trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS

trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó Các bài toán này gọi chung là các bài toán cực trị

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán Bài toán đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất trong một bài toán Để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này

Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này

Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh

Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp giải các bài toán cực trị là vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy bản thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán cực trị nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi toán

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Áp dụng với học sinh khối 8, 9 Là học sinh khá giỏi tham gia trong các

đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh

III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Giúp cho học sinh làm quen và có một số hiểu biết về một số dạng toán cực trị thường gặp

Đề tài trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết

và ví dụ minh hoạ hoặc từ bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát

IV PHẠM VI ĐỀ TÀI:

Đề tài chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị đại số thường gặp trong chương trình toán học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tham khảo môt số tài liệu có liên quan

B PHẦN NỘI DUNG

I Kiến thức:

1 Cho biểu thức f(x, y…)

Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì

F(x, y…)  M ( M là hằng số )

- Tồn tại x0 , y0 , … sao cho

f(x0, y0 , ) = M

2 Cho biểu thức f(x, y…)

Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì

F(x, y…)  m ( m là hằng số )

- Tồn tại x0 , y0 , … sao cho

f(x0, y0 , ) = m

II Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) 0 { hoặc A(x)  0 }

- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2

(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải:

A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9=2(x2-4x+5)=2(x-2)2+22

Vì (x-2)2  0 với x Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x2 - 4x+1

(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= -5(x2+4

5x)+1

=

                     

Vì

2

2

5

  với   x R nên

2

2

5

    

2

B(x) 5 x

Max B(x) = 9khi x 2

Bài tập vận dụng:

1 Tìm GTLN của A= 1 – x2 + 3x

2 Tìm GTNN của B= x2 – 5x + 1

3 Cho tam thức bậc hai C= ax2 + bx + c

a Tim GTLN của C nếu a < 0

b Tìm GTNN của C nếu a > 0

III Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng 2

A(x)

0

k  hoặc 2

A(x)

0

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số A(x) 3x22 6x 10

x 2x 3



(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải: Từ A(x) 3x22 6x 10

x 2x 3



Ta có A(x) =

3

Vì (x+1)2  0 với x nên (x+1)2+22 với x

Do đó: 2

2 (x 1)   2 

(x 1) 2

Max A(x) = 31

2 khi (x+1)2 = 0  x = -1

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) = 2x22 16x 41

x 8x 22

  với x R 

(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải: Từ B(x) =

2

Vì (x- 4)2  0 với  x nên (x- 4)2+6 6

6 2 (x 4)   6  

2

2 2 (x 4) 6

Min B(x) = 3

2 khi (x- 4)2 = 0  x = 4

Bài tập vận dụng:

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau ( nếu có ):

a/

9

12 27

2 



x

x

b/

1

3 2 3

2 2







x

x x

c/

5 2

17 6 3

2 2









x x

x x

d/

9 9 6 3

27

2 3 4

6











x x x x

x

IV Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cosi.

- Bất đẳng thức Cosi cho 2 số

Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức a b 2 ab

2





Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Bất đẳng thức Cosi cho n số:

Cho n số a1, a2, an không âm, ta có bất đẳng thức:

1 2 n

a a a

a ,a a n



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

+ Bài toán:

a Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

b Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải:

a Ta cần chứng minh rằng với x >0; y > 0 và xy = k (không đổi) thì x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:

x + y  xy mà xy = k (không đổi) Nên ta có: x+y  2 xy  2 k (1)

Vậy tổng P = x + y lấy giá trị nhỏ nhất x + y = 2 k khi x = y

b Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x + y = k (hằng số)

Từ (x+y)2 4xy  xy k2

4



Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng k2

4 khi x = y

Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài toán cực trị đại số

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A(x) = ( x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x - x2 )

(Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải: Các biểu thức x2-3x+1 và 21+3x-x2 có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

x2 - 3x + 1 = 21+ 3x - x2  x2 - 3x – 10 = 0 x1 = 5 ; x2 = -2

Khi đó A=11.11 = 121

Vậy Max A = 121  x = 5 hoặc x = -2

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của

B(x) = 16x2 4x 1

2x

với x > 0 (Nâng cao và phát triển Toán 8)

Giải: Từ B(x) = 16x2 4x 1

2x

  Ta có B(x) = 8x + 2 + 1

2x Hai số 8x và 1

2x

là hai số dương, có tích không đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi

và chỉ khi 8x = 1

2x  16x2 =1 x = 1

4 (x>0) Vậy Min B =

2

 

Bài tập vận dụng:

Tìm GTNN của

a/ A= ( a + b ) 













b a

1 1

với a, b > 0

b/ B= ( a + b + c ) 















c b a

1 1 1

với a, b, c > 0

c/ C= ( a + b + c + d ) 

















d c b a

1 1 1 1

với a, b, c, d > 0

V Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số:

Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:

A= m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

( Báo toán học tuổi trẻ )

Giải:

A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p

= (m-2p)2 + (p-1)2 27 + 10(m-2p)

Đặt X = m-2p Ta có A=x2 + 10X + 27 + (p-1)2

= (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + 2 = (X+5)2 + (p-1)2 + 2

Ta thấy: (X + 5)2  0 với m, p; (p-1)2  0 p

Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:

hay

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1

Ví dụ 8:Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị

nhỏ nhất P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu

thức đã cho về tổng các biểu thức không âm

Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2)

+ 2x2 + 5 = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + 5

Ta thấy: (x+2y)2

 0 với x, y

(3y-2z)2  0 với y,z (x-z)2  0 với x, z

x2  0 với x, y

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm

x 2y 0

x 0 3y 2z 0

y 0

x z 0

z 0

x 0







 

 



Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y=0, z = 0.

- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ +

Với A k12, B k22, C k32, thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B, C đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó

P(min) = k12+k22+k32+

Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:

2 1 2 2 2 3

A k

B k

C k

 

















Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=7x 5y   2z 3x   xy yz xz 2000     t 2  t 2005 

Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ

Giải:

Ta có : A=

2

Vì   0   Q và

2

1

2

  nên A 20043

4



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

xy yz zx 2000 0 (3)

1

2













Từ (1) ta có: y=7x

5 Từ (2) ta có: z 3x

2



Thay vào (3) ta được:

<=> x2 =400 <=> x= 20

- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30

- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30

Ngoài ra, từ (4) ta có: t=1

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 20043

4, đạt được khi (x;y;z;t) = (20;28;30; 1

2) Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; 1

2)

Bài tập vận dụng:

Tìm GTNN của các biểu thức:

a x2 - 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17

b 2x2 + 2xy + 5y2 - 8x – 22y

VI Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Cho 2n số a1, a2 , an; b1, b2, bn ta luôn có: (a1b1 + a2b2+ + anbn) 

(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

b b  b

2 Các ví dụ:

Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị

nhỏ nhất P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995

Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z

Ta có: (x.1+y.1+z.1)2  (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)

Hay: (x+y+z)2  3(x2 + y2 + z2)

Từ đó ta có P = x2 + y2 + z2 

2

(x y z) 3

 

mà x+y+z = 1995 => Ta có:

P= x2 + y2 + z2 19952

3

 với  x, y, z

loại vì P (x,y) >0

Pmin = 19952

3 khi x y z

1 1 1 hay x = y = z

Mà x+y+z = 1995 <=> x=y=z = 1995

3 =665

Ví dụ 11: Cho x2 + y2 =52 Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x 3y 

Giải:

áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số 2, 3; x,y, ta có: (2.x+3.y)2  (22 + 32 )(x2 + y2)

(2x+3y)2

 13.52262 2x 3y   26

Max A = 26 <=> x y y 3x

2 3   2

Thay y 3x

2

 vào x2 + y2 = 52 ta có x2 + 9x2 52 x 4

Vậy Max A = 26 <=> x=4; y=6 hoặc x= - 4; y= - 6

Bài tập vận dụng:

1 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A= 2x + 3y

2.

VII Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó:

Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện

xy 216

x 0

y 0











 



Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0

=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2  4.6x.4y=96.xy

Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]2 96.216=20736

<=> (x,y)

(x,y)











Min P(x,y) = 144 khi x= 12; y = 18

Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x)

biết x, y, z  0 và x+y+z=1.

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm x, y, z ta có:

1 = x+y+z  33 xyz (1)

2 = (x+y)+(y+z)+(z+x)  33 (x y)(y z)(z x)    (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm)

Ta có: 2

3

9

 

 

Max A =

3

2 9

 

 

  khi và chỉ khi x=y=z=1

3

Bài tập vận dụng:

3 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTNN của P= x  xyz y

4 Cho x, y, z > 0 ; z  60 và x + y + z = 100 Tìm GTLN của

Q = xyz

VIII Phương pháp dùng tam thức bậc hai:

1 Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.

Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x 

Giải: Điều kiện x 2

Đặt 2 x  = y 0 Ta có y2 = 2-x

A = 2-y2 + y =

2

y

     

4  2   4 4

2 Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.

Ví dụ 15:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A= x2 + y2

Biết rằng x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1

Giải: Từ x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 Suy ra: (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 0

Do đó: A2 - 4A + 30 <=> (A-1)(A-3) 0 <=> 1A3

Min A=1 <=> x=0 khi đó y=1

Min A=3 <=> x=0 khi đó y= 3

3 Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện  0

Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A=x22 x 1

 

 

Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau

đây có nghiệm a = x22 x 1

 

  (1)

Do x2 +x+1 =

2

Nên (1) <=> ax2 + ax+a=x2 -x+1

<=> (a-1)x2 + (a-1)x+a-1=0 (2)

Trường hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0

Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là  0

=>  = (a+1)2 - 4(a-1)2 0

<=> (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) 0

<=> (3a-1)(a-3)0

<=> 1 a 3 (a 1)

Với a =1

3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x=2(a 1)(a 1) 2(1 a)a 1

Với a = 1

3 thì x = 1; với a = 3 thì x = -1 Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có

Min A=1

3 khi và chỉ khi x = 1 Max A= 3 khi và chỉ khi x= -1

Bài tập áp dụng:

1 Tìm GTNN của M= 2

2 ) 1 2 (

1 6 4







x

x x

, với x # 21

N =

1

3 2 3

2 2







x

x x

P =

5 2

17 6 3

2 2









x x

x x

IX

Giải bài toán cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Kiến thức: * ab a  b Dấu = xảy ra khi ab  0

* a b a  b Dấu = xảy ra khi ab> 0 và a  b

Ví dụ 17: Tìm GTNN của biểu thức A= x 3  x 7

Giải: Ta có A = x 3  x 7

<=> A = x 3  7  x Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được

A = x 3  7  x x 3  7  x  4  4

=> A  4

Vậy Min A= 4, khi (x – 3)(7 – x) 0 <=> 3  x  7

Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức: B= x 1004  x 1003

Giải: Áp dụng BĐT a b a  b , ta có:

B= x 1004  x 1003  (x 1004 )  (x 1003 )  2007

Vậy Max B = 2007 Dấu = xảy ra khi: x  - 1003

Bài tập vận dụng:

1 Tìm GTNN của









x

b D= x 1  x 2  x 3  x 4

2 Tìm GTLN của E= x y  y z  x z , với 0 x, y, z  3

PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN

Toán cực trị Đại số là một dạng toán khó đối với học sinh Để giải loại toán này cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách linh hoạt Trên đây là một số phương pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay được sử dụng để giải các bài toán cực trị đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ các bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ đó học sinh vận dụng để giải các bài tập

Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ở dạng khó hơn Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung

Trên đây là một kinh nghiệm được tôi rút ra từ quá trình dạy học Đề tài này tôi còn tiếp tục nghiên cứu Trong bài có gì thiếu sót mong được sự đóng góp chân thành của các đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn !

Định Tân, Ngày 10 tháng 04 năm 2011

NGƯỜI THỰC HIỆN

Lưu Việt Thu