ĐỀ, ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN (2011-2012)

Họ làm với nhau được 30 phút thì người thứ nhất phải đi làm việc khác, người thứ hai phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Từ một điểm M trên cung nhỏ. AC hạ MD và ME lần lượ[r]

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

TÂN YÊN Năm học: 2011 - 2012

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức P

3 3

1

2

x x x x

x x x x x

     

     

     

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2:(4 điểm)

a) Giải phương trình sau: x9 7  x2

b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: x2y 3x4y 96

Câu 3: (4 điểm) Hai người làm chung cơng việc sau 12 phút hoàn thành Họ làm với 30 phút người thứ phải làm việc khác, người thứ hai phải làm thêm 45 phút xong 75% cơng việc Hỏi người làm hồn thành cơng việc

Câu 4: (4 điểm)

Cho  ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm M cung nhỏ

AC hạ MD ME vuông góc với BC AC

a) Chứng minh điểm M, E, D, C thuộc đường tròn b) Gọi I J trung điểm AB ED Chứng minh MJ  IJ Câu 5: (2 điểm) Cho  ABC (AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM

thoả mãn góc BAH = HAM = MAC Hãy tính góc  ABC Câu 6: (2 điểm) Cho A

1 1

1

2 120

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9

Câu 1:

a) Đặt điều kiện cho ẩn (0.25đ)

Biến đổi thành P    

3 3

2

2

x x x x

x x x x            (0.25đ)            

3 3 1 2

2

x x x x x x

x x            (0.25đ)        

3 3

2

x x x x x x

x x x x

              (0.5đ)        

1 1

1

2

x x x

x x x         (0.5đ)

Kết luận: … (0.25đ)

b) Biến đổi P

1 1 x x x    

  (0.5đ)

Để P nhận giá trị nguyên x1 Ư(2)

Mà Ư(2)  1; 2 (0.5đ)

Từ tìm x0; 4;9 (0.5đ)

Đối chiếu điều kiện, kết luận: … (0.5đ)

Câu 2:

a) Đặt điều kiện cho ẩn (0.25đ)

Chuyển vế bình phương 2x11 2 x9 x2 49 (0.5đ)

 19 x x9 x2 (0.25đ)

Với điều kiện x19 bình phương hai vế được

2

361 38 x x x 11x18 (0.25đ) 343 49x x

    (0.5đ)

Đối chiếu điều kiện kết luận: … (0.25đ)

b) Đặt A  x 2y, B 3x4y (A, B  N) (0.25đ)

Ta có A.B = 96, biến đổi x, y theo A, B ta có   B - 2A

1

y = 3A - B x      (0.5đ)

Do x > nên B > 2A => 2A2 < 96 => A2 < 48 (0.25đ) Do y > nên B < 3A => 3A2 > 96 => A2 > 32 (0.25đ)

=> A2 = 36 => A = 6 (0.25đ)

Từ tìm đươc B, x, y Kết luận: … (0.5đ)

Câu 3:

Gọi thời gian người 1, người làm hồn thành cơng việc x, y (giờ)

Trong người làm số công việc    

1

CV CV

x y (0.25đ)

Lập luận phương trình:

1

x y  (1) (0.25đ)

Sau 30’ 

h hai người làm

12(CV) (0.25đ)

Sau 45’ 

h người hai làm

4y(CV) (0.25đ)

Lập luận phương trình

5 3

12 4 y 4 (0.25đ)

Từ tính y 

; x 18

7 

(0.25đ)

Đối chiếu điều kiện trả lời: … (0.25đ)

Câu 4:

a) MD  AC => MDC = 900 => M, D, C thuộc

đường trịn đường kính MC (0,75đ) ME  BC => MEC = 900 => M, E, C thuộc

đường trịn đường kính MC (0,75đ) => điểm M, D, E, C thuộc đường trịn đường

kính MC (0,5đ)

b) Hạ MK  AB => tứ giác MDEC, MDAK

nội tiếp, EDC = EMC, ADK= AMK

Lại có KAM = MCE =>  AKM  CEM => EMC = KMA

Suy ADK = EDC => K, D, E thẳng hàng (1đ)  MDE  MAB (MBA = MCD = MED; MAB = MDE bù MCB) =>

AM DM =

AI DJ , kết hợp MAI = MDJ =>  AMI  DMJ => AIM = DJM => Tứ giác MJIK nội tiếp => MJI + MKI = 900 => MỊ = 900

Hay IJ  MJ (1đ)

Câu 5:

Gọi N TĐ AB => MN // AC (1) => MAC = AMN

 ANH cân N => HAB = AHN N

H C

A

M B

K

J

I D

E O

B A

=> AMN = AHN => tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (0,75đ) => AHM = ANM = 900

=> MN  AB (2) (0,75đ)

Từ (1), (2) => AB  AC => BAC = 900

Do BAH = HAM = MAC = 300

Từ tính góc ABC = 600, ACB = 300 (0,5đ) Câu 6:

A

1 1 2 2

1

2

2 120 2 120

         

(0,5đ)  A

2 2

1 2 3 120 121

    

    (0,5đ)