Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: TOÁN; Lần 02 (Ngày 24/05/2015) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ LẦN 2 Câu 1 (2,0 điểm). Hoành độ giao điểm của d và ( ) C là nghiệm của PT: ( ) ( ) 2 1 1 2 1 0 1 1 x x x m x m x m x ≠ + − = ⇔ − + + − = − Ta có d và ( ) C c ắ t nhau t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t ( ) 1 ⇔ có hai nghi ệ m phân bi ệ t khác 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 0 8 0 1 2 .1 1 0 m m m m m m m ∆ = + − − > + > ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∈ − + + − ≠ ℝ ℝ (*). Do ( ) ( ) 1 1 2 2 , ; , ; . A B d A x x m B x x m ∈ ⇒ − − Theo Viet ta có 1 2 1 2 2 1 x x m x x m + = + = − Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ; 2 8 AB x x x x AB x x x x x x x x = − − ⇒ = − + − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 1 2 16 3 2 1 1. m m m m m = + − − = + = ⇔ = ⇔ = ± Đ ã th ỏ a mãn (*). V ậ y 1 m = ± là giá tr ị c ầ n tìm. Câu 2 (1,0 đ i ể m). a) Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 tan cos cos 1 tan 3 a a a a = + ⇒ = = + Do 3 π π; 2 a ∈ nên 1 2 cos sin tan .cos 3 3 a a a a= − ⇒ = = − . Mặt khác 2 2 2 1 π π 1 3 sin cos cos sin sin cos 6 1 2 2 3 3 3 2 2 3 1 2cos 1 2cos 1 6 2 3 a a a a A a a − − + + = = = = + − − − Vậy 6 3 . 2 2 A = + b) Đặt ( ) ; z a bi a b R = + ∈ . Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 1 2 2 4 z i z i a bi i a bi i + − = − ⇔ + + − − = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 1 a b a a bi a b a b i i a b ai i z i a b − = = ⇔ + + − − + = − ⇔ − − = − ⇔ ⇔ ⇒ = + = = Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 4 4 1 w i i i i = + − + = + − − = − . Vậy phần thực của số phức w bằng 1 − . Câu 3 (0,5 điểm ). Đ K : 0 x > . Khi đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 log log .log 1 1 2 log log log 1 1 2 PT x x x x x x ⇔ = + − ⇔ = + − . Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log 2log .log 1 1 log log log 1 1 0 x x x x x x ⇔ = + − ⇔ − + − = . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log 0 1 1 / log log 2 2 1 0 2 2 1 x x x t m x x x x loai x x x = = = ⇔ ⇔ ⇔ = + − + = = + − + Vậy 1 x = là nghiệ m duy nh ấ t c ủ a PT đ ã cho. Câu 4 (1,0 điểm ). Đ i ề u ki ệ n x ∈ ℝ . Nh ậ n xét : 2 2 3 42 42 2 17 6 3 3 2 17 3 2 3 0 17 17 17 x x x − + − = − + − ≥ − > . B ấ t ph ươ ng trình đ ã cho t ươ ng đươ ng v ớ i ( ) 2 2 20 4 3 2 2 1 17 6 3 6 3 x x x x x x − − ≥ + − + − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 20 2 2 2 1 17 6 3 17 6 3 2 2 1 17 6 3 3 8 3 0 x x x x x x x x x x x x ⇔ + ≥ + − + ⇔ − + − + − + + + − ≥ Đặ t 2 17 6 3 ; 0 x x t t − + = > thu đượ c ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 8 3 0 1 t x t x x− + + + − ≥ . Xét ph ươ ng trình b ậ c hai ẩ n t, tham s ố x ta có ( ) 2 2 2 2 1 3 8 3 0 t x t x x − + + + − = . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1 3 8 3 2 3 t x x x x x t x = − ′ ∆ = + − + − = − ⇒ = + Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 0 2 t x t x⇔ − + − − ≥ . D ễ th ấ y ( ) ( ) 2 2 2 2 17 6 3 3 1 8 2 3 1 3 1 3 1 3 1 0 t x x x x x x x t x = − + = − + + > − = − ≥ − ⇒ − + > . V ậ y ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 17 6 3 3 17 6 3 6 9 3 3 3 33 3 3 3 33 8 3 8 3 33 3 33 3 33 8 6 3 0 3 33 8 8 8 3 8 x x t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x < − ≥ − ⇔ ≥ + ⇔ − + ≥ + ⇔ − + ≥ + + < − < − + < − ≥ ≥ − + ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ⇔ − + − − − ≥ ≤ ≥ ∨ ≤ − − ≤ ≤ K ế t lu ậ n b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m 3 33 8 3 33 8 x x + ≥ − ≤ Câu 5 (1,0 đ i ể m). Ta có 4 4 1 1 . ( 1). I x dx ln x dx = + + ∫ ∫ . • 4 4 1 2 1 1 1 4 2 14 . . ( ) 1 3 3 I x dx x dx x x= = = = ∫ ∫ • [ ] 4 4 2 1 1 4 ( 1). ( 1) ( 1) 5ln5 2ln2 3 1 I ln x dx x ln x dx = + = + + − = − − ∫ ∫ . 5 5ln5 2ln 2 3 I = + − Câu 6 (1,0 đ i ể m). Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Ta có SM AB ⊥ tại trung điểm M của AB. Khi đó : 2 2 3 2 AB SM SA a = − = . D ự ng ( ) SM CD MK CD CD SMK MK CD ⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⊥ . Do v ậ y 0 0 60 tan60 3 SKM MK SM a = ⇒ = = . MK a BC AD ⇒ = = = . Ta có: 3 . 1 2 3 . . 3 3 S ABCD a V SM AB AD= = . L ạ i có: 1 2 2 3 IM BM IC IC CD MC = = ⇒ = . Do đ ó : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ; ; 3 3 d I SCD d M SCD MH = = (v ớ i H là chân đườ ng cao h ạ t ừ M xu ố ng SK) Ta có : ( ) ( ) 2 2 . 3 3 ; 2 3 SM MK a a MH d I SCD SM MK = = ⇒ = + . Đáp số : 3 2 3 3 ; 3 3 a a V d= = Câu 7 (1,0 điểm). Ta có: 1 2 BH MK AM HC KD DN = = = . Do vậy 2 3 HC BC DN = = . Khi đó: AND DHC DAN NDC AN DH ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ tại điểm E. Do vậy E là hình chiếu vuông góc của N trên DH vậy ( ) 1;4 4 E EN ⇒ = . Đặt 3 2 13 AD a DN a AN a= ⇒ = ⇒ = . Lại có: 2 2 9 . 13 AE AD AE AN AD AN AN = ⇒ = = Do vậy ( ) ( ) ( ) 9 1 5 9 13 8;4 9 13 4 4 13 A A A A x x AE AN A y y − = − = ⇔ ⇔ − − = − Gọi ( ) 1; D t ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 . 0 9.4 4 4 4 36 2 1; 2 t loai DA DN t t t t = = ⇔ − + − − ⇔ − = ⇔ = − ⇒ − Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 5 2 7;7 2;13 6 2 4 C C x DN NC C B y = − = ⇔ ⇒ ⇒ − = − . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) 8;4 ; 2;13 ; 7;7 ; 1; 2 A B C D − − − là các điểm cần tìm. Câu 8 (1,0 điểm). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 3 25 1;2;3 , 25 5. S x y z I R − + − + − = ⇒ = = Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2.1 2.2 3 4 ; 3 2 2 1 d I P R − − − = = < ⇒ + − + − ( ) P cắt ( ) S theo một đường tròn ( ) . T ( ) P có VTPT ( ) 2; 2; 1 . n = − − Gọi d là đường thẳng qua ( ) 1;2;3 I và vuông góc với ( ) P d ⇒ nhận ( ) 2; 2; 1 n = − − làm VTCP 1 2 : 2 2 3 x t d y t z t = + ⇒ = − = − Gọi K là tâm và r là bán kính của ( ) ( ) 1 2 ;2 2 ;3 . T K t t t ⇒ + − − Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 3 4 0 1 3;0;2 K P t t t t K∈ ⇒ + − − − − − = ⇔ = ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2; 2; 1 2 2 1 3. IK IK ⇒ = − − ⇒ = + − + − = Ta có 2 2 2 2 5 3 4. r R IK = − = − = Vậy ( ) 3;0;2 , 4. K r = Câu 9 (0,5 đ i ể m ). +) Mỗi câu hỏi có 4 đáp án, và có 100 câu hỏi nên số khả năng có thể xảy ra khi bạn học sinh này khoanh đáp án là ( ) 100 1 4 C , hay không gian mẫu: ( ) 100 1 4 C Ω = +) Để đạt được 5 điểm bạn học sinh đó phải khoanh đúng 50 câu hỏi trong 100 câu hỏi, số cách khoanh đúng 50 câu trong 100 câu là 50 100 C . Sau khi chọn 50 câu đúng, bạn ấy trả lời sai 50 câu trong 100 câu còn lại. Mỗi câu sai có 3 cách chọn, vậy số cách chọn câu sai là ( ) 50 1 3 C Vậy số cách để bạn học sinh khoanh được 5 điểm là ( ) 50 50 1 100 3 . C C Xác suất cần tính là ( ) ( ) 50 50 1 100 3 100 1 4 . 0,000000045 C C P C = ≈ Câu 10 (1,0 điểm). Áp dụng bất đẳng thức AM – GM chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8 2 8 2 8 4 4 4 4 4 1 4 4 4 3 4 12 4 1 4 12 4 1 1 x y z z z z x y x y xy x y x y x y x y x y x y y x y z z x y z z x y x y + + = ⇔ − + = + − = + + ⇔ + + + = + + + ≥ + + = + + + + + + ⇔ ≤ ⇔ + ≤ − + + + − + + + + + Mặt khác, với điều kiện , , 0 x y z ≥ suy ra 2 , , 0 2 9 9 x y z x y x y z x y z x y + + + ≥ ⇔ + + ≥ + ⇔ − ≤ − T ừ đ ó, ta đượ c: ( ) 1 9 1 9 x y x y t t P f t x y t + + ≤ − = = − + + + v ớ i 2 2 t x y z = + = − ≤ Xét hàm s ố ( ) ; 1 9 t t f t t = − + v ớ i [ ] 0;2 t ∈ có: Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 2 ' 0 0 2 8 0 4 9 1 9 1 t t t f t t t t t t = − − = − = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = − + + So sánh các giá trị ( ) ( ) 0 ; 2 f f suy ra ( ) ( ) ( ) { } ( ) 4 max max 0 ; 2 2 9 f t f f f = = = . V ậ y giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c đ ã cho b ằ ng. D ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi 1; 0 x y z = = = . . trong kỳ thi THPT Quốc gia 20 15! ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log 2log .log 1 1 log log log 1 1 0 x x x x x x ⇔ = + − ⇔ − + − = . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log 0 1 1 / log log 2 2 1 0 2 2 1 x x x. KÌ THI THPT QUỐC GIA 20 15 Môn thi: TOÁN; Lần 02 (Ngày 24 /05 /20 15) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ LẦN 2 Câu 1 (2, 0 điểm). Hoành độ giao. 2 1 2 2 1 x x m x x m + = + = − Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ; 2 8 AB x x x x AB x x x x x x x x = − − ⇒ = − + − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 1 2