SKKN rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Theo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Thông qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành phát triển lực toán học Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.Tùy vào đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt khối lớp, lực toán học học sinh biểu mức độ khác Dạy học theo hướng phát triển lực học sinh chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết làm gì” tình bối cảnh khác Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân “Phương pháp tọa độ không gian” phần kiến thức trọng tâm Hình học lớp 12 nội dung xuất nhiều đề thi THPT Quốc gia thi tốt nghiệp Việc giải toán phương pháp tọa độ khơng gian nói chung giải tốn viết phương trình đường thẳng nói riêng chứa đựng tiềm lớn việc phát triển, rèn luyện lực tư lập luận toán học cho học sinh Với lí trên, tơi lựa chọn đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xn qua tốn viết phương trình đường thẳng không gian Oxyz” để nghiên cứu, áp dụng vào giảng dạy nhằm phần đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường 1.2 Mục đích nghiên cứu - Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua việc phân loại tìm lời giải cho tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian với hệ tọa độ Oxyz 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tập viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz nằm chương trình tốn học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa, nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trình đường thẳng khơng gian - Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy học phân mơn Hình học THPT rút số nhận xét phương pháp giúp học sinh rèn luyện lực tư lập luận toán học - Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khả tiếp thu kiến thức lực tư toán học học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Khái niệm lực tư lập luận toán học Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Tốn, lực tư lập luận toán học học sinh cấp trung học phổ thông thể qua việc: - Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát - Sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề - Nêu trả lời câu hỏi lập luận, giải vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học 2.2.2 Phát triển lực tư lập luận toán học qua toán viết phương trình đường thẳng Khi giải tốn viết phương trình đường thẳng, lực tư lập luận toán học học sinh thể việc: - Trước hết học sinh cần nắm quy tắc : muốn viết phương trình đường thẳng cần biết hai yếu tố điểm thuộc đường thẳng vectơ phương đường thẳng - Biết phân tích, so sánh tìm điểm giống nhau, khác dạng toán với quy tắc trên; xác định yếu tố biết gì, yếu tố cần tìm tìm - Căn vào kiến thức hình học khơng gian, phương pháp tọa độ không gian học, lập luận để giải vấn đề, đưa toán từ lạ quen 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy trường THPT Thường Xuân 2, nhận thấy đa số em học sinh nhà trường học yếu mơn tự nhiên, đặc biệt mơn Tốn Trong trình học, em thường lúng túng phải giải tốn địi hỏi khả tư lập luận toán học Chẳng hạn, tốn viết phương trình đường thẳng em viết phương trình đường thẳng giả thiết cho cụ thể điểm thuộc đường thẳng vectơ phương, gặp khó khăn tốn u cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện đó, em khơng biết cách phân tích, lập luận để tìm hướng giải Từ thực trạng trên, áp dụng đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân qua toán viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp em khắc phục điểm yếu học mảng kiến thức 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp: - Hệ thống số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng; quan hệ song song quan hệ vng góc khơng gian - Phân loại hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz - Triển khai dạy lớp kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề Nội dung giải pháp: 2.3.1 Kiến thức 1) Khái niệmuu vectơ phương đường thẳng r Vectơ ud khác vectơ-không gọi vectơ phương (VTCP) uu r đường thẳng d giá ud song song trùng với đường thẳng d 2) Khái niệmuu vectơ ur pháp tuyến mặt phẳng n Vectơ  P  khác vectơ-không gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) uuur n mặt phẳng  P  giá  P vng góc với mặt phẳng  P  3) Quan hệ song song quan hệ vuông góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng uu r uu r u  k u (k �0) d  +) Nếu d / / uu rthìuu r uu r uu r � ud u  +) d   � ud  u u u r uuur u  k n  P  ( k �0) ) Nếu d   P  d + uu r uuur uu r uuur d / /  P  ud  n P � ud n P   +) Nếu +) Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  đường uu r uuur uuur u � n ;n � thẳng d song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  d � P  Q � +) Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng d1 , d uu r uur uur ud  � ud1 ; ud � � � 4) Phương trình đường thẳng không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTCP uu r ud  (u1;u ;u ) Khi đó: �x  x0  u1t � d : �y  y0  u2t (t �R) �z  z  u t � a Phương trình tham số đường thẳng d: x  x0 y  y0 z  z0   u1 u2 u3 b Phương trình tắc đường thẳng (với a1 �0; a2 �0; a3 �0 ) 2.32 Phân loại tìm cách giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Oxyz Dạng 1: Viết uphương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ u r phương ud  (u1;u ;u ) Cách giải: Phương trình tham số đường thẳng d có dạng: �x  x0  u1t � �y  y0  u2t �z  z  u t � với t �R Nếu u1, u ,u �0 đường thẳng d có phương trình tắc là: x  x0 y  y0 z  z0   u1 u2 u3 Nhận xét: Để viết phương trình đường thẳng dạng tham số (hoặc tắc ) cần biết hai yếu tố biết điểm thuộc đường thẳng vectơ phương đường thẳng d Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình uu r tắc đường thẳng qua điểm M (3;2; 1) có vectơ phương ud  (2; 1;3) Giải: �x   2t � �y   t , t �R � Phương trình tham số đường thẳng d : �z  1  3t x  y  z 1   1 Phương trình tắc đường thẳng d : Bài tập tương tự: Cho đường thẳng  qua điểm M (2;0; 1) có vectơ r phương a  (4; 6;2) Phương trình tham số  �x  2  4t �x  2  2t �x   2t �x   2t � � � � �y  6t �y  3t �y  3t �y  6  3t � � � � A �z   2t B �z   t C �z  1  t D �z   t (BT SGK Hình học 12 tr96) Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A  x A ; y A ; z A  B  xB ; y B ; z B  Ở dạng 2, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng học sinh thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố biết (điểm thuộc đường thẳng điểm A điểm B ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng dạng 1: Từ định nghĩa VTCP uu r đường uuu r thẳng ta nhận thấy đường thẳng d qua hai điểm A, B nên có VTCP ud  AB - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uuu r u  AB - Tìm vectơ phương: d A điểm B có VTCP uu r -uuViết u r phương trình đường thẳng qua điểm ud  AB Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm A(1;3; 2), B(4;2; 3) Giải: Đường thẳng d qua hai điểm A(1;3; 2), B(4;2; 3) có vectơ uu r uuu r u  AB  (5; 1; 1) Khi phương trình tham số d là: phương d �x  1  5t � , t �R �y   t �z   t � Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A(1;2; 1) B (2; 1;1) có phương trình tham số là: �x   t � �y   3t � A �z  1  2t �x   t � �y   3t � B �z   2t �x   t �x   t � � �y  3  2t �y   2t � � C �z   t D �z  t (Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021) Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  x A ; y A ; z A  song song với đường thẳng  cho trước Ở dạng 3, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố đường thẳng điểm A ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa d song song với đường thẳng  biết, từ đưa dạng uu r dạng 1: Đường thẳng uu r u  VTCP ud đường thẳng d , tức ta nên ta có VTCP uu r uu r u  u  chọn d - Nêu cách giải dạng Cách giải: uur u  xác định VTCP  , từ suy VTCP - Từ phương trìnhuu đường r uu r thẳng đường thẳng d ud  u r u - Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP d Ví dụ 3: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(1;3; 2) �x   2t � �y   t , t �R � song song với đường thẳng  có phương trình �z  1  3t Giải: uu r uu r u  u    2; 1;3 Do đường thẳng d song song với  nên ta có: d �x  1  2t � , t �R �y   t � Phương trình tham số d : �z  2  3t Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) C (2;3;1) Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình x 1 y  z   1 A x 1 y  z   B x 1 y  z   C x 1 y  z   1 D (Mã đề 103 –TN THPT - 2020) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với mặt phẳng  P  cho trước Ở dạng 4, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố đường thẳng điểm A ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Từ hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ d vng góc với mặt phẳng  P  nên ta đưa dạng dạng 1: Đường thẳng uuur uu r n P P   u có VTPT VTCP d đường thẳng d , tức ta uu r uu r chọn ud  u - Nêu cách giải dạng Cách giải: uuur n  P  xác định VTPT  P , từ suy - Từ phương trình mặtuu rphẳng uuur u  n P  VTCP đường thẳng d d r u - Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP d Ví dụ 4: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(1;3; 2) vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  3z   Giải: uuu r uuur Do (d )  ( P) � u( d )  n( P )  (2; 1;3) �x  1  2t � d : �y   t , t �R �z  2  3t � Phương trình tham số Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình đường thẳng qua điểm A(2;3;0) vng góc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   0? �x   3t � �y  3t � A �z   t �x   t � �y  3t � B �z   t �x   t � �y   3t � C �z   t �x   3t � �y  3t � D �z   t ( Mã đề 101 THPT.QG - 2017) Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với hai đường thẳng khơng song song d1 , d cho trước Ở dạng 5, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố đường thẳng điểm A ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng dạng 1: Đường thẳng duurvuông thẳng d1 , d nên ta uur góc với hai đường uu r ud1 , ud2 u có tích có hướng hai VTCP VTCP d đường thẳng d uu r uur uur u � u ;u � , tức ta chọn d �d1 d2 � - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uur uur u � u ;u � - Xác định VTCP đường thẳng d d �d1 d2 � r u - Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP d Ví dụ 5: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(1;3; 2) vng góc với hai đường thẳng: �x  1  2t � d1 : �y   t , t �R x 1 y  z  d2 :   �z  2  3t � 1 1 Giải: uur uur u  (2;  1;3) u  (5; 1; 1) Đường thẳng d1 có VTCP d ; d có VTCP d uu r uuu r uur � � � VTCP u  u d d � , u d2 � (4;17;3) Do d vng góc với d1 d �x  1  4t � d : �y   17t , t �R �z  2  3t � Vậy phương trình tham số đường thẳng Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1;3) hai đường x 1 y  z 1 � x 1 y z :   , :   1 2 Phương trình thẳng � phương trình đường thẳng qua M vng góc với   ? �x  1  t �x  t �x  1  t � � � �y   t �y   t �y   t �z   3t � � A � B �z   t C �z   t �x  1  t � �y   t � D �z   t ( Mã đề 101, THPTQ G-2017 ) Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , vng góc cắt đường thẳng d1 cho trước Ở dạng 6, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố đường thẳng điểm A ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng dạng 2: Giả sử đường thẳng d cắt d1 điểm M Do d  d ' nên uuuu r uur uuuu r uur AM  ud ' � AM ud '  Từ đó, tìm tọa độ điểm M viết phương trình đường thẳng d dạng - Nêu cách giải dạng Cách giải: uuuu r uur AM ud '  Từ d d ' M � d ' d  d ' - Giả sử cắt điểm Do nên M suy tọa độ điểm - Viết phương trình đường thẳng d qua A, M dạng Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  1;1;1 , cắt �x   2t � d' : �y   t �z  1  t � vng góc với đường thẳng Giải: uur u  2; 1;1 Đường thẳng d ' có VTCP: d '  Giả sử d cắt d ' điểm M   2t ;2  t; 1  t  �d ' Khi đó: 1� uuuu r uur �M� uuuu r 2; ;  � � AM u  � t  d' AM   2t;1  t; 2  t  � 2� Do d  d ' nên Đường thẳng d qua uu r uuuu r � 3� ud  AM  � 1; ;    2;1; 3 � 2� � A  1;1;1 � 1� M �2; ;  � � 2 � có VTCP x 1 y 1 z 1   3 Phương trình d là: Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1;3) đường thẳng x  y 1 z  d:   2 Đường thẳng qua A , vng góc với d cắt trục Oy có phương trình �x  2t �x   2t �x   2t �x  2t � � � � �y  3  4t �y   t �y   3t �y  3  3t �z  3t �z   3t �z   2t � A � B � C � D �z  2t (Mã đề 102 THPT.QG - 2018) ạng 7: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A song song với D hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho trước Ở dạng 7, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết (điểm thuộc - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố đường thẳng điểm A ); yếu tố chưa biết (vectơ phương đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa  P  ,  Q  nên ta dạng dạng 1: Đường thẳng duusong song với hai mặt phẳng ur uuur uu r n P , n Q u có tích có hướng hai VTPT VTCP d đường thẳng uu r uuur uuur � n P ; n Q � � d , tức ta chọn ud  � - Nêu cách giải dạng Cách giải: uu r uuur uuur ud  � n P ; n Q � � � - Xác định VTCP đường thẳng d r u - Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP d 10 Ví dụ 7: Viết ptts đường thẳng d qua điểm A(1;3; 2) song song với hai mặt phẳng:  P  : x  y  z   ;  Q  :  x  y  z  Giải: Mặt phẳng  P  có VTPT uuu r n P  (1;1;1) Do d song song với hai mp ;  Q  có VTPT uuu r n Q  (2;1; 1) uu r uuu r uuur � � � VTCP u  n  P ,  Q d �(P) , n(Q) � (2; 1;3) �x  1  2t � d : �y   t , t �R �z  2  3t � Vậy phương trình tham số Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   0,(Q) : x  y  z   Phương trình phương trình đường thẳng qua A , song song với ( P) (Q) ? �x  1  t �x  �x   2t �x   t � � � � �y  �y  2 �y  2 �y  2 � � � � A �z  3  t B �z   2t C �z   2t D �z   t ( Mã đề 102 THPT.QG - 2017) d Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng  P ,  Q Ở dạng 8, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa biết; yếu tố chưa - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa Do đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  dạng dạng 1: uu r P , Q     u d thuộc hai mặt phẳng VTCP d nên điểm thuộc uuur uuur n , n đường thẳng d vng góc với hai VTPT  P  Q hai mặt phẳng hay ta có uu r uuur uuur � ud  � n � P ; n Q � thể chọn - Nêu cách giải dạng Cách giải: 11 - Xác định VTCP đường thẳng d uu r uuur uuur ud  � n P ; n Q � � � - Chọn điểm A thuộc hai mặt phẳng  P  ,  Q  r ud - Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP d Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) : x  y  z   0; (Q) : x  y  z   Giải: uuur uuur n  1;2;  , n    Q    2; 1;1 Mặt phẳng  P  ,  Q  có VTPT là:  P uu r uuur uuur u � n ; n �  1; 3; 5 Khi đó, VTCP đường thẳng d d � P  Q  � Mặt khác, ta có điểm A  0;0;3 điểmr thuộc hai mặt phẳng  P  ,  Q  nên A thuộc d Vậy, d qua A có VTCP u d   1; 3; 5 có ptts là: �x  t � �y  3t , t �R �z   5t � Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P) : 3x  y   0; (Q) : x  y  z   Dạng 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng  P  ( d khơng vng góc với  P  ) Ở dạng 9, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng dạng để xác định yếu tố biết; yếu tố chưa đường thẳng) biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP - Từ hình vẽ phân tích giả thiết cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng dạng 8: Do đường thẳng d ' hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  P  nên d ' giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  với  Q  mặt phẳng chứa d vng góc với  P  - Nêu cách giải dạng Cách giải: - Lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa d vng góc với  P  12 - Do d '   P  � Q  nên ta tìm VTCP viết phương trình đường thẳng d ' theo dạng Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc d ' đường thẳng d có �x   2t � �y   t � phương trình �z  1  t lên mặt phẳng (P) : x  y  z   Giải: uu r M 3;0;    u Đường thẳng d qua có VTCP d  (2; 1;1) uuu r điểm n  (1; 2;1) Mp  P  có VTPT  P Mp  Q  chứa d vng góc với  P  nên  Q  qua điểm M  3;0; 1 uuur uu r uuur � n Q  � u �d ; n P �  1; 1; 3 � ptmp  Q  : x  y  3z   cóVTPT Do đường thẳng d ' hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  P  nên d ' giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  uur uuur uuur ud '  � n P ; n Q � � �  7;4;1 Khi đó, VTCP đường thẳng d ' Mặt khác, ta có điểm A  11; 5;0 điểm thuộc hai mặt phẳng  P  ,  Q  nên A thuộc d ' Vậy đường thẳng d ' có phương trình tham số là: �x  11  7t � �y  5  4t , t �R �z  t � Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   x y 1 z    1 Hình chiếu vng góc d ( P ) đường thẳng x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1     4 2 1 A 1 B x 1 y 1 z 1 x 1 y  z       1 C D (Đề minh họa THPTQG- 2019) d Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d d: 13 Ở dạng 10, GV phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 10 dạng để xác định yếu tố biết ( điểm thuộc đường thẳng); yếu tố chưa biết ( VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 10 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: d ,d Do đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường thẳng nên d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  với  P  mặt phẳng chứa A, d1 ,  Q mặt phẳng chứa A, d +) Hướng 2: Giả thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d M , M uuuursửuuđường uuu r Khi đó: AM , AM phương - Nêu cách giải dạng 10 Cách giải: +) Cách 1: A, d Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa A, d1 ,  Q  mặt phẳng chứa Do d   P  � Q  nên ta tìm VTCP viết phương trình đường thẳng d theo dạng +) Cách 2: d cắt hai đường thẳng d1 , d M , M Giả sử đườnguuu thẳng ur uuuuu r t , t ' AM , AM phương, suy tọa độ điểm M , M Viết Tìm tham số để phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, M dạng Ví dụ 10: Viết phương trình tắc đường thẳng d qua điểm A  1;1;1 �x   2t x 1 y  z 1 � d1 : �y   t ; d :   �z  1  t � cắt hai đường thẳng Giải: uur u  (2; 1;1) Đường thẳng d1 qua điểm A1  1;2; 1 có VTCP udur u  (1;2;1) Đường thẳng d qua điểm A2  1;2;1 có VTCP d uuur uuur uur n � AA ; u �  1; 4; 2 � ptmp  P  Mp  P  chứa A, d1 có VTPT:  P � d1 � : x  y  z   14 uuur uuuu r uur � n  AA ; u �  1;2; 5 � ptmp  Q  Mp  Q  chứa A, d có VTPT:  Q � d2 � là: uu r uuu r uuur n P  ; n Q � x  y  z   Do d   P  � Q  nên VTCP ud  � � �  24;7; 2 uu r A 1;1;1 u  có VTCP d   24;7; 2 nên có phương Vậy, d qua điểm  x 1 y 1 z 1   24 2 trình tắc là: Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 , d Ở dạng 11, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 11 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 11 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: Do đường thẳng d song song với  cắt d1 nên có mặt phẳng  P  chứa d , d1 song song với  Tương tự, đường thẳng d song song với  cắt d nên có mặt phẳng  Q  chứa d , d song song với  Vậy: d   P  � Q  +) Hướng 2: uu r uu r u  u  Do d song song với  nên d d1 , d d Giả sử giaouđiểm u r uuuu uur đưởng thẳng với hai đường thẳng M , M Khi đó, ud , M 1M phương - Nêu cách giải dạng 11 Cách giải: +) Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng  P  song song với  chứa d1 ,  Q  song song với  chứa d Khi đó: d   P  � Q  nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng viết phương trình đường thẳng d theo dạng 15 +) Cách 2: uu r uu r u  u Lấy M , M thuộc d d  Xác định VTCP đường thẳnguu là: r uuuuuur d1 , d Tìm tham số t , t ' để hai vectơ ud , M 1M phương, từ suy tọa d qua điểm M ( điểm độ điểm M , M Viết uu r phương trình đường thẳng M ) có VTCP ud �x   2t �  : �y   t �z  1  t � Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với d1 : x 1 y  z 1   ; d2 : x y 1 z    1 cắt hai đường thẳng Giải: Mặt phẳng  P  song song với  chứa d1 qua điểm A1  1;2;1 có uuur uu r uur � n P  � u � ; ud1 �  3; 1;5 � ptmp  P  :  3x  y  5z   VTPT Mặt phẳng  Q  song song với  chứa d qua điểm A2  0; 1;3 uuur uu r uur � n Q  � u � ; ud2 �  3; 5;1 � ptmp  Q  :  3x  5y  z   có VTPT �4 � A�  ;  ;0� d  P � Q �     �và có VTCP Đường thẳng nên qua điểm uu r uuur uuur ud  � n P ; n Q � � �  24; 12;12   2; 1;1 Vậy, phương trình đường thẳng 4 x y 9  z d: 1 Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d Ở dạng 12, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 12 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) 16 - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 12 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: Do đường thẳng d vng góc với  P  cắt d1 nên có mặt phẳng  Q  chứa d , d1 vng góc với  P  Tương tự, đường thẳng d vng góc với  P cắt d nên có mặt phẳng  R  chứa d , d vng góc với  P  Vậy: d   Q  � R  +) Hướng 2:  uu r uuu r ud  n   Do d vng góc với nên VTCP Giả sử giao điểm d với hai đường thẳng d1 , d M , M Khi đó: đường uu r uuuuuthẳng ur ud , M 1M phương - Nêu cách giải dạng 12 Cách giải: +) Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng  Q  vng góc với  P  chứa d1 ,  R  mặt phẳng vng góc với  P  chứa d Khi đó: d   Q  � R  nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng viết phương trình đường thẳng d theo dạng +) Cách 2: uu r uuu r u  n  Xác định VTCP đường thẳng d là: d Lấy hai điểm M , M thuộc d1 , d Tìm tham số t , t ' để hai vectơ uu r uuuuuur ud , M 1M phương, từ suy tọa độ điểm M , M Viết phương trình uu r M M u đường thẳng d qua điểm ( điểm ) có VTCP d Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng �x   2t �x   t ' � � d : �y   t ' d1 : �y   t �z  1  t ' �z  1  t    : x  y  z   cắt hai đường thẳng � � ; Giải: uuu r n   1;1;1 Mặt phẳng    : x  y  z   có VTPT    d vng góc với mặt phẳng    : x  y  z   nên Đường thẳng uu r uuu r ud  n     1;1;1 có VTCP 17 , M Giả Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d M uu r   2t ;2  t ; 1  t  �d1; M   t ';1  t '; 1  t ' �d Suy ra, ud sửuuu : uM uur M 1M   t ' 2t  1; t ' t  1; t ' t  phương Khi đó: 11 � � 1� � t ' 2t  t ' t  t ' t 2; ;  �, M � ; ;  �   � t  ; t '   � M1 � � 2 � �4 4 � 1 y  z  x2 2  1 Vậy, ptđt d là: Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   hai x 1 y z 1 x  y z 1   , d2 :   2 1 Đường thẳng vng góc đường thẳng với ( P), đồng thời cắt d1 d có phương trình là: d1 : x3 y2 z2   2 1 A x 1 y z 1   2 1 C x  y  z 1   2 B x  y 1 z    1 D ( Đề tham khảo- THPTQG-2018) Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Ở dạng 13, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 13 dạng để xác định yếu tố biết ( chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 13 dạng dạng theo hướng: +) Hướng 1: Đường thẳng d đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d nên d vừa vng góc, vừa cắt d1 , d Do d giao tuyến hai mặt phẳng  P   Q  ,  P  chứa d1 d ,  Q  chứa d d 18 +) Hướng 2: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d M , M Do d đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d2 nên uur uuuuuur uuuur uuuuuur ud1  M 1M ; ud  M 1M Cách giải: +) Cách 1: uu r uur uur ud  � ud1 ; ud2 � � � Xác định VTCP đường thẳng d : Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d1 d ,  Q  chứa d d Khi đó: d   P  � Q  nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng viết phương trình đường thẳng d theo dạng +) Cách 2: Lấy hai điểm M , M thuộc hai đường thẳng d1 , d uur uuuuuur � u �d1 M 1M  � �uur uuuuuur uur uuuuuur uuuur uuuuuur ud2 M 1M  ud1  M 1M ; ud2  M 1M � t , t ' � Xác định tham số để Từ suy tọa độ điểm M , M Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm M , M dạng Ví dụ 13: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng �x   3t � d1 : �y  2  2t x 1 y 1 z  d2 :   �z  1  2t � uur u   3;2;2 d M 1;  2;  d   Giải: Ta có: qua điểm , có VTCP d1 qua uur u  2;3;1 điểm M  1; 1;5 , có VTCP d2  Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d2 uu r uur uur ud  � ud1 ; ud � � �  4;1;5 nên VTCP: Mặt phẳng  P  chứa d1 , d nên  P  qua điểm M  1; 2; 1 có uuur uu r uur � n P  � u �d ; ud1 �  8;23; 11 � ptmp  P  : 8 x  23 y  11z  43  VTPT: Mặt phẳng  Q  chứa d , d nên  Q  qua điểm M  1; 1;5 có uuur uu r uur � n Q   � u �d ; ud2 �  14;14; 14 � ptmp  Q  :  x  y  z   VTPT: 13� � 34 A�  ;0;  � �và có Đường thẳng d   P  � Q  nên qua điểm � uu r uuur uuur ud  � n P ; n Q � � �  12;3;15  3. 4;1;5 VTCP 19 34 � x    4t � � � pt d : �y  t � 13 �z    5t � �x   t ' � d' : �y   2t ' x 1 y  z d:   �z  � 1 Bài tập tương tự: Cho đường thẳng Viết phương trình đường vng góc chung d , d ' ( Bài 3.42- Sách BTHH12) Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt d ,d hai đường thẳng Ở dạng 14, GV phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua việc định hướng em thực nhiệm vụ sau: - Vẽ hình minh họa - So sánh dạng 14 dạng để xác định yếu tố biết (chưa có); yếu tố chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng VTCP đường thẳng) - Phân tích giả thiết cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đưa dạng 14 dạng 2: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d M , M Do d nằm mặt phẳng  P  nên M , M � P  , suy M , M giao điểm d1 , d2 mặt phẳng  P  Cách giải: - Xác định giao điểm M , M d1 , d mặt phẳng  P  - Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm M , M dạng Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d nằm  P  : x  y  z   x 1 y  z 1 x  y 1 z 1 d1 :   ; d2 :   1 1 1 1 cắt hai đường thẳng Giải: Điểm M giao điểm d1 mặt phẳng  P  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: 20 � �x  y  z   �x  � �x  y  �  � �y  � M  5;0; 3 � 1 �2 �z  3 � y  z  �  � �1 1 Tương tự, điểm M  2;1; 1 giao điểm d mặt phẳng  P   P  cắt d1 , d2 nên d qua M 1, M , d có Do d nằm mặt phẳng uuuuuur VTCP giao điểm M 1M   3;1;2 x5 y z 3   Vậy ptct d : 3 Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng  nằm    : y  z  �x   t �x   t ' � � d1 : �y  t ; d : �y   2t ' �z  4t �z  � � cắt hai đường thẳng ( Bài 3.32- Sách BTHH12) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với mục đích đề tài hướng tới đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình, trường THPT Thường Xuân khuôn khổ SKKN nên dạng tốn trình bày đề tài dạng bản, thường gặp sách giáo khoa, sách tập hay đề thi tốt nghiệp, thi THPT QG Các dạng tốn trình bày theo trình tự từ dễ đến khó; từ đến nâng cao Ở dạng tốn có phân tích, lập luận, nêu cách giải, ví dụ cụ thể tập tương tự nên phù hợp để học sinh phát triển lực tư lập luận toán học Đối với học sinh, hiệu sáng kiến kinh nghiệm mang lại thể việc: - Học sinh phát triển lực tư tốn học, có nhiều thay đổi tích cực kỹ giải tốn, biết phân tích, so sánh, lập luận sử dụng kiến thức học để giải vấn đề Học sinh hứng thú giải toán, kiến thức, kỹ mà em cịn lúng túng, mơ hồ trình bày cách tường minh, dễ hiểu - Kết kiểm tra nội dung viết phương trình đường thẳng có nhiều tiến sau em tiếp thu chuyên đề (kết thực nghiệm nêu phần phụ lục) Đối với thân, đề tài phần giúp thực mục tiêu đổi phương pháp dạy học, trọng đến việc phát triển phẩm chất, lực cho học sinh; góp phần giúp nhà trường nâng cao chất lượng giáo dục đại trà Kết luận kiến nghị 21 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy, học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải cho tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, kể tập dạng Sau triển khai đề tài học sinh làm tốt tập mức độ thông hiểu vận dụng sách giáo khoa đề thi tốt nghiệp Đặc biệt, lực tư lập luận toán học em cải thiện rõ rệt, giúp em tiếp thu hiệu kiến thức mơn Tốn môn học khác 3.2 Kiến nghị Với nội dung trình bày đề tài, tơi hy vọng đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh thầy cô giáo Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân trình thực việc đổi phương pháp dạy học đề tài không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thanh Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy ( Chủ biên) [2] Sách tập Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Nguyễn Mộng Hy ( Tổng chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên [3] Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đồn Quỳnh ( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương ( Chủ biên) [4] Sách tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) [5] Đề thi, đề minh họa thi THPT QG thi tốt nghiệp mơn Tốn từ năm 2017 đến năm 2021 22 23 ... Phát triển lực tư lập luận toán học qua toán viết phương trình đường thẳng Khi giải tốn viết phương trình đường thẳng, lực tư lập luận toán học học sinh thể việc: - Trước hết học sinh cần nắm... tích, lập luận để tìm hướng giải Từ thực trạng trên, áp dụng đề tài “ Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân qua toán viết phương trình đường thẳng khơng gian. .. thức lực tư toán học học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Khái niệm lực tư lập luận toán học Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Tốn, lực tư lập