Đáp Án Đề Thi HSG Toán 12 An Giang 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 AN GIANG Khóa ngày: 27/11/2010 MÔN TOÁN A. HƯỚNG DẪN CHẤM: Bài 1 Cho hàm s : ố 2 3 1 x mx y x + + = + ( m là tham s ). Tìm ố m để hàm s có c c đ i và c c ti u đ ng th i hai đi m c cố ự ạ ự ể ồ ờ ể ự đ i, c c ti u c a đ th hàm s n m v hai phía c aạ ự ể ủ ồ ị ố ằ ề ủ đ ng th ng ườ ẳ : 2 1 0d x y+ - = . · 2 3 1 x mx y x + + = + · TX : Đ { } \ 1D = -¡ · ( ) 2 / 2 2 3 1 x x m y x + + - = + · Hàm s có c c đ i và c c ti u ố ự ạ ự ể / 0 = có hai nghi m phânệ bi t ệ 2 2 3 0x x mÛ + + - = có hai nghi m phân bi t khác -1ệ ệ / 4 0 4 (*) 4 0 m m m ì ï D = - > ï ï Û Û < í ï - ¹ ï ï ỵ · Gi s đ th hàm s có đi m c c, c c ti u làả ử ồ ị ố ể ự ự ể 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y · Ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m A, B là:ươ ườ ẳ ể : 2y x mD = + · Do đó: 1 1 2 2 2 ; 2y x m y x m= + = + · Hai đi m A, B n m khác phía đ i v i đ ng th ngể ằ ố ớ ườ ẳ : 2 1 0d x y+ - = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 4 1 4 1 0 16 4( 1)( ) ( 1) 0 x y x y x m x m x x m x x m Û + - + - < Û + - + - < Û + - + + - < · Theo đ nh lý Viet, ta có:ị 1 2 1 2 2 3 x x x x m ì ï + = - ï í ï = - ï ỵ · Do đó: 2 6 39 0 3 4 3 3 4 3m m m+ - < Û - - < <- + (th a (*))ỏ · V y: Giá tr c n tìm là: ậ ị ầ 3 4 3 3 4 3m- - < <- + 3,0 điể m Bài 2 Câu 1 Gi i ph ng trình:ả ươ 2 2 2 2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + = · t: Đặ 2 3t x x= + + · Ph ng trình tr thành:ươ ở 2,0 điể m 1 2 3 12 0 4 t t t t é = ê + - = Û ê = - ê ë · V i ớ ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 6 9 t x x x x x x x x x x x x = Þ + + = Û + = - ì ï £ ï ï Û í ï + = - ï ï î ì ï £ ï ï Û Û = í ï + = - + ï ï î · V i ớ ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 4 4 3 4 4 4 (VN) 13 3 8 16 8 t x x x x x x x x x x x x x = - Þ + + = - Û + = - - ì ï £ - ï ï Û í ï + = + ï ï î ì ï £ - ì ï ï £ - ï ï ï Û Û í í ï ï + = + + = - ï ï ï î ï î · V y nghi m c a ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ươ 1x = Câu 2 Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ 3 3 2 2 5 5 2 2 6 30 32 x y x y xy x y xy ì ï + + + = ï ï í ï + + = ï ï î 3 3 5 5 3 3 3 3 5 2 ( ) 6 5 . 2 ( ) 32 2 ( ) 6 ( ) 32 2 . 1 1 1 x y xy x y x y xy x y xy x y x y xy x y x y x y xy x y ì ï + + + = ï ï Û í é ù ï + + + + + = ï ê ú ë û ï î ì ï + + + = ï ï Û í ï + = ï ï î ì ï + = ï Û í ï = ï î ì ï = ï Û í ï = ï î · V y nghi m c a h ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ệ ươ 1 1 x y ì ï = ï í ï = ï î 2,0 điể m Bài 3 Cho t giác ABCD. G i M, N là trung đi m c aứ ọ ể ủ AB và CD. Ch ng minh r ng:ứ ằ max( , )MN AD BC£ . 2,0 điể m 2 N M A B C D · Ta có: MN MA AC CN MN MB BD DN = + + = + + uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur ( ) ( ) 2MN MA MB AC BD CN DNÞ = + + + + + uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur · Vì M, N là trung đi m c a AB, CD. Nên:ể ủ 0; 0MA MB CN DN+ = + = uuur uuur r uuur uuur r · Do đó: 2 2 2 MN AC BD MN AD DC BC CD MN AD BC = + Û = + + + Û = + uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur · t: Đặ ( ) max ,m AD BC= · Ta có: = + £ + Û £ + £ + = Û £ uuuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 MN AD BC AD BC MN AD BC m m m MN m · Suy ra (đpcm) Bài 4 Câu 1 Cho dãy th c ự ( ) n u đ c xác đ nh nh sau:ượ ị ư 2 1 1 1 ; ln(1 ) 2010; 1 2 n n u a u u n + = Î = + - ³¡ . Ch ngứ minh r ng dãy ằ ( ) n u h i t .ộ ụ · Xét hàm s ố ( ) 2 1 ( ) ln 1 2010 2 f x x= + - · Khi đó: ( )f x liên t c trên ụ ¡ / 2 1 ( ) ; 2 1 x f x x x = £ " Î + ¡ · t: Đặ ( ) 2 1 ( ) 2010 ln 1 2 g x x x= + - + 4,0 điể m 3 ã ( ) ( )g x x f x= - liờn t c trờn Ă 2 / 2 1 ( ) 0; 1 x x g x x x - + = > " ẻ + Ă ã Do ú: ( )g x t ng trờn Ă ã M: ( ) 2 1 (0). ( 2010) 2010. ln 1 2010 0 2 g g - = - + < ã Ph ng trỡnh ( ) 0g x = cú nghi m duy nh t L. ã p d ng nh lý Lagrange thỡ t n t i s c sao cho / 1 1 ( ) ( ) ( ) . 1 ; 1 2 n n n n n u L f u f L f c u L u L u L n + + - = - = - ị - Ê - " ã Do ú: 1 2 1 1 1 0 2 1 1 . ; 1 2 2 n n n n u L u L u L u L n + - Ê - Ê - Ê ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ Ê - Ê Ê - " ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ã Chuy n qua gi i h n thỡ dóy ( ) n u h i t v L ã Suy ra (pcm) Cõu 2 V i , ,a b c l cỏc s th c th a món i u ki n 1a b ; 3a Ê ; 6abÊ ; 6ab cÊ . Ch ng minh r ng 4a b c+ - Ê . ã B T c n ch ng minh c vi t d i d ng: 1 3 2a b c+ + Ê + + ã Ta cú: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 1 1 c c b a b a b a b a ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + + = + + + - + + - ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ã Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 6 3 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 c c b a b ab ab a c b a b c a b + + + - + - + + + - + - + + + + ã D u = x y ra 3 2 1 a b c ỡ ù = ù ù ù = ớ ù ù = ù ù ợ 3,0 i m Bi 5 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng c nh a, 3SA a= vuụng gúc v i m t ph ng ỏy. M t i m B di chuy n trờn o n SB. M t ph ng (ABD) c t SC t i C. t x = SB. 4,0 i m 4 1/ Tớnh th tớch kh i chúp S.ABCD theo a v x. 2/ Tỡm x t giỏc ABCD cú di n tớch bộ nh t. Cõu 1 ã M t ph ng (ABD) ch a AD//(SBC) nờn nú c t m t ph ng (SBC) theo giao tuy n BC song song v i AD. ã M t khỏc AD SA; ADAB nờn AD(SAB) hay ADAB ã V y ADCB l hỡnh thang vuụng. ã Ta cú th tớch kh i chúp S.ABCD l 3 3 3 a V = / / 2 2 1 / / / / 2 2 1 2 3 2 2 / 1 1 2 2 . 4 . 3 3. . . 6 24 4 4 SABC SAB C V V SB SC SB a V V SB SC SB x x a x a x V V a a = = = = = = = / 2 / / / 2 2 / 2 2 2 . 3 . 2 12 SACD SAC D V V SC SB a V x V SC SB x a x V V a = = = = = = ã V y / / / / 1 2 3(2 3 ) 12 SAB C D ax a x V V V + = + = 1,5 i m Cõu 2 ã Do ABCD l hỡnh thang vuụng, nờn / / / / / 1 ( ) 2 AB C D S AD B C AB= + ã p d ng nh lớ cosin cho tam giỏc SBA, ta c: ã / 2 / 2 2 / 2 2 / 2 2 2 3 2 . .cos 3 2 3 2 3 3 a AB SB SA SB SA ASB x a xa a AB a x ax = + - = + - = + - ( ) ( ) / / / / / / / 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 1 2 3 3 4 AB C D AB C D x S AD B C AB a a x ax S x a a x ax ổ ử ữ ỗ ữ = + = + + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = + + - ã Xột hm s : ( ) 2 2 1 2 3 3 4 y x a a x ax= + + - v i 0;2a ộ ự ờ ỳ ở ỷ 2,5 i m 5 S A B C D B' C' / 2 2 2 2 2 2 / 2 2 2 / 2 2 1 ( 2 )(2 3 ) 3 3 4 8 3 3 2(3 3 ) ( 2 )(2 3 ) 8 3 3 4 5 8 3 3 x a x a y a x ax a x ax a x ax x a x a y a x ax x ax y a x ax + - = + - + + - + - + + - = + - - = + - / 2 0 0 4 5 0 5 4 x y x ax a x é = ê ê = Û - = Û ê = ê ë ( ) 2 2 2 3 5 13 13 (0) ; ; 2 2 4 64 a a a y y y a a ỉ ư ÷ ç ÷ = = = ç ÷ ç ÷ ç è ø · V y ậ 2 / 13 13 5 5 min khi hay 64 4 4 a a a y x SB= = = thì di n ệ tích t giác AB’C’D bé nh t.ứ ấ 1. Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn. ------------------------------------------ 6 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 AN GIANG Khóa ngày: 27/11/2010 MÔN TOÁN A. HƯỚNG DẪN CHẤM: Bài 1 Cho hàm s : ố 2 3 1 x mx y x. / 2 / / / 2 2 / 2 2 2 . 3 . 2 12 SACD SAC D V V SC SB a V x V SC SB x a x V V a = = = = = = ã V y / / / / 1 2 3(2 3 ) 12 SAB C D ax a x V V V + = + =