Đang tải... (xem toàn văn)
Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB.. Chứng minh rằng ABCD là một hình vuông có tâm O...[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 m¤N: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Bài ( điểm): a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + = 4(x – y) b) Cho x, y là hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x2 y2 xy A xy Tính giá trị biểu thức c) Cho a > b > Trong hai số sau số nào lớn a a a n 1 b b b n A B a a a n và b b2 bn Bài ( điểm): ax b a(x 1) x (1) Cho phương trình: x x a) Giải phương trình a = 2; b = - b) Giải và biện luận phương trình (1) Bài ( 3,5 điểm): a) Cho A = a2 + b2 + c2 , đó a;b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b Chứng minh A là số chính phương lẻ b) Cho số tự nhiên n > Chứng minh n = 10a + b ( < b < 10) thì tích a.b chia hết cho Bài ( điểm): Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F là hình chiếu A’ lên AC và AB Chứng minh rằng: a) AA'C BAC từ đó suy AC2 = CA’.CB CE AC b) BF AB c) D là điểm nằm trên cạnh huyền BC; M,N là hình chiếu D lên AB và AC Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài ( 1.5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm tứ giác cho OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh ABCD là hình vuông có tâm O Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KI THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012 hƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN Bài a) * §K: x -1; y 1; x+y 0 ( điểm) 2 2 A x (1 x) y (1 y) x y (x y) (x y)(1 y)(1 x) x x3 y y3 x y (x y) A (x y)(1 y)(1 x) A (x y ) (x3 y3 ) x y (x y) (x y)(1 y)(1 x) A (x y)(x y) (x y)(x xy y ) x y (x y) (x y)(1 y)(1 x) A (x y)(x y x xy y x y ) (x y)(1 y)(1 x) (x y) (x xy) (y y ) (x x y ) A (x y)(1 y)(1 x) (x y)(1 y)(x y x x y) A (x y)(1 y)(1 x) (x y)(1 y)(1 x)(x y xy) A (x y)(1 y)(1 x) A x y xy b) A 2 x y xy 2 x y xy 0 (1 y)(x 1) 1 V× x, y nguyªn (1 y 1 vµ x-1=1) hoÆc (1+y=-1 vµ x-1=-1) 0,5 đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ y=0 vµ x=2 hoÆc y=-2 vµ x=0 ( t/m điều kiện) Vậy x=2; y=0 hoÆc x=0; y=-2 thì A=2 Bài (4 điểm) x 60 x 50 x 10 x 0 30 10 18 a) 40 x 60 x 50 x 10 x 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 40 30 10 18 x 20 x 20 x 20 x 20 0 40 30 10 18 1 1 (x 20)( ) 0 40 30 10 18 (x 20) 0 x 20 Vậy Tập nghiệm pt: S 20 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ (3) 1 1 b)Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: a b c abc Cứng minh rằng: a b c2 2đ là số chính phương 1 1 ab bc ca 1 Ta có: a b c abc a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c) b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c) c2 ab bc ca c2 b(a c) c(a c) (a c)(b c) (1 a )(1 b )(1 c2 ) (a b)2 (b c)2 (a c)2 (a b)(b c)(c a) Vì a, b, c là các số nguyên (a b)(b c)(c a) Z 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (1 a )(1 b )(1 c2 ) là số chính phương A D H F O B K -Vẽ hình sai không chấm a) C/m: AHB đồng dạng với EOF C E I E, F lµ trung ®iÓm cña BC, AC (gt) EF lµ ® êng trung b×nh cña ABC EF//AB BAC EFC (1) BH AC(gt) BAC ABH 90 Do (2) Bài Lại có: OF AC ( t/c ® êng trung trùc) EFC OFE 90 (3) ( điểm) Từ (1) (2) (3) ABH OFE (4) - Chứng minh tương tự: BAH OEF (5) - Từ (4) và (5) Suy AHB đồng dạng với EOF (g.g) b) C/m điểm H, E, I thẳng hàng * FA=FC(gt); OA=OI (gt) OF là đg trung bình tam giác ACI CI / / 2OF (a) * BH / /OF ( AC) (b) BH AB BH 2OF OF EF (b) * AHB đồng dạng với EOF - Từ (a) (b) (c) BH / / IC - Vậy E là trung điểm đường chéo BC nên E là trung điểm HI Vậy H, E, I thẳng hàng 2đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ (4) BC c) C/m: - Chứng minh được: ABK CHK AK CK KH.KA BK.CK BK KH (BK CK)2 BC BK.CK 4 Mà: 1đ KH.KA KH.KA Bài (2điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ BC 0,25đ B C M O N E 2đ G A D F Kẻ BM//EF; DN//EF 0,5đ AD AN FG//DN AF AG AB AM EG//BM AE AG AD AB AN AM (1) AF AE AG - Chứng minh được: ADN CBM(g.c.g) AN CM 0,25đ Bài (4điểm) 0,25đ 0,25đ (2) AD AB CM AM AD AB AC = AF AE AG AF AE AG - Từ (1) và (2) a) Cho số a, b, c thoả mãn abc=2012 Tính giá trị biểu thức : 2012a b c ab 2012a 2012 bc b 2012 ac c abc.a b c S ab abc.a abc bc b abc ac c Thay 2012=abc abc.a b c S ab(1 ca c) b(c ac) ac c ac c S ca c c ac ac c ac c S 1 ca c S b)Cho các số không âm thoả mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng: b c 16abc Ta cã : b c (b c) a (b c) Áp dụng BĐT: 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (1) a (b c) 0,25đ 2đ (A B)2 4AB 0,25đ 4a(b c) 0,5đ (5) V× b,c kh«ng ©m b c 0 (b c) a (b c) 4a(b c)2 4a.4bc (2) Từ (1) và (2) b c 16abc 0,5đ 0,5® (6)