Đáp án đề thi HSG Toán 9

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN Đáp án, thang điểm này có 3 trang Câu Nội dung Điểm 1 a ĐK: 0, 1x x ≥ ≠ A = 1 )1)(1( ++ ++− xx xxxx - 2 )1(21 ++− xx = x - 1+x 0,25 0,5 0,25 b Ta có: x - x + 1 = ( x - 2 1 ) 2 + 4 3 ⇒ A ≥ 4 3 , dấu bằng xảy ra khi x = 4 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 3 , tại x = 4 1 0,25 0.25 c Ta có B = A x2 = 1 1 2 −+ x x = M 2 , với M = 1 1 −+ x x Với x 〉 0, x ≠ 1 thì 1 1 −+ x x 〉 1, do đó 0 〈 B 〈 2, nên B nguyên khi B = 1 Khi đó tìm ra được: x = 2 531± . 0,25 0,25 2 a 1 (1) 2 (2) 3 (3) xy yz zx =   =   =  Nhân vế với vế của các phương trình ta được 2 2 3 6 (4)x y z = hay 6xyz = ± so sánh (4) với (1), (2) và (3) rồi suy ra hệ có hai nghiệm 6 6 ( , , 6) 2 3 v à 6 6 ( , , 6) 2 3 − − − 0,5 0,5 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 ( 1) 1( 2) 0 1 1 | | 1 | | 2 x x x x x x x x x x x x x x − + = ⇔ − = −   − ≥ ≥   ⇔ ⇔   − = − − − =      ≥    ≤ −   ⇔  =     =   Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2 3 4 1; 1; 2; 2x x x x= = − = = − 0,25 0,25 0,25 0,25 c Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2007 số 1 và 2 số x 2009 , ta có: 2009 2009 2.2009 2 2007 2 2009 x x x + ≥ = (1) Tương tự: 2009 2.2009 2 2009 2007 2 2009 y y y + ≥ = (2) 2009 2009 2.2009 2 2007 2 2009 z z z + ≥ = (3) Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta có: 2009 2009 2009 2 2 2 3.2007 2( ) 3 2009 x y z F x y z + + + = + + ≤ = Như vậy ax 3 M F = đạtđược khi 1x y z = = = vì ( , , 0)x y x ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 3 13 4 20' 3 h h = Gọi quãng đường AC là x (km) , x>0. Gọi quãng đường CB là y (km) , y>0. Khi đi từ A đến B: - Thời gian lên dốc: 10 x (h) - Thời gian xuống dốc: 15 y (h) Ta có phương trình: 13 (1) 10 15 3 x y + = 0,25 0,25 0,25 Khi đi từ B về A: - Thời gian lên dốc: 10 y (h) - Thời gian xuống dốc: 15 x (h) Ta có phương trình : 4 (2) 15 10 x y + = Từ (1) và (2) ta có hệ: 13 10 15 3 4 15 10 x y x y  + =     + =   Giải hệ ta được nghiệm x=30 và y=20 Vậy Quãng đường AC là 30 km, quãng đường CB là 20 km 0,25 0,25 0,5 0,25 a MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên góc OMO’=90 o 0,5 0,5 b Tam giác OMO’ vuông ở M có 'MA O O ⊥ nên: MA 2 = OA.OA’(HTL trong tam giác vuông) Suy ra : MA = OA.OA' R.R'= 0,5 0,5 c Chứng minh: ∆ SO’M ~ ∆ SMO suy ra: 2 SO' SM hay SO.SO '= SM SM SO = ∆ SAT~ ∆ ST’A suy ra: 2 ST SA hay ST.ST' = SA SA ST ' = 0,5 0,5 Chú ý: Học sinh có cách giải khác đúng thì cho theo thang điểm của bài T O A M ’ ’ O ’ S T ’ . 2007 số 1 và 2 số x 20 09 , ta có: 20 09 20 09 2.20 09 2 2007 2 20 09 x x x + ≥ = (1) Tương tự: 20 09 2.20 09 2 20 09 2007 2 20 09 y y y + ≥ = (2) 20 09 20 09 2.20 09 2 2007 2 20 09 z z z + ≥ = (3) Cộng. ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 09 – 2010 Môn thi: TOÁN Đáp án, thang điểm này có 3 trang Câu Nội dung Điểm 1 a ĐK:. (2) 20 09 20 09 2.20 09 2 2007 2 20 09 z z z + ≥ = (3) Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta có: 20 09 20 09 20 09 2 2 2 3.2007 2( ) 3 20 09 x y z F x y z + + + = + + ≤ = Như vậy ax 3 M F = đạtđược khi 1x y z = = =