Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2 HB.. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 600.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tín
Trang 1Câu 1 (2, 0 điểm) Cho hàm số y = x3
+ 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị
là (Cm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành
Câu 2 ( 1,0 điểm) Giải phương trình: 2 cos 6x + 2 cos 4x - √ cos 2x = sin 2x +
√
Câu 3 (1, 0 điểm) Tính: I = ∫ dx
Câu 4 (1,0 điểm)
a Giải phương trình log2 x + log3 x + log6 x = log36 x
b Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển nhị thức Niu ton
(√ + )n ( với x 0) biết rằng n * và - = 9(n+4)
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB
= 3a, AD = 2a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
thuộc cạnh AB sao cho AH = 2 HB Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SC và AD
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC
nằm trên đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’ : 12x
– y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M (3;1)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, C sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
khoảng cách từ B đến (P)
Câu 8 (1,0 điểm)
SỞ GD&ĐT
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VĨNH PHÚC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 180 phút (không kể thời gian
phát đề)
Trang 2Giải hệ phương trình:
{√ √
√ √
Câu 9 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3 Tìm GTNN của biểu thức S = 8(a+b+c) + 5( + + ) Hết ĐÁP ÁN Câu 1 a (1,0 điểm) TXĐ: D = R - Sự biến thiên: Chiều biến thiên y = 3x2 + 6x; y’ = 0 [
0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 2), (0; + nghịch biến trên (-2;0) - Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -2; yCd = y(-2) = 2 - Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0; yCd = y(0) = -2 - Giới hạn:
y = - ; = + 0,25 - Bảng biến thiên : 0,25 x -2 0
y’ + 0 - 0 +
y
Trang 3
- Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) là tâm đối xứng 0,25
b (1.0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là
x3 + 3x2 + mx + m – 2 = 0 (x -1 )(x2
+ 2x + m – 2) = 0 (1) 0,25 (1) [ 0,25
(Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox PT (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
{ m < 3 0,25
Vậy khi m < 3 thì (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía trục hoành
Câu 2:
PT 2 (cos 6x + cos 4x) = √ (1+cos 2x) + 2 sinx.cos x 0,25
4 cos5x cos x = 2 cos x(√ cos x + sin x)
√ 0,25 + cos x = 0 x = + k , (k )
+ √ cos 5x = √ cos x + sin x
cos 5x = cos (x - ) 0,25
[
[
(k ) 0,25 Vậy pt có 3 họ nghiệm x = + k ;
;
(k )
Câu 3: Tính
I = ∫ dx = ∫ 0,25
Đặt t = x.ex + 1 dt = (x+1)ex
dx Đổi cận : x = 0 t = 1
X = 1 t = e +1 0,25
Trang 4Suy ra I = ∫ = ∫ dt = ∫ )dt 0,25
Vậy I = (t - ln| |)| = e – ln(e+1) 0,25
Câu 4
a (0,5 điểm)
PT xác định với mọi x R
Áp dụng công thức loga c = logab logbc (0 < a,b,c; a 1, b 1)
PT log2x + log32 log2x + log62.log2x = log362 log2x 0,25
log2x (log32 + log62 + 1 - log362) = 0 (*)
Do log3 2 + log6 2 + 1 – log36 2 > 0
PT (*) log2x = 0 x = 1 0,25
Vậy nghiệm pt là x =1
b (0,5 điểm)
Từ giả thiết
- = 9 (n +4) - = 9(n+4)
n = 15 Khi đó (√ + )15 = ∑ √ 15-k
( )k
= ∑ 2k
0,25
Số hạng không phụ thuộc vào x tương ứng với = 0 k = 6 0,25 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x là 26
Câu 5: (1,0 điểm)
Kẻ HK CD (K CD) Khi đó { CD (SHK) CD SK Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc ̂ = 600
0,25 Trong tam giác vuông SHK: SH = HK tan600 = 2a√
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SABCD.SH
Trang 5= 3a.2a.2a√ = 4a3√ 0,25
Vì (SBC) // AD d(AD, SC) = d(A,(SBC)) Trong đó (SAB) kẻ AI SB, khi đó { BC (SAB) BC AI AI (SBC) 0,25
Vậy d(AD, SC) = d(A,(SBC)) = AI =
= √
√ = √
0,25
Câu 6 (1,0 điểm)
VTPT của BC: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2;-5), VTPT của AB: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (12;-1)
VTPT của AC: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a;b), (a 2
+ b2 > 0) Ta có ̂ = ̂ < 900
0,25 cos ̂ = ̂ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = | | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √ = | |
√ 9 a2
– 100 ab – 96b2 = 0
a + 12b = 0 v 9a – 8b = 0 0,25
Với a + 12b = 0 chọn a = 12, b= -1 thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12;-1) AB // AC (loại) 0,25 Với 9a – 8b = 0 chọn a = 8, b= 9 nên AC: 8(x – 3) + 9 (y -1) = 0
AC: 8x + 9y – 33 = 0 0,25
Câu 7 (1,0 điểm)
Do (P) cách đều A và B nên hoặc (P) // AB hoặc (P) đi qua trung điểm AB 0,25
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(P): 2x + y = 0 0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x – y = 0, (P): 2x + y = 0 0,25
Câu 8
Trang 6ĐK {
0,25
Khi hệ có nghiệm (x;y) → x + y
Ta thấy √ (*) dấu bằng khi x = y thật vậy
(*) (2x +y)2 (x – y)2 0 luôn đúng với mọi x, y Tương tự √ x + 2y (**) dấu bằng khi x = y 0,25
Từ (*), (**) VT(1) = √ √
(1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y (3)
Thế (3) vào (2) ta được √ + 2√ = 2x2 + x + 5 (4) điều kiện x
(4) 2(x2
– x) + (x+1-√ ) + 2 (x+2 + √ ) = 0 0,25 2(x2
– x) +
√ + 2
√ √ = 0 (x2
– x) [2 +
√ + 2 √ √ ] = 0
x2 – x = 0 [
→ → (tmđk) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) = (0;0) và (x;y) = (1;1)
Câu 9
Nhận xét: 8a + (1) với mọi 0< a <√ dấu bằng khi a = 1, thật vậy 8a + 3a3
– 16a2 + 23a – 10 0 (a-1)2 (3a – 10) 0 luôn
Trang 7Tương tự 8b + (2) dấu bằng khi b = 1
8c + (3) dấu bằng khi c = 1 0,25
Từ (1),(2),(3) suy ra S = 8 (a+b+c)+5( + ) = 39 0,25
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của S = 39 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1 0,25
Chú ý: để tìm ra vế phải của (1) ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến