Tổ Hợp Xác Suất- LUYỆN THI THPT QUỐC GIA VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - Nguyễn Minh Đức

Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số 5... Lấy ngẫu nhiên một số trong các số được lập, tính xác suất để trong số được lấy có 2 chữ số chẵn, 2 số lẻ.. Tính

Trang 1

Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com

Tổ Hợp

&

Xác suất

Trang 2

Sau đây, Nguyễn Minh Đức xin được giới thiệu chuyên đề nhỏ tổng hợp

một số bài toán về mảng kiến thức “ Tổ Hợp-Xác Suất” Như một điều hiển nhiên,

“Tổ Hợp-Xác Suất” là một phần không mấy vắng mặt trong các đề thi ĐH trước năm

2015 Năm học 2015 này, các sĩ tử đứng trước một kì thi với hình thức mới gọi là kì thì THPT Quốc gia chung Với hình thức thi mới kèm theo đó là cấu trúc mới nhưng

“Tổ Hợp-Xác Suất” vẫn không thể thiếu trong tờ đề thi của bộ, thậm chí được xếp

vào những câu chốt và có chút làm khó thi sinh dự thi Vậy nên, để đáp ứng nhu cầu

ôn luyện của bản thân cũng như là món quà nhỏ gửi đến các sĩ tử đang trong quá trình ôn luyện thi THPT Quốc gia chung năm học 2015, tôi xin viết lên tài liệu này Trong quá trình viết không thể không gặp nhiều sai sót Mong bạn đọc có thể đóng góp để tài liệu được hoàn thiện hơn! Thân!

My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu

PHẦN I: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN:

Bài Toán 1: (ViettelStudy-2014)

Một lớp học có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là 12

29 Tính số học sinh nữ của lớp

Hướng Dẫn Giải:

 Gọi số học sinh của lớp là  * 

n n n (1)

 Số cách chọn ra ba học sinh bất kì là: 3

30

C cách

 Số cách chọn ra ba học sinh trong đó có 2 nam và 1 nữ là: 2 1

30 n n

C  C cách

 Theo bài ra ta có:

2 1

2 30

3 30

14 12

29

2

n n

n









 



 Từ (1) và (2) suy ra: n14 Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh

Bài Toán 2: (ViettelStudy-2014)

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất

để số được chọn có chữ số 5

 Gọi a a a a a (với 1 2 3 4 5 a i0,1, 2,3, 4,5 , a10) là số thuộc tập S

 Xác định số phần tử của S:

- a có 5 cách chọn 1

- Lập a a a a có 2 3 4 5 4

5

A cách chọn

Vậy số phần tử của S là: 4

5

5.A

Trang 3

 Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số 5 Suy ra A là biến cố số được chọn không có số 5

Vậy n A là số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số  

0,1, 2,3, 4 Suy ra:    4

4

n A  A  (số)

 Từ đó ta có: n A 600 96 504 (số)

 Vậy suy ra:

  504 21

600 25

Bài Toán 3:

Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 lập các số có 4 chữ số khác nhau Lấy ngẫu nhiên một

số trong các số được lập, tính xác suất để trong số được lấy có 2 chữ số chẵn, 2 số

lẻ

 Đặt: S1, 2,3, 4,5, 6

 Số các số có 4 chữ số được lập từ tập S là: 4

6

A số

 Số cách chọn ra 2 chữ số chẵn trong tập S là: 2

3

C cách

Số cách chọn ra 2 chữ số lẻ trong tập S là: 2

3

C cách

Từ 4 chữ số được chọn ta lập số có 4 chữ số khác nhau, mỗi số được lập ứng với hoán vị của 4 phần tử Suy ra số các số có 4 chữ số lập từ S mà trong mỗi

số có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là: 2 2

3 3

4!.C C số

 Gọi A là biến cố số có 4 chữ số lập từ tập S mà trong mỗi số có 2 chữ số chẵn,

2 chữ số lẻ Suy ra:

  32 32

4 6

5

C C

P A

A

Bài Toán 4:

Trong giờ Thể dục, tổ 1 của lớp 11A có 12 học sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam

 Số cách tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc của tổ 1 là: 12! cách

 Gọi A là biến cố tập trung tổ 1 theo một hàng dọc mà luôn có học sinh nam đứng đầu và cuối hàng.Khi đó ta có:   2

7.10!

n A  A (cách)

 Vậy suy ra:

Trang 4

  72.10! 7

A

Bài Toán 5:

Một hộp chứa 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 8 viên bi từ hộp Tính xác suất để 8 viên bi được lấy ra có đủ ba màu

 Số cách lấy ra 8 viên bi bất kì từ hộp là: 8

20

C cách

 Ta đi tìm số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu:

- Trường hợp 1: Lấy ra 8 viên bi chỉ có một màu

Trường hợp này chỉ chọn được màu vàng, suy ra có: 8

8

C = 1 cách

- Trường hợp 2: Lấy ra 8 viên bi có 2 màu

a) Nếu 2 màu xanh và đỏ có: C128 cách

b) Nếu 2 màu đỏ và vàng có: C158 C88 cách

c) Nếu 2 màu vàng và xanh có: C138 C88 cách

Vậy trường hợp này có: 8 8 8 8 8

12 15 8 13 8 8215

C C C C C  cách

 Suy ra số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu là: 8216 cách

 Gọi A là biến cố lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu Khi đó suy ra:

  8

20

8216 4529

4845

P A

C

  

Bài Toán 6:

Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam

 Số cách chọn ra 5 học sinh trong lớp học 25 học sinh là: 5

25

C cách

 Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam

 Trường hợp 1: Có 1 học sinh nữ, 4 học sinh nam

 Trường hợp này có: C C101 154 cách

Trường hợp 2: Có 2 học sinh nữ, 3 học sinh nam

Từ đó suy ra:   1 4 2 3

10 15 10 15

n A C C C C (cách)

 Vậy ta có:

Trang 5

  101 154 102 153

5 25

506

P A

C



Bài Toán 7: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014)

Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút

Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu

 Số cách lấy 4 chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: 4

20

C cách

 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu

 Ta đi tìm số cách lấy ra 4 bút trong đó không có 2 cái nào cùng màu với nhau:

 Trường hợp này có: C C C C16 61 51 31 cách

 Vậy suy ra:

  61 16 51 31

4 20

323

C C C C

P A

C

Bài Toán 8: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014)

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tìm xác suất

để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

 Số cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ là: 10

30

C cách

 Gọi A là biến cố “5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10”

 Số cách chọn 5 tấm thẻ trong 15 tấm mang số lẻ là: 5

15

C cách

Số cách chọn 4 tấm thẻ trong 12 tấm mang sỗ chẳn mà không chia hêt cho 10 là: 4

12

C cách

Số cách chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ còn lại (ba tấm này đều mang số chia hết cho 10 là 10,20,30) là: 1

3

C

Từ đó ta suy ra:   5 4 1

15 12 3

n A C C C (cách)

 Vậy suy ra:

  155 124 13

10 30

99 667

C C C

P A

C

Bài Toán 9:

Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có

3 chữ số

Trang 6

 Đặt: S={0,1,2,3,4}

 Số cách lấy 3 chữ số khác nhau trong tập S và xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải là: 3

5

A cách

 Gọi A là biến cố nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

Giả sử số tự nhiên có 3 chữ số được tạo thành là abc a0; , ,a b cS

Khi đó: a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Từ đó ta suy ra: n A 4.4.3 (số)

 Vậy ta có:

  3

5

4.4.3 4

5

P A

A

 

Bài Toán 10: (Vĩnh Phúc-2014)

Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng

 Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kì trong hộp là: 4

16

C cách

 Gọi A là biến cố lấy ra 4 quả cầu trong đó có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng

 Ta xét 3 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Có 1 quả đỏ, 3 quả xanh

- Trường hợp 2: Có 1 quả đỏ, 2 quả xanh và 1 quả vàng

 Trường hợp này có: C C C14 52 71 cách

- Trường hợp 3: Có 1 quả đỏ, 1 quả xanh và 2 quả vàng

Từ đó ta suy ra:   1 3 1 2 1 1 1 2

4 5 4 5 7 4 5 7

n A C C C C C C C C (cách)

 Vậy ta có:

  14 53 14 52 71 41 51 72

4 16

91

P A

C

Bài Toán 11:

Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M, tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ

 Đặt: S={0,1,2,3,4,5,6}

 Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S là: a a a 1 2 3

 Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S:

- a có 6 cách Lập 1 a a có 2 3 A62 cách

Trang 7

Từ đó suy ra:   2

6 6

n M  A (số)

 Gọi A là biến cố số chọn ra có tổng các chữ số là một số lẻ

 Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau trong M và có tổng các chữ số

là số lẻ:

- Trường hợp 1: Có 1 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn:

 Trường hợp này có: C C13 42.3!C C13 41.2! 84 số

- Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ:

 Trường hợp này có: 3! 6 số

Từ đó suy ra được: n A 90 (số)

 Vậy suy ra:

  2

6

90 1

P A

A

 

Bài Toán 12:

Một hộp chứa 11 bi được đánh số từ 1 đến 11 Chọn 6 bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng các số trên 6 bi được rút ra với nhau Tính xác suất để kết quả thu được là số

lẻ

 Số cách rút 6 viên bi bất kì từ 11 viên bi là: 6

11

C cách

 Gọi A là biến cố thu được là số lẻ

 Tính số cách rút 6 viên bi sao cho tổng các số trên 6 viên bi đó là số lẻ :

Ta có 3 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Có 1 bi mang số chẵn, 5 bi mang số lẻ

- Trường hợp 2: Có 3 bi mang số lẻ, 3 bi mang số chẵn

- Trường hợp 3: Có 5 bi mang số lẻ, 1 bi mang số chẵn

 Trường hợp này có: C C cách 65 51

Từ đó suy ra:   1 5 3 3 5 1

6 5 6 5 6 5

n A C C C C C C (cách)

 Vậy suy ra:

  61 55 63 53 65 51

6 11

231

P A

C

Bài Toán 13:

Trong kì tuyển sinh năm 2015, trường THPT Lê Quảng Chí có 5 học sinh gồm 3 nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa A của một trường đại học Số sinh viên đậu vào khoa A được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ của trường THPT Lê Quảng Chí

 Với mỗi học sinh có 4 cách sắp xếp học sinh đó vào 4 lớp Do đó, số cách xếp

5 học sinh vào 4 lớp là 5

4 cách

Trang 8

 Gọi X là biến cố chia được một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ của trường THPT

Lê Quảng Chí

 Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ trong 5 học sinh là: 2 1

3 2

C C cách Ứng với mỗi cách chọn trên , có 4 cách xếp 3 học sinh đó vào một lớp và có 2

3 cách xếp 2 học sinh còn lại vào 3 lớp còn lại

Vậy số cách sắp xếp có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ của trường THPT Lê Quảng Chí vào một lớp là: 2 2 1

3 2 4.3 C C cách hay   2 2 1

3 2 4.3

n X  C C (cách)

 Từ đó suy ra:

  2 32 21

5

C C

Bài Toán 14:

Cho tập E={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5

 Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ E là: 3

5

A =60 số

Suy ra số cách viết 2 số lên bảng mà mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ E là: 2

60

C cách

 Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số không có mặt chữ số 5 được lập từ E là:

3

4 24

A  (số)

 Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số có mặt chữ số 5 được lập từ E là:

60 24 36(số)

 Gọi A là biến cố viết lên bảng hai số mà trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5

 Ta có, số cách viết hai số lên bảng mà trong đó có đúng một số có chữ số 5 là:

1 1

24 36

Từ đó suy ra:   1 1

24 36

n A C C (cách)

 Vậy ta có:

  124 361

2 60

295

C C

P A

C

Bài Toán 15:

Một hộp có 5 viên bi đỏ ,3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng

 Ta có 6 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Cả 4 viên được lấy ra đều là bi đỏ

 Trường hợp này có C54 cách

- Trường hợp 2: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng

 Trường hợp này có C C53 13 cách

Trang 9

- Trường hợp 3: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh

 Trường hợp này có 1 3

5 4

C C cách

- Trường hợp 6: Có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 1 viên bi xanh

 Trường hợp này có 2 1 1

5 3 4

C C C cách

 Từ các trường hợp trên ta suy ra, số cách lấy ra 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

5 5 3 5 4 5 4 5 4 5 3 4 275

Bài Toán 16:

Trong một lớp học gồm có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả học sinh nam và học sinh nữ

 Số cách chọn 4 học sinh bất kì trong lớp lên bảng là: 4

35

C cách

 Gọi A là biến cố 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ

 Ta đi tính số cách gọi 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ:

Ta có 3 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Có 1 học sinh nam, 3 học sinh nữ

 Trường hợp này có: 3 1

20 15

C C cách

Từ đó suy ra:   1 3 2 2 3 1

20 15 20 15 20 15

n A C C C C C C (cách)

 Vậy ta có:

  201 153 202 152 203 151

4 35

5236

P A

C

Bài Toán 17:

Cho hai đường thẳng song song d và 1 d Trên đường thẳng 2 d có 10 điểm phân 1

biệt, trên đường thẳng d có n điểm phân biệt 2 n3,n *.Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.Tìm n

Trang 10

 Ta có số tam giác có thể tạo từ các điểm thuộc d và 1 d là: 2

10 10

n n

C  C C

 Theo đề bài ta suy ra:

      

10 10

2

2800

n n

 Vậy n20 điểm

Bài Toán 18:

Một hộp có 5 viên bi xanh,6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp.Tính xác suất của biến cố 5 viên được chọn có đủ màu và số bi

đỏ bằng số bi vàng

 Số cách lấy ngẫu nhiên 5 viên bất kì từ hộp là: 5

18

C cách

 Gọi A là biến cố 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng

 Tính n A :  

- Trường hợp 1: Có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 3 viên bi xanh:

- Trường hợp 2: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh

 Trường hợp này có: C C C cách 62 72 15

- Từ đó suy ra:   1 1 3 2 2 1

6 7 5 6 7 5

n A C C C C C C (cách)

 Vậy ta có:

  61 71 53 62 72 51

5 18

408

P A

C



Bài Toán 19:

Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái từ A,B,C,…….,Z Các chữ số được chọn từ 10 chữ số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hỏi có bao nhiêu biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời

có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó giống nhau

( Có phân biệt vị trí sắp xếp các chữ cái và chữ số giữa các biển số với nhau: VD: AK 1698 và KA 1698 )

 Chọn hai chữ số khác nhau, ta có số cách chọn là: 2

26

A cách

 Chọn hai số lẻ giống nhau ta có 5 cách

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	707 KB