Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC.. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1.. Gọi M, N lần
Trang 1SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình: 2009x( x2 + −1 x) = 1
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
( )
2
x y m
y x xy m x
+ =
+ + = +
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương , ,x y z Chứng minh rằng:
9
x y z+ + ≥ x y y z x z
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho dãy số ( )x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: n
i, x = 21
2 ( 1) ( 1)
n n
x
n n
−
=
− với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Tính limun với un = (n+1)3 x n
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất
Câu 6 (3,0 điểm).
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm
Q sao cho PQ song song với CM Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP
Câu 7 (2,0 điểm).
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi
số thực x, y Chứng minh rằng 2f(x) + x2 ≥ 2 với mọi số thực x thuộc ;
2 2
π π
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức