Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A ( 2;3; −1) , B ( 1;2;4 ) uuu r Lời giải Ta có AB = ( −1; −1; ) Đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) có vtcp x = − t uuu r  AB = ( −1; −1; ) phương trình :  y = − t  z = −1 + 5t  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M rvà song song với đường thẳng d cho trước M ud d Hướng dẫn cách giải Đường thẳng ∆ qua điểm M và có vtcp phương với vtcp d Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;3) đường thẳng x = 1− t  d : y = t , ( t ∈ ¡ ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M song song  z = −1 − 4t  với đường thẳng d Lời giải Đường thẳng ∆ qua M ( 1; 2;3) song song với đường thẳng d nên nhận uu r x −1 y − z − ud = ( −1;1; −4 ) làm vtcp, có phương trình tắc là: = = −1 Bài tốn 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A vng góc với mặt phẳng ( α ) cho trước ∆ Hướng dẫn cách giải uu r uur r nα Đường thẳng ∆ qua điểm A có vtcp u∆ phương với vtpt nα A Oxyz Ví dụ:Trong khơng gian với hệ trục tọa độ , viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( −2; 4;3) vng góc với mặt phẳng ( α ) : x − y + z + 19 = Lời giải uur Ta có vtpt nα = ( 2; −3;6 ) Đường thẳng ∆ qua điểm A ( −2; 4;3) , vng góc với mặt phẳng ( α ) nên nhận vtcp uu r u∆ = ( 2; −3; )  x = −2 + 2t  có phương trình:  y = − 3t  z = + 6t  Nhận xét: Hiện đề thi THPT quốc gia, và thi HSG câu vận dụng bài toán viết đường thẳng cho mối liên hệ phức tạp ví như: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với giá ur uu r r r hai vectơ a1 , a2 Khi đó vtcp ∆ phương với a1 ; a2  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với mặt phẳng qua điểm A, B, C cho trước Hướng dẫn cách giải uuur uuur uuur r uuur r  AB, AC  u ⊥ AB , u ⊥ AC  ∆ - Vì ∆ , nên vtcp ∆ phương với  - Quay bài toán Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2; − 1;0 ) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; − 2;0 ) , M ( 1;1; − ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Lời giải uuur uuur uuu r uuur Ta có AB = ( −1;3;1) ; AC = ( 1; − 1; ) ;  AB, AC  = ( 1;1; − ) uuur r uuur r r Vì u∆ ⊥ AB, u∆ ⊥ AC nên chọn vtcp ∆ là u∆ = ( 1;1; − ) x = 1+ t r  Đường thẳng ∆ qua M ( 1;1; − 3) , vtcp u∆ = ( 1;1; − ) có phương trình:  y = + t  z = −3 − 2t  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ∆ ⊥ d1 ; ∆ ⊥ d (d1 d2 hai đường thẳng chéo cho trước) Hướng dẫn cách giải ur uu r r r r r   Vì , nên vtcp phương với u ; u u ⊥ u , u ⊥ u ∆ ∆ ∆  2 - Quay bài toán ∆ d1 d2 A Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm  x = + 2t x = 1− t  z = + t   z = − 3t   A( 1; 0;5 ) vng góc với đường thẳng d1 :  y = − 2t d :  y = + t Lời giải ur uu r ur uu r Ta có u1 = ( 2; −2;1) , u2 = ( −1; 1; −3) vtcp d1 ; d u1 ; u2  = ( 5;5;0 ) uu r r r r r Vì u∆ ⊥ u1 ; u∆ ⊥ u2 nên chọn vtcp ∆ u∆ = ( 1;1;0 ) Đường thẳng ∆ qua x = 1+ t uu r  vtcp có phương trình là: A( 1; 0;5 ) u∆ = ( 1;1;0 ) y = t z =  Bài toán Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M , vng góc với đường d song song mặt (α ) ( d khơng vng góc với ( α )) d ∆ uur nα M α Hướng dẫn cách giải: -Vì ur ⊥ ur ; ur ⊥ nr nên đường thẳng ∆ có vtcp phương với [ nr , ur ] ∆ d ∆ α α d - Quay bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , x+2 y−2 z = = và mặt phẳng ( α ) : x + y − 3z + = 1 −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1; 2;3) vng góc với đường cho đường thẳng d: thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) ( d khơng vng góc với ( α ) ) Lời giải uu r uu r uu r r Ta có ud = (1;1; −1) ; nα = (1; 2; −3) ; nα ; ud  = ( 1; −2; −1) uu r r r r r u ⊥ u ; u ⊥ n u ∆ Vì ∆ d ∆ α nên ta chọn vtcp là ∆ = ( 1; −2; −1) Đường thẳng ∆ x = 1+ t uu r  qua điểm M ( 1; 2;3) có vtcp u∆ = ( 1; −2; −1) có phương trình là:  y = − 2t z = − t  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) (Q) cắt uu r uu r Hướng dẫn cách giải nQ nP A - Lấy giao điểm A mặt phẳng ( P) và (Q) ∆ Q r r r r u ⊥ n ; u ⊥ n - Vì ∆ P ∆ Q nên đường thẳng ∆ có vtcp phương với  nr , nr  Q  P Q P - Quay bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = ( Q ) : 3x − y − z − = Lời giải Gọi A giao điểm mặt phẳng ( P ) (Q) 6 x + y + z + = 3 x − y − z − = Giải hệ phương trình  6 x + z + = Cho y = ta có 3x − z − =    x = − uur uur 5  ⇔ tọa độ điểm A  − ;0; − ÷ Ta có : nP = ( 6; 2; ) ; nQ = ( 3; −5; −2 ) 6  z = −  uur uur Và  nP ; nQ  = ( 6;18; −36 ) = ( 1;3; −6 ) r r r r r - Vì u∆ ⊥ nP ; u∆ ⊥ nQ nên ta chọn u∆ = ( 1;3; −6 ) Vậy phương trình đường thẳng ∆ 5 r  x+ x+ y u = 1;3; − A − ;0; − có vtcp ( ) là: 9= = qua điểm  ∆ ÷ 6  −6 Bài toán Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M song song với hai mặt phẳng ( P), (Q) (hoặc đề cho viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng song song mặt Hoặc đề cho viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với giao tuyến hai mặt phẳng) uu r uu r Hướng dẫn cách giải r r r r nQ nP - Vì u∆ ⊥ nP ; u∆ ⊥ nQ nên đường thẳng ∆ có vtcp Q phương với  nr , nr  M  P Q Q P - Quay bài tốn ∆ Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2; −1) hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = ( Q ) : x − y + z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M song song với hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) Lời giải uur uur uur uur Ta có nP = ( 1;1; −1) ; nQ = ( 2; −1;5 ) ;  nP ; nQ  = ( 4; −7; −3) r r r r r Vì u∆ ⊥ nP ; u∆ ⊥ nQ nên ta chọn u∆ = ( 4; −7; −3) Vậy phương trình đường thẳng ∆  x = + 4t r  qua điểm M ( 1; 2; −1) có vtcp u∆ = ( 4; −7; −3) là:  y = − 7t  z = −1 − 3t  Nhận xét: Với bài tốn viết phương trình đường thẳng mà đề bài có yếu tố đường thẳng “cắt” đường thẳng (đường thẳng “cắt” mặt phẳng) tại điểm, có thể hướng dẫn học sinh tìm trực tiếp tọa độ điểm cắt, gọi tọa độ điểm cắt theo tham số, tùy vào kiện vuông góc, hay phương … ta tìm tọa độ điểm cắt đó và đưa bài toán đơn giản Bài toán 10 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 d Hướng dẫn cách giải - Tìm A = d1 ∩ ( α ) ; B = d ∩ ( α ) ; d2 d uuu r - Đường thẳng ∆ có vtcp phương với AB A α B - Quay giải bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) : y + z = cắt x = − t x −1 y z  = = , d :  y = + 2t hai đường thẳng d1 : −1  z = Lời giải uuur Gọi A = ( α ) ∩ d1 ⇒ A ( 1;0;0 ) ; B = ( α ) ∩ d ⇒ B ( 5; −2;1) ⇒ AB = ( 4; −2;1)  x = + 4t r  Đường thẳng ∆ qua A ( 1;0;0 ) vtcp u∆ = ( 4; −2;1) có phương trình là:  y = −2t z = t  Bài toán 11 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( P ) , vng góc cắt đường thẳng d +Tìm giao điểm I d và ( P ) uur uur  uur uu r r u∆ ⊥ ud + Do uur uur nên vtcp u∆ phương với  nP ; ud   u∆ ⊥ nP +Quay bài tốn Ví dụ Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y− z − = = mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Viết phương trình đường −3 thẳng ∆ nằm mp ( P ) cắt vng góc với d d: Lời giải Gọi I = d ∩ ( P ) , I ∈ d ⇒ I ( 2t;3 + t; − 3t ) I ∈ ( P ) ⇒ 2t − ( + t) + ( − 3t ) − = ⇔ t = −1 ⇒ I ( −2; 2;5 ) uur uur  u∆ ⊥ ud nên uur uur  u∆ ⊥ nP uur r ta chọn vtcp u∆ ( 1;7;3) Đường thẳng ∆ qua điểm I ( −2; 2;5) , vtcp u∆ = ( 1;7;3) uur uur uur uur Ta có nP = ( 1; −1; ) , ud = ( 2;1; −3) ⇒  nP ,ud  = ( 1;7;3) Theo giả thiết   có phương trình là: x + y −2 z −5 = = Bài toán 12 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 d2 d1 Hướng dẫn cách giải M A B +Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 chứa tham số a Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham số b uuur uuur + Vì ba điểm M, A, B ∈ ∆ nên tồn k ≠ : MA = k MB ∆ ta xác định tọa độ điểm A B Và quay bài tốn Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( 2;1; −1) cắt hai  x = −t x −1 y + z +  d : = = đường thẳng  y = t d :  z = t  Lời giải + Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ( −a; a; 2a ) B = ∆ ∩ d ⇒ B ( + 3b; −2 + 4b; −3 + 5b ) uuur uuur ⇒ MA = ( − a − 2; a − 1; 2a + 1) ; MB = ( 3b − 1; 4b − 3;5b − )  − a − = 3kb − k uuur uuur  Vì ba điểm M, A, B ∈ ∆ nên tồn k ≠ : MA = k MB ⇒  a − = 4kb − 3k (*)  2a + = 5kb − 2k  uuur Giải (*) ta b = ⇒ MB = ( −1; −3; −2 ) x = − t  Vậy phương trình đường thẳng ∆ là:  y = − 3t  z = −1 − 2t  Bài tốn 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d d2 d1 Hướng dẫn cách giải A Br - Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 chứa tham số a Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham số b d ud uuu r uu r A , B - Vì ∆//d nên ta có AB = kud (k ≠ 0) , ta xác định tọa độ - Quay bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba đường thẳng ∆ 10 x −1 y + z x +1 y +1 z − x −1 y − z − = = d1 : = = = = ; d2 : 1 −1 −1 −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai d: đường thẳng d1 d2 Lời giải  A ( −1 + 2a; −1 + a; − a ) Gọi A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d Suy ra:   B ( − b; + b;3 + 3b ) uuu r r Khi đó: AB = ( −b − 2a + 2; b − a + 3;3b + a + 1) Và ud = ( 1;1; −1) uuu r r Vì đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên AB phương với ud −b − 2a + b − a + 3b + a + = = Suy ra: (*) Giải hệ (*) ta a = ⇒ A ( 1;0;1) 1 −1 Thay A ( 1;0;1) vào đường thẳng d ta thấy A ∉ d Vậy phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 1;0;1) , vtcp ur∆ = ( 1;1; −1) : x − = y = z − −1 Bài tốn 14 Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d 1 - Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 chứa tham số a Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham sớ b uuur r - Vì ∆ ⊥ ( P) nên ta có AB phương nP , ta xác định A B - Quay bài toán Ví dụ.Trong khơng gian, với hệ trục Oxyz viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với ( P ) : x + y − z = đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d2 với  x = −1 + 2t x y −1 z +  d1 : = = , d2 :  y = + t −1 z =  Lời giải ∆ A B d2 d1 P Gọi A, B giao điểm d với d1 d1 A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a ) ; B ∈ d ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3 ) uuu r uur AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; −a + ) ; nP = ( 7;1; −4 ) uur uuu r −2a + 2b − a + b −a + ∆ ⊥ ( P ) ⇔ AB phương với n p ⇒ = = (*) −4 Giải hệ (*) ta a = ⇒ A ( 2;0; −1) 11 uur uur Đường thẳng ∆ qua A ( 2;0; −1) , vtcp u∆ = nP = ( 7;1 − ) x − y z +1 = = −4 Ngoài cách giải ta giải cách sau: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với (P); Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P), suy d là giao tuyến (Q) và (R).(học sinh nhà tự làm) Bài tốn 15 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A vng góc cắt đường thẳng d uu r d ud Hướng dẫn cách giải - Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham số t B ∆ uu ur uu r - Ta có AB.  ud = suy điểm B A - Quay bài tốn Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng x = t  ∆ qua điểm A ( 2; −1;1) , vuông góc cắt đường thẳng d :  y = −1 − t z = t  Lời giải uuur r Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ( t ; −1 − t ; t ) ⇒ AB = ( t − 2; −t ; t − 1) Và ud = (1; −1;1) uuu r uuur r r uuur ud ⊥ AB ⇔ ud AB = ⇔ ( t − 2) − (−t ) + (t − 1) = ⇔ t = ⇒ B(1; −2;1) ⇒ AB = (1;1;0) x = + t uuur  Đường thẳng ∆ qua A ( 2; −1;1) có 1vtcp AB = ( 1;1; ) có pt là:  y = −1 + t z =  Bài toán 16 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A vng góc với d1 cắt đường thẳng d 2 A Hướng dẫn cách giải B + Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham số t uuu r ur ur u1 + Từ điều kiện : AB.  u1 = giải tìm điểm B +Quay bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 0;1;1) , vng góc với đường thẳng ∆ d1 : d  x = −1 x −1 y − z  = = cắt đường thẳng d :  y = t 1  z = + t Lời giải uuur r Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d ⇒ B ( −1; t ;1 + t ) ⇒ AB = ( −1; t − 1; t ) u1 = (3;1;1) uuur ur uuu r ∆ ⊥ d1 ⇒ AB.u1 = ⇔ −3 + t − + t = ⇔ t = ⇒ AB = ( −1;1; )  x = −t uuur Đường thẳng ∆ qua A(0;1;1) có vtcp AB = ( −1;1; ) phương trình là:  y = + t  z = + 2t  d 12 Bài tốn 17 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Hướng dẫn cách giải uuur r + Gọi B = d∩ ∆ : AB / / mp(P ) ⇔ AB.nP = ⇒ điểm B + Quay bài toán A B P Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 3x − y − 3z − = đường x − y + z −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 3; 2; −4 ) = = −2 cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) thẳng d: Lời giải Gọi B( + 3t; −4 − 2t;1 + 2t ) ∈ d giao điểm d ∆ uuur r Ta có AB = ( 3t − 1; −2t − 6; 2t + 5) nP = ( 3; −2; −3) uuu rr uuu r 11 54 47 32 40 19 AB P( P) ⇔ AB.nP = ⇔ 7t − = ⇔ t = ⇒ B( ; − ; ) ⇒ AB = ( ; − ; ) 7 7 7  x = + 11t r  Đường thẳng ∆ qua A có vtcp u∆ = (11; −54; 47) phương trình:  y = − 54t  z = −4 + 47t  Bài tốn giải cách khác: Viết phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P) Xác định giao điểm B d và mp(Q), đó đường thẳng ∆ qua A, B Bài toán 18 Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d d2 d1 Hướng dẫn cách giải B A +Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 chứa tham số a Gọi B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d chứa tham số b uuur ur  AB.u1 =  AB ⊥ d1 ⇔  uuur uu r Do  Từ đó xác định tọa độ điểm A, B  AB ⊥ d  AB.u2 = ∆ +Quay bài tốn Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 : x + y + z− x + y − z+ = = = = d2 : 1 −4 −1 Lời giải Gọi A = ∆ ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 : A( −1+ 2a; −2 + a;1+ a) 13 uuu r B − − b ;1 + b ; − − b B = ∆ ∩ d ⇒ B ∈ d AB = ( −1− 2a − 4b;3− a + b; −3− a − b) ( ) 2: r r Ta có u1 = ( 2;1;1) ; u2 = ( −4;1; −1) Đoạn thẳng AB đoạn vng góc chung d1 uuu r ur  AB.u = d ⇔  uuur uur (*) Giải hệ (*) ta :  AB.u2 = uuu r t = ⇒ A( 1; −1;2) ; AB = ( 1;1; −3)  t′ = −1  x = 1+ t  Phương trình đường thẳng vng góc chung d1 d là:  y = −1+ t  z = 2− 3t  Ngoài cách giải giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán cách sau: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và ∆ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và ∆ , suy ∆ là giao tuyến (P) và (Q) Bài toán 19 Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt ( P ) M Hướng dẫn cách giải: Xét vị trí tương đối đường thẳng d và ( P ) g Nếu d P( P ) Chọn điểm M d Tìm H là hình chiếu M lên ( P ) P ∆ r M Hình chiếu ∆ có vtcp phương với ud g Nếu d ∩ ( P ) = I Chọn điểm M ≠ I d Tìm H là hình chiếu M lên ( P ) Hình chiếu ∆ qua I và H H I P d d ∆ H Quay bài tốn Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = x y +1 z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ hình −1 chiếu d mp ( P ) Lời giải Vì d khơng song với mp ( P ) , gọi I = d ∩ ( P ) ⇒ I ( t ; − + 2t ; − t ) Mặt khác đường thẳng d : = I ∈ ( P ) ⇒ t − + 2t + − t − = ⇔ t = ⇒ I ( 1;1;1) uur Lấy M ( 0; − 1; ) ∈ d nP = ( 1;1;1) Viết phương trình d ' đường thẳng qua M x = t '  vng góc ( P ) ⇒  d :  y = −1 + t Gọi H hình chiếu M lên ( P ) ⇒ H giao z = + t  điểm d (P), có tọa độ nghiệm hệ phương trình d (P) Ta có H ( t ; − + t ; + t ) ∈ d ' , H ∈ ( P ) ⇒ t − + t + + t − = ⇔ t =  −1  ⇒ H ; ; ÷  3 3 14 uuu r  −1 −4  r ⇒ IH =  ; ; ÷ = − (1; 4; −5) Chọn vtcp u∆ = ( 1; 4; − ) Đường thẳng ∆ qua  3 3 x = 1+ t r  I ( 1;1;1) có vtcp u∆ = ( 1; 4; − ) có phương trình :  y = + 4t  z = − 5t  Nhận xét Giáo viên hướng dẫn học sinh nhà tham khảo cách khác như: Gọi ( Q ) chứa d và vuông góc với ( P ) đó ∆ là giao tuyến ( Q ) và ( P ) Bài toán 20 Viết đường thẳng ∆ đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ( P) Hướng dẫn cách giải: Xét vị trí tương đới đường thẳng d và ( P) - Nếu d P( P ) d M Chọn điểm M d Tìm H là hình chiếu M lên ( P ) Tìm M ′ đới xứng với M qua ( P ) r P r M′ Vtcp u∆ phương với ud - Nếu d ∩ ( P ) = I Chọn điểm M d Tìm H là hình chiếu M lên ( P ) ( P ) Tìm M ′ đới xứng với M qua uuuu r r Vtcp u∆ phương với IM ' Quay bài toán H M P I ∆ d H M′ ∆ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = đường x +4 y - z - = = Viết phương trình đường thẳng D đối xứng với - - đường thẳng d qua mặt phẳng ( α ) Lời giải thẳng d : Vì d không song song với mp ( α ) Gọi I giao điểm d ( α ) nên tọa độ  x = −4 + 3t  y = − 6t  điểm I nghiệm hệ:  z = − t Giải hệ ta I (−22;39;8)   2 x + y + z − = Lấy M ( −4;3; ) ∈ d , gọi đường thẳng d ' qua M vng góc với ( α ) Suy  x = −4 + 2t  phương trình đường thẳng d  y = + t Gọi H hình chiếu M lên z = + t  ' 15  x = −4 + 2t y = 3+ t  mp ( α ) Þ H = d ' Ç (α ) tọa độ điểm H nghiệm hệ:  giải hệ ta z = + t  2 x + y + z − = H (−2; 4;3) Gọi M ' đối xứng với M qua ( α ) ⇔ H trung điểm MM ' uuuur ⇒ M ' ( 0;5; ) ⇒ M ' I = ( 22; −34; −4 ) Đường thẳng ∆ qua điểm M ' ( 0;5; ) , vtcp r x y- z- u∆ ( 11; −17; −2 ) có phương trình là: = = 11 - 17 - Dạng Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến góc khoảng cách Đây là bài toán khó có lời giải phức tạp thường gặp đề thi HSG và câu vận dụng đề thi THPT q́c gia Bài tốn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M nằm mặt phẳng (P) vng góc với d biết khoảng cách từ M đến ∆ k (k > ) Hướng dẫn cách giải: Đường ∆ nằm (P), vuông góc với d nên ∆ có vtcp → → phương với uP , nd  Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc M ∆    MH ⊥ ∆  đó từ hệ  MH = k tìm điểm H Quay bài tốn  H ∈ ( P)  Ví dụ.Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = x − y + z +1 = = cắt đường thẳng d : M Viết phương trình đường thẳng ∆ −1 nằm ( P) , vng góc với d cho khoảng cách từ M tới ∆ 42 Lời giải x =  x − y + z +1 = =   −1 ⇔  y = −3 M (1; −3;0) Ta có Tọa độ M nghiệm hệ:   x + y + z + = z =  r r ud = ( 2;1; − 1) ,và nP = ( 1;1;1) Vì ∆ nằm ( P ) , vng góc với d nên ∆ có r →  vtcp ud , nP  = (2; −3;1) Gọi H (a; b; c) hình chiếu vng góc M ∆   uuuur MH = (a − 1; b + 3; c ) , mặt khác MH ⊥ ∆ MH = 42 nên ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42  x + y + z + = Giải hệ tìm điểm H (5; −2; −5) H (−3; −4;5) 2 x − y + z − 11 =  x−5 = x+3 = Với H (−3; −4;5) ta có ∆ : Với H (5; −2; −5) ta có ∆ : y+2 = −3 y+4 = −3 z +5 z −5 Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với mặt phẳng (α ) (hoặc nằm (α ) ; vng góc với ∆ ) cho khoảng cách 16 từ B đến đường thẳng d nhỏ Hướng dẫn cách giải Cách 1:Viết phương trình (P) qua A và song song (α ) Gọi K là hình chiếu vng góc B (P), Gọi H là hình chiếu vng góc B d Ta có BK ⊥ KH nên BH ≥ BK khoảng cách BH nhỏ B BK H trùng K hay đường thẳng d qua A và K → r uuu r → Cách 2: - Tìm vtpt n (P), tính n1 =  n, AB  d   r u r r P K AH - Vtcp ud phương với  n, n1  Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d nằm (α ) khơng cần viết (P) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng ( P) : x − y + z − = hai điểm A(1;1;0) ; B(2; −1;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với ( P) , cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Lời giải Mp (Q ) chứa d qua A ( d ⊥ ( P ) mp (Q) Pmp ( P) ) có pt ( P ) : x − y + z = Gọi K hình chiếu vng góc B (Q) đường thẳng BK qua B nhận → nQ (1; −1;1) x = + t  làm vtcp có phương trình:  y = −1 − t Tọa độ K nghiệm hệ z = + t   x = + t x = /  y = −1 − t  −1  ⇔  y = 1/ ⇒ K ( ; ; ) Gọi H hình chiếu vng góc B  3 z = 1+ t  −1  x − y + z = z =  d ta có BH ≥ BK dấu xảy H trùng K hay đường thẳng d qua A −− → r AK = − (1;2;1) Chọn vtcp d ud = ( 1; 2;1) K Ta có x = + t r  Đường thẳng d qua A(1;1;0) vtcp ud = ( 1; 2;1) có phương trình là:  y = + 2t z = t  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (α ) nằm (α ) ) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn B Hướng dẫn cách giải ∆ - Viết phương trình mp( P) qua A và vuông góc với ∆ mp ( P ) - Gọi K là hình chiếu vng góc B , d d K Gọi H là hình chiếu vuông góc B P A H - Ta thấy BH ≤ BA khoảng cách BH lớn AB H trùng A hay đường thẳng d qua A và vuông góc ( ABK ) Cách khác Đường thẳng d qua A vuông góc với AB và ∆ Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1) 17 x −1 y − z = = Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ 1 qua A vng góc với d cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn đường thẳng d : Lời giải Gọi ( P) qua A vng góc với d có phương trình là: x + y + z − = Gọi H hình chiếu B ( P) , đường thẳng BH qua B vng góc ( P)  x = + 2t  có phương trình:  y = + t Gọi H giao điểm BH ( P) , tọa độ điểm z = + t   x = + 2t y = 1+ t 1  ⇒ H (1; ; ) H nghiệm hệ:  2 z = + t  2 x + y + z − = Gọi K hình chiếu H ∆ suy BK ⊥ ∆ , d ( B; ∆) = BK mà BK ≤ AB (không đổi) nên BK lớn AB K trùng A Do ∆ đường thẳng uuur r qua A vng góc với ( ABH ) nên ∆ có vtcp  AB, v  = (−1;1;1) ; (trong → x −1 y −1 z v = HA = (0;1;−1) ) Khi ∆ có phương trình tắc : − = = Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A nằm mp( P) cho khoảng cách đường thẳng d đường thẳng ∆ lớn (đường thẳng ∆ không song song với ( P) , không nằm ( P) , không qua điểm A ) Hướng dẫn cách giải: -Gọi d’ là đường thẳng qua A và song song với ∆ và B là giao điểm ∆ với ( P ) Gọi H là hình chiếu vng góc B mặt phẳng (d’,d) ∆ d’ Khoảng cách d và ∆ BH -Gọi C là hình chiếu vng góc B d ' Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn và H ≡ C C H r  → uuur  u d -Khi đó đường thẳng qua A , d phương  nP , BC    P B A d Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng x − y +1 z −1 = = −1 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A nằm ( P) khoảng cách đường thẳng d ∆ lớn ( P ) : x − y − z + = , điểm A(−1;1; −1) đường thẳng ∆ : Lời giải x +1 y −1 z +1 = = , −1 ( P) nên tọa độ điểm H nghiệm hệ: Gọi d ' qua A song song với ∆ , d ' có phương trình: H giao điểm d '  x + y − z+ = =  ⇔ −1 (*) Giải hệ (*) ta B (−1; 2; −2) Ta có 2x − y − z + =  → nP = (2; −1; −1) Gọi H hình chiếu vng góc B mặt phẳng (d ; d ' ) , ∆ song song 18 với mặt phẳng (d ; d ' ) nên khoảng cách d ∆ BH Gọi C hình −5 −5 ; ; ) Ta thấy BH ≤ BC , nên 3 r  → uuur  BH lớn H ≡ C  nP , BC  = − (1;0; 2) , ta chọn ud = (1;0; 2)   chiếu vng góc B d ' tìm C (  x = −1 + t r  Đường thẳng d qua A(−1;1; −1) , ud = (1;0; 2) có phương trình là:  y =  z = −1 + 2t  Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm (P) tạo với đường thẳng ∆ góc bé nhất, lớn (đường thẳng ∆ không song song hay nằm (P)) Hướng dẫn cách giải: -Gọi d ' qua A song song với ∆ Trên d ' lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vng góc B d và ( P) theo thứ tự là H và K BH BK ≥ AB AB Vậy (d, ∆ ) nhỏ ⇔ H ≡ K , và d ≡ AH ∆ Ta có: (d, ∆ ) = BAH; sin(d, ∆ ) = →  → → → → -Vtcp ud phương  nP , u  (trong đó u = nP , u∆  )     → ' A d P B K d H → Còn đường thẳng d tạo với ∆ góc lớn 900; vtcp ud phương → →  nP , u∆  Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − = ; y −1 z = Viết phương trình đường thẳng d ( P ) qua A nằm cho góc đường thẳng d ∆ nhỏ x điểm A(1;1; −1) đường thẳng ∆ : = Lời giải x −1 y −1 z + = = Gọi d1 đường thẳng qua A song song với ∆ ta có: d1 : , lấy B (2;3;0) ∈ d ( P ) d điểm theo thứ tự , gọi hình chiếu vng góc B H K góc đường thẳng d ∆ nhỏ H ≡ K , hay d uuur −4 1 đường thẳng AK , giải tìm K ( ; ; ) ⇒ AK = (− ; ; − ) = − (1; −2;1) 3 3 3 r x −1 y −1 z +1 = = Đường thẳng d qua A(1;1; −1) , vtcp ud = (1; −2;1) có pt là: −2 2.3.2 Bài tập vận dụng Bài Trong không gian Oxyz, Viết phương trình tham số đường thẳng r qua điểm M ( 2;0; −1) có véctơ phương a = ( 2; −3;1) Bài Trong không gian Oxyz , cho E (−1;0; 2) F (2;1; −5) Viết phương trình đường thẳng qua E; F Bài 3.Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( 3;1; ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z + = 19 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 1; −1;3) hai đường x − y + z −1 x − y + z −1 = = = = , d2 : Viết phương trình đường −1 3 −1 thẳng d qua A , vng góc với đường thẳng d1 cắt thẳng d Bài Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm thẳng d1 : x = t  x y −1 z + M ( 1; −1; ) vuông góc với hai đường thẳng d :  y = −1 − 4t , d ′ : = = −5  z = + 6t  Bài Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình ∆ nằm ( P ) : 3x + y + z = cắt vng góc với đường thẳng d : x −1 y z + = = −2 Bài 7.Trong không gian Oxyz , viết đường thẳng vng góc với ïìï x =- + t x - y +1 z ï = = d : í y =- ( P) : x + y + z - = , cắt hai đường thẳng d1 : ïï - 1 ïïỵ z =- t Bài 9.Trong không gian Oxyz cho mp ( P ) : x + y + z − = viết phương trình đường nằm mp ( P ) cắt vng góc với đường thẳng d : x + = y = z + Bài 10.Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1; − 3; ) , đường thẳng x+2 y −5 z −2 = = mặt phẳng ( P ) : x + z − = Viết phương trình đường −5 −1 thẳng ∆ qua M vng góc với d song song với ( P ) d: Bài 11.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −2;3) hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = , ( Q ) : x − y + z − = Viết phương trình trình đường thẳng qua A , song song với ( P ) ( Q ) Bài 12.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = x + y − z +1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ hình −2 chiếu vng góc d ( P ) Bài 13.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; −1; −1) ; B(2;1;0) mặt phẳng đường thẳng d : ( P ) : x + y − z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A nằm ( P ) cho khoảng cách từ B đến d nhỏ x −1 y − z = = hai điểm Bài 14 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 1 A(1;1;0) ; B (2;1;1) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A vng góc với d cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ lớn Bài 15 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = , đường thẳng x y −1 z d: = = điểm A(1; −2; −1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A mp ( P ) cho góc đường thẳng d ∆ nhỏ nằm 20 2.4 Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học Trong năm học 2021 – 2022 triển khai áp dụng nội dung sáng kiến hai lớp 12M 12P trường THPT Ba Đình mà tơi trực tiếp giảng dạy, lớp 10 em học sinh có lực trung bình trở lên ( làm kiểm tra chưa áp dụng đề tài này) giải tập sau 10 phút Bài 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường r thẳng qua điểm A ( 1; 2; 3) có véctơ phương u = ( 2; −1; −2 ) Bài 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 1; − 3; ) , đường thẳng x+2 y −5 z −2 = = mặt phẳng ( P ) : x + z − = Viết phương trình −5 −1 đường thẳng ∆ qua M vng góc với d song song với ( P ) d: Qua quan sát thấy em hứng thú, tự tin làm nghiêm túc, hoàn thành nhanh, hầu hết nộp khoảng thời gian từ 5-7 phút với kết sau: Lớp Số học sinh làm Số học sinh làm 12M (10HS) 10/10 (Chiếm 100%) 9/10 (Chiếm 90%) 12P (10HS) 10/10 (Chiếm 100%) 8/10(Chiếm 80%) Đây kết phấn khởi, phần khẳng định đề tài có tác dụng trang bị cho em hệ thống kiến thức, kỹ giải tốn viết phương trình đường thẳng hình học tọa độ khơng gian cách nhanh gọn xác Giúp em tự tin kỳ thi tốt nghiệp THPT tới KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Đề tài “Hướng dẫn học sinh cách giải tốn viết phương trình đường thẳng hình học khơng gian” xuất phát từ thực tế công tác giảng dạy thân quá trình học tập học sinh Đây kỹ hữu ích giúp học sinh biết chuyển toán từ lạ thành quen, từ tưởng phức tạp thành toán đơn giản để giải đặc biệt làm cho học sinh cảm thấy hứng thú say mê học tập Dạng toán chuyên đề quan trọng giúp cho giáo viên luyện thi tốt nghiệp THPT hàng năm Kiến nghị Đề tài tài liệu bổ ích q trình dạy - học ôn thi tốt nghiệp THPT thân tôi, mong phổ biến rộng rãi học sinh đồng nghiệp Mặc dù thân tâm huyết với đề tài, thời gian nghiên cứu hạn chế, thân kinh nghiệm chưa nhiều nên viết không tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý chân thành quý Thầy Cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 21 Mai Thị Hồng 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục Việt Nam - Năm 2011 Chun đề dạng tốn phương trình đường thẳng hình học toạ độ khơng gian - Đặng Việt Đông (Chủ biên) - THPT Nho Quan A - Ninh Bình Tài liệu ơn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2021 2022 - Nguyễn Bảo Vương - https://www.facebook.com/phong.baovuong Báo toán học tuổi trẻ Một số toán, viết mạng, thư viện Violet Đề thức, đề minh họa BGD, Sở, đề thi khảo sát trường THPT nước 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Thị Hồng Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên trường THPT Ba Đình Tên đề tài SKKN 11 2 3 44 Phát huy tính tích cực sáng tạo chủ động cho học sinh thơng qua việc giải tốn cực trị chương trình tốn 12 Phương pháp”lượng giác hóa“ để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Kỹ thuật tìm hàm đặc trưng để giải số phương trình chương trình tốn THPT Sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp tỉnh C 2008-2009 Cấp tỉnh C 2012-2013 Cấp tỉnh C 2014-2015 Cấp tỉnh C 2019 - 2020 ... 2.3.1 Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm, có véctơ phương cho trực tiếp cho gián tiếp Bài toán Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm... = Bài toán Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A nằm mp( P) cho khoảng cách đường thẳng d đường thẳng ∆ lớn (đường thẳng ∆ không song song với ( P) , không nằm ( P) , không qua điểm A ) Hướng. .. −5) Viết phương trình đường thẳng qua E; F Bài 3 .Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( 3;1; ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z + = 19 Bài Trong không gian