CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 9 40

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN Câu Cho M điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD Chứng minh MA + MC = MB + MD µ + Cµ = 900 Chứng minh Câu Cho tứ giác ABCD có D AB +CD = AC + BD Câu Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Lấy D thuộc cạnh AC , điểm E thuộc tia đối tia HA cho AD HE · = = Chứng minh BED = 900 AC HA Câu Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến cắt canh BC CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F Chứng minh rằng: 1 Câu + = 2 AE AF AD µ = 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc Cho hình thoi ABCD với A · 150 cắt cạnh BC M , cắt đường thẳng CD N BAx Chứng minh rằng: 1 + = AM AN 3AB Câu Cho tam giác cân ABC , µ = 200, AB = AC , AC = b, BC = a Chứng minh rằng: A a3 + b3 = 3ab2 Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, a b c = = sin A sin B sinC Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Chứng BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng: minh rằng: sin A a Câu Cho góc vng xOy điểm A £ b+c 35 cố định thuộc tia Oy , điểm B Ỵ Ox cho OA = OB Điểm M chạy tia Bx Đường vng góc với OB B cắt AM I Chứng minh tổng 1 không đổi + AI AM Câu 10 Cho hình thang vng ABCD có A = D = 90o, AB = 9cm,CD = 16cm, BC = 25cm Điểm E thuộc cạnh BC cho BE = AB · a) Chứng minh: AED = 900 b) Tính AE , DE CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN ( ) Câu 11 Cho đường tròn O; R , R = 4cm vẽ dây cung AB = 5cm , C điểm dây cung AB cho AC = 2cm Vẽ CD vng góc với OA D Tính độ dài đoạn thẳng AD ( ) Câu 12 Cho đường trịn O;R , AC BD hai đường kính Xác định vị trí hai đường kính AC BD để diện tích tứ giác ABCD lớn Câu 13 Cho đường tròn (O; R) từ điểm M bên ngồi đường trịn ta kẻ hai đường thẳng cắt đường tròn điểm A, B C , D biết AB = CD Chứng minh MA = MC ( ) Câu 14 Cho đường trịn O; R đường kính AB,CD dây cung ( ) · O , COD = 900 , CD cắt AB M ( D nằm C M ) OM = 2R Tính độ dài đoạn thẳng MD, MC theo R ( ) Câu 15 Cho điểm C nằm hai điểm A B Gọi O đường tròn qua A B Qua C vẽ đường thẳng vng ( ) góc với OA , cắt đường tròn O D E Chứng minh độ dài AD, AE không đổi 36 ( ) Câu 16 Cho đường tròn O; R , hai bán kính OA OB vng góc O C D điểm cung AB cho AC = BD hai dây AC , BD cắt M Chứng minh OM ^ AB ( ) Câu 17 Cho điểm A ngồi đường trịn O;R Vẽ cát tuyến ABC tiếp tuyến AM với đường tròn ( O ) M tiếp điểm Chứng minh AB + AC ³ 2AM Câu 18 Cho đoạn thẳng AB , đường thẳng d d ' vng góc với AB A B M trung điểm AB Lấy · C , D d,d ' cho CMD = 900 Chứng minh CD tiếp tuyến dường tròn đường kính AB ( ) Câu 19 Từ điểm P nằm ngồi đường trịn O;R vẽ hai tiếp ( ) tuyến PA PB tới đường tròn O;R với A B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc vẽ từ A đến đường kính BC đường tròn Chứng minh PC cắt AH trung điểm I AH Câu 20 Một đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC D, E Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD ; CM cắt DE I Chứng minh ( IM DM = IC CE ) Câu 21 Cho đường tròn O;r nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Vẽ đường kính DE ; AE cắt BC M Chứng minh BD = CM Câu 22 Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Đường tròn tâm I đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với BC ( ) F Vẽ đường kính DE đường trịn O Chứng minh A, E , F thẳng hàng 37 Câu 23 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC , AB, AC D, E , F Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD, DF M , N Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng EN Câu 24 Cho tam giác nhọn ABC Gọi O trung điểm BC Dựng đường trịn tâm O đường kính BC Vẽ đường cao AD ( ) tam giác ABC tiếp tuyến AM , AN với đường tròn O ( M , N tiếp điểm) Gọi E giao điểm MN với AD Hãy chứng minh AE AD = AM Câu 25 Cho tứ giác ABCD có đường trịn đường kính AD tiếp xúc với BC đường trịn đường kính BC tiếp xúc với AD Chứng minh AB / / CD Câu 26 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BC , D » = 600 Gọi M giao điểm nủa đường tròn cho sđCD điểm AD với BC Chứng minh BM = 2MC ( ) ( ) Câu 27 Cho đường tròn O; R O ';R ' tiếp xúc A ( R > R ') Tiếp tuyến điểm M ( ) ( ) O ';R ' cắt O;R · · B C Chứng minh BAM = MAC ( ) Câu 27 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R , AH ( ) đường cao H Ỵ BC Chứng minh rằng: AB.AC = 2R.AH µ nhọn nội tiếp đường tròn Câu 28 Cho tam giác ABC có A (O;R ) Chứng minh rằng: BC · = 2R sin BAC ( ) ( ) Câu 29 Cho hai đường tròn O O ' cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD EAF (C E nằm đường 38 ( ) ( ) tròn O , D F nằm đường tròn O ' ) cho · · Chứng minh CD = EF CAB = BAF ( ) Câu 30 Cho đường trịn O đường kính AB C điểm ( ) cung AB (C khác A B ) Vẽ CH ^ AB H Ỵ AB Vẽ đường ( ) ( ) tròn C ;CH cắt đường tròn O D E DE cắt CH M Chứng minh MH = MC ( ) Câu 31 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R Vẽ AD · · đường cao tam giác ABC Chứng minh BAD = OAC Câu 32 Cho hình bình hành ABCD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường thẳng AC E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc với BD Câu 33 Cho đoạn thẳng AB M điểm di động đoạn thẳng AB ( M khác A B ) Vẽ đường thẳng xMy vng góc với AB M Trên tia Mx lấy C D cho MC = MA, MD = MB Đường trịn đường kính AC cắt đường trịn đường kính BD N ( N khác A ) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định ( ) Câu 34 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn O;R có đỉnh A cố định, đỉnh B,C di động.Dựng hình bình hành ABDC Chứng minh trực tâm H tam giác BDC điểm cố định ( ) Câu 35 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường tròn O đường kính BC Vẽ AD đường cao tam giác ABC , tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( O ) ( M , N tiếp điểm) MN cắt AD E Chứng minh E trực tâm tam giác ABC Câu 36 Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Từ A vẽ tiếp ( ) tuyến AM , AN với đường tròn O đường kính BC ( M , N tiếp điểm) Chứng minh M , H , N thẳng hàng 39 Câu 37 Cho tam giác ABC cân đỉnh A , đường trung trực AB cắt BC D Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Câu 38 Cho tam giác ABC ( Aµ = 90 ) AB < AC Vẽ đường tròn tâm A bán kính AB cắt BC D , cắt AC E Chứng minh DB CB = EB Câu 39 Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) ( AB < AC , Aµ = 90 ) Đường trịn ( I ) qua B,C tiếp xúc với AB B , cắt đường thẳng AC D Chứng minh OA ^ BD Câu 40 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên ( ) AB nửa đường tròn ( O ') đường kính AO Trên ( O ') lấy điểm M (khác A O ), tia OM cắt ( O ) C , gọi D giao điểm thứ hai CA với ( O ') nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn O đường kính a) Chứng minh tam giác ADM cân ( ) b) Tiếp tuyến C O cắt tia OD E , xác định vị trí tương ( ) ( ) đối đường thẳng EA O O ' Câu 41 Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M ( ) điểm di động đường tròn O Điểm M khác A, B ; dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn tâm M vừa dựng a) Chứng minh BM , AM tia phân giác góc · · BAC ABD 40 b) Chứng minh ba điểm C , M , D nằm tiếp tuyến đường tròn tâm O điểm M c) Chứng minh AC + BD khơng đổi, từ tính tích AC BD theo CD d) Giả sử A, B nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa M có điểm N cố định gọi I trung điểm MN , kẻ IP vng góc với MB Khi M chuyển động P chuyển động đường cố định ( ) Câu 42 Cho nửa đường tròn O đường kính AB , điểm C thuộc ¼ , E giao điểm nửa đường tròn Gọi I điểm AC AI BC Gọi K giao điểm AC BI a) Chứng minh EK ^ AB b) Gọi F điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF tiếp ( ) tuyến O c) Chứng minh AK AC + BK BI = AB · d) Nếu sin BAC = ( Gọi H giao điểm EK AB ) Chứng minh K H K H + 2HE = 2HE K E ( ) đường tròn ( C ¹ A,C ¹ B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn ( O ) Gọi M điểm Câu 43 Cho đường tròn O đường kính AB = 2A , điểm C thuộc cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tính BC theo R 41 ( ) Câu 44 Cho đường tròn O; R đường kính AC Trên đoạn thẳng OC lấy điểm B vẽ đường trịn ( O ') có đường kính BC Gọi M trung điểm AB , qua M kẻ dây cung vng góc với AB cắt ( ) ( ) đường tròn O D E Nối CD cắt đường tròn O ' I a) Tứ giác DAEB hình có đặc tính gì? Vì sao? b) Chứng minh MD = MI MI tiếp tuyến đường tròn (O ') c) Gọi H hình chiếu vng góc I BC Chứng minh CH MB = BH MC Câu 45 Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường trịn tâm D đường kính BC tiếp xúc với AB, AC K , L Lấy điểm P thuộc cung nhỏ K L , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn P cắt cạnh AB, AC M , N a) Chứng minh D BMD : D CDN suy BM CN = b) Chứng minh SMDN SABC = BC MN 2BC c) Gọi E , F nằm cạnh AB, AC cho chu vi · D AEF nửa chu vi D ABC Chứng minh EDF = 600 Câu 46 Cho tam giác ABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn (O;R ) Các tiếp tuyến đường tròn (O ) A,C cắt M BM cắt đường tròn ( O ) D Chứng minh rằng: MA AD = MB AB AD.BC = AB CD a) 42 b) c) AB CD + AD.BC = AC BD d) D CBD cân ( ) Câu 47 Trên nửa đường trịn tâm O;R , đường kính AB lấy hai điểm M , E theo thứ tự A, M , E , B Hai đường thẳng AM BE cắt C , AE BM cắt D a) Chứng minh tứ giác MCED nội tiếp CD vng góc với AB b) Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE BC = BH BA c) Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O ) cắt điểm I thuộc CD · · d) Cho BAM = 450, BAE = 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R Câu 48 Cho tam giác ABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC Các điểm D, E di động cạnh AB, AC · cho DOE 600 a) Chứng minh BD.CE không đổi, · b) Chứng minh tia DO tia phân giác BDE c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE AC ( ) d) Gọi P ,Q tiếp điểm O với AB, AC I N giao điểm PQ với OD OE Chứng minh DE = 2IN ( ) Câu 49 Cho đường tròn O;R điểm A bên đường ( ) tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O ( B,C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB 43 a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh AM AO = AB AI c) Gọi G trọng tâm tam giác ACM Chứng minh MG / / BC d) Chứng minh I G vng góc với CM ( ) Câu 50) Cho đường tròn O;R nội tiếp D ABC , tiếp xúc với cạnh AB, AC D E a) Gọi O ' tâm đường trịn nội tiếp D ADE , tính OO ' theo R µ Cµ cắt đường thẳng DE b) Các đường phân giác B M N Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn c) Chứng minh MN DM EN = = BC AC AB PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Câu Giải: Vẽ ME ^ AB, E Ỵ AB EM cắt DC F Tứ giác AEFD có µ =E µ =D µ = 900 nên hình A · chữ nhật, suy EA = FD, MFD = 900 µ =B µ = Cµ = 900 Tứ giác EBCF có E 44 Để chứng minh E trực tâm tam giác ABC , ta cần chứng · = 900 , nghĩa cần có minh AFE AF AB = AE AD Nhưng ta có: AF AB = AM (Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến) dùng tam giác đồng dạng Câu 36 Giải: Gọi D, E giao điểm đường tròn (O ) với cạnh AC , AB H giao điểm BD,CE · · Chứng minh AMH , = AMN từ có M , H , N thẳng hàng Câu 37 Giải: Hai tam giác cân ABC , DAB · có chung góc đáy ABC , · · BAC Suy BA tiếp = ADC tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Câu 38 Giải: Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn ( O ) 61 · · ACB góc tạo xAB tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AB (O ) · · nên xAB = ACB · · ACB góc tạo tia tiếp tuyến dây ABD cung góc nội tiếp chắn cung BD ( I ) nên · · ABD = ACB · · Do xAB = ABD Þ Ax / / BD Mà OA ^ Ax,OA ^ BD suy OA ^ BD Câu 39 Giải: Giả sử CA cắt ( O ) F EF » = BE » đường kính ( A;AB ) , ta có BF · · (vì BA ^ EF ) Ta có: BED = BFD , ỉ · · ằ - DE ẳ ữ= BCF BCE = s ỗ BF ỗ ữ ứ ố ổằ ằ = BFD à ẳ ữ= sBD s ç BE - DE ç ÷ ø 2 è · · Từ suy BED = ECB µ chung, BED · · Xét tam giác D BCE , D BED có B = ECB Þ D BCE $ D BED Û Câu 40) Giải: 62 BC BE = Þ DB CB = EB BE BD · a) Ta có OA = OC = a Þ D OAC cân O Mà ADO = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O ') ) Þ OD ^ AC Þ OD · · · đường phân giác AOC , nghĩa AOD = DOM ¼ (hai góc tâm ¼ = DM Þ AD nên cung chắn nhau) Þ AD = DM Þ D ADM cân D b) D AOE D COE có OE (chung); · · (cmt); OA = OC = a , D AOE = D COE (c.g.c) AOE = COE · · Þ EAO = ECO = 900 hay EA ^ AB A , OA = a bán kính (O ) Þ EA tiếp tuyến ( O ) (O ') Câu 41 Giải: a) Do BD, BH hai tiếp tuyến cắt đường tròn ( M ) · Þ BM tia phân giác ABD · ¶ +B ¶ = HBD Lý luận tương Þ B 2 tự AM tia phân giỏc ca à BAC à BAC ả ị A1 = A2 = · b) AMB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) +B ả = 900 Þ A 1 63 · · HBD + BAC · · = 900 Þ HBD + BAC = 1800 Vậy AC / / BD , mà MD ^ BD, MC ^ AC (gt) nên M ,C , D thẳng hàng Ta có OM đường trung bình hình thang vng ABDC nên OM / / AC mà CD ^ AC (gt) Þ OM ^ CD M , CM bán Þ kính ( M ) Þ CD tiếp tuyến đường tròn ( O ) M c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn, có: ìï AC = AH ï Þ AC + BD = AH + BH = AB = 2R ( const ) Áp dụng í ïï BD = BH ỵ hệ thức lượng tam giác vuông: CD (do D CHD vng có HM trung tuyến ứng với cạnh huyền) AC BD = AH BH = MH = d) Ta có I P / / AM (vì vng góc với MB ).Kéo dài IP cắt AN K ; D AMN có IK đường trung bình Þ K trung điểm AN Mà A, N cố định nên K cố định Điểm P ln nhìn hai điểm K , B cố định góc vng nên P chuyển động đường trịn đường kính K B Câu 42 Giải: · B = 900 (góc nội tiếp a) Ta có AI chắn nủa đường trịn) Þ BI ^ AE Tương tự AC ^ BE Þ D AEB có hai đường cao AC , BI cắt K Þ K trực tâm D AEB Þ EK ^ AB (tính chất ba đường cao) 64 º = IC » Þ IBA à à ẳ ị IA b) Do I l im AC (hai = IBC · · góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Mà IAC = IBC · · » ) Þ IAC (hai góc nội tiếp chắn IC = IBA D FAK có AI đường cao ( AI ^ BI ) đồng thời đường trung tuyến ( F K đối xứng qua I ) · · Þ D FAK cân A Þ FAI Ta có = IAK · · · · · · · FAB = FAI + IAB = IAK + IAB = IBA + IAB = 900 Þ AF ^ AB A Þ AF tiếp tuyến ( O ) · AH = c) sin K KH mà AK KH Þ = Þ AK = HK D ABE có BI vừa AK đường cao vừa đường phân giác Þ D ABE cân B nên · sin BAC = BI đường trung trực Þ K A = K E ( K Ỵ BI ) ổ3 ữ ỗ ữ EH = EK + K H = ỗ + K H Ta cú ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ộ ự ổ3 ữ ỗ ữ ỗ K H ( K H + 2HE ) = K H êK H + 2ỗ + 1ữ KH ỳ = 3+ K H ỳ ữ ỗ ữ ỳ ỗ ê è ø ë û ( ỉ3 ÷ ỗ ữ ỗ HK HK = V 2HE K E = 2ỗ + 1ữ ữ ỗ ữ ç è ø ( ) ) + HK Suy K H ( K H + 2HE ) = 2HE K E Câu 43 Giải: ¼ a) Do M điểm AC 65 [ à à ẳ ẳ = MC ị NBM = ABM Þ MA (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Þ BM đường phân · giác ABN D ABM Mặt khác · BMA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) D BAN có BM vừa đường cao vừa đường phân giác Þ D BAN cân B · · · · · Ta lại có BAN (vì bù BCM ) Do Þ BAN = BNA = MCN · · BNA Þ D CMN cân M = MCN · · b) Do MB = MQ (gt) Þ D BMQ cân M Þ MBQ = MQB · · (vì bù với hai góc nhau) MCB = MNQ Þ D BCM : D QNM (g.g) Þ BC CM = = (do D CMN cân QN MN · M nên CM = MN ) Þ QN = BC BCA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét D BAQ vng A , AC ^ BQ có: AB = BC BQ = BC ( BN + NQ ) = BC ( AB + BC ) (1) Đặt BC = x, x > 0, biết AB = 2R , từ (1) cho 4R = x ( 2R + x) Û x2 + 2Rx - 4R = D ' = R + 4R = 5R Þ , x1 = = MB - R + R D ' = R 5MA x2 = - R - R < (loại) Vậy BC = Câu 44 Giải: a) Đường kính AC vng góc với dây DE M Þ MD = ME 66 ( ) 5- R Tứ giác ADBE có MD = ME , MA = MB (gt), AB ^ DE Þ ADBE hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc nhau) · C = 900 (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn ( O ') ) b) Ta có BI · ADC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) ) Þ BI ^ CD AD ^ DC nên AD / / BI , mà BE / / AD Þ E , B, I thẳng hàng (tiên đề Ơclit) D DI E có IM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Þ MI = MD Do MI = MD (cmt) Þ D MDI · · cân M Þ MID = MDI · 'I C = O · 'CI Suy + O 'I = O 'C = R Þ D O 'IC cân O ' Þ O · · 'IC = MDI · · 'CI = 900 ( D MCD vuông M ) Vậy MID +O +O MI ^ O 'I I , O 'I = R ' bán kính đường trịn ( O ') Þ MI tiếp tuyến đường tròn ( O ') · · c) BCI (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây = BIM » ) BCI · · · cung chắn BI (cùng phụ HIC ) = BIH · M = BIH · · H D MIH Ta lại có Þ BI Þ I B phân giác MI BI ^ CI Þ IC phân giác đỉnh I D MIH Áp dụng tính chất phân giác D MIH có: BH IH CH = = Þ CH MB = BH MC MB MI CM Câu 45 Giải: · DL + K · AL = 1800 Xét tứ giác AK DL có K · DL = 1800 - 600 = 1200 µ = Lµ = 900 ) Þ K (vì K 67 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt · DP PDL · ta có DM , DN tia phân giác K · DP + PDL · · DL K K 1200 · Þ MDN = = = = 600 Ta có: 2 · · · · MDC = MDN + NDC = 600 + NDC ; · µ + BMD · · (góc ngồi D BMD ) MDC =B = 600 + NDC · · · · , mà MBD Þ NDC = BMD = DCN = 600 ( D ABC đều) Þ D BMD : D CDN (g.g) Þ BM BD BC = Þ BM CN = BD.CD = CD CN MN PD MN PD MN K D MN = = = = b) Ta có SABC BC AD BC AD 2BC AD.BC · Vì D Ỵ MD tia phân giác BMN Þ DK = DP , D AK D có SMDN µ = 900, K · AD = 300 Þ K D = AD Þ K D = K AD c) Dựng đường trịn bàng tiếp góc A có tâm O D AEF Do AD đường trung tuyến D ABC nên · Suy O Ỵ AC Gọi P ', K ', L ' lần AD tia phân giác BAC lượt tiếp điểm ( O ) với EF , AB, AC Ta có AK ' = AL ';P 'E = EK ';P 'F = FL ' (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Þ PAEF = AE + EF + FA = AE + EP '+ P 'F + FA = AE + EK '+ FL '+ FA = AK '+ AL ' = 2AK ' Mà PAEF = PABC (gt) Þ 2AK ' = PABC = AB ( D ABC đều) 2 68 AB (vì AK '+ K 'B = AB ) Þ AK ' = AB Þ BK ' = 4 ỉ BD BC AB ữ ữ Mt khỏc BD = ỗ ( D l trung = ị BK '.AB = ỗ ữ ữ ỗ 4 ố2 ứ im BC ); AB = BC ( D ABC đều) Þ BK '.AB = BD Þ D BK D ' : D BDA (c.g.c) · · · Þ BK 'D = BDA = 900 Ta lại có OK 'B = 900 Þ O º D (vì · 'AL ' + K · 'DL ' = 1800 (vì AK 'DL ' tứ giác O, D Ỵ AD ) Mà K · · · 'AL ' = 600 Þ K nội tiếp) mà K 'DL ' = 1200 Þ EDF = 600 (tia phân giác hai góc kề) Câu 46 Giải: · a) Xét D MAD D MBA có AMB chung; · · (góc nội tiếp, góc tạo tia MAD = MBA ¼ ) tiếp tuyến dây chắn AD Þ D MAD$ D MBA (g.g) Þ MA AD MD = = MB AB MA b) Ta có MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn) Þ tương tự, ta có MD MD Lập luận = MA MC MD CD Suy = MC BC AD CD = Þ AD.BC = AB CD AB BC · · c) Dựng điểm E Ỵ AC cho EDC = ADB 69 · · · · (cách dựng), ABD D DAB D DEC có ADB = EDC = ECD ¼ ) Þ D DAB $ D DEC (g.g) (hai góc nội tiếp chắn AD AB BD = Þ AB DC = EC BD (1) Do EC DC · · · · , nên D DAE $ D DBC (g.g) EDC = ADB Þ BDC = ADE Þ AD.BC = BD.AE (2) Þ Từ (1) (2) ta có AB CD + AD.BC = BD ( AE + EC ) = BD.AC ìï AD.BC = AB.CD ï Þ 2AB.CD = AC BD c) Ta có í ïï AD.BC + AB.CD = AC BD ỵ Mà AC = 2AB (gt) Þ 2AB CD = 2AB.BD Þ CD = BD Suy tam giác BCD cân D Câu 47 Giải: a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta có: · · AEB = AMB = 900 , · · BMC = AEC = 900 · · Þ AEC + BMC = 1800 Þ Tứ giác MCED nội tiếp đường trịn D ABC có hai đường cao BM , AE cắt D Þ D trực tâm D ABC Þ CD ^ AB BE BH = Þ BE BC = BH AB AB BC c) + Gọi I giao điểm tiếp tuyến M đường tròn · b) cosABC = (O ) · với CD Trong đường trịn ( O ) có I·MD = MAB (góc nội ¼ ), tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn MB 70 · · · · (cùng phụ với ACH ) Þ I·MD = MDI Þ D I MD cân MAB = MDI I Þ IM = ID Ta lại có I·MC = I·CM (cùng phụ với hai góc nhau) Þ D MIC cân I Þ IM = IC Vậy IM = ID = IC Þ I trung điểm CD + D CED có EI trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I E = IC = ID = I M , D CED D IED có IM = IE (cmt), OI chung, OM = OE = R Þ D IMO = D IEO (c.c.c) · Þ I·EO = IMO = 900 Þ IE ^ OE ,OE = R nên IE tiếp tuyến đường tròn ( O ) E Nghĩa tiếp tuyến M , E đường tròn ( O ) cắt điểm I thuộc CD µ = 900 , CAH · d) D AHC có H = 450 Þ D AHC vng cân H · · Þ CH = AH = x EAB = 300 Þ EBA = 600 ; · cot EBA = HB 3 Ta có = cot 600 = Þ HB = HC = x HC 3 AB = AH + HB Þ 2R = x + Vậy SABC = ( 6R Þ x= = R 33 3+3 ( AB CH = 2R.R 2 ) ) R (đvdt) Câu 48 Giải: ìï · · ïï BDO + BOD = 180 a) Ta có í · · ïï BOD + COE = 1800 ïỵ µ = 1200 B · · ·DOE = 1200 Þ BDO = COE , · µ = 600 mà DOE =B 71 Þ D BDO : D COE (g.g) Þ Þ BD.CE = OB OC = b) BD OB = OC CE BC (không đổi) D BDO : D COE OD BD BD mặt khác = = OE OC OB (c.g.c) , · · · · Þ BDO = ODE DBO = DOE = 600 Þ D BDO : D ODE mà tia nằm hai tia tia phân giác DB, DE Þ DO DO · BDE Þ c) D ABC nên đường trung tuyến AO đường · phân giác BAC , mà DO phân giác đỉnh D Þ O tâm đường trịn bàng tiếp góc A D ADE Þ ĐƯờng trịn ( O ) tiếp xúc DE , AC d) AP = AQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), AB = AC AP AQ · · · = Þ PQ / / BC Þ IQA = ACB = 600 , mà DOE = 600 AB AC · Þ IQE = I·OE = 600;O,Q hai đỉnh liên tiếp tứ giác IOQE Þ Þ Tứ giác IOQE nội tiếp (cùng thuộc cung chứa góc) · · · Suy EIO = EQO = 900 Lý luận tương tự DNE = 900 Vậy tứ · E DNE · giác DINE ( DI nhìn DE góc · · vng) Þ ONI Vậy D ONI : D ODE (g.g) = ODE Þ IN ON = = cos600 = Þ DE = 2NI DE OD Câu 49 Giải: a) Do AB, AC hai tiếp tuyến 72 cắt đường tròn ( O ) · · nên ABO = ACO = 900 Þ B,C thuộc đường trịn đường kính OA có tâm I trung điểm b) Ta OA AB 2AI = AB AI c) Gọi E trung điểm MA , G trọng tâm D CMA nên có AM AO = GE ME (vì MA MB G Ỵ CE = Mặt khác = ME = = CE BE 2 BE GE ME ) Þ , theo định lý Ta-lét đảo = CE BE Þ MG / / BC nên ME = d) Gọi G ' giao điểm OA CM Þ G ' trọng tâm G 'M GE , theo định lý Ta-lét đảo = = CM CE ' GG '/ / ME (1) D ABC Nên MI đường trung bình D OAB Þ MI / / OB , mà AB ^ OB (cmt) Þ MI ^ AB , nghĩa MI ^ ME (2) Từ (1) (2) cho MI ^ GG ' , ta lại có GI ' ^ MK (vì OA ^ MK ) nên I trực tâm D MGG ' Þ GI ^ G 'M tức GI ^ CM Câu 50 Giải: a) Gọi O ' giao điểm AO với cung nhỏ DE đường trịn (O ) Þ O ' thuộc đường phân giác µ D ADE Ta có A 73 · · (tính chất hai tiếp DOA = EOA · · tuyến cắt nhau) Þ DO ' = O 'E ¼ · ¼ · · · Mà ADO ' = sđ DO ';EDO ' = sđO 'E Þ ADO ' = EDO ' Þ DO ' l 2 ị O ' l tâm đường trịn nội tiếp D ADE Do phân giác D OO ' = R b) Do AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Þ D ADE · · 1800 - BAC BAC · cân A nên ADE Mà = = 90 2 · ABC · · · · (do BO phân giác ADE = ABM + NMB = + NMB · ABC · ·ABC nên ABM ) = µ · · · B BAC + ABC ACB · · Mặt khác Þ NMB = ADE = 90 = 2 · ACB · · (do CO tia phân giác ACB ) Suy NCB = · · , mà M ,C hai đỉnh liên tiếp tứ giác NMB = NCB BCMN Þ Tứ giác BCMN nội tiếp (vì thuộc cung chứa góc) · · · · c) D NMO D BCO có NOM (đối đỉnh); NMO = BOC = BCO (cmt) Þ D NMO$ D BCO (g.g) Þ D DMO$ D ACO (g.g) Þ Þ 74 OM ON MN Tương tự = = OC OB BC DM OM ; D NEO$ D BAO (g.g) = AC OC NE ON MN DM EN Vậy = = = AB OB BC AC AB Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ môn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ 75 ... 10 Cho hình thang vng ABCD có A = D = 90 o, AB = 9cm,CD = 16cm, BC = 25cm Điểm E thuộc cạnh BC cho BE = AB · a) Chứng minh: AED = 90 0 b) Tính AE , DE CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ... CB = EB Câu 39 Cho tam giác vng ABC nội tiếp đường trịn (O;R ) ( AB < AC , Aµ = 90 ) Đường trịn ( I ) qua B,C tiếp xúc với AB B , cắt đường thẳng AC D Chứng minh OA ^ BD Câu 40 Cho đoạn thẳng... CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN Câu Giải: Vẽ ME ^ AB, E Ỵ AB EM cắt DC F Tứ giác AEFD có µ =E µ =D µ = 90 0 nên hình A · chữ nhật, suy EA = FD, MFD = 90 0