Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9-Phương trình và hệ phương trình

1 Tốn BDHSG phương trình hệ phương trình (lớp 9) Bài tốn 1: Giải phương trình x − + 10 − x = x − 12 x + 40 2 Bổ đề : Với a ≥ 0; b ≥ a + b = ( a + b ) ≤ ( a + b ) + ( a − b ) ⇒ a + b ≤ ( a + b ) Giải: Điều kiện : ≤ x ≤ 10 , Ta có x − + 10 − x ≤ ( x − + 10 − x ) = mà ( ) x − 12 x + 40 = x − 12 x + 36 + = ( x − ) + ≥ Dấu xảy  x − = 10 − x ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x =  x − = Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có ( x − ) ( 10 − x ) x − + 10 − x + + = 2 4 x − = ⇔ x=6 Dấu xảy  10 − x = x − + 10 − x = + ≤ Bài tốn 2: Giải phương trình: x + x − + x − x + = x − x + Vì x + x − ≥ x − x + ≥ nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta x2 + x −1 + x2 + x = được: ( x + x − 1) ≤ (1) 2 x − x2 + + x − x2 + x − x + 1) ≤ = (2) ( 2 x2 + x x − x2 + x2 + x −1 + x − x2 + ≤ + = x + nên theo đề ta Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: 2 có : x − x + ≤ x + ⇒ ( x − 1) ≤ Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3: Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 (1)  x ≥ 2 x − ≥  ⇔ ⇔ ≤ x ≤ (*) Điều kiện tồn phương trình:  2 5 − x ≥ x ≤   Vế phải (1): 3x − 12 x + 14 = ( x − x + ) + = ( x − ) + ≥ Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): 2x − + − 2x ≤ (1 ) + 12 ( x − + − x ) = = Đẳng thức xảy x − = − x ⇔ x = Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: ( x − 3) + ( − x ) ≤ 2x − +1 − 2x +1 + = Đẳng thức xảy 2 2 x − = ⇔ x = Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương  5 − x = trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x − x + = x − x + + x − x (1)  2 x − x ≥ Giải: Điều kiện  (2) 1 + x − x ≥  Vế trái phương trình (1): x − x + = ( x − 1) + ≥ với x ∈ R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: (1 x − x + + 3x − 3x < )( ) + 12 x − x + + 3x − x = + x − x = − ( x − 1) ≤ đẳng thức xảy x − x = + 3x − 3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Bài tốn 5: Giải phương trình: + x = ( x + ) (1) Giải: Điều kiện + x ≥ ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) ≥ Do x − x + ≥ với x nên x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Đặt a = x + ; b = x − x + với a ≥ ; b > Nên phương trình (1) trở thành : ( 5ab = a + b 2 ) a a a a ⇔  ÷ −  ÷+ = Giải phương trình = = b b b b a = phương trình (1) vơ nghiệm b  x ≥ −1 a Với = x + = x − x + ⇔  Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện b  x − 5x − = Với x1 = − 37 ; x2 = + 37 42 60 + = (1) 5− x 7−x  42   60  ÷+  − ÷= Phương trình (1) có nghĩa x < nên ( 1) ⇔  −  5− x ÷  7− x ÷      42   42   60  60  42 60 9− 9− 3− ÷ + ÷ 3− ÷ + ÷ 5− x  5− x   − x  7−x  5− x + 7− x = ⇔ + =0⇔  42   60    42  60  3+ ÷ 3+ ÷ 3+ ÷ 3+ ÷ 5− x   7− x   5− x  7−x    ( − x ) − 42 ( − x ) − 60 ⇔ + =0   42  60  ( − x) 3 + ÷ ( − x)  + ÷ 5− x  7−x    Bài toán 6: Giải phương trình:     1  =0 ⇔ ( − 3x )  + ⇔ ( − 3x ) =   42  60   ( − x) 3 + ÷ ( − x)  + ÷ 5− x  − x        42  ( − x)  + ÷ 5− x   trình x = + 1  60  > nên x = Thử lại nên nghiệm phương − x) 3 + ( ÷ 7− x   x ( x − ) + x ( x − ) = x ( x + 3) Bài toán 7: Giải phương trình: (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : −3 < x < ;0 < x < Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x ( x − ) + x ( x − 5) + x ( x − ) ( x − ) = x ( x + 3) ( ⇔ x ( x − ) ( x − ) = 10 x − x ⇔ x ( x − ) ( x − ) = 10 x − x ( ) ) ⇔ x ( x − ) ( x − ) = 100 x − 20 x + x ⇔ x x − x + 10 = 100 x − 20 x + x ⇔ x − x − 60 x =  10  ⇔ x x − x − 60 = Giải phương trình x ∈  − ;0;6  Thử lai có hai nghiệm x   ( ) = 0; x = thoả mãn đề cho Bài tốn 8: Giải phương trình: ) )( ( x + − x + + x + x + 10 = (1) Điều kiện x > -2 x + x + 10 = ( x + ) ( x + ) Nhân hai vế phương trình (1) với ( ( ) x − + x + ta được: ( x + ) − ( x + )  +   ( ⇔ 1+ ( x + ) ( x + 5) ) = ( ( ) ( ) ( x + ) ( x + 5) ) = x−2 + x+5 ⇔ x+2 + x+5 − ) ⇔ x + 1− x + − 1− x + = ⇔ ( )( ( x−2 + x+5 ) ( x + ) ( x + 5) − = ) x + −1 1− x + =  x + −1 = x + =  x = −4 ⇔ ⇔ ⇔ Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương  x + =  x = −1 1 − x + =  trình x = -1 Cách giải khác: Đặt a = x + ⇒ a = x + ; b = x + ⇒ b = x + nên b − a = x + − x − = Do phương b − a = trình (1) trở thành:  (*) (b − a )(1 + ab) = 2 Từ hệ (*) suy b − a = ( b − a ) ( + ab ) ⇔ ( b − a ) ( a + b − ab − 1) = a = b b − a = ⇔ ⇔ a = b = ta có x = -1  a + b − ab − =  ( a − 1) ( b − 1) = Bài tốn 9: Giải phương trình: 25 − x − 10 − x = (1)  25 − x ≥  x ≤ 25   ⇔ ⇔ x ≤ 10 ⇔ − 10 ≤ x ≤ 10 (*) Giải: Điều kiện  10 − x ≥  x ≤ 10   Đặt < a = 25 − x ; 10 − x = b > ⇒ a − b = 25 − x − 10 + x = 15 Nên phương trình (1) trở a − b = a − b = a = ⇔ ⇔ a + b = b =  a − b = 15 Nếu b = 10 − x = ⇔ x = ⇔ x = ±3 so với điều kiên (*) x = ±3 thoả Nếu a = 25 − x = 16 ⇔ x = ⇔ x = ±3 so với điều kiên (*) x = ±3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x = ±3 thành  2 Bài tốn 10: Giải phương trình: (*) x + + x − = 5x Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: x = x + + x − + 3 ( x + 1) ( x − 1)  x + + x −  ⇔ x = x + 3 x − x   ( ) ⇔ x − x = x ⇔ x = x x − ⇔ x − x = ⇔ x = x = ± Thử lại ta thấy phương trinh có ba nghiệm Bài tốn 11: Giải phương trình + x + − x = (1) Điều kiện: x ≥ Đặt + x = a ; − x = b ⇒ a3 = + x ; ⇒ b3 = − x nên phương trình (1) a + b =  a + b =  a = − b ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 2 a + b = a − ab + b = ( − b ) − b ( − b ) + b − = ( a + b ) a − ab + b =   a = − b a = − b a = − b  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a = b =1 2 2 − 4b + b − 2b + b + b − = b − 2b + = ( b − 1) =     a + b = trở thành  ( ) Nếu a = + x = ⇔ x = ⇔ x = Nếu b = − x = ⇔ x = ⇔ x = Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 12: Giải phương trình − x + x − = (1) Giải: TXĐ x − ≥ ⇔ x ≥ Đặt − x = a ; x − = b ≥ Nên phương trình cho trở thành:  a = − b a + b = a + b = a = − b  a = − b ⇔ ⇔ ⇔  3  3 2 2  a + b =  a + b = ( − b ) + b = 1 − 3b + 3b − b + b = b ( b − 4b + 3) =   Nên b ∈ { 0;1;3} Do ( a; b ) = { ( 1;0 ) ; ( 0;1) ; ( −2;3) } Nếu a = − x = ⇔ − x = ⇔ x = ; b = x − = ⇔ x − = ⇔ x = Nếu a = − x = ⇔ − x = ⇔ x = ; b = x − = ⇔ x − = ⇔ x = Nếu a = −2 − x = −2 ⇔ − x = −8 ⇔ x = 10 ; b = x − = ⇔ x − = ⇔ x = 10 Vậy phương trình có ba nghiệm x ∈ { 1; 2;10} Bài tốn 13:Giải phương trình − x 2x + x2 = (*) x + x2 1− x ≥ hay < x ≤ x Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x ≠ 1− x 2x −1 x = nghiệm phương trình (*) = 1+ Thử thấy x 1+ x 1− x 2x −1 > > 1+ Với < x < − x > x > x − < Suy x + x2 1− x 2x −1 < < 1+ Với < x ≤ ≤ − x < x x − > Suy x + x2 Vậy x = nghiệm phương trình ( *) ⇔ Bài tốn 14: Giải phương trình : 3x − x + 2001 − 3 x − x + 2002 − x − 2003 = 2002 Giải: Đ ặt : 3x − x + 2001 = a ⇒ a3 = 3x − x + 2001 − 3 x − x + 2002 = b ⇒ b3 = −3 x + x − 2002 − x − 2003 = c ⇒ c3 = −6 x + 2003 Suy a + b3 + c3 = 2002 Do phương trình cho ( a + b + c ) = a + b3 + c nên ( a + b + c) − (a + b3 + c ) = Khai triển thu gọn được: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = • Nếu a + b = ⇔ 3x − x + 2001 = 3x − x + 2002 ⇔ 3x − x + 2001 = 3x − x + 2002 ⇔ 6x = ⇔ x = • Nếu b + c = ⇔ 3x − x + 2002 = − x − 2003 ⇔ x − x + 2002 = −6 x + 2003 1 + 13 − 13    ; ⇔ x − x − = Phương trình có nghiệm x ∈       2 • Nếu a + c = ⇔ 3x − x + 2001 = x − 2003 ⇔ 3x − x + 2001 = x − 2003 ⇔ x − x + 4004 = Phương trình vơ nghiệm  1 + 13 − 13    ; Vậy phương trình có ba nghiệm x ∈  ;  6  6   Bài tốn 15: Tính giá trị biểu thức: a +1 a4 + a + − a2 a nghiệm phương trình x + x − = Giải : Phương trình x + x − = có ac = - < nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a + 2a − = (1) Vì a > nên từ (1) có : ( 1− a) 1− a −a − 2a + a a = = = ⇒a = 2.2 2 2 Gọi S = a +1 a + a +1 − a = ( a + 1) ( a4 + a + + a2 ) a4 + a + − a4 = ( a + 1) a4 + a +1 + a2 a + a +1− a 4 = a4 + a + + a2 − 2a + a 1− a − 2a + a + 8a + − a a + 6a + − a a + − a = + a +1 + = + = + = + = = 8 2 2 2 2 2 2 Bài toán 16: Giải phương trình: x − x − 1000 + 8000 x = 1000 Giải: Đặt + 8000 x + = y ⇒ + 8000 x = y − ⇒ + 8000 x = y − y + ⇒ y − y = 8000 x ⇒ y − y = 2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình:  x − x = 2000 y   (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy  y − y = 2000 x  x − x − y + y = 2000 ( y − x ) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − ( x − y ) + 2000 ( x − y ) = (2) ⇔ ( x − y ) ( x + y − + 2000 ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1999 ) = Từ hệ phương trình (1) 2 2 suy ra: x + y − ( x + y ) = 2000 ( x + y ) ⇒ 2001( x + y ) = x + y > ⇒ x + y > Nên x + y + 1999 > Do từ (2) suy x − y = hay x = y Thay vào hệ (1) ta x − x = 2000 x ⇒ x ( x − 2001) = ⇒ x = x = 2001 Nhưng x = không nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài tốn 17: Giải phương trình Điều kiện phương trình: x ≥ Ta có x − 3x + + x + = x − + x + x − x − x + + x + = x − + x + x − ⇔ x − x − + x + = x − + x − x + ⇔ x −1 ( ) ( x −2 − x −3 − ) x −2 − x −3 = ⇔ ( x−2 − x−3 )( ) x −1 −1 = ⇔ ( x−2 − x−3 x − − = ⇔ x − = x − x − = ⇔ x = −1 x = ⇔ x = nghiệm phương trình Bài tốn 18: Giải phương trình 1 + = 2 5x x − x + 36 x − x + 16 Giải : ĐKXĐ: x ≠ + = Với x ≠ nên chia 2 5x x − 36 x + 12 x − 36 x + 12 + = 2 hai vế phương trình cho x mẫu ta : − 36 +  12  − 36 +  12  Đặt  ÷  ÷ x  x x  x Từ phương trình ta có  12  36 = = t Khi ta có + Quy đồng khử mẫu ta được:  ÷ − 4+t 9+t x  x t − 12t + 36 = ⇔ ( t − ) = ⇔ t = 2  12  36 Do  ÷ − = Quy đồng khử mẫu ta x + x − 24 = x  x Giải phương trình x + x − 24 = ta nghiệm: x1,2 = −3 ± 33 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 = −3 ± 33 )  y  20 x + 11y = 2009 (1)  z  Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20 + 11z = 2009 (2)  y  x  20 + 11x = 2009 (3)  z   Giải: Từ (1) suy y  20 + 11÷ = 2009 ⇒ y > Tương tự từ (2) (3) suy x > ; z > Vì x   hệ số khơng đổi ta hốn vị vịng quanh x; y; z giả thiết x = max(x, y, z) Nghĩa x ≥ y ; x ≥ z Trừ tường vế phương trình (3) cho phương trình (1) ta y   x 20  − ÷+ 11( x − y ) = ⇔ 20 x − yz + 11x z ( x − y ) = (4) Vì x ≥ y > ; x ≥ z > nên x − y ≥ x  z x = y ⇔ x= y= z x3 − yz ≥ Do phương trình (4) ⇔   x = yz ( ) Thay vào phương trình (1) ta được: 20 2009 ± 4035201 + 11x = 2009 ⇔ 11x − 2009 x + 20 = Do x = y = z = x 22 697  (1) x + y = 81 Bài toán 20: Cho hệ phương trình   x + y + xy − 3x − y + = (2)  a) Nếu có (x; y) thoả (2) Chứng minh ≤ y ≤ b) Giải hệ phương trình Giải: a) Từ phương trình (2) có: x + y + xy − 3x − y + = ⇔ x + ( y − 3) x + ( y − ) = Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm: ∆ ≥ ⇔ ( y − 3) − ( y − ) ≥ ⇔ ( y − + y − ) ( y − − y + ) ≥ ⇔ ( y − ) ( − y ) ≥ ⇔ ≤ y ≤ 2 b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: x + y + xy − x − y + = ⇔ y + ( x − ) y + x − x + = 2 ∆ ≥ ⇔ ( x − ) − 4( x − x + 4) ≥ ⇔ x − x + 16 − x + 12 x − 16 ≥ ⇔ x ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ 4 256 49 697 4 7 + = Do ≤ x ≤ ≤ y ≤ nên x + y ≤  ÷ +  ÷ = 3 81 81 3 3 697 7 ⇔ x = y = Khi x = y = thay vào phương trình Đẳng thức xảy x + y = 81 3 3 (2) vô nghiệm Nên hệ cho vô nghiệm ( )( )  x + y x − y = 144  Bài tốn 21 : Giải hệ phương trình:   x + y − x2 − y = y  Giải: Từ hệ phương trình suy y > (*) ( )( )  x + y x − y = 144 (1)  (*) ⇔  2 (2)  y = x − 24  Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: (x )( ) ( )( + 256 = ⇔ ( x ) − 16 ) + x − 24 x − x + 24 = 144 ⇔ x − 24 24 − x = 144 ⇔ 72 x − x − 576 + 24 x − 144 = ⇔ x − 96 x + 720 = ⇔ x − 32 x { 2 = 16 ⇒ x = 20 ; y = 16 x = 12 ; y = } Thử lại nghiệm: ( x; y ) = ( 5; ) ; ( −2 5; −4 ) ; ( 3;0 ) ; ( −2 3;0 )  x + xy + y = 19 ( x − y )  (*) Bài toán 22: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = ( x − y )  2 2   x − xy + y + xy = 19 ( x − y )  ( x − y ) + xy = 19 ( x − y ) ⇔ Giải : Hệ (*) ⇔  2  x − xy + y + xy = ( x − y ) ( x − y ) + xy = ( x − y )   6 ( x − y ) − xy = x − y = a  ⇔ Đặt   xy = b ( x − y ) − ( x − y ) + xy =   6a − b = ⇒ a − a = ⇔ a ( a − 1) = ⇔ a = a = Khi hệ trở thành:  a − 7a + b =  x − y = x = ⇔  xy = y = Nếu a = ⇒ b = suy  x − y = x + ( − y) =  ⇔ Nên x; (-y) nghiệm phương trình bậc  xy =  x ( − y ) = −6  Nếu a = ⇒ b = suy  hai k − k − = ⇒ k1 = ; k2 = −2 Nếu x = k1 = y = −k2 = ; Nếu x = k2 = −2 y = −k1 = −3 ; Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 3; ) ; ( −3; −2 ) }  x + y − y + = (1)  Bài toán 23: Cho hệ phương trình:  2 Tính Q = x + y (2) x + x y − y =  Giải: Từ (1) suy x3 = −3 + y − y = −1 − ( − y + y ) = −1 − ( y − 1) ≤ −1 ⇒ x ≤ −1 (3) 2y Từ x + x y − y = có x = y + ≤ ⇒ −1 ≤ x ≤ (4) Từ (3) (4) x = −1 Do y = Vậy Q = x + y = ( −1) + 12 = (1) x − 3y = Bài tốn 24: Giải hệ phương trình:  2  x + y − x − y − = (2) 2 Giải: Từ phương trình (2) suy ( x − x + 1) + ( y − y + 1) − 11 = ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) − 11 = Từ phương trình (1) suy x = ( y + 1) Nên ( y + − 1) + ( y − 1) − 11 = ⇔ ( y + ) + ( y − 1) − 11 = ⇔ y + 12 y + + y − y + − 11 = 2 ⇔ 10 y + 10 y − = ⇔ y + y − = Giải phương trình bậc hai ẩn y hai nghiệm : −5 ± 85 10 −5 + 85 15 + 85 −5 − 85 15 − 85 Nếu y = x = ( y + 1) = ; Nếu y = x = ( y + 1) = 10 10 10 10 y=  15 + 85 −5 + 85   15 − 85 −5 − 85     ; ; ÷;  ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =   ÷ ÷   10 10   10 10   2 x3 + 3x y =  Bài toán 25: Giải hệ phương trình:  (*)  y + xy =  Hệ phương trình (*) tương đương 2  ( x + y ) = 27 8 x + 12 x y = 20 2 x + y =  ( x ) + 3.4 x y + 3.2 xy + y = 27  ⇔ ⇔ ⇔  2 3  y + xy = y − 9y + =  y + xy =  y + xy =    Giải phương trình : y − y + = ⇔ ( y − 1) ( y − y − ) = có ba nghiệm y1 = ; y2 = + 105 ; y3 = − 105 + 105 − 105 − 105 + 105 ⇒x= ; Nếu y = ⇒x= ; Vậy hệ Nếu y = ⇒ x = ; Nếu y = 8   − 105 + 105   + 105 − 105     ; ; ÷;  ÷ phương trình có ba nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) ;   ÷ ÷ 8         x + xy − y − x + y + = (1)  Bài tốn 26: Giải hệ phương trình  (2) x + y + x + y − =  Giải: Từ phương trình (1) suy y − ( x + 1) y − x + x − = Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = x − ; y2 = − x + Nên hệ phương trình tương đương: 2  y − 2x +1 = x + y − =   2 x + y + x + y − = x + y + x + y − =  x = −  y − 2x +1 =  ⇔ Giải hệ phương trình :  2 x + y + x + y − =  y = − 13   x + y − = x = Giải hệ phương trình  2 có nghiệm  y =1 x + y + x + y − =   Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −   13   ÷  10 2 x y + y x = y −  Bài tốn 27: Giải hệ phương trình  (Đề thi chuyên Lê Khiết năm 2 y x + x y = x −  học 2008- 2009) Điều kiện hệ: x ≥ ; y ≥  2 x y + y x = y −  2 x y + y x = y − ⇔ Khi ta có:  2 y x + x y = y −  x y − y x = y − − x −   ( 2 x y + y x = y −   ⇔ x y−y x x y+y x =  x y+y x   ( )( ) ( y − − 4x − ( )( y − + 4x − 4x − + y − ) ) ) 2 x y + y x = y − 2 x y + y x = y −   ⇔  x y − y2 x ( y − − x + 3) ⇔  xy ( x − y ) 12 ( x − y ) = + =0   4x − + y − 4x − + y − x y + y x x y + y x 2 x y + y x = y −   ⇔   xy 12 +  = (*) ( x − y )  4x − + y −  x y + y x     3 Do điều kiện x ≥ ; y ≥ 4   xy 12 +  > hay x = y nên phương trình(*) x − y = Do  4x − + y −  x y + y x   Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x = x − ⇔ x = x − ⇔ x − x + = x =1  x −1 = ⇔ ( x − 1) x + x − = ⇔  ⇔  x = −1 ± 13 x + x − =  1,2  x = y =  −1 − 13 So với điều kiện x = (loại) V ậy hệ phương trình cho có nghiệm  −1 + 13 x = y =  3 Cách giải khác: Điều kiện hệ x ≥ ; y ≥ 4  2 x y + y x = y −   xy x + y = y − ⇔ Ta có:  2 y x + x y = x −  xy y + x = x −   x > y suy x − > y − nên • Giả sử ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) xy y + x > xy x + y ⇒ y + x > x + y ⇒ y > x ⇒ y > x (vơ lý) 11 • Giả sử x < y suy y − > x − nên ( ) ( ) ( ) ( ) xy x + y > xy y + x ⇒ x + y > y + x ⇒ x > y ⇒ x > y (vô lý) Nên suy x = y Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x = x − ⇔ x3 = x − ⇔ x3 − x + = x =1  x −1 = ⇔ ( x − 1) x + x − = ⇔  ⇔  x = −1 ± 13 x + x − =  1,2  ( ) x = y =  −1 − 13 So với điều kiện x = (loaị) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  −1 + 13 x = y =   x + y = z − (1)   Bài tốn 28: Giải hệ phương trình:  y + z = x − (2)   z + x = y − (3)  Giải: Điều kiện x; y; z ≥ Nhân phương trình với ta có: 2 x + y = z −   2 y + z = x − ⇒ x + y + z − x − − y − − z − =  2 z + x = y −  ( ⇔( ) ( ) ( ) ⇔ 4x −1− 4x −1 +1 + y −1− y −1 +1 + 4z −1− 4z −1 +1 = ) ( 4x −1 −1 + ) ( y −1 −1 + ) 4z −1 −1 = ⇔ x = y = z = Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau: 12 x − 48 x + 64 = y (1)  12 y − 48 y + 64 = z (2) 12 z − 48 z + 64 = x3 (3)  Giải: Giả sử ba số ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình ( y; z; x ) ( z; x; y ) nghiệm phương trình Giả sử x số lớn x ≥ y ; x ≥ z (4) Từ (1) ta có 12 x − 48 x + 64 = y ⇔ y = 12 ( x − x + ) + 16 = 12 ( x − ) + 16 ≥ 16 ⇒ y > Tương tự từ phương trình (2) (3) ta có x > ; z > (5) 3 2 Trừ vế (1) (3) ta được: x − y = 12 ( z − x ) − 48 ( z − x ) = 12 ( z − x ) ( x + z − ) (6) Theo (4) (5) suy x3 − y ≥ ; z − x ≤ ; x + z − > Nên từ (6) suy x = y = z (7) Thay (7) vào (1) ta được: x3 − 12 x + 48 x − 64 = ⇔ ( x − ) = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y; z ) = ( 4; 4; ) 12 x, y, z biết x − y + z = x − y + z Điều kiện: x; y; z ≥ ; x − y + z ≥ Đặt x = a ; y = b ; z = c Do a.b.c ≥ nên ta có Bài tốn 30: Tìm a − b + c = a − b + c ⇔ a − b + c = ( a − b + c ) ⇔ a − b + c = a + b + c − 2ab + 2ac − 2bc ⇔ −2b + 2ab − 2ac + 2bc = ⇔ 2b ( a − b ) − 2c ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) ( b − c ) = a − b = a = b ⇔ ⇔ b − c = b = c Hoặc cách giải khác: Do x = y z tuỳ ý ; y = z x tuỳ ý x− y+z = x − y + z ⇒ x− y+z + y = x + z ⇒ x − y + z + y + y ( x − y + x ) = x + z + xz ⇒ y ( x − y + z ) = xz ⇒ y ( x − y + z ) = xz ⇒ y ( x − y ) + yz − xz = ⇒ y ( x − y ) − z ( x − y ) = ⇒ ( x − y ) ( y − z ) = Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý 1 Bài toán31: Cho x > , y > + = Chứng minh rằng: x + y = x − + y − x y 1 Từ x + y = (1) Suy x > ; y > thức x − ; y − tồn Từ (1) suy x + y = xy ⇒ xy − x − y + = ⇒ ( x − 1) ( y − 1) = ⇒ ⇒ x+ y = x+ y+2 ( x − 1) ( y − 1) − = ( ( x − 1) ( y − 1) ) x −1 + y −1 ⇒ =1⇒ ( x − 1) ( y − 1) =2 x + y = x − + y − (đpcm) Bài toán 32: Cho tam giác có số đo đường cao số ngun, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác Giải: Gọi x, y, z độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác, đường cao tam giác ln lớn đường kính đường trịn nội tiếp tam giác đó, nghĩa x > 2; y > 2; z > Vì x, y, z số nguyên dương nên 1 1 1 + + ≤ + + = Mặt khác ta lại có: x y z 3 1 a b c a+b+c + + = + + = = = ⇒ x = y = z = nên tam giác ABC x y z ax by cz 2S ABC r x ≥ 3; y ≥ 3; z ≥ ⇒ Bài tốn 33: Cho phương trình x + 2mx + = (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32 Giải: Đặt x = t > phương trình (*) trở thành t + 2mt + = (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 ngh ĩa l à: m >2 ∆ ' = m2 − >   m > ∧ m < −2  ⇒ m < −2 t1 + t2 = −2m > ⇔ m < ⇔  m < t t = t t = 1 1 13 Khi m