Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHÒNG GD&ĐT TƯNGHĨAĐỀTHI CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤPHUYỆNNăm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) x2 x 1 ( ) x 1 1 x 1 x Cho biểu thức A a) Tìm điều kiện x để biểu thức A cónghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 2015x 2014 2017 x 2016 b) Chứng minh rằng: 1 2 biết x y 3(x y ) 4(x y ) x.y > x y 1 c)Cho x, y, z thỏa mãn x 1 : y z x y z Tính giá trị biểu thức B x21 y 21 y11 z11 z 2017 x2017 Bài 3: (4,0 điểm) a) Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20n 16n – 3n – 323 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y 2) x2017 y y 1 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD AD HE BE HF CF Bài 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường tròn cho góc CAB 450 , góc DAB 300 AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ĐÁPÁNĐỀTHI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung 1a (1,0đ) x x 2 a) Điều kiện x để biểu thức A cónghĩa : x3 x 1 x Điể m 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A 1b (1,0đ) x2 x 1 x( x 2) ( ) x 1 1 x 1 x ( x 1)( x x 1) ( x 2) x( x 2) x( x 2) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x ( x 1)( x x 1) ( x 1) 1 2 ( x 1)( x x 1) x x 1,0đ a) Tìm giá trị nhỏ A 1 1 x x ( x )2 Ta có A nhỏ ( x )2 đạt giá trị nhỏ 4 1 Vậy: Giá trị nhỏ A x = x 2 Ta có A 1c (1,0đ) a) Giai phương tr nh: x2 2015x 2014 2017 x 2016 2016 Điều kiện x 2017 Phương trình cho tương đương với x2 x 2017 x 2016 2017 x 2016 x 1 2a (2,0đ) 1,0đ 1,0đ 2017 x 2016 x 1 2017 x 2016 x 2017 x 2016 x (thỏa mãn điều kiện) Vậy x nghiệm phương trình cho W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 1,0đ Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Chứng minh: 1 2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + = ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 1,0đ ( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = ( x + y + 2) ( x y)2 ( x 1)2 ( y 1)2 2 = x+y+2=0 x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y < 2b (2,0đ) ( x) ( y) ( x y) 1 2 2 1 x y 2 -2 Mà M Do xy suy hay xy xy x y xy xy 1 Vậy M 2 (đpcm) x y Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x)( y) 1 : x y z x y z 21 21 11 Tính giá trị biểu thức B x y y z11 z 2017 x2017 1,0đ 1 Cho x, y, z thỏa mãn 2c (2,0đ) 1 1 1 1 Ta có: : 1 x y z x y z x y z x y z (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x y (yz + zx + y + yx)( x+ z) = ( x y)( y z)( x z) y z z x Thay vào B tính B = Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 323 Ta có: 323 = 17.19 3a 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) (2,0đ) 20n – 19 16n – 3n 19 (n chẵn) Do 20n + 16n – 3n – 19 (1) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 1,0đ 1,0đ 1,0đ Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n 17 16n –1n 17 (n chẵn) Do 20n + 16n – 3n – 17 (2) Mà (17; 19) = nên từ (1) (2) suy 20n + 16n – 3n – 323 b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: ( y 2) x2017 y y 1 Nếu y + = y 2 lúc phương trình có dạng x2017 1 (vô nghiệm) 3b (2,0đ) Nếu y 2 ta có x 2017 1,0đ 1,0đ y2 y 1 y y2 y2 nguyên y Ư(1) 1;1 y2 Với y 1 y 3 x2017 4 (loại) Với y y 1 x2017 x Vì x,y nguyên nên Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề là: x = 0,y = -1 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 1,0đ Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Chứng minh SAHG = 2SAGO Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC vuông góc với AC Mà BE vuông góc với AC (gt) A Suy KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK hình bình hành F E H G B 1,0đ O D M C K Gọi M giao điểm BC HK nên M trung điểm BC mà G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AM M trung điểm HK nên AM đường trung tuyến tam giác AHK (4,0đ) Mà G thuộc đoạn AM AG = AM nên G trọng tâm tam giác 1,0đ AHK Ta có O trung điểm AK nên HO đường trung tuyến tam giác AHK Nên HO qua G HG = 2GO Tam giác AHG tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO HG = 2GO Do SAHG = 2SAGO HF CF HD.BC HD HE HF Ta có: AD BE CF AD.BC S S S HBC HAC SHAB HBC S S S ABC ABC ABC b) Chứng minh HD AD HE BE 1 HE.AC HF.AB 2 1 BE.A C CF.AB 2 S S S HAC HAB = ABC = S S ABC ABC Tính diện tích tam giác ABM theo R W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 2,0đ Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai M C D N (3,0đ) 1,0đ A B H O Gọi N giao điểm AD BC; H giao điểm MN AB Chứng minh góc AHM 900 ; mà góc CAB 450 (gt) nên tam giác AHM vuông cân MH = AH (1) MH + HB = AH + HB = 2R * Tam giác MHB vuông H HB = MB.cos MBH MB = HB HB = = 2HB cos MBH cos 600 MH = MB.sinMBH MH MB.sin 600 MH 3.MH W: www.hoc247.net AB.MH HB HB = 2,0đ (2) Từ (1) (2) ta có MH + Vậy: S MB 2R.(3 3.MH 3) R 2R (3 F: www.facebook.com/hoc247.net MH 6R 3 3) R T: 098 1821 807 (3 3).R Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đềthi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thiHSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toáncâp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm...Vững vàng tảng, Khai sáng tư ng lai ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung 1a (1,0đ) x x 2 a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa : x3 x 1 ... Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên