Đề thi và đáp án HSG toán 8 2008-2009(Bỉm Sơn)

Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan PHÒNG GIÁO DỤC BỈM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu1:( 5điểm) 1.Chứng minh rằng: (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 ) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ. 2.So sánh : 1100 1100 14 14 . 13 13 . 12 12 3 3 3 3 3 3 3 3 − + − + − + − + =A Với 2 3 Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2. Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z ∈ Z + thỏa mãn các phương trình sau: 1/ xy - 4x = 35 - 5y 2/ x + y + z = xyz Câu 4:(4điểm) 1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x 2 +5y 2 2/ Cho a+b=1 Chứng minh: 3 )2(2 11 2233 + − = − + − ba ab a b b a Câu 5: (4điểm) Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đường thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E ADF;AB ∈∈ ). Chứng minh : Các đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy. ĐÁP ÁN Câu 1:1 Biến đổi: B = (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a)  3 * a,b,c chẵn thi a + b; b + c ;c + a đều là các số chẵn nên B  8 * a,b,c lẻ thì a + b; b + c; c + a đều là các số chẵn nên B  8 Mà (3;8)=1 ⇒ B 24 2: Ta có: 1100 1100 14 14 . 13 13 . 12 12 3 3 3 3 3 3 3 3 − + − + − + − + =A = 10101.99 9901.101 21.3 13.5 . 13.2 7.4 . 7.1 3.3 A= 10101 21.13.7 9001 13.7.3 . 99 4.3.2.1 101 5.4.3 = 10101 10100 . 2 3 10101 3 . 2 101.100 = < 2 3 Câu 2: a + b + c = 2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c > 0 ⇒ a < 1, b < 1, c < 1 ⇒ (1-a) (1-b)(1-c) > 0 ⇒ ⇔ 1 - (a + b + c) + ab + ac + bc - abc > 0 ⇔ -1+ 0 22 222222 >− ++ −+++ ++ abc cba bcacab cba ⇔ -1+ ( ) 0 22 222 2 >− ++ − ++ abc cbacba ⇔ 1 0 2 222 >− ++ − abc cba Hay : a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. Câu 3:1/ Biến đổi phương trình về dạng (x + 5)(y - 4) = 15 xét các trường hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7) 2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x zy ≤≤ Suy ra : xyz=x+y+z 33 ≤⇒≤ xyz (*) Nếu x=y=z 3;03 23 ==⇒=⇒ xxxx Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba Số không bằng nhau. Từ (*) 13 =⇒〈⇒ xyxy hoặc xy=2. Nếu xy=1 1==⇒ yx (vì x,y + ∈Z ) 2+=⇒ zz (vô lí ). Nếu xy=2 2;1 ==⇒ yx (vì x<y) Khi đó :2z=z+3 3z =⇒ Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó. Câu 4: 1/Có x= 4 37 y+ khi đó M= 8 494249 2 ++ yy = ( ) 55 8 37 2 ≥+ +y Vậy Mmin = 5 khi y = 7 3 2/Có a=1-b Vế trái : ( ) 33 1 1 1 11 1 1 11 223333 +− − ++ = −− + − − = − + − bbbb b b b b a b b a = ( ) ][ ( ) ( ) 3 22 31 212 222 2 + − = +− −− ba ab bb bb Suy ra ddpcm Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM và BC ; BF và DE lần lượt là E / ;F / và O Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME / CF / bằng nhau MEFMCEMCEEFM ∠=∠⇒∆=∆⇒ // EFCM ⊥⇒ (1). Mặt khác hình chữ nhật AE E / D bằng hình chữ nhật CF / FD DECFDCFADEDFCAED ⊥⇒∠=∠⇒∆=∆⇒ .Tương tự có:FB 0 ⇒⊥ CE là trực tâm tam giác CEF EFCO ⊥⇒ (2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy. A B C D M O F / / E / F E . đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy. ĐÁP ÁN Câu 1:1 Biến đổi: B = (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a)  3 * a,b,c chẵn thi a + b; b + c ;c + a đều là các số chẵn nên B  8 * a,b,c lẻ thì. ) 3 22 31 212 222 2 + − = +− −− ba ab bb bb Suy ra ddpcm Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM và BC ; BF và DE lần lượt là E / ;F / và O Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME / CF / bằng nhau MEFMCEMCEEFM ∠=∠⇒∆=∆⇒ // EFCM ⊥⇒ (1). Mặt. dowload các tài liệu liên quan Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó. Câu 4: 1/Có x= 4 37 y+ khi đó M= 8 494249 2 ++ yy = ( ) 55 8 37 2 ≥+ +y Vậy Mmin = 5 khi y = 7 3 2/Có a=1-b Vế