Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án)

Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án) Đề thi HSG Toán 12 tỉnh Cao Bằng 20142015 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG

http://tinhbg.violet.vn

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 -THPT NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

( Đề gồm 01 trang)

Câu I (4,0 điểm): Cho hàm số 1

1 2

x y

x





1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

2 Chứng minh đường thẳng ( ) :d x  y m 0 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A B, với mọi m Tìm m sao cho AB OA OB , với O là gốc tọa độ

Câu II (4,0 điểm):

4(sin xcos x) 3 sin 4x2 (x )

2 Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 03 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách

chọn 3 em trong lớp đi trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp

Câu III (3,0 điểm): Cho phương trình 22x12x32m0 (với m là tham số) (2)

1 Giải phương trình với m32

2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

Câu IV (4,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a

Câu V (3,0 điểm): Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp

hình trụ để đựng thịt bò có thể tích V cho trước Tính bán kính đáy và chiều cao hình

trụ để tốn ít vật liệu nhất

Câu VI (2,0 điểm): Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz1 Chứng minh rằng:

1

Hết

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên, chữ kí của giám thị 1:

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

TỈNH LỚP 12 - THPT NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn: TOÁN

I

(4,0

điểm)

1)

(2,0

điểm)

Với x   0 y 1 Tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung là (0;-1)

Ta có 1 2

' (1 2 )

y

x





 ; y'(0) 1 Phương trình tiếp tuyến: y y'(0)(x 0) 1 hay y  x 1

2)

(2,0

điểm) Phương trình hoành độ giao điểm:

2 1

1 2

x

x



         , nên (*) có 2 nghiệm

phân biệt khác 1

2, suy ra ( )d luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân

biệt A, B với mọi m

Ta có A x x( ;1 1m B x x), ( ;2 2m) với x x1, 2 là hai nghiệm của (*)

Theo Viet ta có

1 2

1

2

m

x x

  







Gọi M là trung điểm của AB,

AB OA OB  AB OM  OM  OAB vuông tại O

2

2 x x m x( x ) m 0 m 1 0 m 1

Kết luận m 1

II

(4,0

điểm)

1)

(2,0

điểm) Phương trình tương đương:

4[(sin xcos x) 2sin xcos x] 3 sin 4x2

2 1 4(1 sin 2 ) 3 sin 4 2

cos 4x 3 sin 4x 1

cos 4 sin 4 sin( 4 ) sin

12 2

  



 

   



2)

(2,0

điểm) - Chọn 3 học sinh trong đó chỉ có 1 cán bộ lớp có số cách chọn:

1 2

3 27

C C 1053

- Chọn 3 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp có số cách chọn: C C32 127 81

- Chọn 3 học sinh cả 3 đều là cán bộ lớp có 1 cách chọn

Vậy số cách chọn học sinh đi trực tuần theo yêu cầu của bài toán là:

1053+81+1= 1135 (cách chọn)

III

(3,0

điểm)

1)

(2,0

điểm)

Biến đổi phương trình (2) về dạng 2

2 x 4.2x  m 0 (*) Đặt t2x, điều kiện t0, khi đó phương trình (*) có dạng: 2

t   t m (**) Với m32, phương trình (*) có dạng: 2

t  t   t t  (loại)

Với t 8 2x   8 x 3

2)

(1,0

điểm)

Phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt (**) có hai nghiệm dương phân biệt

m

IV

(4,0

điểm)

1)

(2,0

điểm)

60°

E O

H

I

C

A

D

B

S

K

Gọi H là trọng tâm tam giác ABD, I là trung điểm AB

.tan tan 60

o

Suy ra

3 2

V  SH S  a  (đvtt)

2)

(2,0

điểm)

Từ H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại E Trong tam giác SHE kẻ đường cao HK

Ta có





 ( ) ( ;( ))

Ta có 2 2

a

HE AB Trong ta giác vuông SHE

57

a HK

( ;( )) ( ;( ))

d A SBC d H SBC

V

(3,0

điểm)

Gọi h, x lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hộp hình trụ Vỏ hộp gồm

phần xung quanh và hai đáy có tổng diện tích là 2

S  xh x Vật liệu sản xuất hộp là ít nhất nếu S là nhỏ nhất

Thể tích của hộp: 2

V x h (cho trước) Từ đó ta có: 2 2

2

V

2

V

  là hàm số theo biến x

Ta có

3





3 ' 0

2

V



   Bảng biến thiên:

Vậy 3

2

V x



h



 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn

VI

(2,0

3

3

3

x a

y b

z c

 







 



, từ giả thiết ta có: , , 0

1

a b c abc





 Bài toán đưa về chứng minh bất đẳng thức:

1

Ta có:

2

a b c ab

 

Suy ra 3 13 1

a b  ab a b c

Tương tự ta có:

3 3

b c bc a b c

c a  ca a b c

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

1

1

a b c

a b c abc

 

(đpcm)

Hết