CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số bài tập toán nâng cao LỚP 9 1 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh ﾧ là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ﾧ. b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : ﾧ c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : ﾧ 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ﾧ 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) ﾧ b) ﾧ c) ﾧ d) ﾧ 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn ﾧ nhưng nhỏ hơn ﾧ 19. Giải phương trình : ﾧ. 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 21. Cho ﾧ. Hãy so sánh S và ﾧ. 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì ﾧ là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : a) ﾧ b) ﾧ c) ﾧ. 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : a) ﾧ b) ﾧ với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? 7 a b ab 2 + ≥ bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + a b a b+ > − 2 1 A x 4x 9 = − + 7 15 và 7+ 17 5 1 và 45+ + 23 2 19 và 27 3 − 3 2 và 2 3 2 3 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − − 1 1 1 1 S 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1 = + + + + + − + − 1998 2. 1999 a x y 2 y x + ≥ 2 2 2 2 x y x y 0 y x y x + − + ≥ ÷ ÷ 4 4 2 2 4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x + − + + + ≥ ÷ ÷ ÷ 1 2+ 3 m n + 2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : ﾧ. 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : ﾧ. 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng : ﾧ. 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ﾧ. 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : ﾧ với x, y, z > 0. 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : a) ab và ﾧ là số vô tỉ. b) a + b và ﾧ là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : ﾧ 39. Chứng minh rằng ﾧ bằng ﾧ hoặc ﾧ 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : ﾧﾧ 42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : ﾧ. c) Giải phương trình : ﾧ 43. Giải phương trình : ﾧ. 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : ﾧ ﾧ 45. Giải phương trình : ﾧ 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ﾧ. 2 2 2 2 x y x y 4 3 y x y x + + ≥ + ÷ 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + x y x y+ ≤ + 2 1 A x 6x 17 = − + x y z A y z x = + + a b a b a b c d 2 b c c d d a a b + + + ≥ + + + + 2x 2 x 2 x 1+ 2 2 2 1 1 1 2 A= x 3 B C D E x 2x x x 4x 5 1 x 3 x 2x 1 − = = = = + + − + − − − − − 2 G 3x 1 5x 3 x x 1= − − − + + + 2 2 M x 4x 4 x 6x 9= + + + − + 2 2 2 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + − + = + + 1998 2. 1999 2 2 2 1 1 A x x 2 B C 2 1 9x D 1 3x x 5x 6 = + + = = − − = − − + 2 2 2 1 x E G x 2 H x 2x 3 3 1 x x 4 2x 1 x = = + − = − − + − − + + 2 x 3x 0 x 3 − = − A x x= + 3 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ﾧ 48. So sánh : a) ﾧ b) ﾧ c) ﾧ (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : ﾧ. 50. Tính : ﾧ ﾧ (n ≥ 1) 51. Rút gọn biểu thức : ﾧ. 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : ﾧ 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ﾧ. 54. Giải các phương trình sau : ﾧ ﾧ ﾧ ﾧ 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: ﾧ. 56. Rút gọn các biểu thức : ﾧ 57. Chứng minh rằng ﾧ. 58. Rút gọn các biểu thức : ﾧ. 59. So sánh : ﾧ 60. Cho biểu thức : ﾧ a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các biểu thức sau : ﾧ ﾧ B 3 x x= − + 3 1 a 2 3 và b= 2 + = + 5 13 4 3 và 3 1− + − n 2 n 1 và n+1 n+ − + − 2 2 A 1 1 6x 9x (3x 1)= − − + + − a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2− + − 2 2 d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + − + = + − + − − 8 41 M 45 4 41 45 4 41 = + + − 2 2 2 (2x y) (y 2) (x y z) 0− + − + + + = 2 2 P 25x 20x 4 25x 30x 9= − + + − + 2 2 2 2 2 a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0− − − − = − + = − + + − = 4 2 2 d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5− − + = + + + − = − + − = − 2 2 2 h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25− + + − + = + + − = − k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ − − + + − − = + + − = + + − 2 2 x y 2 2 x y + ≥ − a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 + + + + − + − − + + + + + + − + + − + + 6 2 2 3 2 2 + = + ( ) ( ) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D 2 3 + + + − − − + − − = = a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2+ + + − − 2 A x x 4x 4= − − + a) 11 2 10 b) 9 2 14− − 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 + + − + + + − + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 4 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : ﾧ 63. Giải bất phương trình : ﾧ. 64. Tìm x sao cho : ﾧ. 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : ﾧ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: ﾧ. 67. Cho biểu thức : ﾧ. a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2. 68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : ﾧ (20 chữ số 9) 69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x ﾧ| + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 71. Trong hai số : ﾧ (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ? 72. Cho biểu thức ﾧ. Tính giá trị của A theo hai cách. 73. Tính : ﾧ 74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : ﾧ 75. Hãy so sánh hai số : ﾧ ; ﾧ 76. So sánh ﾧ và số 0. 77. Rút gọn biểu thức : ﾧ. 78. Cho ﾧ. Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : ﾧ. 80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : ﾧ. 81. Tìm giá trị lớn nhất của : ﾧ với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 82. CMR trong các số ﾧ có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức : ﾧ. 84. Cho ﾧ, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n. 86. Chứng minh : ﾧ (a, b ≥ 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài ﾧ cũng lập được thành một tam giác. 2 x 16x 60 x 6− + < − 2 2 x 3 3 x− + ≤ 2 2 1 16 x a) A b) B x 8x 8 2x 1 x 2x 1 − = = + − + + − − 2 2 2 2 x x 2x x x 2x A x x 2x x x 2x + − − − = − − − + − 0,9999 9 2 n n 2 và 2 n+1+ + x y 2 y x + ≥ ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + − − + − + + 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ − + a 3 3 3 và b=2 2 1= − − 5 1 2 5 và 2 + + 4 7 4 7 2+ − − − 2 3 6 8 4 Q 2 3 4 + + + + = + + P 14 40 56 140= + + + 2 2 x 1 y y 1 x 1− + − = A 1 x 1 x= − + + ( ) 2 M a b= + 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ − + − + − + − N 4 6 8 3 4 2 18= + + + x y z xy yz zx+ + = + + ( ) 2 a b 2 2(a b) ab+ ≥ + a , b , c 5 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 88. Rút gọn : a) ﾧ b) ﾧ. 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : ﾧ. Khi nào có đẳng thức ? 90. Tính : ﾧ bằng hai cách. 91. So sánh : a) ﾧ 92. Tính : ﾧ. 93. Giải phương trình : ﾧ. 94. Chứng minh rằng ta luôn có : ﾧ ; (n ( Z+ 95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì ﾧ. 96. Rút gọn biểu thức : ﾧ A = ﾧ. 97. Chứng minh các đẳng thức sau : ﾧ (a, b > 0 ; a ≠ b) ﾧ (a > 0). 98. Tính : ﾧ. ﾧ. 99. So sánh : ﾧ ﾧ 100. Cho hằng đẳng thức : ﾧ (a, b > 0 và a2 – b > 0). Áp dụng kết quả để rút gọn : ﾧ ﾧﾧ 101. Xác định giá trị các biểu thức sau : ﾧ với ﾧ (a > 1 ; b > 1) ﾧ với ﾧ. 102. Cho biểu thức ﾧ a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P( x) < 0. 103. Cho biểu thức ﾧ. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. 104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: ﾧ ﾧ 2 ab b a A b b − = − 2 (x 2) 8x B 2 x x + − = − 2 2 a 2 2 a 1 + ≥ + A 3 5 3 5= + + − 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 + − − 2 3 2 3 P 2 2 3 2 2 3 + − = + + + − − x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + − + − − − = n 1.3.5 (2n 1) 1 P 2.4.6 2n 2n 1 − = < + 2 2 a b a b b a + ≤ + 2 x 4(x 1) x 4(x 1) 1 . 1 x 1 x 4(x 1) − − + + − − ÷ − − − a b b a 1 a) : a b ab a b + = − − 14 7 15 5 1 a a a a b) : 2 c) 1 1 1 a 1 2 1 3 7 5 a 1 a 1 − − + − + = − + − = − ÷ ÷ ÷ − − − + − a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48− − − + − + c) 7 48 28 16 3 . 7 48 + − − + ÷ a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7+ + + 16 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 2 + 2 2 a a b a a b a b 2 2 + − − − ± = ± 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 a) ; b) 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2 + − − + + − + + − − − + 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 + − − − − 2 2 2 2 xy x 1. y 1 a) A xy x 1. y 1 − − − = + − − 1 1 1 1 x a , y b 2 a 2 b = + = + ÷ ÷ a bx a bx b) B a bx a bx + + − = + − − ( ) 2 2am x , m 1 b 1 m = < + 2 2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 − − = − + 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 A 4 4 1 x x + − − + + + − = − + 2 a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4− − > + − − − 2 2 1 e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i) 2x x 3 − − − + − − + + − + 6 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 105. Rút gọn biểu thức : ﾧ, bằng ba cách ? 106. Rút gọn các biểu thức sau : ﾧ ﾧ. 107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ ﾧ a) ﾧ b) ﾧ 108. Rút gọn biểu thức : ﾧ 109. Tìm x và y sao cho : ﾧ 110. Chứng minh bất đẳng thức : ﾧ. 111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : ﾧ. 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : ﾧ. 113. CM : ﾧ với a, b, c, d > 0. 114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : ﾧ. 115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : ﾧ. 116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + ﾧ. 118. Giải phương trình : ﾧ 119. Giải phương trình : ﾧ 120. Giải phương trình : ﾧ 121. Giải phương trình : ﾧ 122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : ﾧ 123. Chứng minh ﾧ. 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học : ﾧ với a, b, c > 0. 125. Chứng minh ﾧ với a, b, c, d > 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài ﾧ cũng lập được thành một tam giác. 127. Chứng minh ﾧ với a, b ≥ 0. 128. Chứng minh ﾧ với a, b, c > 0. 129. Cho ﾧ. Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ nhất của ﾧ 131. Tìm GTNN, GTLN của ﾧ. 132. Tìm giá trị nhỏ nhất của ﾧ 133. Tìm giá trị nhỏ nhất của ﾧ. 134. Tìm GTNN, GTLN của : ﾧ A x 2x 1 x 2x 1= + − − − − a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ − + b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5+ + + − + − − + b ( ) 2 a b a b 2 a a b+ ± − = ± − 2 2 a a b a a b a b 2 2 + − − − ± = ± A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + − + − − x y 2 x y 2+ − = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ≥ + + A x x= + (x a)(x b) A x + + = 2 x− x 1 5x 1 3x 2− − − = − x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − + − − = 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − 3 2 ; 2 2 3− + x 2 4 x 2− + − ≤ 2 2 2 2 a b . b c b(a c)+ + ≥ + (a b)(c d) ac bd+ + ≥ + a , b , c 2 (a b) a b a b b a 2 4 + + + ≥ + a b c 2 b c a c a b + + > + + + 2 2 x 1 y y 1 x 1− + − = A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + − A 1 x 1 x= − + + 2 2 A x 1 x 2x 5= + + − + 2 2 A x 4x 12 x 2x 3= − + + − − + + ( ) 2 2 a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + − = + − 7 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn ﾧ (a và b là hằng số dương). 136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. 137. Tìm GTNN của ﾧ với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 138. Tìm GTNN của ﾧ biết x, y, z > 0 , ﾧ. 139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) ﾧ với a, b > 0 , a + b ≤ 1 b) ﾧ với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. 141. Tìm GTNN của ﾧ với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. 142. Giải các phương trình sau : ﾧ ﾧﾧﾧ ﾧ ﾧ ﾧ ﾧ. ﾧ 143. Rút gọn biểu thức : ﾧ. 144. Chứng minh rằng, (n ( Z+ , ta luôn có : ﾧ. 145. Trục căn thức ở mẫu : ﾧ. 146. Tính : ﾧ 147. Cho ﾧ. Chứng minh rằng a là số tự nhiên. 148. Cho ﾧ. b có phải là số tự nhiên không ? 149. Giải các phương trình sau : ﾧ 150. Tính giá trị của biểu thức : ﾧ 151. Rút a b 1 x y + = xy yz zx A z x y = + + 2 2 2 x y z A x y y z z x = + + + + + xy yz zx 1+ + = ( ) 2 A a b= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 B a b a c a d b c b d c d= + + + + + + + + + + + b c A c d a b = + + + 2 2 a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1− − + = − = − + − + = d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2− − + = − − − − = + − + − − = h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1+ − − + + − − = + + − = 2 2 2 k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2− − = − + + + − = + 2 2 m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5+ = − − + + + = + + + ( ) ( ) 2 o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x− + + + − − + = − p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2+ + + + + − + = + + 2 2 q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11− + + − = + − ( ) ( ) A 2 2 5 3 2 18 20 2 2= − + − + ( ) 1 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n + + + + > + − 1 1 a) b) 1 2 5 x x 1+ + + + a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5− − − + − + − − − ( ) ( ) a 3 5. 3 5 10 2= − + − 3 2 2 3 2 2 b 17 12 2 17 12 2 − + = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3 − − + − = − = + − − − + − − = + − = − + − M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21= − + + − + − − 1 1 1 1 A 1 2 2 3 3 4 n 1 n = + + + + + + + − + 8 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU gọn : ﾧ. 152. Cho biểu thức : ﾧ a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ? 153. Tính : ﾧ. 154. Chứng minh : ﾧ. 155. Cho ﾧ. Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000. 156. Chứng minh : ﾧ (a ≥ 3) 157. Chứng minh : ﾧ (x ≥ 0) 158. Tìm giá trị lớn nhất của ﾧ , biết x + y = 4. 159. Tính giá trị của biểu thức sau với ﾧ. 160. Chứng minh các đẳng thức sau : ﾧ ﾧ 161. Chứng minh các bất đẳng thức sau : ﾧ ﾧ ﾧ ﾧ ﾧ 162. Chứng minh rằng : ﾧ. Từ đó suy ra: ﾧ 163. Trục căn thức ở mẫu : ﾧ. 164. Cho ﾧ. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 165. Chứng minh bất đẳng thức sau : ﾧ. 166. Tính giá trị của biểu thức : ﾧ với ﾧ. 167. Giải phương trình : ﾧ. 168. Giải bất các pt : a) ﾧ. 169. Rút gọn các biểu thức sau : ﾧ 1 1 1 1 P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 = − + − + − − − − + 1 1 1 1 A 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 = + + + + + + + + 1 1 1 1 n 2 3 n + + + + > a 17 1= − a a 1 a 2 a 3− − < − − − 2 1 x x 0 2 − + > S x 1 y 2= − + − 3 1 2a 1 2a a : A 4 1 1 2a 1 1 2a + − = = + + + − − ( ) ( ) ( ) a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1+ − − = + = + ( ) ( ) ( ) 2 c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 2 − + − = + = + − + = − 5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5 + − + > + − < − + 5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0,2 1,01 0 3 1 5 3 1 3 5 + − + − + − > ÷ ÷ + + + − 2 3 1 2 3 3 3 1 d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2 + − − + + − + − > ÷ + − + e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1+ − + − − > + − > − ( ) ( ) 2 2 3 2 2 h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8 4 + + − + + − + + < < 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n + − < < − − 1 1 1 2004 1 2005 2 3 1006009 < + + + + < 3 3 2 3 4 3 a) b) 2 3 6 8 4 2 2 4 + + + + + + + + 3 2 3 2 x và y= 3 2 3 2 + − = − + 2002 2003 2002 2003 2003 2002 + > + 2 2 x 3xy y A x y 2 − + = + + x 3 5 và y 3 5= + = − 2 6x 3 3 2 x x x 1 x − = + − − − 1 3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 4 + ≥ − ≥ + + ≥ a 1 a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a a − = − − − = − + − + 9 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU ﾧ ﾧ 170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức ﾧ. 171. Tìm giá trị nhỏ nhất của ﾧ với 0 < x < 1. 172. Tìm GTLN của : ﾧ biết x + y = 4 ; b) ﾧ 173. Cho ﾧ. So sánh a với b, số nào lớn hơn ? 174. Tìm GTNN, GTLN của : ﾧ. 175. Tìm giá trị lớn nhất của ﾧ. 176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1. 177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN của ﾧ biết ﾧ. 179. Giải phương trình : ﾧ. 180. Giải phương trình : ﾧ. 181. CMR, (n ( Z+ , ta có : ﾧ. 182. Cho ﾧ. Hãy so sánh A và 1,999. 183. Cho 3 số x, y và ﾧ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số ﾧ đều là số hữu tỉ 184. Cho ﾧ. CMR : a, b là các số hữu tỉ. 185. Rút gọn biểu thức : ﾧ . (a > 0 ; a ≠ 1) 186. Chứng minh : ﾧ. (a > 0 ; a ≠ 1) 187. Rút gọn : ﾧ (0 < x < 2) 188. Rút gọn : ﾧ 189. Giải bất phương trình : ﾧ (a ≠ 0) 190. Cho ﾧ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì | A | = A. 191. Cho biểu thức : ﾧ. a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu ﾧ. 2 2 2 2 2 2 x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x c) C d) D 2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x + + − + + + − = = − + − − + + − 1 1 1 1 E 1 2 2 3 3 4 24 25 = − + − − − − − − 2 1 A 2 3 x = − − 2 1 A 1 x x = + − a) A x 1 y 2= − + − y 2 x 1 B x y − − = + a 1997 1996 ; b 1998 1997= − = − 2 2 1 a) A b) B x 2x 4 5 2 6 x = = − + + + − 2 A x 1 x= − A x x y y= + x y 1+ = 2 x 1 1 x x 3x 2 (x 2) 3 x 2 − − + − + + − = − 2 2 x 2x 9 6 4x 2x+ − = + + 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 (n 1) n + + + + < + 1 1 1 1 A 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 = + + + + x y+ x ; y 3 2 a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 3 2 + = − = + + − − 2 a a 2 a a a a 1 P . a 1 a 2 a 1 a + − + − − = − ÷ − + + a 1 a 1 1 4 a a 4a a 1 a 1 a + − − + − = ÷ ÷ − + ( ) 2 x 2 8x 2 x x + − − b ab a b a b a : a b ab b ab a ab − + + + − ÷ ÷ + + − ( ) 2 2 2 2 2 5a 2 x x a x a + + ≤ + ( ) 2 1 a a 1 a a A 1 a : a a 1 1 a 1 a − + = − + − + ÷ ÷ − + a b 1 a b b b B a ab 2 ab a ab a ab + − − = + + ÷
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh ﾧ số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng a+b ≥ ab thức Cauchy : ﾧ b) Cho a, b, c > bc ca ab + + ≥a+b+c Chứng minh : ﾧ a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b ﾧ a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : ﾧ A= x − 4x + 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) ﾧ b) ﾧ 17 + +5 + 45 15 c) ﾧ d) ﾧ 23 22 19 − và 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô 3 tỉ lớn ﾧ nhỏ ﾧ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 19 Giải phương trình : ﾧ 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho ﾧ 1 1 S= + + + + + Hãy so 1998 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − sánh S ﾧ 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không a phải số phương ﾧ số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) ﾧ x y + ≥2 b) ﾧ x y2 x y y x ÷ c) x y x + y − x + y ≥ ÷ + ÷− y2 + x2 ÷+ y + x ÷ ≥ ﾧ y x y x y x 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : 1+ a) ﾧ b) ﾧ với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? m+ n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 26 Cho số x y khác Chứng minh : ﾧ 27 Cho x y2 z2 x y z + + ≥ + + số x, y, z dương Chứng minh : ﾧ y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : ﾧ [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn A= biểu thức : ﾧ x − 6x + 17 33 Tìm giá trị nhỏ x y z A= + + : ﾧ với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ không : a) ab ﾧ số vô tỉ a b) a + b ﾧ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) a b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng a b c d + + + ≥2 minh : ﾧ b+c c+d d+a a+b 39 Chứng minh ﾧ [ x[ ]2x1 [+ ] x ﾧ ﾧ 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : G = 3x − − − + x + x + 1 5x A= x − B = C= D= E = x + + −2x x x + 4x − 1− x2 − x − 2x − x y x y2 + + ≥ 3 + ÷ y x y x ﾧﾧ 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ M = x + 4x + + x − 6x + biểu thức sau : ﾧ 2 c) Giải phương 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 trình : ﾧ 43 Giải phương trình : ﾧ 1998 44 Tìm giá trị x để biểu thức 1999 sau có nghĩa : 1 A = x2 + x + B= C = − − 9x D= − 3x x − 5x + ﾧ x E= G= + x−2 H = x − 2x − + − x x −4 2x + + x ﾧ 45 Giải phương trình : ﾧ x − 3x = 46 Tìm giá trị nhỏ biểu x −3 thức : ﾧ A= x +x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : ﾧ B = − x + x 48 So sánh : a) ﾧ b) ﾧ +1 a − 213 +3 b= − = + n + − n + n+12 n c) ﾧ (n số nguyên dương) − 49 A = − − 6x + 9x + (3x − 1) Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : ﾧ 50 Tính : a) − b) 11 + c) 27 − 10 ﾧ d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − ﾧ (n ≥ 1) 51 Rút gọn biểu thức : ﾧ 41 M=2 (2x − y) + (y − 2)41 + (x + − z) = 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn 45 + + 45 y + 41 đẳng thức : ﾧ 53 Tìm giá trị nhỏ P = 25x − 20x + + 25x − 30x + biểu thức : ﾧ 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = b) x − + = x c) x − x + x + x − = ﾧ d) x − x − 2x + = ﾧ ﾧ e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = k) x + − x − + x + − x − = ﾧ 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: ﾧ 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + i) x + + − x = x − 25 l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 x−y 2+ = b) m + m − + + − m − m 2 c) + + + + + + − + + ﾧ 57 Chứng minh ﾧ 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( g) x − + x − = −5 ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ d) 227 − 30 + 123 + 22 ) b) D = 9−6 − ﾧ 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 c) 28 − 16 − ﾧ A = x − x − 4x + A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : ﾧ ﾧ a) c) 11 − 10 b) 60 Cho biểu thức : ﾧ a) Tìm tập xác định biểu thức − 14 + 11 + − + + + − + 10 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : ﾧ x − 16x + 60 < x − 63 Giải bất phương trình : ﾧ 64 Tìm x x2 − + ≤ x2 cho : ﾧ 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : ﾧ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) a) A = x − 2x − A= x + x − 2x − 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: ﾧ 67 Cho biểu thức : ﾧ a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa 16 − x + x − 8x + 2x + b) B = x − x − 2x x − x − 2x x + x − 2x b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân 0,9999 số : ﾧ (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - ﾧ| + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : ﾧ (n số n + n + n+1 nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức ﾧ Tính giá trị x y + ≥2 A theo hai cách y x 73 Tính : ﾧ ( + + 5)( + − 5)( − + 5)(− + + 5) + ; − ; 2 +3 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : ﾧ 75 Hãy so sánh hai số : ﾧ ; a = 3 − b=2 + − + ﾧ 76 So 4+ − 4− − sánh ﾧ số 77 Rút gọn biểu thức : ﾧ 2+ 3+ 6+ 8+4 Q= 78 P = 14 + 40 + 56 + 140 2+ 3+ Cho ﾧ Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 x − y2 + y − x = + y2 biết : ﾧ 80 Tìm giá trị nhỏ lớn A = 1− x + 1+ x : ﾧ 81 Tìm giá trị lớn : ﾧ với M= a+ b a, b > a + b ≤ 82 CMR 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd số ﾧ có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : ﾧ N = + + + 18 x + y + z = xy + yz + zx 84 Cho ﾧ, x, y, z > Chứng minh x = y = z ( ) 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ﾧ (a, b ≥ a + b ≥ 2(a + b) ab 0) 87 Chứng minh đoạn a, b, c thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài ﾧ lập thành tam giác ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 88 Rút gọn : a) ﾧ b) ﾧ ab − 2) − 8xa (x + b − B 89 Chứng minh với số thực a, A == a + b ≥2 b ta có : ﾧ Khi có đẳng thức ? x− a2 +1 x 90 Tính : ﾧ hai cách A = 3+ + 3− 91 So sánh : a) ﾧ +5 6,9 b) 13 − 12 − 2+ 2− P= + + 2+ − 2− 92 Tính : ﾧ x + + 2x − + x − − 2x − = 2 93 Giải phương trình : ﾧ 1.3.5 (2n − 1) 94 Chứng minh ta có : ﾧ ; (n ( Z+ Pn = < 2.4.6 2n 2n + 95 Chứng minh a, b > a2 b2 a+ b≤ + ﾧ b a 96 Rút gọn biểu thức : ﾧ A x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷= ﾧ x −1 a b + b a x − 4(x − 1) a) : =a−b ab a− b 97 Chứng minh đẳng thức sau : ﾧ (a, b > ; a ≠ b) 14 − a + a a − a 15 − b) + = −2 c) 1 + ÷: ÷1 − ÷= − a 1− 1− − a + a −1 ﾧ (a > 0) 98 Tính : ﾧ a) − − 29 − 20 ; b) + − 13 + 48 c) + 48 − 28 − 16 ÷ + 48 ﾧ 99 So sánh : ﾧ a) + 15 b) + 15 12 + ﾧ 16 c) 18 + 19 d) 25 100 Cho đẳng thức : ﾧ (a, b > a2 – b > 0) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± Áp dụng kết 2+ 2− 3− 2 + 22 + ; b) − để rút gọn : ﾧ a) + 2+ − 2− 17 − 12 17 + 12 ﾧﾧ 10 + 30 − 2 − c) : 101 Xác định giá 10 − 2 −1 trị biểu thức sau : xy − ﾧ với ﾧ (a > ; b > 1) x = = a + − ÷ x y − y + ÷ﾧ với ﾧ , = b a) A2 2am − P(x).P(- x) < x + − x − + x + + x − 103 Cho biểu thức ﾧ A= a) Rút gọn biểu thức A 4 b) Tìm số nguyên x để − +1 x2 x biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: ﾧ a) − x b) x − x (x > 0) c) + − x d) x − − e) − − 3x g) 2x − 2x + h) − − x + 2x + i) 2x − x + ﾧ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 105 Rút gọn biểu thức : ﾧ, A = x + 2x − − x − 2x − ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : ﾧ a) + 48 − 10 + ﾧ b) + 10 + + − 10 + c) 94 − 42 − 94 + 42 107 Chứng b minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ ﾧ a) ﾧ b) ﾧ 2 a a + b ± a + a = b a ± − a 2a− − b a− b − b a± b = ± 2 A = x + 2x − + x − 2x − 108 Rút gọn biểu thức : ﾧ x + y − = x + y − 109 Tìm x y cho : ﾧ 2 a + b + c2 + d ≥ ( a + c ) + ( b + d ) 110 Chứng minh bất đẳng thức : ﾧ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a b2 c2 a +b+c + + ≥ ﾧ b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 b) a + b + b + c + c + a ≤ ﾧ ( a + c2 ) ( b2 + c2 ) + ( a + d ) ( b2 + d ) ≥ (a + b)(c + d) 113 CM : ﾧ với a, b, c, d > A = x + x 114 Tìm giá trị nhỏ : ﾧ 115 Tìm giá trị nhỏ (x + a)(x + b) A= : ﾧ x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + ﾧ 2−x 118 Giải phương trình : ﾧ x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : ﾧ x + x −1 + x − x −1 = 2 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 120 Giải phương trình : ﾧ 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 121 Giải phương trình : ﾧ 3− ; 2 + 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ﾧ 123 Chứng minh ﾧ x−2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : ﾧ với a, b, c > a + b b + c ≥ b(a + c) 125 (a + b)(c + d) ≥ ac + bd Chứng minh ﾧ với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có a , b , c độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài ﾧ lập thành tam giác 127 Chứng minh ﾧ với a, b ≥ (a + b) a + b + ≥ a b + b a 128 Chứng minh ﾧ với a, b, c > a b c + + > b+c a +c a+b 129 Cho ﾧ x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ ﾧ A = x − x − + x + x − 131 Tìm GTNN, GTLN ﾧ A = 1− x + 1+ x 132 Tìm giá trị nhỏ ﾧ A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ ﾧ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + a) A = 2x + − x b) A = x 99 + 101 − x 134 Tìm GTNN, GTLN : ﾧ ) ( ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > a b + = thỏa mãn ﾧ (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx 137 Tìm GTNN ﾧ với x, y, z > , x + + + y + z = z x y 138 Tìm GTNN x2 y2 xy + yz + zxz= A= + + x+y y+z z+x 139 Tìm giá trị lớn A= a+ b : a) ﾧ với a, b > , a + b ≤ A= ﾧ biết x, y, z > , ﾧ B= ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ d ) ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) b) ﾧ với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c 141 Tìm GTNN ﾧ với b + c ≥ a + A= + c + d a + b d ; b, c > ; a, d ≥ 142 Giải phương trình sau : 2 a) x − 5x − 3x + 12 = b) x − 4x = x − c) 4x + − 3x + = ﾧ d) x −h)− xx + 1−= x − +x − 7x− − −x −= 1 +2 e) x + −1 x = ﾧﾧﾧ k) − x − x = x − ﾧ ﾧ ﾧ g) x + 2x + x + x1 − x = − = i) x − + − 2x l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x − + x + + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + ﾧ 143 Rút gọn biểu thức : ﾧ q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ﾧ A = 2 − +3 ( 1+ 1 + + + >2 n ( 145 Trục thức mẫu : ﾧ )( 18 − 20 + 2 ) 144 Chứng minh rằng, (n ( Z+ , n + − ta ln có : ﾧ 1 a) b) 1+ + x + x +1 a) − − 29 − 20 b) + − 13 + 48 c) − − 29 − 12 146 Tính : ﾧ 147 Cho ﾧ Chứng minh a a = − + 10 − số tự nhiên 3− 2 + 2 148 Cho ﾧ b có phải số tự b= − nhiên khơng ? 17 − 12 17 + 12 149 Giải phương trình sau : ﾧ a) − x − x + − = b) − x = + x − 3 150 Tính giá M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 trị biểu ( − x ) − x + ( x − 3) x − = c) d) x + x − = thức : ﾧ 5− x + x −3 151 Rút 1 1 A= + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n ( ( ) )( ) ( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU gọn : ﾧ 152 Cho biểu thức : 1 1 − + − + 2− 3− 4− 2n − 2n + ﾧ a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 153 Tính : ﾧ 1 1 A= + + + + +1 + + 100 99 + 99 +100 + + + > n n 154 Chứng minh : ﾧ 155 Cho ﾧ Hãy tính giá trị biểu thức: A a = 17 − = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : ﾧ (a ≥ 3) a − a −1 < a − − a − 157 Chứng minh : ﾧ (x ≥ 0) x − x + > 158 Tìm giá trị lớn S = x −1 + y − 2 ﾧ , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức + 2a − 2a a= : A= + sau với ﾧ + + 2a − − 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : ﾧ a) + 15 10 − − 15 = b) + = +1 c) − + 10 − = d) + 48 = + e) 17 − + = − 2 ﾧ 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : ﾧ 5+ 5− a) 27 + > 48 b) + − 10 < ﾧ +1 − 5 − + + 1,01 > c) + ÷ − ÷ 10, − ﾧ 2 3 − + − > ++ 53+− 13+ +− 33− + d) ÷ ﾧ e) + 2 + −6 + 22 − >61,9 + g) 17 + 12 − > − − −1 + + 2− h) 3+ 5+ − + + < i) < 0,8 ﾧ 162 Chứng minh : ﾧ Từ n +1 − n < < n − n − suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 ﾧ 163 Trục thức mẫu 2+ 3+ a) b) : ﾧ 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− x= y= 3− 3+ 164 Cho ﾧ Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 165 Chứng minh bất đẳng thức 2002 2003 + > 2002 + 2003 sau : ﾧ 2003 2002 166 Tính x = + − 3xy − y5 x2 y = + A= giá trị biểu thức : ﾧ với ﾧ x+y+2 167 Giải phương 6x − = + x − x trình : ﾧ x − 1− x 3 + 5x ≥ 72 b) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 4 168 Giải bất pt : a) ﾧ 169 Rút gọn biểu thức sau : a −1 ﾧ a) A = − − 29 − 12 b) B = − a + a(a − 1) + a a P= ( ( ( )( )( ) ) ) ( ( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 10 ﾧ ﾧ 170 Tìm x + + x2 − x + 5x + + x − x c) C = 1 1d) D = E + + − 3x − x + (x + 2) − x − 2x − 6= x − − 1− 1− 2A = − 24 − 25 GTNN GTLN 2− 3− x biểu thức ﾧ 171 Tìm giá trị nhỏ ﾧ với < x A= + < 1− x x 172 Tìm GTLN : a) A = x − + y − x −1 B= + ﾧ biết x + y = ; b) ﾧ x y a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 173 Cho ﾧ So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN a) A = b) B = − x + 2x + : ﾧ + − x2 175 Tìm giá A = x − x trị lớn ﾧ 176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A = x +x + y 178 Tìm GTNN, GTLN ﾧ biết ﾧ y= y x −1 179 Giải phương trình : ﾧ − x + x − 3x + + (x − 2) =3 2 x−2 x + 2x − = + 4x + 2x 180 Giải phương trình : ﾧ 181 CMR, (n ( Z+ , ta có : ﾧ 1 1 + + + + ; a ≠ 1) 186 Chứng minh : ﾧ (a > a +1 a −1 − + a ÷ a − = 4a ; a ≠ 1) ÷ a +1 a a −1 187 Rút gọn : ﾧ ( x + ) − 8x (0 < x < 2) x− b − ab a b a + b 188 Rút gọn : + − a+ ÷: x ÷ﾧ a + b ab + b ab − a ab 5a 2 x + x2 + a2 ≤ 189 Giải bất phương trình : ﾧ (a ≠ 0) x2 + a2 − a a + a a A = ( − a ) : + a ÷ − a ÷ + 190 Cho ﾧ − a + a a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = ( ) c) Với giá trị a | A | = A a + b −1 a− b b b 191 Cho biểu thức : ﾧ B= + + ÷a) Rút gọn biểu a = + a + ab ab a − ab a + ab thức B b) Tính giá trị B ﾧ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 25 * Nếu x > : ﾧ, khơng x −1 + x −1 −1 = ⇔ x −1 = x = thuộc khoảng xét * Nếu ≤ x ≤ : ﾧ Vơ số nghiệm x − + − x − + = 1≤ x ≤ Kết luận : ≤ x ≤ 120 Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt ﾧ = y x + 7x + ≥ ( x2 + 7x + = y2 Phương trình cho trở thành : 3y2 – + 2y = ( 3y2 + 2y – = ( (y – 1)(3y + 5) = ( y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có ﾧ x + 7x + = ( x2 + 7x + = ( ( (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm (1) 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ≥ + = 121 Vế trái : ﾧ Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = - 122 a) Giả sử ﾧ = a (a : hữu tỉ) ( - ﾧ a2 − −2 6= = a2 ( ﾧ Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy ﾧ số vô tỉ b) Giải tương tự câu a 123 Đặt ﾧ = a, ﾧ = b, ta có a2 + b = a2 + − b + x x Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế a ≤ ; b ≤ A bất đẳng thức : ﾧ 124 Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đường thẳng b Kẻ HA ( BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH c a 125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương B C đương : (ad – bc)2 ≥ Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 126 Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề : b + c > bc a Suy : b + c + ﾧ > a ( 2 ( ﾧ b+ c > a ⇒ b+ c> a Vậy ba đoạn thẳng b, c, a có độ dài ﾧ lập thành tam giác 127 Ta có a, b ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ (a + b)2 a + b a + b 1 1 + = a + b + ÷ ≥ ab a + b + ÷Cần chứng b + b 1a a 2 2 ab a + b + ÷ minh : ﾧ 2 ≥ ﾧ Xét hiệu hai vế : ﾧ - ﾧ = ﾧ = =ﾧ ≥ 1 ab1 a + b ab abb a + + ÷ + − − ab aa − +÷ b + ab − b ÷ Xảy dấu đẳng thức : a = b = ﾧ ÷ 2 2 a = b = 128 Theo bất đẳng thức Cauchy b + c b+c+a b+c ≤ + ÷: = : ﾧ a 2a a b 2b a 2a c 2c Do : ﾧ Tương tự : ﾧ ≥ ≥; ≥ a b c 2(a + b + c) a+c a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+b + + ≥ =2 b+c c+a a+ b a+b+c Cộng vế : ﾧ Xảy dấu đẳng thức : ﾧ, trái với giả a = b + c thiết a, b, c > b = c + a ⇒ a + b + c = Vậy dấu đẳng thức không xảy c = a + b 129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki Ta có : ﾧ 2 x 1− y + y 1− x ≤ ( x − y ) ( − y + − x ) Đặt x2 + y2 = m, ta ( ) ( ) ( ( ) ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 26 : 12 ≤ m(2 - m) ( (m – 1)2 ≤ ( m = (đpcm) Cách : Từ giả thiết : ﾧ Bình phương x − y = − y − x hai vế : x2(1 – y2) = – 2y ﾧ + y2(1 – x2) ( x2 = – − x 2y ﾧ + y2 = (y - ﾧ)2 ( y = ﾧ ( x2 + y2 = 1− x 130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A =2 ( 1≤ x ≤ 131 Xét A2 = + ﾧ Do ≤ ﾧ ≤ ( ≤ − x + ﾧ ≤ ( ≤ A2 ≤ A = ﾧ với x = ± , max A = với x = 2 2 2 132 Áp dụng bất đẳng thức : a + b + c + d ≥ (a + c) + (b + d) ﾧ (bài 23) ﾧ A = x + 12 + (1 − x)2 + 2 ≥ (x + − x)2 + (1 + 2)2 = 10 ﾧ 1− x A = 10 ⇔ =2 ⇔ x= 133 Tập xác định : −x + 4x + 12 ≥ x (x + 2)(6 − x) ≥ ⇔ ⇔ − ≤ x ≤ ﾧ (1) −x + 2x + ≥ (x + 1)(3 − x) ≥ Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : ﾧ Hiển nhiên A2 ≥ A = (x + 2)(6 − x) − (x + 1)(3 − x) dấu “ = ” khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) 2ﾧ= = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) – x) – (3 – x) - ﾧ = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - ﾧ (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) +3 = ﾧ (x + 1)(6 − x) − (x + 2)(3 − x) + A2 ≥ Do A > nên A = ﾧ với x = 134 a) Điều kiện : x2 ≤ * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : A2 = (2x + 1.ﾧ)2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = − x 25 ( A2 ≤ 25 ﾧ x ≥ x = − x2 Với x = A = A = 25 ⇔ ⇔ x = 4(5 − x ) ⇔ x = Vậy max A = với x x ≤ = x ≤ * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ ( - ﾧ ≤ x ≤ ﾧ Do : 2x ≥ - ﾧ ﾧ ≥ Suy :A = 2x + ﾧ ≥ - ﾧ Min A = - − x ﾧ với x = -ﾧ b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy : ( ) ( A =x ( ) ) 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1)(99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < x + 200 − x < 10 = 1000 ﾧ ﾧ Do : - 1000 < A < x ≤ 101 1000 99 99 A = 1000 ⇔ = ⇔ x = ±10 A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 101 − x x = 200 − x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 27 10 135 Cách : A = x + y = 1.(x + a b ay bx +b + ÷( x + y ) = a + + y) = ﾧ x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với ay bx ay bx + ≥2 = ab số dương : ﾧ x y x y Do ﾧ A ≥ a + b + ab = a + b ﾧ với ﾧ ay bx = A = a + b x Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y ﾧ x = a + ab a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ÷ ≥ x + y ÷ = a + ab+ b = ⇔ Từ tìm x y x y giá trị nhỏ y = b + ab x y x, y > A 136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy ≥ xyz(x + y + z) = + yz = x(x + y + z) + yz ﾧ A = chẳng hạn y = z = , x = ﾧ - 137 Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ xy yz xy yz + ≥2 = 2y Tương tự : yz zx zx xy z x z x + ≥ 2z ; + ≥ 2x ﾧ Suy x y y z 2A ≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z = ﾧ 2 x y z ≥ x + y + z 138 Theo tập 24 : ﾧ Theo bất + + đẳng thức Cauchy : x+y y+z z+x ﾧ xy + yz + zx x+y y+z z+x x+y+z ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên ≥ = A = ﾧ ﾧ 2 2 ⇔ x=y=z= 2 2 + a3− b = 2a + 2b ≤ A= a+ b ≤ a+ b 139 a) ﾧ ﾧ a= b 4 max A = ⇔ ⇔4a = b = b) Ta có : ﾧ a + b ≤ a + b a + b a − b = 2(a + b + 6ab) = + a + c ≤ 2(a + c + 6ac) ; a + d ≤ 2(a + d + 6ad) ( ) ( ( ( ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ( b+ c+ ) c) d) ) ) ) ) ≤ 2(b + c ( + 6bc) ; ( b+ ) d) ≤ 2(b + d + 6bd) ≤ 2(c + d + 6cd) Tương tự : ﾧﾧ Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ ﾧ a= b= c= d = ⇔ a 140 ﾧ A = 18 max B A 3x + y ≥ 3x.3y = 3x + y⇔ =3b = c = d = = = = 18 a + b + c + d = với x = y = 141 Khơng tính tổng qt, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : ﾧ a+b+c+d b+c≥ ﾧ b c b+c c c 2 a + b + c + d c + d c + d A= + = − − ≥ − − ÷ ÷ c+d a+b c+d c+d a+b 2(c + d) c + d a + b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : ﾧ x+y y y x y x y x y 1 − ﾧ ; chẳng A ≥ 2y − y + x = 2y + 21 + x = 2y + x ÷− ≥ 2y x − = − A = − ⇔ d = , x = y , b + c ≥ a + d hạn a = + 1, b = − 1,c = 2,d = ﾧ (x − 3) + ( x − 3) = 142 a) ﾧ Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 28 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + ﾧ c) Đáp số : x = 20 d) ﾧ Vế phải lớn vế trái Vô x −1 = + x +1 nghiệm e) Chuyển vế : ﾧ Bình phương hai x − x −1 = + x −1 vế Đáp số : x = g) Bình phương hai vế Đáp số : ﾧ ≤ x ≤ 1 h) Đặt ﾧ = y Đưa dạng ﾧ = Chú ý y − 2x2 y − + − đến bất đẳng thức : ﾧ Tìm ≤ y ≤ Đáp số : y − + − y ≥ y − + − y = ≤ x ≤ 11 i) Chuyển vế :ﾧ, bình phương hai 16 x + 1− x = 1− x vế Đáp : x = (chú ý loại x = ) 25 k) Đáp số : ﾧ 16 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương 25 hai vế rút gọn : ﾧ 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ( (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = ﾧ loại Nghiệm : x = ± 25 x = − m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vô nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình 2x + + x + = y ; 2x + − x 2+ = z p) Đặt ﾧ (1) Ta có : y − z2 = + x + ; y + z = + x + ﾧ Suy y – z = z = x + Từ ﾧ (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b a + b = a + 15b ;5 ≥ Phương trình : ﾧ Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : ﾧ 144 Ta có : k +1 − k 2 = > = = k + − k ﾧ k k k + 1k + k +1 + k k +1 − k 1 1+ + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) n Vậy : ﾧ = =ﾧ 2( n + − 1) (đpcm) 150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết n : A = ﾧ - 152 Ta có : ﾧ = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P a − a +1 số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 153 Ta chứng minh : = − ⇒ A= ﾧ 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 1+ + + + + > n = n n n 154 ﾧ 155 Ta có a + = ﾧ Biến đổi đa thức 17 ngoặc thành tổng lũy thừa số a + A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 ( ( )( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 29 = (259 ﾧ - 225 ﾧ - 34 ﾧ - 1)2000 = 17 156 Biến đổi : ﾧ 1 a − a −1 = ; a −2 − a −3 = 2 1 1 a + 2a − a − + 1a −3 x − x + = x − x + + x − x + = x − ÷ + x − ÷ ≥ 4 2 2 157 ﾧ 1 Dấu “ = “ không xảy khơng thể có x = x = đồng thời : ﾧ 2 168 Trước hết ta chứng a + b ≤ 2(a + b ) minh : ﾧ (*) (a + b ≥ 0) S = x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = Áp dụng (*) ta có : ﾧ x= x −1 = y − max S = ⇔ ⇔ x + y = y = ﾧ * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có ( A ( ≤ ﾧ Dễ thấy A > B = = 23 − x − Ta xét biểu thức : ﾧ Ta có : A ﾧ ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ﾧ Khi ﾧ ( B = max A = = =3 − x 3⇔ x = 2− ⇔ 2+ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2− ( ﾧ Khi A = ﾧ 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 2x − x B= + xét biểu thức : ﾧ Khi : 1− x x ﾧ 2x − x = (1) Giải (1) : 2x2 = (1 – 2x − x B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x x)2 ( ( x ﾧ ( = ( 0 < x < (2) – x ( Do < x < nên x ﾧ = – x ( ⇔ x = ﾧ = −1 Như B = ﾧ ( x = ﾧ - 2 +1 Bây ta xét hiệu : ﾧ 2x − x − 2x − + x = +1 = Do A = ﾧ + A − B = −2 + x ÷− − x + x ÷ = − x + x x x = ﾧ - 182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : ﾧ Ở ta muốn làm tăng tổng Ta a + b ≤ b 2(a + b ) a+ ≥ ab dùng bất đẳng thức : ﾧ ﾧ A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y − x = 1,5 max A = ⇔ ⇔ ﾧ x + y = y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy a + b b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức ab ≤ Cauchy cho phép làm trội tích : ﾧ Ta x − 2(yy − , − 2) x − = 1.(x − 1) , y − = xem biểu thức ﾧ tích : ﾧ x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 30 ﾧ ﾧ x − = x = 2 2+ max B = + = ⇔ ⇔ 1 =4 4 ,b < y − =a2= y1997 + 1996 = 1998 + 1997 1997 + 1996 1998 + 1997 183 ﾧ Ta thấy ﾧ Nên a < b 184 a) A = - ﾧ với x = max A = ﾧ 16 với x = ± ﾧ b) B = với x = ± ﾧ max B = ﾧ với x = 55 x + (1 − x ) 185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ A = x (1 − x ) ≤ = Xét ≤ x ≤ ﾧ 2 x = − x 2 max A = ⇔ ⇔ x= 2 x > ﾧ 186 A = ( x – y ( ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : ﾧ 1 2 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) = 4 2y 4 x x = =− =− max A = ⇔ x ⇔ 2 x + 4y = y y = − = 10 10 ﾧ ﾧ 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : ﾧ x ≤ x 0 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x + y3 ≤ x x y x += = y ≤ y max A = ⇔ 0 ≤ y ≤ ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y ﾧ b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 x+y ⇒ ≤ + y2) = ( x + y ≤ ﾧ Do : ﾧ Theo bất đẳng ( x + y3 ) ( x + y ) 3 x +y ≥ thức Bunhiacôpxki : 2 2 2 (x + y3 )(x + y) = x + y3 x + y ≥ x x + y y ﾧ= (x2 + y2) = ﾧ x=y 188 Đặt ﾧ, ta có a, b ≥ 0, a + b = A =x = a ⇔ y = b = 2 ; A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ( a = b = ( x = x = 1, y = Ta có ﾧ (a + b) 1 1 ab ≤ = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 189 Điều 4 4 4 kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : ﾧ x −1 − x + (x − 1)(x − 2) − x − =3 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 x−2 ( ﾧ 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) x + 2x + + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt ﾧ = y ≥ 0, phương trình có dạng : y2 - y ﾧ - 12 = ( (y - ﾧ)(y + ﾧ) y = 2 =0 ( ﾧ y = −2 (loai y ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 31 Do ﾧ = ﾧ ( x2 + 2x + = 18 ( (x – x + 2x + 3)(x + 5) = ( x = ; x = -5 191 Ta 1 1 1 = k = k − + − ÷= k ÷ ÷ có : ﾧ (k + 1)k (k + 1) k k + k k +1 k k +1 k = ﾧ Do 1 k < ÷ − ÷ − 1 + : ﾧ (k + 1) kk k k k + 1÷ + k + 1 1 + + + + < 1 − − − ÷+ ÷ ÷+ + (n + 1) n 2 3 n +1 n Vậy : ﾧ = ﾧ (đpcm) 1 − 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy ﾧ (a, 2÷ < n +1 > b > ; a ≠ 0) ab a + b 193 Đặt x – y = a , ﾧ + ﾧ = b (1) a, b x y (Q a) Nếu b = x = y = 0, ﾧ , ﾧ ( Q x y b) Nếu b ≠ ﾧ Q (2) x−y a a = ⇒ x− y= ∈ Từ (1) (2) : ﾧ 1 a 1 a x = x + y ∈ b ; y = bb ÷ ∈ Q b+ ÷ Q − 2 b 2 b x + a2 + x x2 + a2 − x = a2 )( ( 199 Nhận xét : ﾧ Do : ( x+ x +a 2 ) ≤ ( 5a (1) ⇔ x + x + a x2 + a2 2 ) ≤ ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) ) x2 + a2 ﾧ Do a ≠ nên : ﾧ Suy : ﾧ , (x x + a + x > ax 2++ x>= x + x ≥ + x Vì : (1) ( x ≤ ﾧ x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > ﾧ x ≤ 2 207 c) Trước − 2a x ≤ a 25x ≤ 9x + 9a x2 ⇔ 1+ ⇔ Ta có ﾧ Suy A2 = x điều phải chứng minh 209 Ta có : a + b = - , ab = - ﾧ nên : = a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + ﾧ 2 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ﾧ ; a3 + 17 −= − = b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - ﾧ 4 48 Do : a7 + b7 = 17 239 − − − ÷( −1) = − (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = ﾧ 64 64 2 210 a) ﾧ a = ( − 1) = − 2 = − ﾧ a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - ﾧ)n = A - B ﾧ ; (1 + ﾧ)n = A + B ﾧ với A, B ( N Suy : A2 – 2B2 = (A + B ﾧ)(A - B ﾧ) = [(1 + ﾧ)(1 - ﾧ)]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : A −2 2B2 * Nếu n chẵn : an = (ﾧ - 1)n = (1 - ﾧ)n = A - B ﾧ = ﾧ Điều kiện CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 32 A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) 2B2 − A * Nếu n lẻ : an = (ﾧ - 1)n = - (1 - ﾧ)n = B ﾧ - A = ﾧ Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 211 Thay a = ﾧ vào phương trình cho : ﾧ + 2a + b ﾧ + c = ( ﾧ(b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ( x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ( (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± ﾧ - a 1 212 Đặt ﾧ A= + + + A > n −3 n a) Chứng minh ﾧ : Làm giảm số hạng A : ﾧﾧ 2 = > = k +1 − k k k+ k kA + k + + − + + + − n + n + = +> − Do ﾧ ﾧ = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chứng minh ﾧ : A ﾧ > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + ﾧ)2 = + ﾧ =3 48 Ta có ﾧ nên < ﾧ < ( 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + ﾧ)2 x = + ﾧ Xét biểu thức y = (2 - ﾧ)2 y = - ﾧ Suy x + y = 14 Dễ thấy < - ﾧ < nên < (2- ﾧ)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x – y = a ; ﾧ (1) a b số x+ y =b hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ ﾧ số hữu tỉ x−y a a = ⇒ x− y= (2) Từ (1) (2) ta có : b x+ y b ﾧ số hữu tỉ ; ﾧ số hữu tỉ 1 a x = b − ÷b) Nếu b = x = y = 0, hiển y + x, y 2 b nhiên ﾧ số hữu tỉ 216 Ta có n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= ﾧ (n + 1) n n(n + 1) n + n n +1 n n +1 n ﾧ Từ ta n 1 = 1 + − − ÷ giải tốn ÷< ÷ n +1 n n +1 n +1 n 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … 1 1 1 a25 ≥ 25 Thế : ﾧ (1) + + + ≤ + + + a a a 25 Ta lại có : ( ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( 25 ( ) ( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 33 ﾧ 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 2 2 25 24 + = 25 − < + + + 25 + 25 = 224 + − 24 + 24 − 23 + + − 1+ = = + 25 24 +1 24 + 24 23 + 23 2+ ﾧﾧ (2) Từ (1) (2) suy : ﾧ, trái với giả 1 + + + Từ hệ phương trình cho ta có : ﾧ 2y 2y x= ≤ = y Tương tự ﾧ Suy x = y = z Xảy y + y ; 2z y x ≤ z ≤ dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + ﾧ)7 Để chứng minh 17 toán, cần tìm số B cho < B < ﾧ A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - ﾧ)7 Dễ thấy B > > ﾧ Ta có + ﾧ > 10 suy : ﾧ 1 < ⇒ − < Theo khai triển Newton ta lại 7 10 10 8+3 có : A = (8 + ﾧ)7 = a + b ﾧ với a, b ( N B = (8 - ﾧ)7 = a - b ﾧ Suy A + B = 2a số tự nhiên Do ﾧ A + B số tự nhiên nên A có bảy < B < chữ số liền sau dấu phẩy 10 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương ﾧ ,5 số tự nhiên, n khác số phương ﾧ n số vơ tỉ, nên ﾧ khơng có dạng ﾧ Do ứng với số n ( N* có số nguyên an gần ﾧ Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : ﾧ có hai nghiệm tự nhiên 1 1− < x < 1+ 2 ﾧ có bốn nghiệm tự − < x < + nhiên 2 ﾧ có sáu nghiệm tự nhiên 1 x Tổng quát : ﾧ có 2k nghiệm tự nhiên − < < + 2 < x 3, A ≤ x = 3−x max A = ⇔ ⇔ x = (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận ﾧ x ≥ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ﾧ ( x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt ﾧ x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = z2 y + z = (2) nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ :ﾧ z − y = (3) Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 z ≥ (4) – y2 + 6y – = ( (y – 1)(y2 + 6) = ( y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : ﾧ 1 + = b) Không Giả sử tồn a+ b= 42 2 số hữu tỉ dương a, b mà ﾧ Bình phương hai vế : ﾧ a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) Bình phương vế : 4ab = 2 + (a + b)2 – 2(a + b)ﾧ ( 2(a + b) ﾧ = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 3 231 a) Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (phân số tối m5 giản) Suy = ﾧ Hãy chứng minh m m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết ﾧ phân n3 số tối giản n m b) Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (phân số tối giản) + Suy : n 3 m m 6m = + = + 3 = + ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M ⇒ m M 2 n n n ﾧ Thay m = 2k (k ( Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + m 12kn2 ( 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ( n3 chia hết cho ( n chia hết cho n Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết ﾧ phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = x3 +a + + z 3c y3 b + ≥ abc ≥ xyz hay z3 Bất đẳng thức cần chứng minh ﾧ 3 tương đương với ﾧ x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = ﾧ(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + a+b+c ≥ abc y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : ﾧ Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : ﾧ a+ b+ c+d 1a+ b c+d = + ab + cd ≥ ab cd = abcd ÷≥ d a + b + c +d = a + b + c 2 2 ÷ ≥ abcd ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 36 Trong bất đẳng thức ﾧ, đặt ﾧ ta : ﾧ a+b+c a+ b+c+ ÷ a+b+c c a + b + a + b + c a + b + c a + b + ca + 3b + c ≥ abc ≥ abc ⇒ ÷ ÷ ≥ abc ≥ abc ⇔ ÷ 3 3 3 ÷ Chia hai vế cho số dương ﾧ (trường hợp số a, b, c 0, toán chứng minh) : ﾧ a + b + c Xảy đẳng thức : a = b = c = ﾧ ( a = b = c =1 b c a b c + d + d ≤ − bcd = ≥ + + ≥ 3 b +1 c a + 1) a + b + c + d + d + (b + 1)(c + 1)(da + 233 Từ giả thiết suy : ﾧ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương : ﾧ Tương tự : ﾧ acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) Nhân từ bốn ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ bất đẳng 81 abd thức : ﾧ ≥ 3 x2 y2 z2 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) 234 Gọi ﾧ Áp A= + + dụng bất đẳng thức y z x abc Bunhiacôpxki : ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) x x y z y2 z2 3A = + + ÷(1 + + 1) ≥ + + ÷ z x y z x y ﾧ (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với x y z x y z + + ≥ 3 = ba số không âm : ﾧ (2) y z x y z x x y z x y z x y z Nhân vế (1) với 3A + + ÷ ≥ + + ÷ ⇒ A ≥ + + (2) : ﾧ y z x y z x y z x x = 3+ 3 ; y = 3− 3 235 Đặt ﾧ x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n ﾧ n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 +1 n < ﾧ + ÷ = + n + n + + n 2!1 + 1n + 3! + ÷ n! n n + + Dễ dàng 1 2!1 3! n! + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n chứng minh : ﾧ 1 1 11 − + − + + − (1 + −)n < =1 >( ) Với n ≥ 3, ta chứng minh ﾧ : (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) (2) Thật < ( n) n n(n +1) n 6 b) Với n = 2, ta chứng minh ﾧ (1) Thật vậy, (1) ( ﾧ( 32 > 22 n > n +1 n + n ⇔ (n + 1) < n n n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n nn n ﾧ (3) n Theo câu a ta có ﾧ , mà ≤ n nên (3) 1 1+ ÷ < n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU chứng minh Do (2) chứng minh ( 37 ) A = x + + x + x + ≥ 237 Cách : ﾧ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : ﾧ A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : ﾧ x x + +x−2÷ - A ≤ 32 ( A ≥ A x x 2x − − = (x − 2) ≤ 2 ≤ 32 A = - 32 ÷ = ÷ 2 ÷ với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ ﾧ x2 x2 max A = ﾧ với x 66 + +9−x ÷ x2 x2 A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤ ÷ = 4.27 = ± ﾧ 2 ÷ 240 a) Tìm giá ÷ trị lớn : Cách : Với ≤ x < ﾧ A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ ﾧ Ta có ﾧ ≤ x ≤ ( ≤ x2 ≤ ( ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 ﾧ)3 – 6x – (2 ﾧ)3 == (x + ﾧ)(x2 - ﾧ x + 8) – 6x - 16 ﾧ = (x + ﾧ)(x2 - ﾧ x + 2) + (x + ﾧ).6 – 6x 16 ﾧ= (x + ﾧ)(x - ﾧ)2 - ﾧ ≥ - ﾧ A = - ﾧ với x = ﾧ Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + ﾧ + ﾧ ≥ 3.ﾧ = 6x 3 x 2 2.2 x x Suy x3 – 6x ≥ - ﾧ A = - ﾧ x2 x 3-2x với x = ﾧ 3-2x 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp x x x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ ﾧ = 4x + − 2x + − 2x max V = ( 4x = – 2x ( x = ﾧ ÷ Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ ﾧ dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) − x = a ; x −1= b Đặt ﾧ Đáp số : ; ; 10 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± ﾧ 2x − d) Đặt ﾧ = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = ( x = y Đáp số : ; ﾧ −1 ± e) Rút gọn vế trái : ﾧ Đáp x − x2 − số : x = g) Đặt ﾧ Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 − x =a − b3 − = b a3 ; x = 12 – 2x, vế phải phương a+b trình cho ﾧ Phương trình cho trở thành : ﾧ = ﾧ a − b a − b3 Do a3 + b3 = nên ﾧ ( (a – b)(a3 + b3) = = a + b a3 + b ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 38 (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = x + = a ; x − = b h) Đặt ﾧ Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình x + Với x + ≠ 0, chia hai vế cho ﾧ Đặt ﾧ Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = x +1 x+3 =a ; = b Hệ vô nghiệm x+2 x+2 Cách : Đặt ﾧ = y3 − + y3 + x + = −y y Chuyển vế : ﾧ Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3.ﾧ.(- y) = - y3 ( y3 = y ﾧ y − Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 y − = ﾧ Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : 3 x Vế trái x +1 x+2 x+3 ﾧ ﾧ ﾧ x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > 4 k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b ab + a + b = (1), ﾧ = (2) + a 1m b n b a + b a + b Theo bất đẳng thức ++ + a + = ++ = = a + b ≤ mn + 3= a b + +a + b≤≤ + + = Cauchy ﾧ, ta có 22 2 2 ﾧﾧ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ l) Đặt ﾧ m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở m + n4 thành : m + n = ﾧ Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) x + x y + y 4= xx 3+b2x 2y + y − 2x y Đặt ﾧ, ta có : ﾧ = a ; = y A= =2 22 x + xy +xy + y ) − (xy) xy x 2y+ y + xy ) ( x + y − xy ) x2 + ( + ( = = = x + y − xy 2 2 x + xy + y x + y + xy ﾧ Vậy : ﾧ (với a2 + b2 ≠ 0) A = a + b − ab 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) ﾧ= x + x + ≥ = ﾧ Đẳng thức xảy : ﾧ.Ta có A x + x + = x − x + ⇔ x=0 ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ( x = x + x + = 245 Vì + ﾧ nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + ﾧ)3 + a(1 + ﾧ)2 + b(1 + ﾧ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) ﾧ = Vì a, b( Z nên p = 4a + b + 42 ( Z q = 2a + b + 18( Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q ﾧ= CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 39 Nếu q ≠ ﾧ = - ﾧ, vơ lí Do q = từ p p + q ﾧ = ta suy p = Vậy + ﾧ nghiệm phương trình 3x3 + q3 ax2 + bx + 12 = : ﾧ Suy a = - 12 ; b = 4a + b + 42 = 246 Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (ﾧ phân 2a + bp3 18 = p+ số tối giản ) Suy : = ﾧ Hãy chứng q q3 minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết ﾧ phân số tối giản 247 a) Ta có : ﾧ 1+ = 1+ = 1+ 2 + = + 2 + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ( Do : ﾧ b) ﾧ 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : ) ( ) =1 + − = −1 a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ﾧ ( a3 – 6a – 40 = ( (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ( a = 249 Giải tương tự 21 − 250 A = + ﾧ 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 3 + Từ x = ﾧ Suy x3 = 12 + 3.3x ( x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt ﾧ, ta : ﾧ ( u = v = - u = u- =9v,3 v = x - x +6 ( x = v = u + c) Đặt : ﾧ Kết x = ± x + 32 = y > 254 Đưa biểu A = x + + + x + − thức dạng : ﾧ Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ( -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần x = y x = y ⇒ P = x + 256 Đặt ﾧ 2 258 Ta P = ( x − a ) + ( x − b) có : ﾧ = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ( a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ( a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) (a + b − c)(b + c − a) ≤ = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a ﾧ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ( a = b = c (tam giác đều) 260 ﾧ x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = (ﾧ + + ﾧ - 1) = - ﾧ Do : 2A = (ﾧ+ 1)2 + (ﾧ - 1)2 + (-2 ﾧ)2 = 14 Suy A = 2 262 Đưa pt dạng : ﾧ x − −1 + y − − + z − − = ( ) ( ) ( ) ... 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1) (99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < x + 200 − x < 10 = 100 0 ﾧ ﾧ Do : - 100 0 < A < x ≤ 101 100 0 99 99 A = 100 0 ⇔ = ⇔ x = ? ?10 A = - 100 0 với x = - 10 ; max A = 100 0... ≤ = = y y 2y 2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 30 ﾧ ﾧ x − = x = 2 2+ max B = + = ⇔ ⇔ 1 =4 4 ,b < y − =a2= y 199 7 + 199 6 = 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 183 ﾧ Ta thấy... x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho ﾧ 1 1 S= + + + + + Hãy so 199 8 1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8 − k + 1) 199 8 − sánh S ﾧ 199 9 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không a phải số phương ﾧ số vơ tỉ