SKKN một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .4 2.3 Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian mức độ vận dụng vận dụng cao 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 13 Kết luận, kiến nghị 13 3.1 Kết luận 13 3.2 Kiến nghị 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, chủ đề Hình học khơng gian chiếm khối lượng lớn kiến thức bố trí lớp 11 lớp 12 Phần lớn học sinh gặp khó khăn học phần Thực tế giảng dạy trường THPT Tống Duy Tân, nhận thấy rằng, chuyển tốn Hình học khơng gian sang tốn tọa độ khơng gian nhiều em học sinh lại làm tốt tốn Nhiều em học sinh chưa có kĩ đưa khối đa diện xét khối đa diện quen thuộc, lúng túng tìm lời giải Câu hỏi đặt là: Làm giúp học sinh u thích học phần hình học không gian, giúp em giải tốn hình học khơng gian? Câu trả lời là: Chuyển tốn hình học khơng gian (mang nặng định tính) tốn định lượng Nghĩa là, thay chứng minh mối quan hệ khơng gian, ta đưa tốn tính tốn Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian giúp làm điều Một phương pháp giúp em giải tốn hình học khơng gian kĩ quy hình đa diện quen thuộc, đưa tốn hình học phẳng Các em sử dụng kiến thức hình học phẳng để giải tốn hình học không gian, giảm bớt trừu tượng hình học khơng gian cho em Từ lí đó, tơi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giải toán vận dụng chủ đề hình học khơng gian” Đề tài SKKN góp ý, trao đổi tác giả với đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ để hình học khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài đưa phương pháp giúp em học sinh lớp 12, em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào tập hình học khơng gian cụ thể Đồng thời thơng qua nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung kiến thức kĩ chủ đề hình học khơng gian; phương pháp tọa độ không gian; véc-tơ phép tốn véc-tơ khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu tài liệu chủ đề hình học khơng gian; phương pháp tọa độ khơng gian; véc-tơ phép tốn véc-tơ Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh học giải toán thuộc chủ đề hình học khơng gian; khó khăn mà học sinh thường mắc phải việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Chủ đề hình học khơng gian chương trình mơn Tốn THPT Chủ đề hình học khơng gian phân phối chương trình mơn tốn lớp 11 12 Cụ thể sau: Trong chương trình mơn Tốn 11: Chủ đề hình học khơng gian học hai chương (Chương 2: Quan hệ song song không gian; Chương 3: Quan hệ vng góc khơng gian) Trong chương trình mơn Tốn 12: Chủ đề hình học khơng gian tiếp nối chương trình mơn Tốn 11 học hai chương (Chương 1: Khối đa diện thể tích chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón) 2.1.2 Một số nội dung kiến thức sử dụng sáng kiến kinh nghiệm a) Phương pháp tọa độ không gian Tọa độ véc-tơ điểm; Cơng thức tọa độ tích vơ hướng hai véctơ; Tích có hướng hai véc-tơ; Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặt cầu; Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng b) Tỉ số thể tích Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A , B , C Khi đó, ta có V S ABC SA SB SC VS ABC SA SB SC Một số cơng thức hình học phẳng: định lí cơ-sin tam giác; định lí sin tam giác; … c) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy, nhận thấy, đa phần học sinh ngại học hình, đặc biệt phần hình học khơng gian Các em cho rằng, phần hình học khơng gian trừu tượng nhiều tốn khơng tìm hướng giải Mong muốn em chuyển tốn hình học nặng định tính sang tốn định lượng Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian giúp em học sinh giải tốn hình học khơng gian cách dễ dàng Tất nhiên, khơng phải tốn tọa độ hóa được, hướng tư tìm lời giải cho tốn có ích cho học sinh Một khó khăn học sinh việc học hình học khơng gian chưa biết quy lạ quen Công thức thể tích khối tứ diện ABCD em biết, ta thay đổi kích thước cạnh AB , AC , AD nhiều em lại khơng tính thể tích khối Một dạng tập gây khó cho học sinh tốn tìm đường ngắn quanh khối chóp; khối trịn xoay Bài tốn trở nên đơn giản học sinh biết kĩ thuật trải hình Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian; qui khối đa diện quen thuộc phương pháp trải hình có số tài liệu đề cập đến chưa thành hệ thống Thực tế đòi hỏi cần hệ thống lại phương pháp để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu vận dụng hiệu vào học tập, mục tiêu SKKN 2.3 Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian mức độ vận dụng vận dụng cao 2.3.1 Phương pháp 1: Tọa độ hóa tốn hình học khơng gian Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB HC , HBC 30 ; góc mặt phẳng SHC mặt phẳng HBC 60 Tính cơsin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC ? A B C 13 D Phân tích: Khi giải tốn này, học sinh gặp khó khăn giải phải dựng góc hai mặt phẳng dựng góc đường thẳng mặt phẳng Chúng ta để ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giác ABC cân đỉnh A SA vng góc với mặt phẳng đáy nên ta tọa độ hóa để giải toán Lời giải Chọn C BC H trung điểm AM , HB HC suy ABC Từ M trung điểm AM BC , hay tam giác cân đỉnh A a a a AM Đặt SA b Đặt BC a BM Do HBC 30 suy HM Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ: z S A H C x M y B a a Ta có A 0;0;0 , B Từ HC a 2 ;a ; 3 ;0; a a ;0 , C SH 0; a ; 3 a ;0 ; H 0; ;0 , S 0;0;b ; b Nên HC,SH Suy SHC ; ab ; a 12 có véc-tơ pháp tuyến n1 ab 2b Mặt phẳng HBC có véc-tơ pháp tuyến k Góc mặt phẳng SHC mặt phẳng HBC 3;6b; a 0;0;1 60 nên cos SHC , HBC 12b 36b 3a a Khi n1 n1 k a n1 k cos6012b 36b 3a2 a a b 3a ; ;a 3, đường thẳng BC có véc-tơ phương i 1;0;0 Gọi góc đường thẳng BC mặt phẳng n1 i sin n1 i Do cos1 a sin 92 a SHC , ta có 27 a 4 2 3a 13 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng AB ' C mặt phẳng BCC B Tính thể tích 60 V khối lăng trụ ABC.A B C ? 2a3 A V C V B a3 V2 D V 3a3 3a3 Lời giải Chọn D Gọi chiều cao hình lăng trụ h Đặt hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Khi A 0;0;0 , B a 3;0;0 , C 0;a 3;0 , B a 3;0;hM a ;a ;0 trung điểm BC 2 Vì AM BCC B AM a ; a ;0 nên n 1;1;0 véc-tơ pháp tuyến BCC ' B ' 3;0; 3a n1 h;0; 3a véc-tơ pháp tuyến Ta có AC , ABah ABC Theo giả thiết góc AB C mặt phẳng BCC B 60 cos60 cos n, n1 h 2 2 h 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C V h 3a 3a3 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M , N , P trung điểm CD , CB , A B Tính khoảng cách từ A đến mp MNP A a B a C a D a Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ a a Ta có A 0;0;0 , M a; ;0 ,N a ;a;0 ,P 0; ;a a a MN ; 2 ;0 , MP a;0;a a a a2 Véc tơ pháp tuyến MNP MN,MP ; ; 2 Phương trình MNP x y z a Suy khoảng cách từ A đến mp MNP là: d A, MNP 3a a 3 2.3.2 Phương pháp 2: Quy hình đa diện quen thuộc Ví dụ Cho khối chóp S ABC có ASB BSC SC 4a Tính thể tích S ABC theo a A a3 B 2a3 3 CSA 60 ; SA a , SB 2a , C 4a3 D 8a3 Phân tích: Học sinh quen thuộc với cơng thức tính thể tích khối tứ diện a a cạnh V ta quy 12 Từ giả thiết ASB BSC CSA 60 tốn tính thể tích khối tứ diện đều, sau sử dụng cơng thức tỉ số thể tích ta tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải Chọn B Trên cạnh SB ta lấy điểm B cho SB a , cạnh SC ta lấy điểm C ' cho SC a S Từ SA SB SC a ta suy hình chóp ASB BSC CSA 60 S AB C tứ diện cạnh a Do A a3 V S.AB C S.AB C Mặt khác: V 8V S.ABC C' 12 V V B' SA SB SC a a SA SB SC a a S.ABC AB C S a 12 B 2a3 C 2.3.3 Phương pháp 3: Phương pháp trải hình Ví dụ Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên 200 m , góc ASB 15 đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong điểm L cố định LS 40 m Hỏi cần dung mét dây đèn led để trang trí? 10 S L K J I H G F E C B A D A 40 67 40 mét C 40 31 40 mét B 20 D 40 111 40 mét 111 40 mét Lời giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA trải mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau S L K A J A E F D I B G H C C D A B Từ suy chiều dài dây đèn led ngắn AL LS S 11 Từ giả thiết hình chóp S ABCD ta có ASL 120 Ta có AL2 SA SL2 2SA.SL cos ASL 2002 402 Nên AL 49600 2.200.40.cos120 49600 40 31 Vậy, chiều dài dây đèn led cần 40 31 40 mét Ví dụ Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột 20 vòng đèn Led cho cột, biết bán kính hình trụ cổng 30 cm chiều cao cổng m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng A 24 m B 20 m C 30 m D 26 m Lời giải Chọn D Cắt hình trụ theo đường sinh trải liên tiếp mặt phẳng 20 lần ta hình chữ nhật ABCD có AB m BC 20.2 r 20.2 0,3 12 m Độ dài dây đèn Led ngắn trang trí cột AC AB BC2 12 13 m Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: 2.13 B A 26 m C D Bài tập tương tự Bài Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M , N , P trung điểm CD , CB , A B Tính khoảng cách AM đến NP 12 A a B a 21 C a 21 7 Bài Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi lượt trung điểm CD , CB Tính khoảng cách từ D đến MN A a B 3a C a D a M , N lần D a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M trung điểm SD Khoảng cách hai đường thẳng AM SC A a B a C a D a Bài Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCC B Hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng BCC B ABCD cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN ? A B 5.a C 5.a a 10 Bài Cho khối chóp S ABC có ASB BSC 60 , CSA 90 , SA 1, SB D 3.a 5 SC Tính thể tích S ABC 13 Bài Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây tháp đèn lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ diện S.ABCD SA 600 cạnh bên mét, ASC 15 Do có cố đường dây điện điểm Q (là trung điểm SA ) bị hỏng, người ta tạo đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN , NP , PQ (hĩnh vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư nghiên cứu có chiều dài đường từ A đến Q ngắn Tính tỉ số k AM MN A k NP PQ B k C k D k 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường SKKN tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 20175 – 2018 trường THPT Tống Duy Tân tiết tự chọn Sau học nội dung này, tác giả nhận thấy em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức đề cập Thông qua ví dụ trình bày, em giải tốn tương tự tìm cách giải toán cụ thể chủ đề SKKN thầy mơn tốn trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận phản hồi tốt SKKN thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Những phương pháp giải tốn hình học khơng gian trình bày SKKN giúp học sinh có cách tiếp cận với tốn hình học khơng gian cách dễ dàng Nội dung SKKN tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy giáo viên 14 3.2 Kiến nghị Xuất phát từ tâm nguyện giáo viên ngày giảng dạy cho học sinh, mong muốn đề tài đánh giá tốt cần phổ biến cách rộng rãi để tài liệu đến tay giáo viên học sinh u thích mơn tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái lần thứ hai) Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 trường THPT, Sở Giáo dục Đào tạo nước 16 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh giải toán hình học giải tích khơng gian kĩ thuật Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp Kết đánh giá xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) xếp loại Ngành GD cấp C 2014 C 2016 C 2017 Năm học đánh giá tỉnh tham số hóa Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số Ngành GD cấp tỉnh thỏa mãn điều kiện phụ Xây dựng hệ thống tập dạy học chủ đề ứng dụng hình học tích phân theo định hướng phát triển Ngành GD cấp tỉnh lực 17 ... đề tài II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Chủ đề hình học khơng gian chương trình mơn Tốn THPT Chủ đề. .. tốn hình học không gian, giảm bớt trừu tượng hình học khơng gian cho em Từ lí đó, tơi lựa chọn đề tài SKKN: ? ?Một số phương pháp giải toán vận dụng chủ đề hình học khơng gian? ?? Đề tài SKKN góp...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, chủ đề Hình học khơng gian chiếm khối