Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 20162017 Phòng GDĐT Tư Nghĩa có đáp án

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học: 2016 - 2017

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm)

Cho biểu thức 23 2 1.( 1 1 )



A

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 2: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2

2015 2014 2 2017 2016

b) Chứng minh rằng: 1 1 2

x  y biết x3 y3 3(x2y2) ( 4 x  4y)   0 và x.y > 0

c)Chox y z, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1

  Tính giá trị của biểu thứcB x21 y21 y11 z11 z2017 x2017

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n 16 – 3 – 1 323n n 

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2017 2

(y 2)x y  2y  1 0

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh SAHG = 2SAGO

b) Chứng minhHD HE HF 1

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho góc 0

DAB 30 AC cắt BD tại M Tính diện tích tam giác ABM theo R

ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

1a

(1,0đ)

a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa : 3

2 0

2

1 0

1

2 1

x

x x

x x

 



 





1b

(1,0đ)

b) Rút gọn biểu thức A 2

2

A

x

1,0đ

1c

(1,0đ)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Ta có 2

2

1

A

x

   

Ta có A nhỏ nhất khi 1 2 3

x  đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 4

3

 khi 1

2

x = 0 1

2

x

1,0đ

2a

(2,0đ)

a) Gia i phương tr nh: 2

2015 2014 2 2017 2016

Điều kiện 2016

2017

Phương trình đã cho tương đương với 2

2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0

1 0

2017 2016 1 0

x

x

 



 



1,0đ

1

2017 2016 1

x x







1

x

  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x1 là nghiệm của phương trình đã cho

1,0đ

2b

(2,0đ)

b) Chứng minh: 1 1 2

x  y biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y >

0

Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0

(x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0

( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0

( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0

2.( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0

(x y) (x 1) (y 1) 2

       

 x + y + 2 = 0

 x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0

1,0đ

Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

Do đó xy 1 suy ra 1 1

xy hay 2

xy



 -2 Mà M 1 1 x y 2

x y xy xy

Vậy M 1 1 2

x y

1,0đ

2c

(2,0đ)

Chox y z, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1

  Tính giá trị của biểu thứcB x21 y21 y11 z11 z2017 x2017

 

(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz

xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz

(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0

1,0đ

x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0

(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0 (x y y)( z x)(  z) 0

x y

y z

z x

 





  



Thay vào B tính được B = 0

1,0đ

3a

(2,0đ)

Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323

Ta có: 323 = 17.19

 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)

20n – 1 19

16n – 3n 19 (n chẵn)

Do đó 20 + 16 – 3 – 1 19 (1)

1,0đ

 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)

20n – 3n 17

16n –1n 17 (n chẵn)

Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17 (2)

Mà (17; 19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 323

1,0đ

3b

(2,0đ)

b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2017 2

(y 2)x y  2y  1 0 Nếu y + 2 = 0   y 2 lúc đó phương trình có dạng 2017

0x  1 0(vô nghiệm)

Nếuy 2 thì ta có 2017 2 2 1 1

 

1,0đ

Vì x,y nguyên nên 1

2

y nguyêny 2 Ư(1)   1;1

Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là: x = 0,y = -1

1,0đ

G H

M F

A

E

O

C

K

D B

4

(4,0đ)

a) Chứng minh SAHG = 2SAGO

 Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC vuông góc với AC

Mà BE vuông góc với AC (gt) Suy ra KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK là hình bình hành

Gọi M giao điểm của BC và HK nên

 M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2

3

AM

 M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác AHK

Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2

3AM nên G là trọng tâm của tam giác AHK

Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác AHK

Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO

 Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và

HG = 2GO

Do đó SAHG = 2SAGO

b) Chứng minh HD HE HF 1

Ta có:

AD.BC BE.A C CF.AB

SHBC SHAC S

HAB

S ABC

= SABC S ABC

= 1 Tính diện tích tam giác ABM theo R

1,0đ

1,0đ

2,0đ

N

C M

D

B H

O

5

(3,0đ)

Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB Chứng minh góc 0

AHM 90 ; mà góc 0

CAB 45 (gt) nên tam giác AHM vuông cân

MH = AH

MH + HB = AH + HB = 2R (1)

1,0đ

* Tam giác MHBvuông tại H

 HB = MB.cos MBH MB = HB = HB 0 = 2HB

cos MBH cos 60



 MH = MB.sinMBH MH 0 MB 3

2 HB =

3

3 (2)

Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R

2,0đ

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông

minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và

các trường chuyên danh tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9

III Uber Toán Học

- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Online như Học ở lớp Offline

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online