Lê Bá Khánh Trình, TS.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
Mơn thi: Tốn Thời gian làm 150 phút Câu 1:
a) Tính giá trị đa thức f x( ) ( x43x1)2016
1
9
9 5 5
4
x
b) So sánh 20172 1 201621
2
2.2016
2017 2016 c) Tính giá trị biểu thức:
2
sin cos
sin cos
1 cot tan
x x
x x
x x với
0
0 x 90 d) Biết 5 số vơ tỉ, tìm số ngun a, b thỏa mãn:
2 3 9 20 5
5 5
a b a b
Câu 2: Giải phương trình sau:
a) 3 2 1 3
3 1 2 3
x x
x x
b) x25x 8 2 x2 Câu 3:
a) Cho đa thức P x ax3 bx2 cx d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho
b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2– – 0xy y2 c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số Câu 4:
a) Chứng minh
4
3 2
2
a b
ab a b a b
b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện + + = a + b + b + c + c + a + Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a)
Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vng góc hạ từ D xuống AB, AC E F
a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = 1
3AD Chứng minh rằng: tanB.tanC =
c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng
-HẾT -
Họ tên thí sinh:………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi )
(2)SƠ LƢỢC GIẢI
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 150 phút)
Câu Ý Đáp án
Câu a) 2
2
9
5
x
2
9
5
= 2
2 5
9
5
( ) (1)
f x f
b)
Ta có
2 2
2
2
( 2017 2016 1)( 2017 2016 1) 2015 2014
2017 2016
2 2
2 2 2
(2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)
2017 2016 2017 2016 2017 2016
2 2
2017 2016 2.2016
2017 2016 2017 2016
Vậy 2
2017 1 2016 1 >
2
2.2016
2017 1 2016 1
c) 2 sin cos sin cos cos sin 1 sinx cos x x x x x x x 3 sin cos sin cos
1 cos 1+sinx
x x x x x 2
3 sinx cos sin sinx.cos cos
sin cos
sin cos sin cos
sinx cos sinx cos
x x x x
x x
x x x x
x x
sin cosx x 1 sin cosx x1 d) ĐK: a b 5 (*)
2 9 20 5
5
2( 5) 3( 5) (9 20 5)( 5)( 5)
a b a b
a b a b a b a b
9a245b2 a 5( 20 a2100b25 )b (*)
Ta thấy (*) có dạng AB A, B Q, B thi A I B
vơ lí B = => A=
Do (*)
2
2
9 45
20 100
a b a
a b b
2 2
2
9a 45b a 9a 45b a
9
9a 45b b a b
4
a b a a
hoac
b b
b 4b
(không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b =
(3)3
3
x x
x x (2)
3
( 3)( 1)
x x
x x
+ Trường hợp: x + = x 3(TMĐK (**)
+ Trường hợp: x + 3 x
Ta có (x-3)(x-1) = x24x 3
2
4 ( 2)
x x x
2 7
x hoac x
(TMĐK (*))
Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3; 2 7; 2 7}
b) ĐK: x (***)
x 6x x x 2 0 2
x 3 x 2 x 2 0
2 2
x 3 x 2 1 0
x 3 0
x 2 0
x 3 (thỏa mãn ĐK(***))
Vậy nghiệm phương trình x =
Câu a)
Ta có: P(0) = d
P(1) = a + b + c + d => a + b + c (1) P(-1) = -a + b – c + d => -a + b – c (2)
Từ (1) (2) suy 2b => b (2,5) = 1, suy a + c P(2) = 8a + 4b + 2c + d => 8a + 2c => a => c
b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16
( 2x – y )2 + 3y2 = 16
( 2x – y )2 = 16 – 3y2
Vì ( 2x – y )2 nên 16 – 3y2 y2 y2 { 0; 1; } - Nếu y2 = x2 = x =2
- Nếu y2 = ( 2x – y )2 = 13 khơng số phương nên loại y2 = - Nếu y2 = y = 2
+ Khi y = x = x = + Khi y = - x = x = -
Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = ( - 2; ); ( 2; ); ( 0; ); ( 2; ); ( 0; - ); ( - 2; -2 )
c) - Nếu n số chẵn n4 + 4n số chẵn lớn nên hợp số - Nếu n số lẻ, đặt n = 2k + với k số tự nhiên lớn n4 + 42k + = (n2)2 + (2.4k )2
= (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k
(4)Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k = (n – 2k)2 + 4k > Suy n4 + 42k + hợp số
Vậy n4
+ 4n hợp số với số tự nhiên n lớn
Câu
a) Giả sử ta có 2 4
b
a 3 2
b a b a
ab
4 3 2
2 2
a b ab a b a b
4 3 2
2 2
a b ab a b a b
4 2 2
2
a a b a b b ab a b
2 2 2 2
a ab b ab
với a, b Vậy
2 4
b
a 3 3 2 2
b a b a
ab
với a, b
b) Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z số thực dương
Ta có + + =2 x + y + z +
1 1 1
2 1
x + y + z + y + z + y + z +
y z
1
x + y + z +
y z
(Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số dương y +
y
z + z
) Chứng minh tương tự ta có
y + x + z +
x z
z + y + x +
y x
Suy 1 2
x + y + z + y + z + x + z + x + y +
y z x z x y
1 1
8
x + y + z + 1 1
xyz
x y z
1 xyz
Dấu “ = ” xẩy
1
x + y + y +
1
x y z
x y z
a b c
Vậy giá trị lớn tích ( a + b )( b + c )( c + a)
(5)Câu
a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tac có: AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2
Suy ra: AE.AB = AF.AC
b)
Biểu thị : tanB = AD
BD; tanC = AD
CD; tanB.tanC =
2 AD BD.CD Biểu thị được:
tanB = tan DHC CD
HD
; tanC = tan DHB BD
HD
; tanB.tanC = BD.CD2
HD
Suy ra: (tanB.tanC)2 = 2 AD
HD => tanB.tanC = AD HD =
c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK
Chứng minh được: BM BD BE ME / /IK M EF
MI DC EK
Tương tự chứng minh NEF suy điểm E, M, N, F thẳng hàng
Tổng Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng cho điểm tối đa.
N H
M E
F K
I
D
C B
(6)Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia