(Skkn 2023) góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua bài toán hình học không gian

MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………… I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI………………………………………………… II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU…… Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… Phạm vi nghiên cứu………………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………… III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU…………………………………… IV CẤU TRÚC…………………………………………………………… V TÍNH MỚI…………………………………………………………… B NỘI DUNG……………………………………………………………… I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN…………………………………… Cơ sở lí luận………………………………………………………… 1.1 Khái niệm tư duy……………………………………………… 2.2 Năng lực tư lập luận toán học…………………………… Cơ sở thực tiễn……………………………………………………… II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN…………………………………………… Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết toán đẳng thức hình học quen thuộc…………………………………………………… Phân tích định hướng giải số tốn…………………………… Khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 3.1 Mục đich khảo sát……………………………………………… 3.2 Nội dung khảo sát……………………………………………… 3.3 Phương pháp khảo sát…………………………………………… 3.4 Đối tượng khảo sát……………………………………………… 3.4.1 Tính cấp thiết giải pháp đề xuất……………… 3.4.2 Tính khả thi giải pháp đề xuất…………………… Kết thực hiên…………………………………………………… C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT …………………………………………… I KẾT LUẬN…………………………………………………………… Các vấn đề giải quyết……………………………………………… Hướng phát triển……………………………………………………… II KIẾN NGHỊ………………………………………………………… Đối với giáo viên…………………………………………………… Đối với học sinh……………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… PHỤ LỤC…………………………………………………………………… 1 2 2 2 3 3 4 5 27 41 41 41 41 42 42 42 43 44 44 44 44 44 44 44 46 47 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong cơng Đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo đòi hỏi Giáo dục phổ thơng phải có “chuyển biến bản, tồn diện chất lượng hiệu quả; góp phần chuyển giáo dục nặng truyền thụ kiến thức sáng giáo dục phát triển toàn diện phẩm chất lực Trong xu hướng dạy học chuyển từ phương thức dạy học theo tiếp cận nội dung sang dạy học theo tiếp cận lực Ở trường THPT, mơn tốn có vai trị, vị trí quan trọng việc góp phần hình thành “phát triển toàn diện phẩm chất lực người học” Trong lực tốn học bao gồm thành tố: lực tư và lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện toán học Năng lực tư lập luận tốn học biểu thơng qua việc thực hành động sau: - So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lý trước kết luận - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện tốn học Trong q trình dạy học, nhiều thầy giáo để học sinh vị trí người giải toán sau thầy giáo đề Điều làm giảm tính sáng tạo học sinh Một thực tế phổ biến suy nghĩ học sinh đứng trước tốn, thường em nghĩ đến việc làm để giải tốn Và tìm cách giải, gần em không suy nghĩ toán tương tự, trường hợp đặc biệt hay tổng quát tốn nào, liệu cách giải tốn áp dụng cho tốn hay khơng, lại thế, Cũng lí này, em thường thấy toán dạng rời rạc mà khơng tìm tính hệ thống chúng Điều làm cho số em thiếu động lực q trình học tập mơn tốn, đặc biệt đứng trước tốn khó Với mục đích giúp em định hướng việc “bắc nhịp cầu nhỏ” toán đơn giản đến toán khó, từ tạo niềm tin, động lực việc học tốn, tơi xin nêu số giải pháp thơng qua việc kiến tạo tốn Trong chương trình Hình học 11, Hình học 12 THPT, chủ đề hình học khơng gian chủ đề trọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn cao Đặc biệt toán cực trị hình học khơng gian gây khơng khó khăn cho người học; toán loại xuất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 kỳ thi TN THPT, kỳ thi đánh giá lực (các trường đại học dùng để tuyển sinh) mức độ vận dụng đề thi Để học tốt chủ đề người học việc nắm vững hệ thống kiến thức cần có thêm nhiều kỹ giải, có lực tư lập luận tốn học Vì vậy, trình dạy học, người dạy biết cách khai thác sáng tạo toán cực trị hình học khơng gian từ kiến thức bản, tập đơn giản khơng giúp em học tập có hiệu mà cịn tạo hứng thú học tập cho em học sinh, góp phần quan trọng việc rèn luyện phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh Từ ý tưởng lý nêu trên, tác giả định chọn đề tài nghiên cứu “Góp phần phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua tốn hình học khơng gian” Đề tài cơng trình nghiên cứu tơi, chưa cá nhân, tập thể cơng trình giáo dục cơng bố tài liệu, sách báo diễn đàn giáo dục II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đối tượng - Học sinh lớp 11, 12 Trường THPT - Chương trình mơn Tốn phổ thơng (trước chương trình GDPT 2018) Phạm vi Đề tài nghiên cứu HS lớp 11, 12 trường THPT Lê Lợi, huyện Tân Kỳ, số trường THPT địa bàn tỉnh Nghệ An Nhiệm vụ nghiên cứu Xác định vai trò ứng dụng đề tài nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề lí luận thực tiễn dạy học liên quan đến đề tài Đánh giá thực trạng lực tư lập luận toán học học sinh THPT Vận dụng giải pháp nhằm khắc phục tình trạng tư lề lối, thiếu sáng tạo khả trình bày vấn đề toán học thiếu logic Nhận định kết thông qua việc đối chiếu, đánh giá kết trước sau áp dụng đề tài rong trình giảng dạy thân III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phân tích - tổng hợp, so sánh - Phương pháp khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp IV CẤU TRÚC Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung đề tài tập trung vào số vấn đề sau: - Cơ sở đề tài - Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết toán đẳng thức hình học quen thuộc - Phân tích định hướng giải số toán - Khảo sát đánh giá hiệu trình thực giải pháp V TÍNH MỚI CỦA ĐỀ TÀI Thứ nhất, đề tài trình bày sở lí luận thực tiễn vấn đề phát triển lực tư lập luận cho học sinh thông qua khai thác sáng tạo tốn tìm tốn cực trị hình học khơng gian Thứ hai, đề tài xây dựng lớp tốn cực trị hình học khơng gian dựa đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc Thứ ba, đề tài phân tích định hướng giải cho số toán cực trị hình học khơng gian B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm tư Theo từ điển tiếng Việt “Tư trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật, tượng ”(Hoàng Phê 1998) Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184) cho rằng: “tư giai đoạn cao nhận thức, sâu vào chất phát quy luật vật hình thức biểu tượng, phán đốn, suy lí, Đối tượng tư hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” Trong đó: + Phân tích tổng hợp: phân tích phép lập luận trình bày phận, phương diện vấn đề để nhằm nội dung vật, tượng Để phân tích nội dung vật, tượng, vận dụng biện pháp nêu giả thuyết, so sánh, đối chiếu,… phép lập luận giải thích, chứng minh Tổng hợp phép lập luận rút chung từ vấn đề phân tích Khơng có phân tích khơng có tổng hợp + So sánh tương tự: so sánh xác định giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không Tương tự là phát giống đối tượng + Trừu tượng hóa: trừu tượng hóa tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm không chất + Khái quat hóa đặc biệt hóa: khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng sáng tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa chuyển từ việc khảo sát sang tập nhỏ tập ban đầu 1.2 Năng lực tư lập luận tốn học Cuộc sống cơng nghệ thời đại 4.0 chắn người cần phải có lực tư Thế lực tư duy? Là khả tự suy nghĩ tự giải vấn đề để mang lại kết tốt Với người sở hữu lực tư người có tính linh hoạt cao, có khả lắng nghe quan sát định đắn hiệu Theo nhà tâm lý học hàng đầu lĩnh vực cho biết, cách đánh giá lực tư phải đánh giá qua tị mị, thích khám phá tưởng tượng, tư sáng tạo Thế lực tư lập luận toán học ? Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu yêu cầu cần đạt lực tư lập luận toán học học sinh THPT tổng hợp bảng sau: Năng lực tư lập luận toán học thể qua việc Thực thao tác tư như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch Yêu cầu cần đạt HS cấp THPT Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết Sử dụng phương pháp lập lập luận hợp lí trước kết luận luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề Giải thích điều chỉnh Nêu trả lời câu hỏi lập luận, cách thức giải vấn đề giải vấn đề Giải thích, chứng phương diện tốn học minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học Từ tốn quen thuộc, HS tự tìm lời giải cho tốn tương tự, tìm khác toán, cao phát biểu tốn Cơ sở thực tiễn Qua thực tiễn dạy học mơn tốn, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, thân tối nhận thấy: - Học sinh THPT cịn yếu Tốn kiến thức bị hổng từ cấp dưới, thêm vào chưa chịu khó suy nghĩ, tư q trình học tập; - Học sinh học tập thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân; - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa chủ động, tích cực để tham gia vào hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức nên kết học tập chưa cao - Nhiều học sinh học tập giải tập Toán, quan tâm đến kết toán hay sai, hài lịng với lời giải mình; tìm tịi lời giải khác, khơng khai thác để phát triển toán, sáng tạo toán nên khơng phát huy nhiều tính tích cực, độc lập sáng tạo thân - Trong trình dạy học luyện tập trường phổ thơng, khơng Giáo viên chữa tập đơn lẻ cho học sinh, tập mang tính áp dụng, chưa thực trọng để khai thác, phát triển sáng tạo tốn Do khơng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành phát triển lực tư cho học sinh II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Để phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác phát triển lực tư lập luận cho HS, trình dạy học luyện tập dạy học tập tốn, giáo viên ln trọng định hướng để HS tìm tịi nhiều cách giải cho tốn, khai thác phát triển để sáng tạo nhiều toán từ toán cho Trong phạm vi đề tài, lựa chọn việc khai thác sáng tạo toán nâng cao khả phân tích để tìm hướng giải cho tốn Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc Trong sách SGK Hình học 11 Nâng cao có tốn sau: Bài tốn: Trong khơng gian cho tam giác ABC a Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) có ba số x, y , z mà     x  y  z  cho OM  xOA  yOB  zOC với điểm O b Ngược lại có điểm O khơng gian cho     OM  xOA  yOB  zOC , x  y  z  điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) (Trích trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao nhà XBGDVN) Lời giải   a Vì AB, AC hai vectơ khơng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) có số thực m, n cho:          AM  m AB  n AC hay OM  OA  m OB  OA  n OC  OA với điểm O     Tức OM  1  m  n  OA  mOB  nOC Đặt x  1  m  n  , y  m, z  n     Ta có: OM  xOA  yOB  zOC với x  y  z      b Giả sử OM  xOA  yOB  zOC , x  y  z  , ta có:          OM  OA  y AB  z AC hay AM  y AB  z AC Mà AB, AC hai vectơ không phương nên điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC )     Nhận xét: Cho hình chóp S ABC O điểm không gian     Điều kiện cần đủ để M  ( ABC ) OM  xOA  yOB  zOC với x  y  z  Bây giờ, ta vận dụng nhận xét để hướng học sinh giải tạo số toán sau: Bài toán Cho hình chóp S ABC có G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( P) cắt tia SA, SB, SC , SG A1 , B1 , C1 , G1 Chứng minh SA SB SC SG   3 (*) SA1 SB1 SC1 SG1 Lời giải Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên         GA  GB  GC   SA  SB  SC  3SG hay SA  SB  SC  SG  SA1  SB1  SC1  SG1 SA1 SB1 SC1 SG1 Vì G1  ( A1B1C1 ) nên ta có : SA SB SC SG   3 SA1 SB1 SC1 SG1 Đặc biệt: Nếu G1 trọng tâm tứ diện SABC sau : SG  , nên ta có hệ thức SG1 SA SB SC    Từ đây, ta có tốn 2: SA1 SB1 SC1 Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 cắt tia SA, SB, SC A1 , B1, C1 Chứng minh SA SB SC    SA1 SB1 SC1 Nhận xét: Cho mặt phẳng ( P ) qua trung điểm cạnh SC hay kết hợp với hệ thức SC  2, SC1 SA SB SC SA SB    , ta có:   Ta đề xuất toán SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 3, sau: Bài toán Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Chứng SA SB minh  2 SA1 SB1 Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua SA SB điểm G1 cắt tia SA, SB A1 , B1 thỏa mãn   SA1 SB1 Chứng minh ( P) chứa đường thẳng cố định Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b  Tìm GTNN P   a b ab Lời giải Ta có: P  1 (1  1)       2 2 2 a b ab a  b 2ab 2ab a  b  2ab 2ab 7 ( a  b) hay P  Mặt khác ab  1   P 1 ( a  b)2 2ab 2ab  Dấu xảy a  b  Bây ta kết hợp BĐT với 2 SA SB SA SB hệ thức , đó:   , với việc xem a  , b SA1 SB1 SA1 SB1 Nên P   ( SA1.SB1 )2 SA1.SB1 SA SB  Dấu xảy    hay 2 ( SA.SB1 )  ( SB.SA1 ) SA.SB SA1 SB1 A  A1 , B  B1 , ta thấy điểm A, B, C1 , G1 đồng phẳng Ta có tốn 5: P Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm giá ( SA1.SB1 )2 SA1.SB1 trị nhỏ biểu thức P   2 ( SA.SB1 )  ( SB.SA1 ) SA.SB Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh ab(a  b )  Lời giải 1 (2ab  a  b ) 2 Áp dung BĐT Cauchy, ta có ab(a  b )  (2ab)(a  b )  2  ab(a  b )  (a  b)  Dấu xảy a  b  SA SB SA   , với việc xem a  , SA1 SB1 SA1 SB SA SB SB SA ab( a  b )  a 3b  b3a  ( b ) ( )  Dấu SB1 SA1 SB1 SB1 SA1 SA SB xảy   hay A  A1 , B  B1 Ta thấy điểm A, B, C1 , G1 SA1 SB1 đồng phẳng Nên ta đề nghị toán 6: Bây ta kết hợp BĐT với hệ thức Bài toán Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm giá SA SB SB SA trị lớn biểu thức P  ( ) ( ) SA1 SB1 SB1 SA1 Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho a, b  thỏa mãn a  b  1 Chứng minh   2 4a b 2ab Lời giải Ta có P  1 1  (  )   2 2 4a b 2ab  a  b 6ab 3ab (a  b)  4ab  3ab ( a  b) hay P    , (vì ab   ) Dấu xảy a  b  444 3 SA SB   , với việc xem SA1 SB1 1 1 SA SB    , a , b 2 4a b 2ab  ( SA )  ( SB )2 SA SB SA1 SB1 SA1 SB1 S A1 SB1 Bây ta kết hợp BĐT với hệ thức  SA12 SB12 SA SB  1 2 2 SA1 SB1  SA  SB SA.SB SA SB   hay A  A1 , B  B1 Ta thấy điểm SA1 SB1 A, B, C1 , G1 đồng phẳng Từ đây, ta đề nghị toán 7: Dấu xảy Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm GTNN biểu thức P  SA12 SB12 SA1.SB1  4SA12 SB12  SA2  SB 2SA.SB Nhận xét: Từ hệ thức SA SB SC SG , Ta đề xuất toán 8:   3 SA1 SB1 SC1 SG1 Bài tốn Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng ( P ) cắt tia SA, SB, SC SA SB SC A1 , B1 , C1 Biết    m , với m số thực dương cho trước SA1 SB1 SC1 Chứng minh ( P) qua điểm cố định Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC mặt phẳng ( P ) cắt đoạn thẳng SG G1 Ta SA SB SC SG SG m có   m 3 m  , suy điểm G1 cố định SA1 SB1 SC1 SG1 SG1 Nhận xét: Ta áp dụng hệ thức đặc biệt G1 trọng tâm tứ diện SABC SA SB SC SA SB SC SA SB SC    BĐT: ( ) ( ) ( )  (   ) hay SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SA SB SC 16 SA SB SC SG ( ) ( ) ( )  Dấu xảy     SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SG1 hay mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( ABC ) Ta thu toán 9: Bài toán Cho tứ diện SABC Mặt phẳng ( P) qua trọng tâm tứ diện SABC cắt tia SA, SB, SC A1 , B1, C1 Tìm GTNN biểu thức Q( SA SB SC ) ( ) ( ) SA1 SB1 SC1 SA SB SC    kết SA1 SB1 SC1 SA SB SC SA SB SB SC SC SA hợp với BĐT: (   )  3(   ) SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 Nhận xét: Khi G1 trọng tâm tứ diện SABC tà có Suy ra: SA SB SB SC SC SA 16    Từ ta có tốn 10: SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 Bài toán 10 Cho tứ diện SABC Mặt phẳng ( P) qua trọng tâm tứ diện SABC cắt tia SA, SB, SC A1 , B1 , C1 Tìm GTLN biểu thức Q SA SB SB SC SC SA   SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 a a a    Áp dụng BĐT ( ab  bc  ca )  (a  b  c) ta có 4D ' I 4D ' K 4D ' H T 1 1 1    (   )  D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H D ' I D ' H D ' K 3a 3a Nghĩa mặt phẳng ( P) qua G  D'H  D'I  D'K  3a song song với mặt phẳng ( ABC ) Vậy GTLN T 3a T  Bài toán 14 Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng  P  chứa AH cắt ba cạnh BC , CD, BD M , N , P ; gọi  ;  ; góc hợp AM , AN , AP với mặt phẳng  BCD  Chứng minh: tan   tan   tan   12 ( Trích đề HSG Tỉnh Bắc Ninh lớp 11 Năm học 2018-2019) Phân tích định hướng giải Ta thấy tan   tan   tan   12 tương đương với 1 18    2 2 MH NH PH a Từ đây, ta tìm cách liên hệ độ dài MH , NH , PH với a để chứng minh đẳng thức Lời giải Đẳng thức cần chứng 1 18 minh tan   tan   tan   12 tương đương với    2 2 MH NH PH a Gọi a độ dài cạnh tứ diện ABCD AH  a Xét tam giác BCD , từ H kẻ HI , HJ , HK vng góc với BC , CD, BD Khơng tính tổng qt, ta giả sử M thuộc đoạn BI gọi 1 , 2 , 3 ba góc hợp HM , HN , HP với ba cạnh BC , CD, BD Ta có tam giác HMI HNJ vng I J nên tứ giác HICJ nội tiếp   IH J  1200  1  3  1200 39 Mặt khác tổng ba góc tam giác BMP 1800 nên   BPM B   1800  (180   )    600  1800      600 Từ suy BMP 3 1 12    (sin 1  sin   sin 3 ) 2 HM HN PH a  12 [sin 1  sin (1200  1 )  sin (1  600 ) a  [1  cos 21   cos 2(1200  1 )   cos 2(1  600 )] a  1 1 18 [3  cos   cos   sin   cos   sin  ]  1 1 a2 2 2 a2 Vậy tan   tan   tan   12 Bài toán 16 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D " Một mặt phẳng ( P) cắt tia AB, AD, AA ', AC ' M , N , P, Q , gọi H hình chiếu A lên ( P) Chứng minh AQ  AH ( Trích đề HSG Hà Nội Lớp 12 Năm học 2018-2019) Phân tích định hướng giải Dựa vào kết phần trên, ta có hệ thức: thức quen thuộc 1    , kết hợp với hệ AQ AM AN AP 1 1    Từ đây, ta đưa lời giải 2 AH AM AN AP Lời giải Theo quy tăc hình hộp, ta có:     AC '  AB  AD  AA '  AC '  AB  AD  AA '  AQ  AM  AN  AP AQ AM AN AP Mà M , N , P, Q đồng phẳng nên AC ' AB AD AA ' 1        (Vì AC ' đường chéo hình AQ AM AN AP AQ AM AN AP lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' nên AB  AD  AA '  AC ' ) Dễ dàng chứng minh kết quen thuộc tứ diện vuông 1 1 1 1 1    Mà   (   ) 2 2 2 AH AM AN AP AM AN AP AM AN AP  1 1      AQ  AH AH AM AN AP AQ 40 Bài tốn 17 Trong khơng gian cho bốn điểm A, B, C , D theo thứ tự năm đường thẳng  Điểm M thay đổi không nằm đường thẳng  thỏa mãn   AMB  CM D Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MAD Phân tích định hướng giải Ta có S MAD  MH AD nên S MAD đạt giá trị lớn M H đạt giá trị lớn  Từ  AMB  CM D, ta khai thác yếu tố hình học liên quan đến điểm M dẫn đến MA  k ( k cố định) Từ suy M thuộc đường tròn cố định MD Lời giải 1 Ta có S MAB  MA.MB.sin  AMB  MH AB 2   MH BD Suy MA.MC  AB (1) S MCD  MC.MD.sin CMD 2 MB.MD CD Mặt khác, ta có: 1 S MAC  MA.MC sin  AMC  MH AC 2   MH BD Suy MA.MC  AC (2) S MBD  MB.MD.sin BMD 2 MB.MD BD Từ (1), (2) suy ( MA AB AC MA )    MD CD.BD MD AB AC DC.DB Ta lấy điểm E , F thỏa mãn: 41   AB AC  MA   MD MA  DC DB AB AC  MD DC DB  nên E , F hai điểm cố định Ta cũng chứng minh FM E  900 hay M EF Mặt khác, ta có 1 EF  M H AD  EF AD , dấu xẩy MH  nằm đường tròn đường kính EF  MH  S MAD Vậy GTLN S MAD EF AD Khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 3.1 Mục đích khảo sát Nhằm xác định tích cấp thiết khả thi giải pháp biết đánh giá đồng nghiệp áp dụng đề tài, từ tiếp tục hoàn thiện đề tài 3.2 Nội dung khảo sát Nội dung khảo sát tập trung vào vấn đề sau: - Các giải pháp đề xuất có thực cấp thiết vấn đề nghiên cứu hay không? - Các giải pháp đề xuất có khả thi vấn đề nghiên cứu không? 3.3 Phương pháp khảo sát - Phương pháp sử dụng để khảo sát trao đổi bảng hỏi thông qua phần mềm Google Form qua đường link với câu hỏi theo thang đánh giá mức (Tương ứng với mức tương ứng vơi điểm số đến 4) Mức Tính cấp thiết Tính khả thi Khơng cấp thiết Khơng khả thi Ít cấp thiết Ít khả thi Cấp thiết Khả thi Rất cấp thiết Rất khả thi - Tính trung bình X phần mềm phần mềm Microsoft Excel 2010 42 - Giá trị khoảng cách   Maximum – Minimum   =  0.75 4 Chúng ta có bảng sau thể đoạn giá trị điểm thuộc mức khảo sát: Đoạn giá trị Tính cấp thiết Tính khả thi Khơng cấp thiết Khơng khả thi 1,76;2,51 Ít cấp thiết Ít khả thi  2,52;3, 27 Cấp thiết Khả thi Rất cấp thiết Rất khả thi 1;1,75 3, 28;4 3.4 Đối tượng khảo sát TT Đối tượng Số lượng Giáo viên Toán THPT 28 Σ 28 3.4.1 Tính cấp thiết giải pháp đề xuất Kết thể bảng sau: TT Các thông số Các giải pháp X Mức Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc 3.39 Rất cấp thiết Phân tích định hướng giải số toán 3.25 Cấp thiết 3.32 Rất cấp thiết Điểm trung bình chung Từ kết nhận thấy giải pháp đề xuất có tính cấp thiết nhà trường Điều quan trọng hoạt động dạy học mơn Tốn GV, giúp người thầy ln tìm tịi giúp học sinh pháp triển tư toàn diện 43 3.4.2 Tính khả thi giải pháp đề xuất Kết thể bảng sau: TT Các giải pháp Các thông số X Mức Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc 3.54 Rất khả thi Phân tích định hướng giải số toán 3.43 Rất khả thi 3.48 Rất khả thi Điểm trung bình chung Như vậy, qua khảo sát chúng tơi nhận thấy giáo viên mơn Tốn THPT hỏi nhận thấy tính khả thi giải pháp đề xuất Nói chung giải pháp triển khai, áp dụng trường THPT Lê Lợi năm học gần có tính khả thi cao, có khả áp dụng phạm vi rộng thực thi cho trường THPT địa bàn huyện Tân Kỳ nói riêng trường THPT địa bàn tồn tỉnh nói chung Đặc biệt đề tài gợi mở vấn đề liên quan để GV tục nghiên cứu, nhằm phát phát triển tư sáng tạo lập luận toán học Kết thực Từ có ý tưởng đề xuất giải pháp, chúng áp dụng vào nhóm – lớp học sinh có học lực học giỏi mơn tốn thuộc lớp 11 lớp 12 trường THPT Lê Lợi từ năm học 2019 – 2020 đến qua hoạt động dạy học đặc biệt ôn thi TN THPT bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Với nỗ lực, tâm thân, chung tay đồng nghiệp mơn tốn trường, trường bạn vào q trình thực nghiệm, tác giả có số đánh sau: Các em tích cực hoạt động, học tập sơi có linh hoạt Các học phát huy tính độc lập Bước đầu hình thành thói quen suy nghĩ tìm tịi, đặt câu hỏi xoay quanh tốn, giải xong biết khắc sâu, mở rộng tốn từ đưa vấn đề Từ em sáng tạo tốn Qua phát triển lực tư lập luận toán học cho em HS Nhiều em học sinh giải nhiều tốn cực trị hình học khơng gian các đề thi thức đề thi thử TN THPT, đề thức thi TN THPT đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh thành phố nước Qua kỳ thi TN THPT năm 2021, năm 2022 em có tiến triển tốt, có lực tư lập luận tốn học q trình học tập ơn thi, kết quả, nhiều em học sinh lớp giải khơng câu vận dụng cao đề thi, có câu tìm cực trị hình học không gian Nhiều em đạt điểm môn 44 Toán, đặc biệt kỳ thi TN THPT năm 2021 có em Ủy ban nhân dân Tỉnh vinh danh với tổ hợp môn khối B đạt 28.95 điểm mơn tốn đạt 9.6 Trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy em hào hứng học tập, qua tạo thêm đam mê khám phá, sáng tạo cho em Từ đây, phát huy khả tự học cho em Kết thi HSG cấp tỉnh bảng A mơn Tốn trường THPT Lê Lợi từ năm học 2020-2021 đến năm học 2022 – 2023 có em có em đạt giải Nhì, em đạt giải Ba Căn vào kết đạt được, bước đầu thấy hiệu việc phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc khai thác sáng tạo tốn cực trị hình học không gian mà đề xuất thực trình dạy học C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Các vấn đề giải đề tài - Đã vận dụng sáng tạo thao tác tư tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để tạo tốn cực trị hình học khơng gian Khai thác từ tốn quen thuộc, từ sáng tạo hệ thống toán - Xây dựng số chuỗi tốn tìm tìm cực trị hình học khơng gian - Luyện tập cho học sinh cách khai thác toán biết, để tạo toán Qua phát triển khả phân tích, để tìm lời giải cho tốn cực trị hình học khơng gian - Tạo hứng thú học tập phát huy khả tự học cho học sinh Qua nâng cao nâng cao chất lương dạy học mơn tốn nhà trường - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi hiệu đề tài Hướng phát triển Đề tài mở rộng theo chiều sâu cho tốn cực trị hình học khơng gian, ý tưởng khai thác sáng tạo toán sáng kiến góp phần phát triển lực tư lập luận Tốn học cho học sinh mở rộng cho chủ đề khác mơn tốn môn khoa học tự nhiên khác II KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên Việc khai thác toán bất đẳng thức sáng kiến giúp giáo viên: - Làm rõ nguồn gốc toán cực trị hình học khơng gian Điều tạo cho giảng giáo viên có chiều sâu, đặc biệt giúp học sinh có cách học, cách sáng tạo kết từ điều biết - Rèn luyện thao tác tư tương tự hóa, khái quát hóa đặc biệt hóa cho học sinh, giúp em có cách nhìn nhận vấn đề cách bao qt, cụ thể, có tính hệ thống, giải vấn đề nhanh hơn, có tính lơgic cao qua 45 phát triển lực tư và lập luận toán học cho học sinh - Trong trình giảng dạy, phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh, hướng cho HS có cách thức để khai thác kiến thức, tập toán có vấn đề tập dượt cho học sinh khả nghiên cứu khoa học Đối với học sinh Việc học tập theo định hướng giúp học sinh: - Khơng cịn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận có kỹ tốt việc giải tồn cực trị hình học khơng gian - Có cách học, cách thức khai thác kiến thức từ kiến thức biết, dù quen thuộc - Giúp em có kết tốt kì thi kì thi TN TPHT đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt đặc biệt góp phần phát triển lực tư sáng tạo cho em, nhiệm vụ quan trọng việc dạy học mơn tốn trường phổ thơng Dù thân có nhiều cố gắng, song đề tài chúng tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp trường hội đồng khoa học cấp sở đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện ứng dụng rộng rãi thực tiễn dạy học Tôi xin trân trọng cảm ơn! Ngày 28 tháng năm 2023 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chương trình tổng thể giáo dục phổ thơng 2018, BGD&ĐT [2] Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018, BGD&ĐT [3] G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD [4] Sách giáo khoa Hình học 11; Hình học 12 nâng cao NXB GD [5] Đề thi THPT quốc gia đề thi thử TN THPT quốc gia mơn Tốn [6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố [7] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXBGD [8] Các trang wed diễn đàn Toán học [9] Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBGD Nguyễn Bá Kim [10] Dạy học theo phát triển lực mơn Tốn THPT, NXBĐPSP tác giả Đỗ Đức Thái ( chủ biên) 47 PHỤ LỤC Phụ lục 1: Một số hình ảnh thực q trình khảo sát tính cấp thiết tính khả thi đề tài Ảnh: Đồng nghiệp tham gia khảo sát Google Form 48 Ảnh: Biểu đồ hình tròn thể kết khảo sát 49 Ảnh: Xử lý số liệu khảo sát tính cấp thiết Ảnh: Số liệu khảo sát tính khả thi sau xử lý 50 Phụ lục 2: Một số hình ảnh thể kết đạt tiêu biểu học sinh trường THPT Lê Lợi có đóng góp việc áp dụng giải pháp đề xuất Ảnh: Kết đạt học sinh 51 Ảnh: Kết đạt học sinh 52 Ảnh: Kết đạt học sinh 53