CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỞNG HSG TOAN 9

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán sè Cho a, b, c > Chøng minh r»ng ( a + b + c)   1 + + ữ a b c *Phân tích: Vế trái chứa a, b, c > nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, b, c vµ 1 , , a b c ta cã: a +b +c ≥3 abc 1 1 + + ≥3 a b c abc Nhân vế hai bất đẳng thức ta đợc: ( a + b + c)  1 1 + + ÷≥ a b c (đpcm) Cách 2: ( a + b + c)   1 1 b a c a b c + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + + = a b c a b a c c b DÊu "=" x¶y a=b=c Bài toán số 1.1 Chứng minh bất đẳng thøc: a b c + + ≥ (a, b, c > 0) b c a b a + b + c ≥ ab + bc + ca a Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng: a x2 + x +1 ≥ ∀x ∈ R áp dụng BĐT Côsi cho số x2 +1 vµ b x+8 ≥ ∀x > x áp dụng BĐT Côsi cho số x - vµ c ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab ∀a , b ≥ áp dụng BĐT Côsi ta có a + b ab ab + ≥ ab Nh©n tõng vế BĐT ta suy đợc đpcm Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng: a ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ∀a, b, c ≥ ( b a + b 2 ) + b ( + c ) + c ( + a ) ≥ 6abc 2 2 2 2 2 2 ¸p dơng BĐT Côsi cho số a , a b , b , b c , c , c a Bài toán số 1.4 a n số dơng a1, a2, , an Chøng minh r»ng: n 1 + +L + a1 a2 an ≤ n a1a2 an b.NÕu a1, a2, , an dơng a1a2 an = a1+ a2 + + an n áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên) Bài toán số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c ∀a, b, c > + + ≥ b+c a+c a+b Giải Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi ®ã x, y, z > vµ a= y+z−x x+z− y x+ y−z ,b = ,c = 2 Ta cã: a b c 1 y + z − x x + z − y x+ y − z  + + =  + + ÷ b +c a + c a +b 2 2   1 x y x z y z =  + + + + + − ÷≥ ( + + − 3) = 2 y x z x z x  DÊu "=" xảy x= y= z Cách kh¸c:  a b c 1 x+ y + z x+ y + z x+ y + z + + =  + + − 6÷ b + c a + c a +b 2 x y z  1 1  1 = ( x + y + z )  + + ÷ −  ≥ ( − ) = 2 x y z Khai thác toán: Bằng cách tơng tự, ta chứng minh đợc bất đẳng thức sau: với a, b, c dơng ta cã: 2 + + ≥ b+c c+a a+b a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 1 + ≥ Bµi to¸n sè 2.2 Cho x, y > Chøng minh r»ng x y x+ y Ph©n tÝch: (1) Do x, y > nên BĐT (1) suy từ BĐT Côsi xét hiệu Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho số dơng x, y: x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy x+ y ≥ xy x+ y 1 ⇔ + ≥ x y x+ y ⇔ C¸ch XÐt hiƯu cđa vÕ: (1) ⇔ + − ≥ ⇔ y( x + y ) + x( x + y ) − xy ≥ ⇔ ( x − y ) ≥ x y x+ y xy ( x + y ) xy ( x + y ) (2) Do x > 0, y > nên BĐT (2) Vậy (1) (đpcm) Khai thác toán: Ta thấy BĐT có liên quan đến việc cộng mẫu nên sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh r»ng: 1  1 1 + + ≥ 2 + +  p− a p−b p−c a b c p= a+b+c Bài tập tơng tự: Bài Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 a2 + b2 b2 + c2 a2 + c2 + + ≤ 3  a+b+c a+b c+b a+c      Bµi Cho a, b, c, d số dơng Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d2 a+ b+ c+ d + + + ≥ ( a + b) a + b ( b + c ) b + c ( c + d ) c + d ( d + a ) d + a ( Bµi Cho ) ( ) ( ) ≤ a, b, c ≤ Chøng minh r»ng: a + b + c ≤ + a 2b + b c + c a Bµi Cho a > 0, b > 0, c > Chøng minh: a b c 1 1 + + ≥ 2 + −  bc ac ab a b c Bµi Cho x, y, z > Chøng minh r»ng: x2 y+z + ≥x y+z Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: ( ) a b − a≥ b− b a Bµi Cho x, y > Chøng minh r»ng: x3 2x − y ≥ x + xy + y Bµi Cho x, y ≠ Chøng minh r»ng: x6 y6 x +y ≤ + y x 4 Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: ab a+ b ab áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c độ dài cạnh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: a b c + + ≥ b+c −a a +c−b a +b−c Giải: Cách đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b – c Khi ®ã x, y, z > vµ a= x+ y x+z y+z ,b = ,c = 2 VÕ tr¸i: a b c 1 x+ y y+z z+x + + =   z + x + y   b+c −a a +c −b a +b−c 2  1 x y x z y z  =  + + + + +  ≥ ( + + 2) = 2 y x z x z y   DÊu b»ng x¶y y x + =2 y x  x z  + = ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c z x y z z + y =  C¸ch NhËn xÐt: Do a, b, c, độ dài cạnh tam giác nên ta cã: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > áp dụng BĐT Côsi cho cặp số d¬ng: ( a + b − c )( a + c − b ) ≤ a + b − c + a + c − b = a ( a + c − b )( b + c − a ) ≤ c ( b + c − a ) (a + b − c) ≤ b NhËn thÊy vế BĐT số dơng BĐT chiều, nhân vế đợc: ( a + b c )( a + c − b )( b + c − a ) ≤ abc Ta cã: a b c abc + + ≥ 33 ( b + c − a )( a + c − b )( a + b − c ) b+c −a a+c−b a+b−c ≥ 33 abc =3 abc Bài tập 3.1 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC, Chứng minh r»ng: ( a + b + c ) ≤ 9bc (*) a b c Giải Vì a ≤ b ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( b + b + c ) = ( 2b + c ) 2 ®Ĩ chøng minh (*) ta cÇn chøng minh: ThËt vËy: ( 2b + c ) ≤ 9bc (1) ( 2b + c ) ≤ 9bc ⇔ 4b + 4bc + c ≤ 9bc ⇔ 4b − 4bc + c ≤ bc ⇔ ( 2b − c ) ≤ bc Ta cã: < 2b − c ≤ 2b − b = b   ⇒ ( 2b − c ) ≤ bc < 2b − c ≤ 2c − c = c  Bµi tËp 3.2 Chøng minh r»ng a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 < 2.3 Trong ®ã a, b, c độ dài cạnh tam giác Gi¶i Ta cã b3 + c3 ≥ ( b + c) ThËt vËy: (*) (®pcm) (1) ⇔ 4(b + c ) ≥ b + c + 3b c + 3bc ⇔ b + c − b c − bc ≥ ⇔ b (b − c) − c (b − c) ≥ ⇔ ( b − c ) (b − c ) ≥ ⇔ (b − c) (b + c) Luôn suy (1) a3 + c3 ≥ T¬ng tù: a + b3 ≥ ( a + c) ( a + b) Do ®ã: a +3 b2 + c2 b c2 + a2 +3 b c   a < 4 + + (3) 2 b+c a+c a+b a +b c Mµ: b c  2a 2b 2c  a + + + + <  =  b + c a + c a + b  2(b + c) 2(a + c) 2(a + b) (4) 2a 2b 2c < + + =2 b+a+c a+b+c a+b+c Do: a + b > c  b + c > a a + c > b Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh Các tập khác: Bài tập 3.3 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a + b2 + c2 + 2abc < Bài tập 3.4 Cho a, b, c cạnh cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng: a ( b + c − a ) + b ( a + c − b ) + c ( a + b − c ) ≤ 3abc Bµi tËp 3.5 Giả sử a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: ( )  1  a+b+c a +3 b +3 c 3 + + − ≤6   a b c abc  Bµi tËp 3.6 Giả sử a, b, c độ dài cạnh cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng ( a + b + c )  + +  + 3( a − b )( b − c )( c − a ) ≥   a b c abc Bµi tËp 3.7 Cho a, b, c, d > vµ a + b + c + d = Chøng minh r»ng: a+b+c + b+c+d + b+d +a + c+d +a ≤ øNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cùc trÞ * Víi a ≥ 0, b ≥ ta cã a + b ≥ ab , dÊu “=” x¶y ⇔ a = b * Víi n số không âm: a1 , a2 , , an ta cã: a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an DÊu “=” x¶y ⇔ a1 = = an * Từ BĐT ta suy ra: k ⇔a=b + NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = k2 ⇔a=b + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) = * Më rộng n số không âm: + Nếu a1.a2an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n n k ⇔ a1 = a2 = … = an n k + NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) =  ÷ n ⇔ a1 = a2 = … = an VÝ dơ: Cho x > 0, y > tho¶ m·n: 1 + = x y x+ y Tìm GTNN A = Bài làm: Vì x > 0, y > nªn x > 0, y > 0, x > 0, y > Ta cã: 1 Cs  1  1 ≤  + ÷⇒ ≤ x y 2x y xy ⇒ xy ≥ A= x+ y ≥2 x+ y ≥2 =4 VËy A = ⇔ x = y = NhËn xét: Trong ví dụ ta đà sử dụng BĐT Côsi theo chiều ngợc nhau: + Dùng ab 1 a+b ®Ĩ dïng ®iỊu kiƯn tỉng + = từ đợc x y xy x + y để dùng kết xy + Dïng a + b ≥ ab “lµm giảm tổng Không phải lúc ta dùng trực tiếp BĐT Côsi số đề Ta có số biện pháp biÕn ®ỉi mét biĨu thøc ®Ĩ cã thĨ vËn dơng BĐT Côsi tìm cực trị nó: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phơng biểu thức 3x − + − 3x VÝ dơ: T×m GTNN A = Bài giải Điều kiện: x 3 Ta cã: A2 = ( 3x – ) + ( – 3x ) + A2 ( 3x − 5) ( − 3x ) ≤ ( 3x – + – 3x ) + = ⇔ 3x – = – 3x ⇔ x = VËy max A2 = ⇒ max A = ⇔ x = DÊu = xảy Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vây, bình phơng A xuất hạng tử lần tích thức Đến vận dụng BĐT Côsi ab a + b * Cách 2: Nhân chia biểu thức với số khác x 5x Ví dụ: Tìm GTLN A = Bài giải: Điều kiện: x Ta cã: x−9 = 5x A= DÊu “=” x¶y VËy max A = ⇒ ⇔  x −9  x −9 + 3÷ x − +  3 = ≤  = 5x 5x 10 x 30 x −9 = ⇔ x = 18 ⇔ x = 18 30 Trong cách giải trên, x đợc biĨu diƠn thµnh nưa tỉng: x −9 vËn dụng BĐT Côsi tích trở thành x + = x cã d¹ng kx cã thĨ rút gọn cho x mẫu ( số đợc tìm cách lấy 3 , số có đề bài) * Cách 3: Biến đổi biểu thức đà cho thành tổng biểu thức cho tÝch cđa chóng lµ mét h»ng sè VÝ dơ 1: ( Tách hạng tử thành tổng nhiều h¹ng tư b»ng nhau) x + 16 Cho x > 0, t×m GTNN cđa A = x3 Bài giải 16 16 16 x + 16 A= = 3x + = x + x + x + ≥ 4 x.x.x 3 x x3 x x A ≥ 4.2 = ( dÊu “=” x¶y ⇔ x = 16 ⇔ x=2) x3 VËy A = x = VÝ dô 2: (Tách hạng tử chứa biến thành tổng mét h»ng sè víi mét h¹ng tư chøa biÕn cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đà cho) Cho < x < 2, t×m GTNN cđa A = 9x + x x Bài giải A= 9x x 9x − x + +1 ≥ +1 = +1 = 2− x x 2− x x DÊu “=” x¶y ⇔ 9x 2− x = ⇔x= 2−x x VËy A = x = Trong cách giải ta đà tách 2 x x x + Hạng tử thành tổng nghịch đảo với nên x x x x vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích chúng số * Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức ®· cho VÝ dô: Cho x, y, z > tho¶ m·n: x + y + z = x2 y2 z2 T×m GTNN cđa P = + + y+z z+x x+ y Bài giải Vì x, y, z > ta có: x2 y+z áp dụng BĐT Côsi số dơng ta đợc: y+z x2 y+z x2 y + z x + ≥2 = = x y+z y+z y2 x+ z + ≥ y (2) x+z z2 x+ y + ≥ z (3) x+ y (1) T¬ng tù ta cã:  x2 y2 z2  x + y + x + + ≥ x+ y+ z  ÷+ y+z z+x x+ y Céng (1) + (2) + (3) ta đợc: x+ y+z P ≥ ( x + xy + z ) − =1 2 DÊu “=” x¶y ⇔ x = y = z = VËy P = ⇔ x = y = z = y+z x2 Nhận xét: Ta đà thêm vào hạng tử thứ có đề bài, để vận dụng BĐT Côsi y+z khử đợc (y + z) Cũng nh hạng tử lại đề Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1), (2), (3) ⇔x= y=z= NÕu ta lÇn lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vµo x2 y2 z2 ; ; y+ z x+z x+ y ta khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng ®iỊu quan träng không tìm đợc giá trị x, y, z để dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, không tìm đợc GTNN P áp dụng cách với việc sử dụng BĐT Côsi ta có ví dụ khác nh sau: VD 1: Cho a, b, c > tho¶ m·n: a + b + c = T×m GTLN cđa P = Ph©n tÝch: a, b, c >      1 + ÷1 + ÷1 + ÷  a   b  c  ⇒ abc ≤ ⇔ 3 ≥3 abc Do ®ã cã thĨ khai triĨn P råi ớc lợng theo BĐT Côsi Bài giải Cách 1: P = 1+ 1 1 1 + + + + + + a b c ab bc ac abc áp dụng BĐT Côsi cho số dơng ta cã: a + b + c ≥ 3 abc ⇔ ≥ 3 abc ⇔ abc ≤ 33 = 27 abc Mặt khác: 10 33 (1) 1   + + ≥ 33  ÷ ≥ = 27 ab ac bc  abc  (2) 1 1 + + ≥ 33 ≥ 32 a b c abc (1) + (2) ta cã: P ≥ + 32 + 27 + 27 = 64 VËy P = 64 C¸ch 2: a +1 b +1 c +1 = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) a b c abc P= ( a + a + b + c) ( b + a + b + c) ( c + a + b + c) abc 43 4 4 P≥ a b c = 43 = 64 abc P= Tỉng qu¸t: cho S = a + b + c t×m GTLN cđa P = VD 2: T×m GTLN cđa B =      1 + ÷1 + ÷1 + ÷  a  b   c  x + x y2 y Bài giải 1.( x − 1) + x − 1 x −1 = ≤ = x x x 2 ( y − ) + y − y−2 = ≤ = = y y y 2 ⇒ max B = x −1 = x = 2 2+ + = ⇔ ⇔ 4 y − = y = VD 3: Cho sè d¬ng x, y cã x + y = T×m GTNN cđa B =    1 − ÷1 − ữ x y Bài giải    1 − ÷1 − ÷= + xy y   x  CS 2 = ( x + y ) ≥4 xy ⇒ ≥8⇒ B ≥9 xy VËy B = ⇔ x = y = Ta cã: B = 11 VD 4: Cho x, y, z > tho¶ m·n: 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z T×m GTNN cđa P = xyz Bài giải Ta có: 1   y z ≥ 1 − + ≥2 ÷+ 1 − ÷= 1+ x  1+ y   1+ z  1+ y 1+ z ≥2 1+ y T¬ng tù: zx ( 1+ x) (1+ z ) ≥2 1+ z xy (1+ x) (1+ y) VËy max P = ⇒ P = xyz ≤ yz ( 1+ y) (1+ z ) 1 ⇔x= y=z= VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + |x| + Tính giá trị M biết x, y số thoả mÃn x.y = biểu thức |x + y| đạt GTNN Bài giải: Ta có: ( x + y) CS ≥4 xy = ⇒ Min |x + y| = x = y, ®ã x+ y ≥  xy =   x+ y =2  Khi x = y = hc x = y = - + Khi x = y = th× M = + Khi x = y = - th× M = 17 VD 6: Cho số thực không âm a1, …, a5 tho¶ m·n: a1 + … + a5 =1 T×m GTLN cđa A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bài giải Ta có: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 ≤ (a1 + a3 + a5)(a2 + a4) ( a1 + a3 + a5 ) ( a2 + a4 ) ≥ ( a1 + a3 + a5 ) ( a2 + a4 ) 1 ⇒  ÷ ≥ ( a1 + a3 + a5 ) ( a2 + a4 )  2 ⇒ A≤ 12  1 a1 = a2 = ⇔ a1 + a3 + a5 = a2 + a4 = ⇔  VËy max A = 2 a3 = a4 = a5 =  VD 7: Cho a, b > T×m GTNN cña A = ( x + a) ( x + b) A= x ( x + a) ( x + b) x ( x > 0) Bài giải x + ax + bx + ab ab = = a +b + x + x x ⇒ A ≥ a + b + ab ⇒ A = a + b + ab ab DÊu “=” x¶y ⇔ x = ⇔ x = ab x VD 8: Tìm GTNN hàm y = + với < x < 1− x x Bµi gi¶i 2 −2 x +2 x −x +x + = + Ta cã: y = −x ( < x < 1) x −x x = 2x − x 2x 1− x + ≥ 3+ = 3+ 2 1− x x 1− x x 2x 1− x ⇔ = ⇔ x = −1 1− x x 3+ DÊu “=” x¶y VD 9: Cho a, b > cho tríc Các số x, y > thay đổi cho a b + =1 x y Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b Bài giải Ta có: a b a b bx y + = ⇒ S = ( x + y )  + ÷= a + b + + x y y x x y ⇒ S ≥ ab + bx ay = a + b + ab y x ⇒ S = a + b + ab ⇔ ay bx = x y 13 Mµ  x = a + ab a b  + =1⇒  x y  y = b + ab  VD 10: T×m GTNN cđa P = x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 x2 + 2x + Bài giải x + 16 x3 + 56 x + 80 x + 356 Ta cã: P = x2 + 2x + CS 256 = ( x + x + 5) + 64 x + 2x + ≥ Suy P = 64 ⇔ x = x = - Bài tập tơng tự BT 1: Cho x, y > tho¶ m·n x y = T×m GTLN cđa A = x y + 2 x +y x + y4 BT 2: Tìm GTLN biểu thức sau: A = x − x2 B= yz x −1 + xz y − + xy z − xyz x +1 C= ; ( x ≥ 0) x +2 −8 D= 3x + x −1 E= x +1 x − x +1 F= ; ( x ≥ 0) x + x +1 x − x +1 G= x − x +1 x H= ; x ≥ 0) ( ( x + 2000 ) BT 3: Cho a, b, c > tho¶ m·n 1 + + = T×m GTLN cđa biĨu thøc Q = abc 1+ a 1+ b 1+ c BT 4: Cho x, y > thoả mÃn x + y = Tìm GTNN cđa biĨu thøc P=    1 + ÷1 + ÷ y  x  BT 5: Tìm GTNN biểu thức sau: 14 x2 + 4x + A= ; ( x > 0) x x2 B= ; ( x > 1) x −1 x2 + x + C= x2 + x +  1 D = ( + x ) 1 + ÷; ( x > )  x  x2  E = ( x + 1) +  +  ; ( x ≠ −1)  x +1  x F= + ; x ∈ ( 0,1) 1− x x x G= + ; ( x > 1) x −1 x + y = T×m GTNN cđa BT 6: Cho x, y > th¶o m·n 2  1  1 E = x+ ÷ + y + ữ y x BT 7: Tìm GTLN GTNN A = BT 8: Tìm GTLN cđa A = biĨu thøc + x + − x ; ( −3 ≤ x ≤ ) x + + y + biÕt  x, y ≥ −1  x + y = BT 9: Cho a, b > tho¶ m·n a b = 216 T×m GTNN cđa S = 6a + 4b ≤ b a b T×m GTNN cđa A = + b a a ≥ BT 11: Cho a, b > tho¶ m·n  ab ≥  BT 10: Cho a, b > tho¶ m·n T×m GTNN cđa S = a+ a + b2 BT 12: Cho x, y, z ≥ tho¶ m·n xy + yz + zx = 100 T×m GTNN cña A = xyz  x = a2  BT 13: Với giá trị a tích xy nhận GTLN x, y, a số thực tho¶ m·n  y =a +4  15 BT 14: T×m GTNN cđa A = x8 + a x biÕt a > 0, x > BT 15: Với giá trị số dơng a biểu thức D đạt GTNN ? A= a1000 + a900 + a 90 + a + BT 16: T×m GTNN cña C = 1995 a x100 − 10 x10 + 2004 x + xy + y BT 17: T×m GTLN cđa E = ; ( x > 0, y > ) x − xy + y BT 18: T×m GTLN cđa tÝch BiÕt x1 x2 xn ; ( n ≥ ) xi ≥ ; ∀i = 1, n n BT 19: T×m GTLN cđa B = vµ 2 x12 + x2 + + xn = x ( x + 1995 ) ; ( x > 0) biÕt r»ng x, y > x y ( x − y) BT 20: T×m GTNN cđa N = x+ BT 21: T×m GTLN cđa H = x − x2 víi −1 ≤ x ≤ BT 22: T×m GTLN cđa biĨu thøc: P= x y z + + + ( 1− x) ( 1− y) ( 1− z ) 1+ y + z 1+ x + z 1+ x + y Víi mäi x, y, z biÕn ®ỉi nhng thoả mÃn BT 23: Tìm GTNN BT 24: T×m GTLN cđa BT 25: T×m GTLN cđa f ( x, y ) = x + ≤ x, y, z ≤ 1 ∀x, y > ;  xy ( x − y )  x ≠ y x2 + x2 + x +8 x −1 víi x > 16 ... Ta cã: x? ?9 = 5x A= DÊu “=” x¶y VËy max A = ⇒ ⇔  x ? ?9  x ? ?9 + 3÷ x − +  3 = ≤  = 5x 5x 10 x 30 x ? ?9 = ⇔ x = 18 ⇔ x = 18 30 Trong cách giải trên, x đợc biĨu diƠn thµnh nưa tỉng: x ? ?9 vËn dụng... c ) ≤ 9bc (*) a b c Giải Vì a ≤ b ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( b + b + c ) = ( 2b + c ) 2 ®Ĩ chøng minh (*) ta cÇn chøng minh: ThËt vËy: ( 2b + c ) ≤ 9bc (1) ( 2b + c ) ≤ 9bc ⇔ 4b + 4bc + c ≤ 9bc ⇔... khác có biểu thức đà cho) Cho < x < 2, t×m GTNN cđa A = 9x + x x Bài giải A= 9x x 9x − x + +1 ≥ +1 = +1 = 2− x x 2− x x DÊu “=” x¶y ⇔ 9x 2− x = ⇔x= 2−x x VËy A = x = Trong cách giải ta đà tách