Đề thi thử và đáp án THPT Quốc gia 2015 môn Toán chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định.PDF

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn: TOÁN. Ngày khảo sát:24/01/2015 ời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số . 4 2 2 1y x x    a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 2 x  b) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ . Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải bất phương trình 2 3 2 lo log 3 2 1 g log (2 1) 2 x x     . b) Một ban văn nghệ đã chuẩn bị được 3 tiết mục múa, 5 tiết mục đơn ca và 4 tiết mục hợp ca. Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức chỉ cho phép biểu diễn 2 tiết mục múa, 2 tiết mục đơn ca và 3 tiết mục hợp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn? 1 tan cot 2 1 tan x x x    Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 5 1 1 3 1 I dx x  x   . (2;1; 1), (1;0;3)A AB   Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA sao cho tam giác MAB vuông tại M. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết 5 2, 2 , 2 SA a AC a SM a   , với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng : 2 3AB x y 0   và đường thẳng . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết : 2AC y   0 2IB IA , hoành độ điểm I: và nằm trên đường thẳng BD. 3 I x    1; 3M  2 3 3 2 3 (1 )( 3 3) ( 1) . ( , ) 2 4 2( 2) y x y x y x xy x y x y                  Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình . Câu 9 (1,0 điểm). Hết Cho x, y là hai s thực dương thỏa mãn 2 3x y 7  . Tìm giá trị nhỏ nh t củ biểu thức 2 2 2 2 3 24 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y       . DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN TOÁN. Ngày thi:24/01/2015 Câu Nội dung Điểm Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 4 2 2 1y x x     . 1,00 TXĐ:  Giới hạn: lim , lim x x y y       0,25 / 0 1 0 1 2 x y y x y              / 3 4 4 ,y x x x    Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1;0)  và (1; )   , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và (0 ( ; 1  ) ;1) 0,25 Bảng biến thiên x -1 0 1    y’ + 0 - 0 + 0 - y 2 2 1    0,25 1.a Đồ thị có điểm cực đại A(-1;2), B(1;2) và điểm cực tiểu N(0;1). Vẽ đồ thị (C). 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ 2 2 x  . Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). 1,00 Ta có 2 7 ; ( 2 4 ) M C        . Và / 2 ( ) 2 2 y  0,25 Pttt (d) có dạng / 2 2 7 4  2 2 y y x            3 2 4 y x    0,25 Pt hđ giao điểm của d và (C): 4 2 4 2 3 2 1 2 4 8 4 2 1 4 x x x x x x 0           0,25 1.b 2   2 2 4 4 2 2 0 2 x x x            2 2 2 2 , , 2 2 2 x x x 2         . DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 3 Vậy có 3 điểm: / // 2 7 2 2 1 2 2 1 ; , , 2 , , 2M 2 4 2 4 2 4 M M                          0,25 Giải bất phương trình 2 3 2 1 log log (2 1) log 3 2 x x 2     . 0,50 ĐKXĐ 1 2 1 0 2 x x     (*) Với đk (*), pt 2 3 log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x      2 2 3 3 2 log 3.log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x      0,25 2.a   2 3 log 3 1 log (2 1) 1 log 3x     2 3 log (2 1) 1x    2 1 3 1 x x      Đối chiếu (*), tập nghiệm: 1 ;1 2 S         0,25 Một ban văn nghệ đã chuẩn bị được 3 tiết mục múa, 5 tiết mục đơn ca và 4 tiết mục hợp ca. Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức chỉ cho phép biểu diễn 2 tiết mục múa, 2 tiết mục đơn ca và 3 tiết mục hợp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn? 0,50 Mỗi cách chọn 2 tiết mục múa trong 3 tiết mục múa là một tổ hợp chập 2 của 3, suy ra số cách chọn 2 tiết mục múa: 2 C 3 3.  Mỗi cách chọn 2 tiết mục đơn ca trong 5 tiết mục đơn ca là một tổ hợp chập 2 của 5, suy ra số cách chọn 2 tiết mục đơn ca: 2 C 5 10. Mỗi cách chọn 3 tiết mục hợp ca trong 4 tiết mục hợp ca là một tổ hợp chập 3 của 4, suy ra số cách chọn 3 tiết mục hợp ca: 3 C 4 4.  0,25 2.b Theo quy tắc nhân, số cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn: 3.10.4 = 120 0,25 Giải phương trình 1 tan cot 2 1 tan x x x    . 1,00 ĐK: sin 2 0 2 cos 0 tan 1 4 x x k x x k x                      0,25 Với ĐK pt tan 2 tan 2 4 x x                   0,25 2 2 4 x x k         0,25 3 Kết hợp ĐK, ta có nghiệm: , 4 x k k      0,25 Tính tích phân 5 1 1 3 1 I dx x x   . 1,00 4 Đặt 2 1 3 1, 0 3 t t x t x       2 3  dx tdt Đổi cận: 1 2; 5x t x t      4. 0,25 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 4 4 2 2 1 I 2 1 dt t    4 2 1 1 ( ) 1 1 I dt t t       0,25   4 2 ln 1 ln 1I t t    0,25 2ln3 ln5I   0,25 Cho điểm . Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA sao cho tam giác MAB vuông tại M. (2;1; 1), (1;0;3)A AB   1,00 Ta có (3;1;2) (3;1;2)OB OA AB B         0.25 * không cùng phương: O, A, B không thẳng hàng. (2;1; 1), (1;0;3)OA AB       0.25 Ta có và (2 ; ; ) (2 ; ; )OM t OA t t t M t t t     2; 1; 1), (2 3; 1; 2 t t t BM t t t           (2 )AM  Tam giác MAB vuông tại M thì . 0 (2 2)(2 3) ( 1)( 1) ( 1))( 2) 0AM BM t t t t t t             2 5 6 11 5 0 1, 6  t t t t      . 0.25 5  A (loại) và 1 (2;1; 1)t M    5 5 5 5 ; ) 6 6 ( ; 6 3 t M  thỏa bài toán. 0,25  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết 5 2, 2 , 2 SA a AC a SM a   , với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. N M O A B C D S H K 1,00 Từ giả thiết , ( ) ,SO ABCD SO AC OA a    2 2 SO SA OA a    0,25 6 2 2 1 : 2 OSM O OM SM SO a    Ta có 2 2 : 2 , 3 A  BC B BC MO a AB AC BC a      DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! 5 3 . 1 3 . . 3 3 S ABCD V AB BC SO  a 0,25 Gọi N trung điểm BC // ( , ) ( ,( )) ( ,( )) M  N AC d SM AC d AC SMN d O SMN   OMN O : : , (OMN O OH MN SO MN MN SOH     ) ,( ): ( ) (SOH O OK SH OK SMN OK d O SMN      0,25 OMN O : 3 3 , , 2 2 a ON a OM OH MN OH a     4 2 2 . 5 : ( , ) 19 OS OH SOH O d SM AC OK a OS OH       7 0,25 Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng và đường thẳng : 2 3AB x y   0 0: 2AC y   . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết 2IB IA , hoành độ điểm I: và 3 I x    1;3M  nằm trên đường thẳng BD. E I A D B C F M 1,00 Ta có A là giao điểm của AB và AC nên   1;2A . 0,25 Lấy điểm . Gọi   0;2E  AC   2 3;F a a AB  sao cho EF // BD. Khi đó EF 2 2 EF AE BI EF AE B I AI AE AI           2 2 1 2 3 2 2 11 . 5 a a a a             0,25 Với thì là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là 1a   EF  1; 1        1; 1 BD x n   . Pt : 4y 0      2;2 BD AC I     5; 1BD AB  B Ta có 3 3 2 2; 2 2 IB IB IB ID ID ID D ID IA                    2 .   1 3 2 2;2 2 IA IA IA IC IC IC C  IC IB            . 0,25 7 Với 11 5 a  thì 7 1 ; 5 5 EF           là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là . Do đó,  1; 7n    : 7 22BD x y 0      8;2I  (loại). 0,25 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! 6 Giải hệ phương trình. 2 3 3 2 3 (1 )( 3 3) ( 1) . (1) ( , ) 2 4 2( 2) (2) y x y x y x xy x y x y                  (I) 1,00 ĐKXĐ: 2 2 0 0, 1 1, 1 x y x y x y x                   y Nhận xét 1, 1 x y  không là nghiệm của hệ. Xét thì pt (1) của hệ (I) 1y  2 2 ( 1) 3( 1) ( 1) ( 1)x x y y y x y        0 2 3 0 1 1 1 x x x y y y               0,25 , 1 x t t y   0 . . Khi đó, pt (1) trở thành     4 2 3 2 3 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t            0,25 Với t = 1, thì 1 1 x y x y      1 , thế vào pt(2), ta được                 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 4 2 1 1 2 4 1 0 1 1 6 0 4 1 4 1 6 1 1 1 0 4 1 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                   0,25 8   2 1 5 1 0 1 2 x x x x         . 1 5 3 5 . 2 2 x y      Với Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm   1 5 3 5 ; ; 2 2 xy          . 0,25 Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 3x y 7   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 24 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y       . 1,00 Ta có 2 2 2 3 3 6( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5 2 x y x y x y x y xy                     . 0,25 9 Ta có   2 2 2 2 2 5( ) 2 5( ) 2 x  y x y x y x      y 0 và 2 2 2 2 2 ( 3) 9 2 6 6 2( 3) 8( ) ( 3) x y x y xy x y x y xy x y x y                   0,25 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 7 Suy ra 3 2( ) 24 2( 3)P xy x y x y xy       Đặt   , 0;t x y xy t    5 , 3 () 2 24 2 6P f t t t    Ta có   2 3 / 2 2 3 3 (2 6) 8 24.2 () 2 2 0, 0;5 3 (2 6) (2 6) t f t t t t           Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng   0;5 . Suy ra 3 min ( ) (5) 10 48 2f t f   . 0,25 Vậy 3 2 min 10 48 2, 1 x P khi y        0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa. Hết DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan đ󰗄 cùng trao đ󰗖i h󰗎c t󰖮p,h󰗘 tr󰗤 l󰖬n nhau! . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn: TOÁN. Ngày khảo sát:24/01 /2015 ời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề Câu. www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN TOÁN. Ngày thi: 24/01 /2015 Câu Nội dung Điểm Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. DeThiThu.Net - Đ