phương trình 2 vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1 2 như cách giải 2: Bài tập về nhà về phương trình và hệ phương trình 1Giải các phương trình sau: a .[r]
(1)Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình (lớp 9) x 10 x x 12 x 40 Bài toán 1: Giải phương trình a b Bổ đề : Với a 0; b 0 a b a b 2 a b a b a b2 x 10 x x 10 x 4 Giải: Điều kiện : x 10 , Ta có mà x 12 x 40 x 12 x 36 x 4 Dấu xảy và x 10 x x 6 x 0 Vậy phương trình có nghiệm x = Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có x 10 x x 10 x 4 2 4 x 4 x 6 10 x Dấu xảy và x 10 x 2 Bài toán 2: Giải phương trình: x x x x x x 2 Vì x x 0 và x x 0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta x2 x 1 x2 x x x 1 2 được: (1) x x2 1 1 x x x x 1 2 (2) x2 x x x2 x x x x 1 x 2 nên theo đề ta Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: 2 x x x x 1 0 có : Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm là x = x x 3 x 12 x 14 (1) x x x 2 5 x 0 x 5 Điều kiện tồn phương trình: (*) Bài toán 3: Giải phương trình: 3x 12 x 14 3 x x 3 x 2 Vế phải (1): Đẳng thức xảy và x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái phương trình (1): x x 12 12 x x 2 Đẳng thức xảy và x 5 x x 2 Đẳng thức xảy phương trình (1) là nên x = là nghiệm phương trình (2) Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: x 3 x x 1 x 1 2 2 Đẳng thức xảy và 2 x 1 x 2 5 x 1 Đẳng thức xảy phương trình (1) là nên x = là nghiệm phương trình 2 Bài toán 4: Giải phương trình: x x x x 3x 3x (1) x x 0 1 3x 3x 0 Giải: Điều kiện (2) 2 Vế trái phương trình (1): x x x 1 2 với x R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với x thoả mãn (2) thì vế phải phương trình (1) thoả: 1 x x 3x 3x 12 x x x x x x x 1 2 đẳng thức xảy x x 1 3x 3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) thì hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = là nghiệm phương trình 2 x 2 x Bài toán 5: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện x3 0 x 1 x x 0 Do x x 0 với x nên x 1 0 x Đặt a x ; b x x 1 với a 0 ; b Nên phương trình (1) trở thành : 5ab 2 a b a a a a 0 2 b b Giải phương trình này b b a 2 Với b thì phương trình (1) vô nghiệm x a x 1 x x 1 x x 0 Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện Với b thì 37 37 x1 x2 2 ; 42 60 6 7 x Bài toán 6: Giải phương trình: x (1) 42 1 3 x Phương trình (1) có nghĩa x < nên 60 0 x (3) 42 42 3 5 x 5 x 3 42 3 5 x x 42 3 60 60 3 7 x 7 x 60 3 7 x x 60 0 42 60 x x x 7 x 42 60 9 5 x x 0 0 42 60 3 3 5 x 7 x 9 1 0 3x 42 60 x x 5 x x x 0 42 x 5 x x trình là vì 60 x 7 x Thử lại đúng nên nghiệm phương > nên x x x x x x x 3 Bài toán 7: Giải phương trình: (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa là : x ;0 x Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x x x x x x x x x x x x 10 x x x x x 10 x x x x x 5 100 x 20 x3 x x x x 10 100 x 20 x3 x 3x x3 60 x 0 10 x ;0; x 3x x 60 0 Thử lai có hai nghiệm x Giải phương trình này 2 = 0; x = thoả mãn đề cho Bài toán 8: Giải phương trình: Điều kiện x > -2 và x x 5 1 x x 10 x x x 1 x 0 x 0 x 1 x 1 trình x = -1 Cách giải khác: (1) Nhân hai vế phương trình (1) với x x 3 x 2 x 5 x x 5 x 0 x x x 10 3 x x ta được: x x 3 x 1 x 5 x 1 x x 5 x x 0 x 0 x x Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương (4) Đặt a x a x ; trình (1) trở thành: Từ hệ (*) suy b x b x nên b a x x 3 Do đó phương b a 3 (b a)(1 ab) 3 (*) 2 b a b a ab b a a b ab 1 0 a b b a 0 a b ab 0 a b 0 a b 1 đó ta có x = -1 2 Bài toán 9: Giải phương trình: 25 x 10 x 3 2 25 x 0 x 25 x 10 10 x 10 10 x 0 x 10 Giải: Điều kiện (1) (*) 2 2 2 Đặt a 25 x ; 10 x b a b 25 x 10 x 15 Nên phương trình (1) trở a b 3 a b 3 a 4 2 thành a b 15 a b 5 b 1 2 Nếu b = thì 10 x 1 x 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả 2 Nếu a = thì 25 x 16 x 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả Vậy phương trình có nghiệm là x 3 Bài toán 10: Giải phương trình: x 1 x 5x (*) Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: x x x 3 x 1 x 1 x x x 2 x 3 x x x x x x x3 5 x x x x 0 x 0 Thử lại ta thấy phương trinh có đúng ba nghiệm trên 3 Bài toán 11: Giải phương trình x x 2 (1) 3 3 Điều kiện: x 0 Đặt x a ; x b a 1 x ; b 1 x nên phương trình (1) a b 2 a b 2 a b 2 a 2 b 3 2 2 2 a b a ab b a b 2 a ab b b b b b 0 trở thành a 2 b a 2 b a 2 b a b 1 2 2 b 1 0 4 4b b 2b b b 0 b 2b 0 Nếu a = thì x 1 x 0 x 0 Nếu b = thì x 1 x 0 x 0 Vậy x = là nghiệm phương trình Bài toán 12: Giải phương trình x x 1 (1) (5) Giải: TXĐ x 0 x 1 Đặt x a ; x b 0 Nên phương trình đã cho trở thành: a b 1 a b 1 3 a b 1 a b 1 a 1 b b b 1 a 1 b 1 3b 3b b b 1 a 1 b b b 4b 0 Do đó Nên Nếu a 0 thì x 0 x 0 x 2 ; b 1 thì x 1 x 1 x 2 Nếu a 1 thì x 1 x 1 x 1 ; b 0 thì x 0 x 0 x 1 Nếu a thì x x x 10 ; b 3 thì x 3 x 9 x 10 b 0;1;3 a; b 1;0 ; 0;1 ; 2;3 Vậy phương trình có ba nghiệm là x 1; 2;10 x 2x x2 x (*) Bài toán 13:Giải phương trình x 1 x 0 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là x 0 và x hay x 1 1 x 2x 1 1 * x x x Thử thấy là nghiệm phương trình (*) thì x x và x Suy 1 x 2x 1 1 x x2 x 1 Với thì 1 x x và x Suy Vậy x = là nghiệm phương trình 1 x 2x 1 1 x x2 Với 0x Bài toán 14: Giải phương trình : x x 2001 3 x x 2002 x 2003 2002 3 Giải: Đ ặt : 3x x 2001 a a 3x x 2001 3 x x 2002 b b3 x x 2002 x 2003 c c x 2003 3 3 a b c a b3 c3 a b c 2002 Suy Do đó phương trình đã cho là nên 3 3 a b b c c a 0 a b c (a b c ) 0 Khai triển và thu gọn được: 3 2 Nếu a b 0 x x 2001 x x 2002 x x 2001 3 x x 2002 x 1 x 2 Nếu b c 0 3x x 2002 x 2003 3x x 2002 x 2003 1 13 13 x ; x x 0 Phương trình này có nghiệm 2 Nếu a c 0 3x x 2001 x 2003 3x x 2001 6 x 2003 (6) 3x x 4004 0 Phương trình này vô nghiệm 1 13 13 x ; ; 6 Vậy phương trình có ba nghiệm Bài toán 15: Tính giá trị biểu thức: a 1 a a a đó a là nghiệm phương trình x x 0 Giải : Phương trình x x 0 có ac = - nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a 2a 0 (1) Vì a > nên từ (1) có : a2 1 a 1 a 2 a 2a a a4 2.2 2 a 1 a a 1 a Gọi S a 1 a a 1 a a 1 a4 a 1 a a a 1 a a4 a 1 a4 a4 a 1 a2 2a a 1 a 2a a 8a a a 6a a a a a 1 8 2 2 2 2 2 2 Bài toán 16: Giải phương trình: x x 1000 8000 x 1000 2 Giải: Đặt 8000 x 2 y 8000 x 2 y 8000 x 4 y y y y 8000 x y y 2000 x Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình: x x 2000 y y y 2000 x (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy x x y y 2000 y x x y x y x y 2000 x y 0 (2) x y x y 2000 0 x y x y 1999 0 Từ hệ phương trình (1) x y x y 2000 x y 2001 x y x y x y suy ra: x y 1999 x y Nên Do đó từ (2) suy hay x = y Thay vào hệ (1) ta x x 2000 x x x 2001 0 x 0 x 2001 Nhưng x = không là nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001 Bài toán 17: Giải phương trình Điều kiện phương trình: x 2 x 3x x x x x 2 Ta có x 3x x x x x x x x x x x x 0 x x x x x 0 x x x 0 x x x 1 x x 2 x 2 là nghiệm phương trình x 2 x (7) 1 2 x x 36 x x 16 Bài toán 18: Giải phương trình x Giải : ĐKXĐ: x 0 2 2 Từ phương trình trên ta có x x 36 x 12 x 36 x 12 Với x 0 nên chia 2 36 12 36 12 4 9 x x x x Đặt x hai vế phương trình cho mẫu ta : 12 36 x x t Khi đó ta có t t Quy đồng khử mẫu ta được: t 12t 36 0 t 0 t 6 12 36 6 Do đó x x Quy đồng khử mẫu ta x x 24 0 x1,2 33 x x 24 0 Giải phương trình ta nghiệm: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1,2 33 y 20 x 11y 2009 (1) z 20 11z 2009 (2) y x 20 11x 2009 (3) Bài toán 19: Giải hệ phương trình: z y 20 11 2009 y Giải: Từ (1) suy x Tương tự từ (2) và (3) suy x ; z Vì hệ số không đổi ta hoán vị vòng quanh x; y; z có thể giả thiết x = max(x, y, z) Nghĩa là x y ; x z Trừ tường vế phương trình (3) cho phương trình (1) ta y x 20 11 x y 0 20 x yz 11x z x y 0 (4) x z Vì x y ; x z nên x y 0 x y x y z 3 x yz x yz và Do đó phương trình (4) Thay vào phương trình (1) ta được: 20 2009 4035201 11x 2009 11x 2009 x 20 0 x 22 Do đó x = y = z = 697 (1) x y 81 Bài toán 20: Cho hệ phương trình x y xy x y 0 (2) a) Nếu có (x; y) thoả (2) Chứng minh b) Giải hệ phương trình trên y (8) Giải: x y xy x y 0 x y 3 x y 0 a) Từ phương trình (2) có: trình bậc hai ẩn x có nghiệm: Phương 2 0 y 3 y 0 y y y y 0 y y 0 y b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: x y xy 3x y 0 y x y x x 0 x 0 x 4( x 3x 4) 0 x x 16 x 12 x 16 0 x 3x 0 2 2 256 49 697 4 7 x y x y 3 81 81 3 Do và nên 697 7 x4 y2 x y x y 81 và Khi và thì thay vào phương trình Đẳng thức xảy (2) vô nghiệm Nên hệ đã cho vô nghiệm x y x y 144 x2 y x2 y y Bài toán 21 : Giải hệ phương trình: (*) Giải: Từ hệ phương trình suy y > x y x y 144 (1) 2 (2) (*) y 2 x 24 Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x x 24 x x 24 144 3x 24 24 x 144 72 x x 576 24 x 144 0 x 96 x 720 0 x 32 x Thử lại nghiệm: 256 0 x x; y 16 16 x 20 ; y 16 5; ; 5; ; 3;0 ; 3;0 và x 12 ; y 0 x xy y 19 x y (*) 2 x xy y x y Bài toán 22: Giải hệ phương trình: x y xy 19 x y x xy y 3xy 19 x y 2 x xy y xy x y x y xy 7 x y Giải : Hệ (*) 6 x y xy 0 x y a x y x y xy 0 Đặt xy b 6a b 0 7a 7a 0 7a a 1 0 a 0 Khi đó hệ trở thành: a 7a b 0 a 1 x y 0 x 0 y 0 Nếu a 0 b 0 suy xy 0 (9) x y 1 xy 6 a b Nếu suy hai k k 0 k1 3 ; k2 x y 1 x y Nên x; (-y) là nghiệm phương trình bậc Nếu x = k1 3 thì y k2 2 ; Nếu x = k2 thì y k1 ; Vậy hệ đã cho có nghiệm là: x; y 0;0 ; 3; ; 3; x3 y y 0 (1) 2 x x y y 0 (2) Bài toán 23: Cho hệ phương trình: Tính Q x y x3 y y y y y 1 x Giải: Từ (1) suy 2 Từ x x y y 0 có x2 2y 1 x 1 y 1 (3) (4) 2 Q x y 1 12 2 y x Từ (3) và (4) Do đó Vậy (1) x y 3 2 Bài toán 24: Giải hệ phương trình: x y x y 0 (2) 2 x x y y 11 0 x 1 y 1 11 0 Giải: Từ phương trình (2) suy Từ phương trình (1) suy y 1 x 3 y 1 Nên 2 y 1 11 0 y y 1 11 0 y 12 y y y 11 0 10 y 10 y 0 y y 0 Giải phương trình bậc hai ẩn y hai nghiệm : 85 10 85 15 85 85 15 85 y x 3 y 1 y x 3 y 1 10 10 10 10 Nếu thì ; Nếu thì y Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 15 85 85 15 85 85 ; ; ; 10 10 10 10 x; y 2 x x y 5 y xy 7 Bài toán 25: Giải hệ phương trình: (*) Hệ phương trình (*) tương đương 8 x3 12 x y 20 y xy 7 2 x y 27 x 3.4 x y 3.2 xy y 27 2 x y 3 3 2 y xy 7 y xy 7 y y 0 y1 1 y y 0 y 1 y y 0 Giải phương trình : y2 105 ; y3 105 có ba nghiệm ; (10) Nếu y 1 x 1 ; Nếu y 105 105 x phương trình có ba nghiệm ; Nếu y 105 105 x ; Vậy hệ 105 105 105 105 ; ; ; 8 x; y 1;1 ; 2 x xy y x y 0 (1) x y x y 0 (2) Bài toán 26: Giải hệ phương trình 2 y x 1 y x x 0 Giải: Từ phương trình (1) suy Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 2 x ; y2 x Nên hệ phương trình trên tương đương: y x 0 2 x y x y 0 x y 0 2 x y x y 0 x y x 0 2 x y x y 0 y 13 Giải hệ phương trình : x y 0 x 1 Giải hệ phương trình x y x y 0 có nghiệm y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 13 ; x; y 1;1 ; 2 x y y x 3 y y x x y 3 x Bài toán 27: Giải hệ phương trình (Đề thi chuyên Lê Khiết năm học 2008- 2009) Điều kiện hệ: x 3 y 4; 2 x y y x 3 y 2 x y y x 3 y 2 y x x y 3 y x y y x 3 y x Khi đó ta có: 2 x y y x 3 y y x y 4x x y y x x yy x x yy x 4x y (11) x y y x 3 y 2 x y y x 3 y x y y2 x y x xy x y 12 x y 0 4x y 4x y x y y x x y y x 2 x y y x 3 y xy 12 0 (*) x y x y y x x y 3 x y Do điều kiện ; xy 12 x yy x x y x y nên phương trình(*) Do > hay x = y 3 Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x 3 x x 4 x x x 0 x 1 x 0 x 1 x x 0 x 13 x x 0 1,2 x y 1 13 13 x x y 2 So với điều kiện (loại) V ậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 3 x y Cách giải khác: Điều kiện hệ ; Ta có: 2 x y y x 3 y 2 y x x y 3 x y x yx x y xy xy x y 3 y xy y x 3 x Giả sử x y suy x y nên xy y x xy x y y x x y (vô lý) Giả sử x y suy y x nên xy x y xy y x x y y x Nên suy x y Thay x = y vào hệ ta có phương trình: x x 3 x x 4 x x x 0 x 1 x 0 x 1 x x 0 x 13 x x 0 1,2 (vô lý) x y 1 13 13 x x y 2 So với điều kiện (loaị) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (12) x y z (1) y z x (2) z x y (3) Bài toán 28: Giải hệ phương trình: x; y; z Nhân phương trình với ta có: Giải: Điều kiện 2 x y 2 z 2 y z 2 x 2 z x 2 y x y z x y z 0 x x y y z z 0 4x 4y z 0 x y z Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau: 12 x 48 x 64 y (1) 12 y 48 y 64 z (2) 12 z 48 z 64 x (3) Giải: x; y ; z y; z ; x z; x; y Giả sử ba số là nghiệm hệ phương trình trên thì và là x y ; x z nghiệm phương trình này Giả sử x là số lớn (4) 12 x 48 x 64 y y 12 x x 16 12 x 16 16 y Từ (1) ta có từ phương trình (2) và (3) ta có x ; z (5) Tương tự x3 y 12 z x 48 z x 12 z x x z Trừ vế (1) và (3) ta được: (6) 3 Theo (4) và (5) suy x y 0 ; z x 0 ; x z Nên từ (6) suy x y z (7) 3 Thay (7) vào (1) ta được: x 12 x 48x 64 0 x 0 x 4 x; y; z 4; 4; Vậy hệ có nghiệm x, y, z biết x y z x y z 2 Điều kiện: x; y; z 0 ; x y z 0 Đặt x a ; y b ; z c Do a.b.c 0 nên ta có Bài toán 30: Tìm a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2ab 2ac 2bc 2b 2ab 2ac 2bc 0 2b a b 2c a b 0 a b b c 0 a b 0 b c 0 a b b c Hoặc cách giải khác: Do đó x = y và z tuỳ ý x yz x y z x y z y y x y x x z xz ; y = z và x tuỳ ý x yz y x z (13) y x y z xz y x y z xz y x y yz xz 0 y x y z x y 0 x y y z 0 Từ Do đó x = y và z tuỳ ý y = z và x tuỳ ý 1 1 Bài toán31: Cho x > , y > và x y Chứng minh rằng: x y x y 1 1 x ; y x y (1) Suy x > ; y > và các thức x y xy xy x y 1 x 1 y 1 1 x y x y x 1 y 1 tồn Từ (1) suy x 1 y 1 1 x 1 y 1 2 x 1 y x y x 1 y (đpcm) Bài toán 32: Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác đó là tam giác Giải: Gọi x, y, z là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c tam giác, đường cao tam giác luôn lớn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là x 2; y 2; z Vì x, y, z là các số nguyên dương nên 1 1 1 1 x y z 3 Mặt khác ta lại có: 1 a b c a b c 1 x y z 3 x y z ax by cz S ABC r nên tam giác ABC x 3; y 3; z 3 Bài toán 33: Cho phương trình x 2mx 0 (*) Tìm giá trị tham số m để 4 4 phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x1 x2 x3 x4 32 Giải: 2 Đặt x t đó phương trình (*) trở thành t 2mt 0 (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1; t2 ngh ĩa l à: ' m t1 t2 2m t t 4 1 m 2 m t t 4 1 m m m2 m Khi m <-2 thì phương trình (*) có nghiệm x1;2 t1 ; x3;4 t2 và x14 x24 x34 x44 2 t1 t2 4t1t2 8m 16 Từ giả thiết suy 8m 13 32 m vì m Bài toán 34: Chứng minh phương trình ax bx cx 2bx 4a 0 (a 0) (*) có hai nghiệm x1 ; x2 2 thoả mãn x1.x2 1 thì 5a 2b ac Giải: (14) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thì đa thức bậc bốn vế trái phương trình x px ax mx n ax bx3 cx 2bx 4a x x1 x x2 ax mx n phân tích : (vì x1.x2 1 và p x1 x2 ) ax m ap x3 a mp n x m pn x n Đồng thức hai vế phương trình trên ta (1) n 4 a m pn 2b (2) (3) m ap b : a mp n c (4) 2 Giải hệ phương trình trên ta 5a 2b ac x1 là nghiệm phương trình (*) nên ta có: Cách giải 2: Vì x1 0 và ax14 bx13 cx12 2bx1 4a 0 a x14 bx1 x12 0 x12 ax12 bx1 a 0 x2 x1 1 x1 1 ax bx1 a Có ba trường hợp xảy Trường hợp 1: Nếu x1 x1 x2 Đa thức vế trái chia hết cho x 1 x2 x 1 nên đa thức dư đồng phải Bằng phép chia đa thức cho đa thức ta được: 4a b 2c 0 b 2a 5a 2b2 ac a 2b c 0 c 3a 2 Trường hợp 2: Nếu x1 1 x2 x1 1 Tương tự trường hợp (1) ta có 5a 2b ac Trường hợp 3: Nếu x1 1 thì x1 ; x2 là nghiệm phương trình ax bx a 0 Chia đa a bx 5a 2b ac 0 ax bx a thức (*) cho ta đa thức dư đồng có 2 5a 2b ac Cách giải 3: Vì x 0 không là nghiệm phương trình (*) nên chia hai vế cho x ta 2 a x b x c 0 (1) y x x y x x x x được: Đặt nên phương trình trở 2 y1 x1 ; y2 x2 3 x x ay by a c (2) thành Đặt Áp dụng định lý Viet cho b 4a c ; y1 y2 a a Thay vào (3) và biến đổi ta 5a 2b ac phương trình (2) Phương trình (2) có hai nghiệm y1 ; y2 Nếu y1 y2 x1 x2 là nghiệm y1 y2 phương trình (2) ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) cách giải 2: Bài tập nhà phương trình và hệ phương trình 1)Giải các phương trình sau: a) x x x x 18 168 x KQ: x = 1; x = 36 (15) 2 b) x 14 x x x 20 5 x 1 1) Giải các hệ phương trình sau: x y 4 a) x y 7 x 1 y 1 8 x x 1 y y 1 xy 17 b) c) 2 x y xy 1 3 x y x y 61 x 8; x; y 3; KQ: KQ: x; y 1;3 ; 3;1 KQ: x; y 1;0 ; 1;0 x3 xy 2000 y 0 d) y x y 500 x 0 Bài tập nhà: 1) 10 x x 1 3 2) 48 x 35 x 13 5 3) 32 x x 4 4) x 82 x 5) x 20 x 4 2 6) x 17 x x 17 x 9 3 7) x 2 x 8) x x 5 (16)