Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm)
Cho biểu thức 23 1.( 1 )
1 2
x x
A
x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2015 2014 2017 2016
x x x
b) Chứng minh rằng: 1 x y biết
3 3( 2) (4 4) 0
x y x y x y x.y > c)Chox y z, , thỏa mãn 1 : 1
x y z x y z
Tính giá trị biểu thứcBx21y21y11z11z2017x2017 Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n 16 – – 323n n
b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2017
(y2)x y 2y 1 Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minhHD HE HF
AD BE CF
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường trịn cho góc
(2)ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP
Bài Nội dung Điểm
1a (1,0đ)
a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa : 2 1 x x x x x 1,0đ 1b (1,0đ)
b) Rút gọn biểu thức A
3
2
2
2
2 1 ( 2)
.( )
1 2 ( 1)( 1) ( 2)
( 2) ( 2) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1)
( 1)( 1)
x x x x
A
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x x
1,0đ 1c (1,0đ)
a) Tìm giá trị nhỏ A Ta có 2
2 1 ( ) A x x x
Ta có A nhỏ
( )
2
x đạt giá trị nhỏ Vậy: Giá trị nhỏ A
3
x = 0 x
1,0đ
2a (2,0đ)
a) Gia i phương tr nh:
2015 2014 2017 2016
x x x
Điều kiện 2016 2017
x
Phương trình cho tương đương với
2 2017 2016 2017 2016
x x x x
2 2
1 2017 2016
x x
1
2017 2016
x x 1,0đ
2017 2016
x x x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy x1 nghiệm phương trình cho
(3)2b (2,0đ)
b) Chứng minh: 1
x y biết x
3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y >
Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + =
(x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + =
( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 =
( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) =
2.( x + y + 2)( 2x
2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) =
2.( x + y + 2)
2 2
(x y) (x 1) (y 1)
=
x + y + =
x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y <
1,0đ
Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x y x y
x y
Do xy 1 suy 1
xy hay xy
-2 Mà M 1 x y
x y xy xy
Vậy M 1 x y
(đpcm)
1,0đ
2c (2,0đ)
Chox y z, , thỏa mãn 1 : 1
x y z x y z
Tính giá trị biểu thứcBx21y21y11z11z2017x2017
Ta có: 1 : 1 1 x y z
x y z x y z x y z
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) =
1,0đ
x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) =
(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0 (x y y)( z x)( z) 0
x y
y z
z x
Thay vào B tính B =
1,0đ
3a (2,0đ)
Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 323 Ta có: 323 = 17.19
20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – 19
16n – 3n 19 (n chẵn)
(4) 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n 17
16n –1n 17 (n chẵn)
Do 20n + 16n – 3n – 17 (2)
Mà (17; 19) = nên từ (1) (2) suy 20n + 16n – 3n – 323 1,0đ
3b (2,0đ)
b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: 2017
(y2)x y 2y 1
Nếu y + = y lúc phương trình có dạng 2017
0x 1 0(vơ
nghiệm)
Nếuy 2 ta có
2
2017 1
2
y y
x y
y y
1,0đ
Vì x,y nguyên nên
2
y nguyêny 2 Ư(1) 1;1
Với 2017
2
y y x (loại)
Với 2017
2 1 0
y y x x
Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề là: x = 0,y = -1
(5)G H
M F
A
E
O
C
K D
B
4 (4,0đ)
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
Tam giác ACK nội tiếp đường trịn (O) đường kính AK Nên KC vng góc với AC
Mà BE vng góc với AC (gt) Suy KC // BE hay KC // BH
Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK hình bình hành
Gọi M giao điểm BC HK nên
M trung điểm BC mà G trọng tâm tam giác ABC nên AG =
3
AM
M trung điểm HK nên AM đường trung tuyến tam giác AHK
Mà G thuộc đoạn AM AG =
3AM nên G trọng tâm tam giác
AHK
Ta có O trung điểm AK nên HO đường trung tuyến tam giác AHK
Nên HO qua G HG = 2GO
Tam giác AHG tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO HG = 2GO
Do SAHG = 2SAGO
b) Chứng minh HD HE HF
AD BE CF
Ta có:
1 1
HD.BC HE.AC HF.AB
HD HE HF 2 2 2
1 1
AD BE CF
AD.BC BE.A C CF.AB
2 2
SHBC SHAC S HAB
S S S
ABC ABC ABC
S S S
HBC HAC HAB
S ABC
= SABC S
ABC
= Tính diện tích tam giác ABM theo R
1,0đ
1,0đ
(6)A
N C
M
D
B H
O
(3,0đ)
Gọi N giao điểm AD BC; H giao điểm MN AB Chứng minh góc
AHM 90 ; mà góc CAB 450(gt) nên tam giác AHM
vuông cân MH = AH
MH + HB = AH + HB = 2R (1)
1,0đ
* Tam giác MHBvuông H
HB = MB.cos MBH MB = HB = HB 0 = 2HB cos MBH cos 60
MH = MB.sinMBH MH MB
MB.sin 60 HB
2 HB =
MH 3.MH
3
3 (2)
Từ (1) (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R
3 3
Vậy: AB.MH
S 2R.(3 3) R (3 3) R
2
2,0đ
(7)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt
ở kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia