PT, BPT, Hệ phương trình Vô tỉ Luyện thi Đại học - Cao Hoàng Nam

www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T PH N I -B CÁC D CAO HOÀNG NAM x 3x 2x 3x 2x 3x 2x 2x (2x 1) N 2x 3x 2x A B B A B2 A B A B B A A B A B B A B A B x 0 x 4x 3x 17 x x u ki n nh n x V y: x x 4x 3x 17 T NG QT: i v i nh ng nh trình khơng có d ng chu u ki - Chuy n v cho v hai v VÍ D 2x 2 x B2 B A 7x x B A A B B 4x 4x 2x 3x x 4x (3x 17) c hi n: x x 17 x 8x 98x 294 u khơng âm, kh - BÀI T P Ví d 1: Gi 2x x 2 x 3x 19x 20 x 12 x 17 x 21 x x x 4x 3x 17 x x V y: x x x 2x 3x 19x 20 4x 4x 4 2x x x x x 2 x 3x V y: x x x x x x u ki n: x 2x 4x 3x 19x 20 (4x 4) x x x 2x x 4x 3x 19x 20 2x x x x x x 2x 2x x x x x x V y: x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com 13x 51x x 1 x 13 x x 1 x x 1 x x 12 2x x 12 x 4 x 2x (*) Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T x x 12 u ki n: x 2x x 12 (*) 4x 6x 54 x x x 12 x x x x u ki n nh n x V y: x 2x x 2x (x 3)(2x 1) 14 2x (x 3)(2x 1) (x 3)(2x 1) x x x Do x x (2) 9x 52 x x x 13 x x u ki n x V y: x 4 x x x u ki n nh n x x x 51 2x x x x 5x x 2x u ki n: 16x 17 (3) 8x 15x 23 (3) x (x 1) 16x 17 (x 1) x x 81 18x x 8x 23 16x 17 x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 64x 368x 529 x x 5x 24x 27 8x 23 5x 24x 27 (x 1) 8x 23 16x 17 8x 23 16x 17 5x (1) 17 16 x x 5x 2x 8x x c: (x 1) 16x 17 x x x 16x 80 V y: x (x 3) x (1) x x x x x 16 x x x 3 (x 1) 16x 17 8x 15x 23 u ki n: x x 16 (8 x) 2 x x x ng b m x 16 x (2) x x Ví d 2: Gi x 16 x x x x x 16 u ki n: x x 16 x (x 3)(2x 1) 49 14x x x x (x 3)(2x 1) x CAO HOÀNG NAM V y: x 23 x x x 4 u ki n nh n x ho c x www.mathvn.com 1 ho c x Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T (x 3) x x x (4) u ki n: x (4) (x 3) x 2 x x (5) (x 1)(2x 6) (*) (2x 6)(x 1) x x x x x 6x 51 2x x x u ki n: 13 51 2x x x 13 x 13 x ng h p 2: x th a (*) ng h p 3: x x 4 ng h p 1: x 51 2x x (6) x x V y: x x 51 2x x x x x x x 51 2x x 2 (1 x) x 1 13 x x x x 6x x 13 13 x ng h p x x x 6x t d u c a (1 x) nên ta chia làm x x2 (6) x2 (*) 6x x x x 25 V y: x ho c x x x x x x2 x 4(x 1) 7x 18x 25 x x x 4(2x 6)(x 1) (x 1) ng h p 1: x x x x 2x x (2x 6)(x 1) ng h p: (*) (x 1)(x 1) 2x t d u c a (x 3) nên ta chia làm CAO HOÀNG NAM 2 13 x ng h p 2: x 51 2x x (6) x 13 13 ho c x 2x 8x x x 1 x x 51 2x x x 1 13 x 2x (5) x x x 13 13 V y: 13 2x 8x u ki n: x 1 13 x ho c x 13 x 2x ng h p 1: x th a (5) ng h p 2: x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VƠ T Ví d 3: Gi CAO HOÀNG NAM 14x 49 x x x x x 14x 49 14x 49 x x 1 x 14x 49 x x 14x 49 14x 98 14 V y: x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 5 x 1 x x x x x x 5 14x 49 ( 14x 49 7) 14x 49 x t t x 14 B A B A 14 ( 14x 49 7) 14x 49 14x 49 thành: t 7 t 14 t 14x 49 14x 14 14x 49 u ki n: 14x 49 t x x (*) u ki n B T A D U TR TUY A 14x 14 14x 49 (2) x Chú ý: CÁC D x x V y: x x 1 x x V y: x x i m i x th x x 1 x 1 x 3 (3) x 1 x 1 x 1 (3) 3 x 1 u ki n: x x VN x x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x x x x x x 1 (1) x u ki n: x x x x x 1 (1) x x 1 x x x 7 x B 14 A A B B B A B A A A B A B A B A B A B 14 (2) t t Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com B B (A B)(A B) 49 14 14x 49 I Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T GI 3 A B 3 A B A B C c: C x (2) A B 3 A.B.C C 2x (2) 3x x x 3x u ki n: x 2x C A B 3 A.B Thay QU CAO HOÀNG NAM 0 3x x 2x 4x x (*) 5x (3x 1)(2x 2) f (x) g(x) h(x) k(x) (3x 1)(2x 2) f (x) h(x) g(x) k(x) Mà có: f (x).h(x) g(x).k(x) Bi d ng: f (x) h(x) k(x) g(x) B , gi qu VÍ D VÀ BÀI T P Ví d 1: Gi 3 x x 3 w x3 x 3 x 3 x 3 x x c qu Bài toán v n có th gi i theo cách bi i i cách ph c t p 2x x x3 x x u ki n: x x 3 x x x 3(x 2) x3 x (x 2) (x 1)(x 3) (x 2) x 3x h h qu bi t có nghi m hay không? gi i: x 3 x 3 x ta ch nh n x 2x 3 x x x x x x x2 x Th l i nh n x V y: x x x2 x x 3; x x x x (3) x 2x Nh n xét: Khi thay x2 x x x3 x (x 1)(x 2)(x 3) (x 2)3 (x 2)( 1) x Th l i nh n x V y: x x3 x (3) x 3 (x 1)(x 2)(x 3) x2 x x 3 x Nh n xét: x 2x 3 x x 2x 4x x Th l i nh n x V y: x 3 Ta thay 6x 8x 4x 12x x2 x x x x x 3x x x 4x(x 3) c 2v x 5x 4x(x 3) 3; x 3 Nh n xét chung: Th ng h c ba ab c hai ta có th qu N u gi ph c c m th n vi c gi u ki n s u ki gi i b trinh h qu l i Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T CÁC D T M T N PH a.f (x) b f (x) c 0; a : t t t t t 3t 0 V i t f (x), t ho c x t t A n n b AB c B a.A x bB x A B 2x 15 B u ki n: x c A x B x mA :B v d B1: Th B2: Xét v u v nB t2 t n ph : u uv v2 ng h p v = 0 thành : u v B 53 x 5x 53 x 5x x 5x u ki n: x 5x x x 5x x 53 2x 5x 2 2x 5x u ki n: 2x 5x x 2x 2x x 5x x 5x 53 x 5x 10x (x 4)(x 1) x 5x x VÀ BÀI T P 2x 5x 2 2x 5x x x x x 2 73 x 5x 73 (t 0) 5x t thành: t t t t 17 (t 0) x 5x x 5x t x 5x V i t t t t2 t x 5x 1 (x 4)(x 1) x 5x t t 0) t V y: x (t 2(t 6) 15 t Ví d 1: Gi 17 x x t t VÍ D t2 thành: x 2x 15 x 5x 5x x 5x Tham s bi n thiên x x 5x 2t thành t2 c u tt= v 2; x x 5x 10x x 5x t t x 2x 10x 15 a A B) b(A B AB) c : n t x 5x 42 x 5x 14 V y: x a( A CAO HOÀNG NAM t2 thành: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 t t V i t 1 t 3t 3t 16t (7 3t)2 2x 5x x 1; x V y: x ho c x www.mathvn.com t 7 Trang : PT- BPT - HPT VÔ T x x x x x u ki n: x 1 0) 2t 3t t t V i t x x t t t x x x x x 1 x x t t V y: x t t 3x t x 3x 22 2 2x 5x t 2x x (t 5x 3x 2x 3x 2x 5x thành: x t (*) x x x x x x 2 2x 2(x 1) 5x(x 1) 2(x 1)x t 16 V i t 0) t2 t t t t 20 0 2x 2x 5x x (loaïi) x 3x 2x 5x x x2 x 2(x 1)x ho c x x x x 2x x 3x 2x 5x 16 2x u ki n: x x (*) x 0) t t x (t x 3x Cách khác: x t2 t 2t 15 x x x x 2x x x x x V y: x ho c x x thành: x x x x x (x 1)(4 x) x x x (x 1)(4 x) x u ki n: (x 1)(4 x) x x V i t x 3x 4 x x x 3x 2x 5x 16 x 2 x 1 thành: t 2x x 3x 4 x u ki n: B t x x (t x CAO HỒNG NAM Ví d 2: Gi x x t t www.MATHVN.com 52 21 3x x 146x 429 x x x 143 x ho c x V y: x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com x 3 Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VƠ T Ví d 3: Gi 2 (x 2)2 2 x 2 (4 x ) 3 (2 x) x x x x4 (1) x 2 x 43 t t 4t (2 x) 2 x 2 x 73 x 2 x V y: x ho c x x u ki n: x3 (2) 2(x x x x 2 x x x 1 2 Do x 2 x 2 x 74 91 V y: x x (VN) x x x 1 x x 37 x 2 x 37 Nh n xét: a ta vi c phân tích: x 27 64 x 2(x 2 x3 (x 1)(x x 1) B ng nh t h s : (x (x 1)2 x x 1) ta d dàng ch n M t s khai tri x 1) 2(x 1) Vi c có th th c hi n d dàng do: 74 91 x (4 x ) 3 (2 x) 2 V i t x v x thành: 4u 7uv 3v2 Do v không nghi c: cho v u u u v v v x x u 1 V i v x x u x x V i v x x 74 V y: x ho c x 91 2 x t 5t 0) V i t x3 2 2t (1) Cách khác: t u (t t c: t t x 2 x x 2 x (x 2)2 x x x thành: thành: 7t 3 2 x2 x 2 x V i t V i t x x x x x x t t 2 3 (x 2) (4 x ) (2 x) x không nghi Ta có: x trình Chia v cho: CAO HOÀNG NAM x4 x x2 c thành nhân t : x u v x4 27 64 x 74 91 x x u ki n: x x x2 P x4 x2 x x u v2 u v2 v 10v 6uv x chia hai v cho x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 x 1) x : 2x x (u, v 0) (2) 2x thành : u 3v x 2x x x2 , v t: u x2 2x 2x 2x u 6uv 9v2 x 1) 2(x 1) (x 1)(x 2x x2 4x x x4 x2 x2 2(x 2) V i v V y: x x2 1 www.mathvn.com u v x2 v x Trang www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T CAO HỒNG NAM Ví d 4: Gi T N PH x 2(x 1) x x x x x 2x x : t n ph Tìm m i liên h gi a n ph K t h p v u c a toán ch ih 1 x 2(x 1) x x x (1) u ki n: x x x x2 x (1) x2 t t t 2(x 1) x x 2(x 1) 0 ph x 1; t 0, 2(x 1)t 2x 0, t t t 2x x2 V i t x 1 x ' x 0; x 3x ho c x x x3 x x 2x x2 x 2x 3x 3 3x 25 x 35 x 3 9x 1 30 x y3 35 n v h sau: y3 cc p x 2x 2x t2 thành: t t x x 2x x 2x x x x x 2x x 2x V y: x (VN) x u v u2 2 n v h sau: x x t x 31 x u 31 x v x t x x x 2x P t t x t t 2x V i t 30 35 i x ng lo i Gi i h nghi m (2;3) ho c (3;2) V y: x ho c x u ki n: x 2x V i t 25 x xy(x y) 30 5x x x 25 x x 3 x x 3 x x x3 2x t y 2 V y: x x x (1 2x) x x 25 x x x2 x 1 2x 2x V i t 2x Ví d 1: Gi ng trình tr thành: H v2 u v uv V y: x = u v x 3 x x x u ki n: x t u v x x u + v2 = u + v =1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com (v 0) n v h sau: u(u u 2) v u Trang : PT- BPT - HPT VƠ T www.MATHVN.com Ví d 2: Gi u u u x x x 10 v u x x 1000 8000x 1000 2x 4x x 2 ho c x ho c x 10 V y: x CAO HOÀNG NAM 4x 7x x 4 81x x 2x x x3 2x t y 2x y3 2x n v h sau: x 2y 7x 13x 2x x(1 3x 3x ) 4x 11x 10 (x 1) 2x 6x y3 2x x 2y x3 y3 2x 2(y x) Cách 1: x 2y (x y)(x (Do x 2 xy y xy y 2 x 2) y y 0) u ki n: x t: u u2 x u v3 u v 2 t t y2 9x 1 3x n v h sau: v 3v v V i t t y t2 y u v v V i y x (t t t V y: x www.mathvn.com ;x 17 t (th a) 4t 2t t 13 x 17 t ) 2 t y y x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 t 2t t t 17 u 3x 1 v 3x V y: x t 6v 3 v v v y y 1 t (t y)(t y ) u.v t t2 y2 t n v h sau: 3x u x 1 x 1; y t x 1 2 3x v v2 (x 1) 2 2(x 1)2 (1) x V y: x ho c x 3x (x 1)2 x 2x x y x (1) 2x 4x x 2y x y x 4x 13 13 (th a) Trang 10 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T x 6x 11 Ch y u b ng cách s d ng công c o hàm ho c s d ng b ng th tìm nghi m CAO HOÀNG NAM x 6x 13 c (x 3)2 ng gi i quy t: H ng 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) k Xét hàm s y f (x) Nh n xét: V i x x0 f (x) f (x ) k x nghi m V i x x0 f (x) f (x ) k ph ng trình vơ nghi m V i x x0 f (x) f (x ) k ph ng trình vơ nghi m V y x nghi m nh t c a ph ng trình H ng 2: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) g(x) Dùng l p lu n kh nh r ng f (x) g(x) có nh ng tính ch t trái ng nh x cho f (x ) g(x ) V y x nghi m nh t c a ph ng trình H ng 3: Chuy n ph ng trình v d ng f (u) f (v) Xét hàm s y f (x) , dùng l p lu n kh ng nh hàm s u f (u) f (v) u v Ví d 1: Gi 3x 6x 5x 10x 14 x 6x 11 (x 3)2 D ng y 7 x 3x x 4x Ta có: x 2x (x 1) x 4x (x 2) (x 2x 2) (x 4x 5) x 3x Áp d ng b ng th c Côsi cho s a x 2x 2;b x 4x ta có: a b ab x 3x (x 2x 2)(x 4x 5) D u b ng x y ch khi: 2 V y: x= x 2x 3x 6x 3(x 1) u ki n: D 5x D V y: x x 10x 14 5(x 1) 3(x 1)2 Mà: 2 x 2x x 2x x 9 y x 22 32 x 3x x 2x x 3x 2 x x 2x x 2x 5x 12x 33 2 D u b ng x y ch khi: ad bc V i a 2;b 3;c x 3x 6;d x 2x 13 x 3x Áp d ng b ng th c Bunhiacôpxki cho s : 2 a b c2 d (ac bd)2 (x 1)2 x 5x 12x 33 5x 12x 33 2 (x 2x 2)(x 4x 5) 13 x 3x 2x 3 13 x 3x 2 (x 2x 2)(x 4x 5) (x 2x 2) (x 4x 5) 2x x (x 2)2 4 2 (x 3) (vô lý) x m x 6x 13 (x 2)2 (x 3)2 V y: x 3x (x 3) 4 Mà: x 4x 2 D u b ng x y ch khi: 3(x 3x 6) 2(x 2x 7) Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 16 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T 3x 9x 18 2x 4x 14 x 5x V y: x 1; x x 1; x 3 x 3x u ki n: x x 3x (1) Xét hàm s : y Ví d 2: Gi D 3x 9x x x2 4x 4x 1 3 x 3x 8x x 6x 11 9x 3x 3x 9x 3 x 2x (2x 1) có nghi m u2 Xét hàm s : f (t) t t 3t ;0 x 2x x u ki n: x x 2x u x v t 3x 2 Xét hàm s : y t y' t t2 0, 2x f x x y có v2 v 2t 3t f (u) f (v) V y: x x D y ' có nhi u nh t nghi m nhi u nh t hai nghi m Nh m nghi c x 0; x V y: x 0; x 3x; v 2x u, v thành: u f '(t) x 1 x x2 4x Nh tu 1; 6x x y '' 0, x x 2x 8x (1) x 8x x 3x 8x y' 4x CAO HOÀNG NAM x 6x 11 x x 1 x x x x 6x 11 x x t2 2 t f x x 2 t x 1;3 x x x V y: x 4x 4x 1 4x 1 x u ki n: 2 4x 4x 4x 1 Xét hàm s : y D ; 2 4x y' 0, x 2 4x 4x u có nghi nghi m nh t Nh m nghi c x V y: x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 17 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T PH N II -H - T m theo y Th cx B ng cách bi d ng tích c x theo y Th nghi m Ví d : Gi i h i gi i tìm x ho c y x 2y y x 2x 2y Ví d : Gi i h x xy x (y 1)(x y 1) 3x xy x x xy 2x x2 24 x x2 x 72 x V y: nghi m h 9, 19 y x y x 2y x 2y x 2y 19 y 2xy y2 xy 2y ; 8, Do x (2) x (y 1)(x y 1) 3x 4x xy x x x 2x (2) x 3x x 2x 2x x x 2x x V i x (1) không nghi m h x2 y c: x x2 x2 x2 x 3x 4x x x V i x y y (2) x x x V y: nghi m h 1; ; 2; Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 x y 0) c: 2(2y 1) 2y y 2y y ( Do y 0) Nh n xét: Ta có th ki c nhân t chung hay không b tham s bi n thiên xy x y x 2y2 x (y 1)x 2y2 y (y 1)2 8y2 4y Ta có: T c: x V i y ta có x V y: nghi m h (5; 2) x 3x 1 y (1) x y 2y y 2y 2y y x 2y x xy 2y2 (x y) (1) 2x y xy x y u ki n: x 1; y x2 x x y y2 x 2y y x 2x 2y 24 2x y y3 7y x2 2x 3y x2 x 7x 4x 5x 4 x y 5x 4xy 16x 8y 16 24 2 y2 2x 3y i gi i tìm x 2y xy x y 1 CAO HOÀNG NAM y2 9y2 6y y ho c x 5x 4 x 2y (1) y 5x 4xy 16x 8y 16 T thiên xem y n ta có: y2 5x 4xy 16x 8y 16 www.mathvn.com 3y (2) bi n Trang 18 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM (y x 4)(y 5x 4) y x y 5x V i y x c: V i y 5x y x 7x x 2 x y x2 y y2 y2 x x x y x2 y2 S 2S 15 S P 10 S P o: 5 T i: Cách 1: Có t ng, tích nên áp d V y: nghi m h u ki n: S2 P S x y 5 ; S2 S xy y (VN) y2 P S y S2 2P 5 2y x S x y P xy S P H x2 2x y2 2x y x2 x y y 2x x2 x y xy t: xy y 4P x y xy 7y x y x y x2 x2 ;0 x y S x y v i S2 P xy t x y xy x y f (x, y) f (y, x) g(x, y) g(y, x) Ví d : Gi i h y 0 y Cách gi i V y: nghi m h 0; ; 4;0 ; y y 5x 4 x x c 5x x x x 5x 4 x I X NG LO I I f (x, y) v i g(x, y) D ng: x H ; ; X SX P x, y nghi m c S P 10 : H m (do S2 4P = -15 < 0) S P X2 3X x, y nghi m c x x ; X 1;X nên y y Cách 2: Gi ng b ng ph S P 10 x y x y y y 10 (VN) xy 10 : S P x y xy x y y y V y: h Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com 10 y x x y m là: 1, , 2,1 Trang 19 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T 2x y 2y x H x y xy x2 y2 (x y)h(x; y) f (x; y) 5xy x y h(x; y) hay f (x; y) f (x; y) Ví d : Gi i h x y xy Cách h t u H i x ng lo i x; v u y v x 2y u v uv H S2 uv 2P 5P S P u v P x y u v 1 u v x y 3 2 u v x y H xy 2x y x 3; 2x y x y x x x y x y 2x y x 2y x x y 2x y (2y x) (x y)(3x 3y 1) x y 2x y y x 3x y ho c ho c 3x 3y x 2y y 9x m 1; , 3 3; , ,3 2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 2x y 3x (vn) 3x y y V y: h có hai nghi m (0;0); ( 3; 3) 2x y (1) 2y V y: H 2;1 , 2y x (2) x 2y 5xy x ; y 2x 2x y (1) 3(x y)(x y) x y xy x y y x 2y 2xy x y xy x 2y Cách 2: Gi i tr c ti p x y x x 2y (y 2x ) 3 3 Tr t ng v (1) (2) ta có: H S y 2x x 2y S P 2y x 2x y 2x y 2y 5uv t S u v;P f (x, y) g(y, x) g(x, y) f (y, x) f (x; y) g(x; y) f (x; y) Cách gi i: 2x 2y y x x y xy I X NG LO I II f (x, y) v i g(x, y) D ng: u ki n: xy H CAO HOÀNG NAM x (2) ;4 Tr t ng v (1) (2) ta có: u ki n: x, y www.mathvn.com Trang 20 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T 2x y 2x y 2x H 2y y x y x y 2y 2x x y x y 4 x y NG C P a1 x b1xy c1 y a2x2 D ng: 2x x 2(x y) 2x 2y Do CAO HOÀNG NAM b xy c2 y Cách gi i: Xét y = Xét y trình b c hai n t ty gi Ví d : Gi i h : 3x 2xy y 11 x2 2xy 3y 17 x 2x x x y x d2 2x x y x t x d1 16 y 11 y Nh n xét: Ta ph i kh hi xu t hi n nhân t 11 11 ; 9 x y x 2xy y 11 17 2xy 3y Xét y = Ta có ng liên x y3 19 3x V y: H có nghi m 3;3 , x y y 3x x 11 17 (mâu thu n) V y y = không nghi m h t x = ty thay vào h ta có: y (3t 2t 1) 11(1) y (t 2t 3) 17 (2) L y (1) chia (2) c: 10t2 + 3t Kh V it=- thay vào (1) 4=0 y2 t 25 x ; 3 x y=3 y2 y thay vào (1) V it= x 1; y=2 x y=-2 V y: Nghi m h : 5 ( ; ), ( ; ), (1; 2), ( 1; 2) 3 3 ;t y y= 2 x y y 2 x y3 19 Do x không nghi m c a h Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 21 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T t y tx N PH x tx tx H x 3 tx 19 x t t x t Ví d 1: Gi i h 19 x2 y y x L y (1) chia (2) t 2t t Kh c: t3 19 t t 2 t t 19 t V i t 19 x 19 27 342 x 19 343 x y x 3 y y x y y 18 V y: H có hai nghi m 3; , 4y x2 y x x 21t 17t V i t CAO HOÀNG NAM t y x2 y y x 18 ;3 18 18 Nh n xét: N uh g ng b c ta có th gi 2x y v H 4y x2 y x y Do y không nghi c: x x y y x2 y x y x2 ;v x y y u v u uv v tu H c: x2 1 y x y x2 y y x x2 x y x x y x y V y: H có nghi m (1;2),( 2;5) x y 2x y x y y x y u ki n: x y y Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 22 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T t u ;v y x H x y 3 y v 3u 1 y x y x x y y 10 x 10 3 v) y x2 7x ta 7x x y2 x x y x y2 Gi i (2): 2xy x x y 3 x 2(l) y2 2 ng trình 2 x y (1) x y2 c: y V y: Nghi m h ph 2 y x x 45 24 x x y2 u v xy x x y 2xy y ** y2 (x 3) ( u Ví d 2: (D2-10) Gi i h v2 45 24 v 2 uv xy 3y Thay y2 x y u u v v 2 xy xy 2 y y y 10 x 10 u ki n nh n c p nghi m V y: H có nghi m 3;1 ; 5; ; 10;3 10 ; 10;3 10 2 uv không nghi m nên u v ** y2 Do v V i u 1; v ta có h : 2 u2 x y x y x y v v u y x y v 3 u v2 x y x u u v v thành: u u v2 u u y2 xy y2 u v u v u v2 2; v ta có h : x xy2 1; v tu x y u v V i u y2 21 y x xy2 y2 xy2 x y y x CAO HOÀNG NAM 2;1 ; 2; ; 2; ; 2; (2) 3 x x y2 6x x y2 Gi i (1): B y c: x y4 2xy2 y4 (x 1)y2 (x 1)y2 x 7x bi n thiên coi x y2 x y2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 23 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T Do x P Ví d : Gi i h : x2 y x y x V y: Nghi m h x 4 y ;4 y3 5y x8 1;1 nên nh n y x 5x x4 CAO HOÀNG NAM y4 x2 x y y2 y u ki n: x, y Tr v cho v c x y x c: x y Xét hàm s y f (t) t2 t y' 0, t2 t f (x) f (y) x y u: x2 x x2 3 t t x x Xét hàm s : G(x) x2 x t G '(x) 0, x 2 x x Mà G(1) m nh t x y V y: Nghi m h (1;1) x 5x x8 Nh n xét: Do x8 y4 y3 5y x Xét hàm s : y f (t) y y4 nên t y3 5y x x4 x4 1;1 y i: x4 x8 1;1 t 5t y ' 3t 0, x3 5x x, y 5 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 24 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VƠ T B CAO HỒNG NAM Xét hàm s f x TRÌNH H CH A THAM S ; \ I Ki n th c c n nh f' x Cho hàm s y f x liên t c t p D Yêu c u f x f x Khai thác f x m có nghi m x D f x m có nghi m x D lim 3x x x lim f x f x m có nghi m max f x m \ x x ; x B ng bi n thiên: x D f x x D x m + - I gi i tốn tìm giá tr c a tham s m f(x) có nghi c 1: Bi trình v d ng: f x f x S nghi m c trình, b g m ho c g m ho c f x c f x c 3: L p b ng bi n thiên c a hàm s y f x D c 4: Tìm f x ; max f x x D Ví d 1: th c phân bi t: x x x mx mx 2x mx mx m 3x x f x ; m mi n ng th ng \ D a vào b ng bi c giá tr c a m th a mãn yêu c u tốn m 9 Ví d 2: thu c 0;1 trình sau có nghi m x 2x m x x 2x 2x 2 3x 4x * * V i x y V y: m m 2x th hàm s x D c 5: K t lu n giá tr m c n tìm x2 ng s g m D c a hàm s y c 2: V i x lim 3x x m x D ; x m max f x II 0v i lim f x x D m có nghi m m có nghi m x2 Gi i h n: m max f x f x f x t p x 3x (vô nghi m) 3x m x m t t x 2x x x x 2x x x t2 x t' x 2x B ng bi n thiên : x 0.x t ,t' x 1 + 2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 25 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T x 0;1 t 1; lim f x x 2x lim x B CAO HOÀNG NAM x thành: m t t f' t t 1 2x x 2x 4 lim x 4 1 x x2 x x2 t 0v i x lim lim f x x x 2x x 1;2 x f(t) t 1;2 m max f t x S nghi m c m c th hàm s y m: x 2x 2x x 2x 2x (x 1)2 (x 1)2 m m m Ví d 4: Tìm m x 2x x f' x x f '(x) x 2 2x x x 2x x (x 1)2 (x 1) t Xét hàm s : y f (t) t y' 2t (t 3)3 y f x D a vào b ng bi m nghi m V y: m x x 2x ng s giao ng th ng m u ki n: D Xét hàm s f x f(x) -2 Ví d 3: Tìm m x2 - f 1;2 x2 x2 có nghi m b V y: m x B ng bi n thiên c a hàm s f x m 0;1 x2 + B x x 2x 2x x + lim x x 2x 4x lim x B ng bi n thiên c a hàm s f t t x t2 m (do t ) t t2 Xét hàm s f t t p 1; t t 4x lim (1) x 2x 0, t x m: x x x x x x m m u ki n: x t t x x 1 t' v i x x x 1 t' 0 x x x x x x x f '(x) 0, x Ta có: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 26 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T B ng bi n thiên: x CAO HOÀNG NAM x 3x -1 + x 3 x x m 15m Ta có: x 3x H - t x m x 3 x x m2 15m có nghi m x x 3 x x m2 15m có nghi m x 3 tf x x 3x x n3 t T Do t x x x t t m t2 x x x 3x f' x 3x x x 0; x x 6x x x 1;4 4 B ng bi n thiên : -1 x t 2t 2m - Xét hàm s f t x 3x 6x f' x t2 thành: x 3x 1;4 - + t 2t t p 3;3 16 f(x) f' t 2t v i x 3;3 B ng bi n thiên: t 3 f x m max f x + 1;4 f(t) -4 15m có nghi m x m2 15m m2 15m 16 V y: 16 m 1;4 16 m2 15m 16 m S nghi m c m c th hàm s y ng s giao ng th ng y f t 2m 3;3 D a vào b ng bi nghi m 2m V y: m m 2 2 Ví d 5: Tìm m nghi m: h b t x 3x x 3 x x m 15m Trong trình t ng h p, biên so n ki n th c không tránh kh i sai sót, mong Th y Cơ b n nh n xét, góp ý Xin chân thành c Cao Hoàng Nam Email: Caohoangnamvn@gmai.com n tho i: 0907894460 TP.HCM - 26/06/2011 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 27 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T M TS CAO HOÀNG NAM Bài 18 (A-10) Gi i b IH C x I B : (x 3x) 2x 3x 2 x 13 4x 2x 12 x 16 2x x x x x Bài (D2-04) Gi i b II H x : x y x y x y 2x x y Bài (A-03) Gi i h x 2 x Bài (B1-05) Gi i b x x x 8x 6x 4x Bài (B2-05) Gi i Bài (B-03) Gi i h x 2x x y2 x2 x2 y2 3y 3x Bài (D2-05) Gi i b 3x Bài 10 (D-06) Gi i Bài (A1-05) Gi i h 2x x Bài 11 (B1-06) Gi i b 3x 3x x 4x 3x Bài 12 (D2-06) Gi i b x x x Bài 13 (A1-08) Gi i b 2x 2x x x y2 x y x(x y 1) y(y 1) 5x Bài (A2-05) Gi i h 8x 3x 2y Bài (A-06) Gi i h (2x 1) 2 x y x xy y Bài (A1-06) Gi i h 3x x2 y y x Bài 15 (B1-08) Gi i b 4y x2 y x 3x 9x 2x x 8x x 2x y Bài (A2-06) Gi i h Bài 16 (D1-08) Gi i b (x 1)(x 3) x y x 1 1 x2 trình sau: 2x y Bài 14 (A2-08) Gi i b 10x 1 y y x3 2y 2x 2x Bài (B-02) Gi i h x2 2x 4x 2x Bài (A-05) Gi i b ình sau: 3x 4x 16 4x 15 16 5x Bài (D-05) Gi i x 1) 3x x 3x 14x Bài 20 (D2-10) Gi i b Bài (A1-02) Gi i 2(x Bài 19 (B-10) Gi i b Bài (D-02) Gi i b t x x Bài (A-04) Gi i b x (x 1) y3 2y x 3 y2 Bài 17 (A-09) Gi i b 3x 5x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 28 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T Bài (B2-06) Gi i h u: CAO HOÀNG NAM Bài 20 (D1-10) Gi i h x y x2 y2 13 27x y3 7y3 x y x2 y2 25 9x y y 6x Bài 21 (D2-10) Gi i h Bài 10 (D1-06) Gi i h x xy y x2 x y xy y x y2 III Bài 11 (A2-07) Gi i h x y x y2 x3y x xy : x y 2xy y 2 x y x4 x y2 x BÀI TOÁN CH A THAM S m: m: Bài 1 m x2 x2 x4 x2 x2 Bài 12 (B2-07) Gi i h 2xy x y2 y 2y y nghi m: x x y x y xy y2 xy x x2 2x y x y 2xy x2 2x Bài 16 (B2-08) Gi i h x3 y Bài (A1-07) Bài 17 (B-09) Gi i h x xy x 7y x y2 xy 13y (4x 1)x (y 3) 2y 4x y h b có nghi m : x 2x x x Bài (B1-07) x(x y 1) (x y) x2 Bài 19 (A-10) Gi i h 0;1 m Bài 18 (D-09) Gi i h m(x 2) ình sau có nghi m th c: 1 x y x y 1 x3 y3 15m 10 x y3 x 2y y x 2x 2y (x 4) a m Bài (D-07) Tìm giá tr c a tham s x 2y y 2x m: x 2x Bài 15 (D-08) Gi i h x mx x m x x2 Bài (B-07) Ch ng minh v i m i giá tr tham s th 6x xy x y nghi m th c phân bi t: Bài (A-07) xy 2x Bài 14 (B-08) Gi i h y y 3m Bài (B-06) x4 y x x Bài 13 (A-08) Gi i h h x x x 2x 2xy y Bài (D-04) 2 4x m: x2 x m Bài (B2-07) ng m t nghi m: x 13x m x Bài 10 (D1-07) nghi m: x x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com x x m Trang 29 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T Bài 11 (D2-07) h có nghi m nh t: 2x y m x 2; m th c 2x 2x x x m 2;3 ; B x x 14 x x x 34 2, x x 14 x 20 x 12 x 15 x ;x 14 x 3 ; 2 m m m 22 m 12 10 m m 11 m 2 ; m 12 6 2; 2; m : ; x 1 ;2 m 1;1 ; ; 2 (1;1); 19 ; 3;1 III BI N LU N THEO THAM S m: m 1 m 20 x II H 18 x 2 4, x 16 17 x 19 x ;1 ; 10 x 1, x 21 2;1 ; 2; ; x 13 x 17 1; 18 1;1 ; 2; x 11 x 15 5; 2 x x 10 17 4; 1; 25 ; 1; 16 16 2;1 x 10 x 13 12 1;1 ; 0;0 1; ; 3;3 10 0;0 ; 2;1 ; 2; 11 1;1 ; 13 2;1 2;5 6 ; ; ; 13 13 13 phân bi t: 2; ; 1; ; 1; ; Bài 12 (A-08) Tìm giá tr c a tham s x ; (2; 1) xy I CAO HOÀNG NAM ; ; m 1;1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 30 ... (A-04) Gi i b x (x 1) y3 2y x 3 y2 Bài 17 (A-09) Gi i b 3x 5x Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 28 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T Bài (B 2-0 6) Gi i h u: CAO HOÀNG NAM. .. 0, x Ta có: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 26 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VƠ T B ng bi n thi? ?n: x CAO HỒNG NAM x 3x -1 + x 3 x x m 15m Ta có: x 3x H - t x m x 3... i: 0907894460 TP.HCM - 26/06/2011 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 27 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T M TS CAO HOÀNG NAM Bài 18 (A-10) Gi i b IH C x I B : (x 3x) 2x