ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8 LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 - 2008 Bài 1 : (8 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = x 2 – x – y 2 – y a2) B = x 2 – 5x + 6 b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. c) Cho a = { ncs1 11 .1 ; b = n 1cs0 100 .05 − 14 2 43 . Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương. Bài 2 : (8 điểm) a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c (trong đó a, b, c khác 0) Tính : D = x 2 + y 2 + z 2 b) Cho abc = 2. Tính giá trị của biểu thức sau : = + + + + + + + + a b 2c E ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức : = + + 2 2 2 a b c F bc ca ab Bài 3 : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh : S ABM = S ACM . b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H. Chứng minh rằng : + + = HA ' HB' HC' 1 AA ' BB' CC' Hết Họ và tên : …………………………………………………………………Lớp : ………………. Ngày kiểm tra : …………………. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8 LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 – 2008 Bài 1 : (8 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = (x 2 – y 2 ) – (x + y) 0.50 = (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75 = (x + y)(x – y – 1) 0.75 b) Cho abc = 2. Tính giá trị của biểu thức sau: = + + + + + + + + a b 2c E ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 = + + + + + + + + a ab 2c ab a 2 abc ab a ac 2c abc 1.00 = + + + + + + + + a ab 2c ab a 2 2 ab a c(a 2 ab) 1.00 = + + + + + + + + a ab 2 ab a 2 ab a 2 ab a 2 0.50 + + = = + + ab a 2 1 ab a 2 0.50 b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H. Chứng minh rằng : + + = HA ' HB' HC' 1 AA ' BB' CC' Ta có : S = S ABC = 1 BC.AA ' 2 0.25 a2) B = x 2 – 2x – 3x + 6 0.50 = (x 2 – 2x) – (3x – 6) 0.50 = x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50 = (x – 2)(x – 3) 0.50 b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Gọi số lẻ có dạng 2k + 1 (k ∈ N) 0.50 Ta có : 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 – k 2 1.00 = (k + 1) 2 – k 2 0.50 H C' B' A'B C A c) Cho { ncs1 a 11 .1= ; n 1cs0 b 100 .05 − = 14 2 43 . Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương. Ta có : 9a + 1 = 10 n 0.50 ncs0 b 100 .00 5 = + 14 2 43 0.25 = 10 n + 5 = 9a + 6 0.25 C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25 C = 9a 2 + 6a + 1 = (3a + 1) 2 0.50 C = { 2 n 1cs3 33 .34 − 0.25 c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức : = + + 2 2 2 a b c F bc ca ab = + + 3 3 3 a b c abc abc abc 0.75 + + = 3 3 3 a b c abc 0.50 Mà : a + b + c = 0 Suy ra : a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 1.00 + + = = 3 3 3 a b c 3abc abc abc 0.50 = 3 0.25 Bài 2 : (8 điểm) a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c Tính : D = x 2 + y 2 + z 2 Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy ra : x 2 y 2 z 2 = abc x 2 y 2 = a 2 0.25 y 2 z 2 = b 2 0.25 z 2 x 2 = c 2 0.25 Do đó : x 2 b 2 = abc 0.25 a 2 z 2 = abc 0.25 y 2 c 2 = abc 0.25 Hay : 2 ac x b = ; 2 ab y c = ; 2 bc z a = 0.25 Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ac ab bc a b b c c a x y z b c a abc + + + + = + + = 0.25 Bài 3 : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh : S ABM = S ACM . Kẻ AH ⊥ BC 0.25 Ta có : = ABM 1 S AH.BM 2 0.50 = ACM 1 S AH.CM 2 0.50 Mà : BM = CM (AM là trung tuyến) Vậy : S ABM = S ACM 0.25 H M B C A . chính phương. Ta có : 9a + 1 = 10 n 0.50 ncs0 b 100 .00 5 = + 14 2 43 0.25 = 10 n + 5 = 9a + 6 0.25 C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25 C = 9a 2 + 6a + 1 = (3a. …………………. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8 LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 – 2008 Bài 1 : (8 điểm) a) Phân tích