Đề, đáp thi HSG Toán 9 cấp huyện

Phòng gd đt Bình xuyên thi Khảo Sát hsg THCS ------------------------- Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------------------------- Câu 1. a) Cho ( ) 347103613 3 ++= x . Tính 2007 24 34 x xx A + = . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2007120062005 x xx P ++ = . Câu 2. a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức xyyxyxxy ++=+++ 222 212 b) Tìm ba chữ số khác nhau x, y, z sao cho tổng tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ số này bằng 3 lần số xxx . Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đờng cao AH. Đờng trung trực của cạnh AB cắt cạnh BC tại M và cắt đờng thẳng vuông góc với BC ở B tại P. Gọi giao điểm của PC với đoạn thẳng AH là E. Chứng minh rằng: a) CB CH PB EH = và MB CH PB AH = , rồi từ đó suy ra E là trung điểm của đoạn thẳng AH. b) 22 .2. MBPBPMAH = . Câu 4. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức: ( )( )( ) cbacba ++ 21114 . --------------------------------------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng gd đt Bình xuyên thi Khảo Sát hsg THCS Hớng dẫn chấm thi hsg lớp 9 ------------------------- Môn: Toán. ----------------------------- b) 1,5 điểm. Số xxx tồn tại nên 0 x . 0,25đ Nếu yz=0 => y=0 hoặc z=0 Xét y=0 ta có xxxzxxzxzzx .30000 =+++ zx 211122 = vì (122; 211)=1 nên 122;211 zx vô lý. 0,25đ Ta cũng xét tơng tự với z=0 0,25đ Nếu 0 yz ta có xxxzyxzxyyxzyzxxzyxyz .3 =+++++ ( ) xzy =+ 2 (*) => x chẵn m zy nên 2(y+z)>4 suy ra x=6 hoặc x=8 Xét x=6 thì từ (*) ta có y+z=3 suy ra y=1, z=2 hoặc y=2, z=1 Xét x=8 thì từ (*) ta có y+z=4 suy ra y=1, z=3 hoặc y=3, z=1 0,5đ Thử lại, có 4 bộ ba chữ số thoả mãn bài toán là: (x; y; z)=(6; 1; 2); (6; 2; 1); (8; 1; 3); (8; 3; 1). 0,25đ Câu 3. (2,5 điểm) Vẽ đúng hình cho 0,25đ a) 1,25 điểm. Vì AH//PB nên áp dụng định lý Ta lét vào tam giác CPB ta có: )1( CB CH PB EH = 0,5đ Vì đờng thẳng PM là đờng trung trực của cạnh AB nên PM AB và do đó PM//AC suy ra HCABMP = . Từ đó hai tam giác vuông AHC và PMB đồng dạng (góc - góc), suy ra MB CH PB AH = (2) 0,5đ Từ (1) và (2), do BC=2BM ( .) suy ra AH=2EH suy ra AE=EH suy ra E là trung điểm của AH. 0,25đ b) 1,0 điểm. Trong tam giác ABC vuông ở A có đờng cao AH đợc tính: ( ) CHCHBMCHBHAH .2. 2 == (3) 0,25đ Thay CH ở (1) vào (3) với AH=2EH ta đợc: a b h m p e c = PB CBAH PB CBAH BMAH 2 . 2 . 2 2 hay ( ) BMAHBMAHPBBMAHPB 2 2 4.4 22 = hay ( ) PBBMBMPBAH .2 222 =+ (4) 0,25đ Mặt khác, theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông BPM có 222 PMBMPB =+ (5) 0,25đ Từ (4) và (5) ta có điều phải chứng minh. 0,25đ Câu 4. (2,5 điểm) Vì a, b, c không âm và a+b+c=1 suy ra 10 b và b+c=1a 0,25đ Ta có )1)(1)((4)1)(1)(1(4 cbcbcba += (1) 0,25đ áp dụng bất đẳng thức xyyx 4)( 2 + ta có 2 )1()1)((4 bccb ++ 0,5đ => )1)(1()1()1()1)(1)((4 22 bbbbcbcb +=++ 0,5đ Do 110 2 b nên cbabcbabcbcb ++=+++=++ 2)()1()1)(1)((4 (2) 0,5đ Từ (1) và (2) ta có cbacba ++ 2)1)(1)(1(4 0,25đ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 1 == ca và b=0. 0,25đ =================================== . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng gd đt Bình xuyên thi Khảo Sát hsg THCS Hớng dẫn chấm thi hsg lớp 9 ------------------------- Môn: Toán. -----------------------------. Phòng gd đt Bình xuyên thi Khảo Sát hsg THCS ------------------------- Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán. Thời gian: 150 phút (không kể