SKKN một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian mức độ vận dụng vận dụng cao 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường .13 Kết luận, kiến nghị 13 3.1 Kết luận .13 3.2 Kiến nghị .14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, chủ đề Hình học không gian chiếm khối lượng lớn kiến thức bố trí lớp 11 lớp 12 Phần lớn học sinh gặp khó khăn học phần Thực tế giảng dạy trường THPT Tống Duy Tân, tơi nhận thấy rằng, chuyển tốn Hình học khơng gian sang tốn tọa độ khơng gian nhiều em học sinh lại làm tốt toán Nhiều em học sinh chưa có kĩ đưa khối đa diện xét khối đa diện quen thuộc, lúng túng tìm lời giải Câu hỏi đặt là: Làm giúp học sinh u thích học phần hình học khơng gian, giúp em giải tốn hình học khơng gian? Câu trả lời là: Chuyển tốn hình học khơng gian (mang nặng định tính) tốn định lượng Nghĩa là, thay chứng minh mối quan hệ khơng gian, ta đưa tốn tính tốn Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian giúp làm điều Một phương pháp giúp em giải tốn hình học khơng gian kĩ quy hình đa diện quen thuộc, đưa tốn hình học phẳng Các em sử dụng kiến thức hình học phẳng để giải tốn hình học khơng gian, giảm bớt trừu tượng hình học khơng gian cho em Từ lí đó, tơi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giải tốn vận dụng chủ đề hình học khơng gian” Đề tài SKKN góp ý, trao đổi tác giả với đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ để hình học khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài đưa phương pháp giúp em học sinh lớp 12, em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào tập hình học khơng gian cụ thể Đồng thời thơng qua nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung kiến thức kĩ chủ đề hình học không gian; phương pháp tọa độ không gian; véc-tơ phép tốn véc-tơ khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chủ đề hình học khơng gian; phương pháp tọa độ không gian; véc-tơ phép toán véc-tơ Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh học giải tốn thuộc chủ đề hình học khơng gian; khó khăn mà học sinh thường mắc phải việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Chủ đề hình học khơng gian chương trình mơn Tốn THPT Chủ đề hình học khơng gian phân phối chương trình mơn tốn lớp 11 12 Cụ thể sau: Trong chương trình mơn Tốn 11: Chủ đề hình học khơng gian học hai chương (Chương 2: Quan hệ song song không gian; Chương 3: Quan hệ vng góc khơng gian) Trong chương trình mơn Tốn 12: Chủ đề hình học khơng gian tiếp nối chương trình mơn Tốn 11 học hai chương (Chương 1: Khối đa diện thể tích chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón) 2.1.2 Một số nội dung kiến thức sử dụng sáng kiến kinh nghiệm a) Phương pháp tọa độ không gian     Tọa độ véc-tơ điểm; Công thức tọa độ tích vơ hướng hai véc-tơ; Tích có hướng hai véc-tơ; Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặt cầu;  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng b) Tỉ số thể tích Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A� VS A��� SA�SB�SC � BC  , C� , B� Khi đó, ta có VS ABC SA SB SC c) Một số cơng thức hình học phẳng: định lí cơ-sin tam giác; định lí sin tam giác; … 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy, nhận thấy, đa phần học sinh ngại học hình, đặc biệt phần hình học khơng gian Các em cho rằng, phần hình học khơng gian trừu tượng nhiều tốn khơng tìm hướng giải Mong muốn em chuyển tốn hình học nặng định tính sang tốn định lượng Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian giúp em học sinh giải tốn hình học khơng gian cách dễ dàng Tất nhiên, khơng phải tốn tọa độ hóa được, hướng tư tìm lời giải cho tốn có ích cho học sinh Một khó khăn học sinh việc học hình học khơng gian chưa biết quy lạ quen Cơng thức thể tích khối tứ diện ABCD em biết, ta thay đổi kích thước cạnh AB , AC , AD nhiều em lại khơng tính thể tích khối Một dạng tập gây khó cho học sinh tốn tìm đường ngắn quanh khối chóp; khối tròn xoay Bài toán trở nên đơn giản học sinh biết kĩ thuật trải hình Phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian; qui khối đa diện quen thuộc phương pháp trải hình có số tài liệu đề cập đến chưa thành hệ thống Thực tế đòi hỏi cần hệ thống lại phương pháp để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu vận dụng hiệu vào học tập, mục tiêu SKKN 2.3 Một số phương pháp giải tốn hình học không gian mức độ vận dụng vận dụng cao 2.3.1 Phương pháp 1: Tọa độ hóa tốn hình học khơng gian Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M �  30�; trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB  HC , HBC góc mặt phẳng  SHC  mặt phẳng  HBC  60� Tính cơsin góc đường thẳng BC mặt phẳng  SHC  ? A B C 13 D Phân tích: Khi giải tốn này, học sinh gặp khó khăn giải phải dựng góc hai mặt phẳng dựng góc đường thẳng mặt phẳng Chúng ta để ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giác ABC cân đỉnh A SA vng góc với mặt phẳng đáy nên ta tọa độ hóa để giải tốn Lời giải Chọn C Từ M trung điểm BC H trung điểm AM , HB  HC suy AM  BC , hay tam giác ABC cân đỉnh A Đặt BC  a � BM  a �  30�suy HM  a � AM  a Đặt Do HBC SA  b Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ: �a a � � a a � � a � ;0 �, C �  ; ;0 � 0; ;0 �, S  0;0; b  Ta có A  0;0;0  , B � ; ; H� 3 � � � � � � uuur � a a � uuur � a �  ; ;0 �; SH  � 0; ; b � Từ HC  � �2 � � � uuur uuur � ab ab a � HC , SH �  ; ; Nên � � � � � 12 � � r Suy  SHC  có véc-tơ pháp tuyến n1  2b 3;6b; a   r Mặt phẳng  HBC  có véc-tơ pháp tuyến k   0;0;1 Góc mặt phẳng  SHC  mặt phẳng  HBC  60�nên cos   SHC  ,  HBC   r r n1.k a  r r ۰ cos60  n1 k 12b  36b  3a � 12b  36b2  3a  a � b  a r �3a 3a � ;a � Khi n1  � ; , đường thẳng BC có véc-tơ phương 2 � � r i   1;0;0  Gọi  góc đường thẳng BC mặt phẳng  SHC  , ta có r r n1.i sin   r r  n1 i 3a 9a 27 a   3a 4  � � 13 Do cos    sin    � �  4 � � Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A��� B C có đáy tam giác ABC vng cân B�  A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC � BC ? 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A��� 2a 3 A V  C V  a3 B V  3a 3 D V  3a3 Lời giải Chọn D Gọi chiều cao hình lăng trụ h   Đặt hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Khi A  0;0;0  , B a 3;0;0 , �a a � C 0; a 3;0 , B�a 3;0; h � M � ; ;0 �là trung điểm BC �2 �     uuuu r �a a � r � � AM  BCC B AM  ; ;0   Vì � �nên n   1;1;0  véc-tơ pháp �2 � tuyến  BCC ' B ' uuur uuur r � � � AC , AB  ah 3;0;  a � n  h;0;  3a Ta có � véc-tơ pháp tuyến � C  AB�     C  mặt phẳng  BCC � B�  60� Theo giả thiết góc  AB� ް ް �cos60 � r r cos n, n1   h h  3a 2 h Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A��� B C V  3a 3a 3 B C D có cạnh a Gọi M , N , P Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A���� trung điểm CD , CB , A�� B Tính khoảng cách từ A đến mp  MNP  A a B a C a D a Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ � a � �a � �a � a; ;0 � 0; ; a � Ta có A  0;0;0  , M � , N � ; a;0 �, P � � � �2 � � � uuuu r � a a � uuur MN �  ; ;0 � , MP  a;0; a  �2 � uuuu r uuur �a a a � MN , MP � Véc tơ pháp tuyến  MNP  � � � �2 ; ; � � � Phương trình  MNP  x  y  z  3a 0 Suy khoảng cách từ A đến mp  MNP  là: d  A,  MNP     3a a  2.3.2 Phương pháp 2: Quy hình đa diện quen thuộc �  CSA �  60� Ví dụ Cho khối chóp S ABC có � ; SA  a , SB  2a , ASB  BSC SC  4a Tính thể tích S ABC theo a a3 A 2a B 4a C 8a D Phân tích: Học sinh quen thuộc với cơng thức tính thể tích khối tứ diện a cạnh a V  �  CSA �  60�ta quy Từ giả thiết � ASB  BSC 12 tốn tính thể tích khối tứ diện đều, sau sử dụng cơng thức tỉ số thể tích ta tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải Chọn B Trên cạnh SB ta lấy điểm B�sao cho SB� a, cạnh SC ta lấy điểm C ' cho SC �  a Từ SA  SB�  SC � a � �  CSA �  60� ta suy hình chóp ASB  BSC S AB�� C tứ diện cạnh a Do a3 VS AB�� C  12 Mặt khác: � VS ABC VS AB�� SA SB�SC a a C    VS ABC SA SB SC � 2a 4a a 2a  8VS AB��  C  12 2.3.3 Phương pháp 3: Phương pháp trải hình Ví dụ Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên 200m , góc � ASB  15�bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong điểm L cố định LS  40m Hỏi cần dung mét dây đèn led để trang trí? 10 S L K J I H G E F C B A D A 40 67  40 mét B 20 111  40 mét C 40 31  40 mét D 40 111  40 mét Lời giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA trải mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau Từ suy chiều dài dây đèn led ngắn AL  LS S 11 Từ giả thiết hình chóp S ABCD ta có � ASL  120� Ta có AL2  SA2  SL2  2SA.SL.cos � ASL  2002  402  2.200.40.cos120� 49600 Nên AL  49600  40 31 Vậy, chiều dài dây đèn led cần 40 31  40 mét Ví dụ Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột 20 vòng đèn Led cho cột, biết bán kính hình trụ cổng 30 cm chiều cao cổng 5 m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng A 24 m B 20 m C 30 m D 26 m Lời giải Chọn D Cắt hình trụ theo đường sinh trải liên tiếp mặt phẳng 20 lần ta hình chữ nhật ABCD có AB  5 m BC  20.2 r  20.2 0,3  12 m Độ dài dây đèn Led ngắn trang trí cột AC  AB  BC   5    12   13  m  Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: 2.13  26  m  Bài tập tương tự B C D có cạnh a Gọi M , N , P lần Bài Cho hình lập phương ABCD A���� B Tính khoảng cách AM đến NP lượt trung điểm CD, CB, A�� 12 A a B a 21 C a 21 D a B C D có cạnh a Gọi M , N lần Bài Cho hình lập phương ABCD A���� lượt trung điểm CD, CB Tính khoảng cách từ D�đến MN A a B 3a C a D a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M trung điểm SD Khoảng cách hai đường thẳng AM SC A a B a C a D a B C D có cạnh a Một đường thẳng Bài Cho hình lập phương ABCD A���� B� d qua đỉnh D�và tâm I mặt bên BCC � Hai điểm M, N thay đổi B�   ABCD  cho trung điểm K MN thuộc thuộc mặt phẳng  BCC � đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN ? A 3a B 5.a 10 C 5.a D 3.a �  60� �  90�, SA  , SB  Bài Cho khối chóp S ABC có � , CSA ASB  BSC SC  Tính thể tích S ABC 13 Bài Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây tháp đèn lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ diện S ABCD cạnh bên SA  600 mét, � Do có cố đường dây điện ASC  15� điểm Q (là trung điểm SA ) bị hỏng, người ta tạo đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN , NP , PQ (hĩnh vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư nghiên cứu có chiều dài đường từ A đến Q ngắn Tính tỉ số k  AM  MN NP  PQ A k  B k  C k  D k  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường SKKN tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 20175 – 2018 trường THPT Tống Duy Tân tiết tự chọn Sau học nội dung này, tác giả nhận thấy em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức đề cập Thông qua ví dụ trình bày, em giải tốn tương tự tìm cách giải toán cụ thể chủ đề SKKN thầy mơn tốn trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận phản hồi tốt SKKN thầy sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Những phương pháp giải tốn hình học khơng gian trình bày SKKN giúp học sinh có cách tiếp cận với tốn hình học khơng gian cách dễ dàng Nội dung SKKN tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy giáo viên 14 3.2 Kiến nghị Xuất phát từ tâm nguyện giáo viên ngày giảng dạy cho học sinh, mong muốn đề tài đánh giá tốt cần phổ biến cách rộng rãi để tài liệu đến tay giáo viên học sinh u thích mơn tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái lần thứ hai) Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 trường THPT, Sở Giáo dục Đào tạo nước 16 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân Cấp đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Hướng dẫn học sinh giải tốn hình học giải tích không gian kĩ thuật Ngành GD cấp tỉnh C 2014 Ngành GD cấp tỉnh C 2016 Ngành GD cấp tỉnh C 2017 tham số hóa Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Xây dựng hệ thống tập dạy học chủ đề ứng dụng hình học tích phân theo định hướng phát triển lực 17 ... đề tài II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Chủ đề hình học khơng gian chương trình mơn Tốn THPT Chủ đề. .. tốn hình học không gian, giảm bớt trừu tượng hình học khơng gian cho em Từ lí đó, tơi lựa chọn đề tài SKKN: Một số phương pháp giải toán vận dụng chủ đề hình học khơng gian Đề tài SKKN góp...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, chủ đề Hình học khơng gian chiếm khối