Tiêu chuẩn eisenstein về tính bất khả quy của đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN KHẮC HƯỞNG TIÊU CHUẨN EISENSTEIN VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN KHẮC HƯỞNG TIÊU CHUẨN EISENSTEIN VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2018 Möc lửc Lới nõi u Chữỡng Tiảu chu'n Eisenstein 1.1 a thøc b§t kh£ quy 1.2 Ti¶u chu'n Eisenstein 1.3 Làch sß ph¡t hi»n v chøng minh Ti¶u chu'n Eisenstein Chữỡng Mt s m rng ca tiảu chu'n Eisenstein 11 14 18 2.1 Mð rºng cho tr÷íng hỉp a thức vợi hằ s nguyản 2.2 Min phƠn tch nhĐt (UFD) 2.3 Mð rºng cho trữớng hổp a thức vợi hằ s trản UFD 2.4 V“n dưng x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc K‚t lu“n 18 25 29 31 45 T i li»u tham kh£o 46 L˝IC MÌN Lu“n vôn Tiảu chu'n Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy ca a thøc ÷ỉc thüc hi»n t⁄i Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TS Lả Th Thanh Nh n T¡c gi£ xin ÷ỉc b y tä lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca m nh Cổ  d nh nhiu thới gian hữợng dÔn v tn tnh gi£i ¡p nhœng th›c m›c cıa t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh l m lu“n v«n Lu“n v«n cıa tỉi ÷ỉc ho n th nh cơng nhí sü ỉn Łc nhc nh v hữợng dÔn nhiằt tnh ca cổ TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu Trữớng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n - Tin, còng c¡c thƒy, cỉ ¢ tham gia gi£ng d⁄y, ¢ t⁄o i•u ki»n tŁt nhĐt tĂc giÊ hồc v nghiản cứu Tổi cơng xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u v cĂc ỗng nghiằp Trữớng THPT Qu Vê s - Bc Ninh  to iu kiằn cho tổi ho n th nh tŁt nhi»m vö håc t“p cıa m…nh NhƠn dp n y, tổi cụng xin gòi lới cÊm ìn tỵi t“p th” lỵp cao håc To¡n K10C (khâa 2016 - 2018), c£m ìn gia …nh v b⁄n b–  ng viản giúp ù tổi rĐt nhiu quĂ tr…nh håc t“p Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn! Líi nâi ƒu Trong c¡c k… thi håc sinh giäi c§p quŁc gia, quŁc t‚, c¡c k… thi Olympic to¡n sinh viản gia cĂc trữớng i hồc th cĂc b i toĂn liản quan n a thức thữớng xuyản ữổc • c“p v ÷ỉc xem nh÷ l nhœng b i toĂn khõ Trong lỵ thuyt a thức th a thức bĐt khÊ quy õng mt vai trặ quan trồng ging nhữ vai trặ ca s nguyản t cĂc s nguyản CĂc b i toĂn v xt tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức trản cĂc trữớng s C v R  ữổc giÊi quyt t ngữới ta chứng minh ữổc nh lỵ cỡ bÊn ca i sŁ v chøng minh ho n ch¿nh n y ÷ỉc ÷a bði Gauss n«m 1816 Nh÷ng c¡c b i toĂn v tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức trản Q vÔn ang thò thĂch cĂc nh toĂn hồc th giợi Vợi cĂc lỵ trản, tổi  chồn t i Tiảu chu'n Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy cıa a thøc tr¶n Q Mưc ‰ch cıa lu“n v«n l tr…nh b y l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ gn Ơy v nhng m rng ca tiảu chu'n Eisenstein cho t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc n n1 Ti¶u chu'n Eisenstein ph¡t bi”u r‹ng, n‚u f x a nx a n 1x a1x a0 l a thøc vỵi h» sŁ nguy¶n cho câ mºt sŁ nguy¶n tŁ p thọa mÂn p l ữợc ca vợi mồi i n, p khổng l ữợc ca an v p khổng l ữợc ca a0, th f x bĐt khÊ quy trản trữớng hu t Q Lun vôn nghiản cứu n cĂc vĐn sau Ơy: pq pq VĐn M rng tiảu chu'n Eisenstein cho trữớng hổp s nguyản t p khổng l ữợc ca mt hằ s ak vợi k l mt s tỹ nhiản tũy þ khỉng nh§t thi‚t b‹ng n v p khỉng l ữợc ca at vợi t tũy ỵ khổng nhĐt thi‚t b‹ng (düa theo t i li»u [1], [4] v [5]); VĐn M rng tiảu chu'n Eisenstein cho tr÷íng hỉp h» sŁ cıa a thøc thuºc mt phƠn tch nhĐt tũy ỵ (khổng nhĐt thit l Z cĂc s nguyản) T õ xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức nhiu bin (dỹa theo t i liằu [6]); VĐn Trnh b y lch sò phĂt hiằn v chứng minh Tiảu chu'n Eisenstein (dỹa theo t i liằu [3]) Lun vôn gỗm hai ch÷ìng Trong Ch÷ìng 1, chóng tỉi nh›c l⁄i kh¡i niằm a thức bĐt khÊ quy, Tiảu chu'n Eisenstein v lch sò phĂt hiằn v chứng minh Tiảu chu'n Eisenstein Chữỡng l ni dung chnh ca lun vôn, nảu mºt sŁ mð rºng cıa ti¶u chu'n Eisenstein Ti‚t ƒu d nh ” mð rºng cho tr÷íng hỉp a thøc vợi hằ s nguyản Tit 2.2 trnh b y cĂc khĂi niằm v phƠn tch nhĐt, chu'n b cho viằc m rng tiảu chu'n vợi trữớng hổp a thức vợi hằ s trản UFD Tit cui trnh b y v“n dưng c¡c mð rºng tr¶n ” x†t tnh bĐt khÊ quy ca a thức Ni dung nghiản cøu ch÷a ÷ỉc ti‚p c“n ð b“c phŒ thỉng v i hồc, gn lin vợi toĂn sỡ cĐp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 TĂc giÊ Nguyn Khc Hững Chữỡng Tiảu chu'n Eisenstein Mửc tiảu ca Chữỡng l trnh b y v a thức bĐt khÊ quy v Tiảu chu'n Eisenstein Trong tit u ca chữỡng chóng tỉi nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v• a thức bĐt khÊ quy v mt s phữỡng phĂp chứng minh a thøc b§t kh£ quy Ti‚t ti‚p theo d nh ” tr…nh b y Ti¶u chu'n Eisenstein Trong phƒn cui chữỡng chúng tổi trnh b y lch sò phĂt hi»n còng c¡c chøng minh Ti¶u chu'n Eisenstein 1.1 a thøc b§t kh£ quy a thøc b§t kh£ quy âng mt vai trặ quan trồng ging nhữ vai trặ ca sŁ nguy¶n tŁ v nh Z c¡c sŁ nguy¶n Nhí ành l‰ cì b£n cıa sŁ håc, ” nghi¶n cøu v nh c¡c sŁ nguy¶n th… ta câ th” xuĐt phĂt t cĂc s nguyản t Tữỡng tỹ nhữ th‚ ” nghi¶n cøu v nh a thøc th… ta s i nghiản cứu cĂc a thức bĐt khÊ quy Trong suŁt ti‚t n y, luæn gi£ thi‚t V l nguyản, tức V l v nh giao hoĂn khĂc v n‚u a; b l hai phƒn tß cıa V th… ab Ta câ kh¡i ni»m a thøc b§t kh£ quy v nh a thøc V x Chú ỵ rng V x l nguyản Nºi dung cıa ti‚t n y ÷ỉc tham kh£o tł t i li»u [1] tu rs pq P pq pq rs rs ành ngh¾a 1.1.1 Cho f x V x l a thøc kh¡c v khæng kh£ nghàch Ta nõi f x l bĐt khÊ quy trản V nu nõ khổng cõ ữợc thỹc sỹ Ta nõi f x khÊ quy nu f x cõ ữợc thỹc sỹ pq Chú ỵ rng tnh bĐt khÊ quy ca a thøc phư thuºc v o v nh cì sð Chflng hn, a thức 2x l bĐt khÊ quy trản trữớng Q Tuy nhiản 2x khổng bĐt khÊ quy tr¶n v nh Z bði v… c¡c a thøc v x u l ữợc thỹc sỹ ca 2x Tữỡng tỹ, a thức x l bĐt khÊ quy trản R khổng bĐt khÊ quy trản C p q l b§t kh£ quy n‚u v ch¿ nu fpx aq l bĐt khÊ quy vợi B 1.1.2 a thøc f x måi a V P V… mỉi phn tò khĂc mt trữớng u khÊ nghch, nản t nh nghắa a thức bĐt khÊ quy ta câ k‚t qu£ sau pq pq¡ pq BŒ • 1.1.3 a thức f x vợi hằ s trản mt trữớng K l bĐt khÊ quy nu v ch nu deg f x v f x khỉng ph¥n t‰ch ÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc câ b“c b hỡn Chú ỵ rng a thức bc nhĐt vợi hằ s mt trữớng u cõ nghiằm V th ta cõ kt quÊ sau B 1.1.4 Trản mt tr÷íng K, c¡c ph¡t bi”u sau l óng i) a thøc b“c nh§t ln b§t kh£ quy ii) a thøc b“c v b“c l b§t kh£ quy n‚u v ch¿ n‚u nâ khæng câ nghi»m K Ti‚p theo chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ ph÷ìng ph¡p xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức trản cĂc s hu t Q Trữợc ht ta nhc li khĂi niằm a thức nguyản bÊn rs nh nghắa 1.1.5 Mºt a thøc kh¡c khæng v nh Z x ÷ỉc gåi l nguy¶n b£n n‚u c¡c h» sŁ cıa nõ cõ ữợc chung lợn nhĐt bng B 1.1.6 T‰ch cıa hai a thøc nguy¶n b£n l a thức nguyản bÊn p q P Zrxs GiÊ sò ppxq gpxqfpxq vợi gpxq; fpxq P Qrxs Khi õ tỗn ti gpxq; fpxq P Zrxs cho BŒ • 1.1.7 (BŒ • Gauss) Cho p x pq deg g x pq pq deg g x ; deg f x p q v ppxq gpxqfpxq: deg f x pq °c bi»t, n‚u p x l kh£ quy tr¶n Q th… nâ phƠn tch ữổc th nh t ch ca hai a thức vợi hằ s nguyản cõ bc thĐp hỡn p q af1pxq v gpxq bg1pxq, â a; b P Q v f1pxq; g1pxq P Zrxs l c¡c a thøc nguy¶n b£n Khi â f1pxqg1pxq l a Chøng minh Vi‚t f x thức nguyản bÊn (theo B 1.1.6) Rê r ng ppxq abf1pxqg1pxq Ta chøng minh ab P Z Tht vy, giÊ sò ab R Z Khi l phƠn sŁ tŁi gi£n v s ¡ 1: Vi‚t f1pxqg1pxq n a nx P Zrxs â ab r vỵi r s s ::: a1x a0 V… f1pxqg1pxq l nguy¶n b£n n¶n gcdpan; an 1; :::; a0q V… ppxq P Zrxs n¶n ta câ ran ; :::; ra1 ;ra0 Z Suy s l ữợc chung ca an; :::; a1; a0, s s s P i•u n y l vỉ l‰ V“y ab P Z °t fpxq abf1pxq v gpxq g1pxq Khi pq pqpq p q p q P Zrxs v deg fpxq deg fpxq v â p x f x g x vỵi f x ; g x deg gpxq deg gpxq l a thức vợi hằ s nguyản n Chú ỵ rng nu f x anx ::: a1x a0 l nh“n ph¥n sŁ tŁi gi£n p l m nghi»m th p l ữợc ca a0 v q l ữợc cıa q nghi»m an °c bi»t, n‚u an th… mồi nghiằm hu t ca fpxq u l nguyản Viằc sò dửng B Gauss xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức trản Q pq l phữỡng phĂp hu hi»u Mºt sŁ v‰ dư minh håa cho ph÷ìng ph¡p n y chóng ta câ th” xem t i li»u [1] Sau ¥y l mºt sŁ v‰ dư kh¡c pq V‰ dö 1.1.8 Chøng minh a thøc p x x x bĐt khÊ quy trản Q p q câ nghi»m hœu t th… nghi»m â ph£i l nghi»m nguy¶n Líi gi£i N‚u p x (do h» sŁ cıa sŁ h⁄ng cao nh§t b‹ng 1) v l ÷ỵc cıa sŁ h⁄ng tü Ki”m tra lƒn pq lữổt cĂc ữợc ca l 1; thĐy chúng khæng l nghi»m cıa p x Do â p q khæng câ nghi»m hœu t V… th‚ ppxq khỉng l t‰ch cıa mºt a thøc b“c nh§t v mºt a thøc b“c ba Gi£ sß ppxq kh£ quy trản Q Theo B Gauss, ppxq cõ sỹ phƠn t‰ch ppxq gpxqhpxq â gpxq; hpxq P Zrxs câ b“c v câ h» sŁ cao nh§t b‹ng Ta vi‚t gpxq x ax b v hpxq x cx d, â a; b; c; d P Z ỗng nhĐt hằ s hai v ca p x $a flng thøc p pxq ac ta gpxqhpx v vai bc % t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t N‚u b d th… a c 0; ac th… a c 0; ac Suy 1, vỉ l‰ Nh÷ v“y, V bd ad trặ ca b; d l nhữ nản khổng mĐt d &' ' bd a b ÷ỉc q b d ho°c b d vỉ l‰ N‚u b d c Suy a Ị a R Z, pxq b§t kh£ quy tr¶n Q a thøc p V‰ dư 1.1.9 Chøng minh a thức f bĐt khÊ quy trản Q pxq x 6x 6x 12x 36x pq Líi gi£i D„ d ng ki”m tra ÷ỉc f x khæng câ nghi»m hœu t V… th‚ f x khỉng l t‰ch cıa mºt a thøc b“c nh§t v mt a thức bc nôm GiÊ sò f x khÊ quy trản Q Theo B Gauss (xem B 1.1.7), tỗn ti phƠn t ch f x g x h x , â g x ; h x Z x câ h» sŁ cao nh§t b‹ng v cõ bc dữỡng V deg f x nản ta câ hai tr÷íng hỉp pq pq pq pqpq pq pq P rs pq Tr÷íng hỉp : fpxq px ax bqpx cx dx ex gq, õ a; b; c; d; e; g P Z ỗng nhĐt hằ s ta ữổc $a c ' ac b d ad bc e & ae ' ag bd be g 12 36 bg % V… bg nản ch cõ th xÊy trữớng hỉp nhä sau Vỵi b 1; g 1, (1.1) Do õ k n Li v k Ô r n, ta suy væ l‰ 34 N‚u b0 v c0 còng chia h‚t cho p, ta câ th” gi£ sß b0 c0 p Ta x†t ti‚p hai tr÷íng hỉp nhä: p q v hpxq •u câ b“c khỉng nhä hìn 2, th… ta câ N‚u c¡c a thøc g x p b0c1 b1c0 v b0c2 b1c1 c0b2 0, suy b1 c1 v b1c1 chia h‚t cho p Do â ta câ th” gi£ sß b1 chia h‚t cho p v c1 khæng pq chia h‚t cho p (v… b1 c1 1) Gåi bk l h» sŁ ƒu ti¶n cıa g x khæng chia h‚t cho p Tł h» thøc a k bk 1c0 bkc1 ::: b0ck 1, vợi ỵ c0 chia ht cho p, c1 khổng chia h‚t cho p v theo c¡ch chån bk ta suy ak khỉng chia h‚t cho p, i•u n y vỉ l‰ (do k n n¶n ak 0) pxq kh£ quy th… ph£i câ ‰t nh§t mºt a thøc gpxq ho°c hpxq câ b“c b‹ng Nâi c¡ch kh¡c, P pxq ph£i câ nghi»m nguy¶n l Do v“y ” P 2 x0 Khi â x0 ch¿ câ th” nh“n gi¡ trà l 1; p; 1; p; p ; p Thay v o P x ta suy p ph£i chfin, â p Ki”m tra l⁄i pq ta ch¿ câ n thäa m¢n B i t“p (VMO 1997) H¢y t…m mºt a thøc ppxq vỵi h» sŁ hœu t v b“c c ng nhä c ng tŁt thäa m¢n p ?33 ?39 ?33 Họi rng cõ tỗn ti hay khổng a thức qpxq vợi hằ s nguyản thọa mÂn q ?33 ?39 ?33? qp Líi gi£i °t ?33 ?39 Ta thĐy p ?33 ca flng thức trản ta ÷æc p 1q3 p 1q Suy q3 suy ?33p 1q L“p ph÷ìng hai v‚ 12 0: p q x3 9x 12 p dửng Tiảu chu'n Eisenstein vợi s nguyản t p th… kpxq l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q Suy k pxq x 9x 12 l a thøc câ b“c nhä nh§t nh“n ? ? l m nghiằm GiÊ sò tỗn ti a thức ppxq P Qrxs thäa m¢n p ? ? ? L§y a thøc ppxq chia cho kpxq ta ÷ỉc Do â l nghi»m cıa a thøc k x 3 3 ppxq kpxqgpxq rpxq, â gpxq; rpxq P Qrxs v rpxq Suy pp q kp qgp q rp q V… p ? ? ? 3 3 ho°c deg rpxq 35 n¶n ta câ r ?3 3 ?93 Vỵi deg rpxq a ?3 n¶n a ? 9q pq pq °t r x pq p3 q ?9 pq °t r x b ?3 ?3 a?9 p3 ax ?9q ? ? ?3 pa bq 39 p3a bq 33 6a c $a a b % bx 3 c vỵi a; b; c x Ta ÷ỉc rpxq p q P Zrxs thäa m¢n q 2 x Khi â x câ h» ?3 3 ?3 ?3 V… ?93 p q chia cho kpxq câ h» s cao nhĐt bng nản lĐy q x ta ÷æc qpxq kpxqhpxq pq 2x Gi£ sò tỗn ti a thức q x deg t x P Q Khi c p q P Zrxs v PQ 3: ppxq kpxqgpxq x.%V“y ta chån a thøc ppxq 2x sŁ hœu t v câ bc b nhĐt thọa mÂn p ?3 ?93 a thức k x b ?3 Suy 1 ' c b Do Do â &'$ 3a b V… th‚ '& b ' 6a c P Q Khi â ta câ væ l‰ a 0, iu n y l Trữớng hổp : deg r x b vỵi a; b ax q3 ?3 Suy pa b 0v â ta câ a ?3 â tr÷íng hỉp rpxq khỉng x£y 3, ta câ hai tr÷íng hỉp sau: Tr÷íng hỉp : deg r x p3 ?3 Do tpxq â hpxq; tpxq Lp lun tữỡng tỹ nhữ trản dÔn tỗn ti a thøc h» sŁ nguy¶n qpxq m f ?3 P Zrxs v tpxq •u ho°c ‚n vỉ l‰ V“y khỉng ?93 ?3 p q vỵi h» sŁ B i (VMO 2017) Tỗn ti hay khổng a thức p x nguyản thọa mÂn pp1 ? 2q ?2 v â ?32 L“p ph÷ìng hai v‚ cıa â ta ÷ỉc 3 °t flng thøc p q x3 3x2 3x 3 th… q pxq l a thøc b§t Do â l nghi»m cıa a thøc q x p dưng Ti¶u chu'n Eisenstein vợi s nguyản t p pq khÊ quy Suy q x 3?5? a thøc p x ?32 Khi ?5q p q thọa mÂn yảu cu b i toĂn Lới giÊi GiÊ sò tỗn ti pp1 x 3x 3x p q p q P Zrxs v qpxq câ h» sŁ cao nh§t bng nản lĐy ppxq chia cho qpxq ta ữổc ppxq qpxqfpxq rpxq â fpxq; rpxq P Z v rpxq ho°c deg rpxq V… l a thøc câ b“c nhä nh§t nh“n l nghi»m V… p x ; q x p ?2q p ?2 n¶n rp1 vỵi a; b; c P Z Khi â ta câ ap1 36 ?2q 3 a?4 p2a b ?2 $a q3 p 2b pq °t r x ? 2q c ax bx c ? S uy ?2 V… v“y a b c a 0 & ' 2a b 'a 3q ?2 ?2 Tł â ta ÷ỉc $'& b 'c b c 1: Suy rpxq x: 0: % % Do â ta câ ppxq qpxqfpxq x: ? (2.1) pq T÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta °t 5, suy l nghi»m cıa a thøc b§t kh£ quy k x x 2x Z x L§y a thøc p x chia cho k x ta P rs pq spxq ÷ỉc ppxq kpxqgpxq deg spxq V… fp1 3x Do â, ta câ ?5q pq â gpxq; spxq 3?5 n¶n sp1 ?5q p q kpxqgpxq p x P Zrxs v spxq ho°c 3?5 Tł â t…m ÷ỉc spxq 3x (2.2) 1: p qp q p q p q Tł (2.1) v (2.2) suy q x f x k x g x 2x ‚n ¥y, chån x s suy iu mƠu thuÔn v v tr¡i chia h‚t cho 11, cỈn v‚ ph£i th… khỉng Vy khổng tỗn ti 2.4.2 p q thọa mÂn yảu cƒu b i to¡n a thøc q x D⁄ng 2: Dòng ti¶u chu'n Eisenstein mð rºng pq B i t“p Chøng minh a thøc f x Q pq Líi gi£i f x 5x 20 5x 20 5x 20x bĐt khÊ quy trản 5x 20x cõ sŁ h⁄ng tü a0 2, h» sŁ cıa sŁ hng cao nhĐt a20 Ta Ăp dửng Tiảu chu'n Eisenstein mð rºng tr¶n Z (H» qu£ 2.1.7) p q vợi s nguyản t p cho a thức f x vỵi måi i 1; 2; :::; 20: Suy rs | p q bĐt khÊ quy trản Q a thức f x pq i t“p Chøng minh a thøc g x tr¶n Z i B 5: p - a0; p - a20; p 5x 6x p8 q 4i x i b§t kh£ quy 37 rsl Lới giÊi Ta cõ Z i phƠn t‰ch nh§t v câ gcd p5; q 1: i P Zris Ta th§y p l 6; Chån phƒn tò nguyản t p i 4i; pq ữợc cıa t§t c£ c¡c h» sŁ cıa g x trł h» sŁ cıa sŁ h⁄ng cao nh§t, p 2i khổng l ữợc ca s hng tỹ Theo tiảu chu'n Eisenstein m rng trản phƠn tch p q bĐt khÊ quy trản Zris nhĐt th g x pq B i t“p Chøng minh a thøc f x vợi mồi n x n 5x 25 bĐt khÊ quy trản Q Ơ Lới giÊi p dửng nh lỵ 2.1.1, a thức fpxq x 5x 25 cõ an 1; a1 5; a0 25 Ta chån n sŁ sŁ nguy¶n tŁ p 5, â p khỉng l ÷ỵc cıa a n; p l ÷ỵc cıa a0; :::; an 1; p 25 khổng l ữợc ca ak vợi pq k Nhữ vy chứng minh f x b§t kh£ quy th… ta ch¿ cƒn chøng minh f x khæng câ nghi»m Q Th“t v“y, gi£ sß f x câ nghi»m hœu t r, v… h» sŁ cıa sŁ h⁄ng cao nh§t cıa f x b‹ng nản mồi nghiằm hu t ca f x u l nghi»m nguy¶n v c¡c nghi»m nguy¶n â ph£i l ÷ỵc pq pq pq pq cıa sŁ h⁄ng tü a0 25 Suy r P t1; 1; 5; 5; 25; 25u D thĐy fpxq khổng cõ nghiằm nguyản dữỡng n¶n 1; 5; 25 khỉng l nghi»m cıa fpxq Câ fp 1q p qn ¡ 0, suy khæng l nghi»m cıa f pxq Câ fp 5q khæng l nghi»m cıa fpxq X†t fp 25q N‚u n l· th… fp 25q qn p 25 N‚u n chfin th… fp 25q p 600 p qn 25 n 25 p 625 25 qn p p 25 25 qn 25 qn p 25 20 qn 0, suy 600 600 0, suy 25 khæng l nghi»m cıa fpxq qn 25 n 600 25 600 ¡ 0; @n ¥ 2, suy 25 khỉng l nghi»m cıa fpxq p q khæng câ nghi»m hœu t V“y theo Do o f x p q b§t f x khÊ quy trản Q nh lỵ 2.1.1 th 38 B i t“p (Chån ºi tuy”n HSG Thanh Hâa 2009) Cho h m sŁ pq n P n ¥ pq f x x 29x 2009 vỵi n N; n Chøng minh r‹ng f x khỉng th” ph¥n t‰ch th nh t‰ch cıa hai a thøc vỵi h» s nguyản v cõ bc lợn hỡn hoc bng p q ph¥n t‰ch th nh t‰ch cıa hai a thức vợi hằ s nguyản Lới giÊi GiÊ sò f x v câ b“c lỵn hìn ho°c b‹ng p dửng Hằ quÊ 2.1.11 vợi s nguyản t p 41, ta p q ph£i câ nghi»m hœu t x pq suy f x a L⁄i v… h» sŁ b“c cao nhĐt ca f x p q lã nản khổng bng nản a phÊi l ữợc ca 2009, suy a l· Vỵi a l· th… f a p q khỉng th” ph¥n t‰ch th nh t‰ch cıa hai a th” b‹ng 0, væ l‰ V“y f x thøc vợi hằ s nguyản v cõ bc lợn hỡn hoc b‹ng B i t“p 10 (IMO 1993) Cho sŁ tỹ nhiản n lợn hỡn Chứng minh rng a n n1 thøc f x x 5x b§t kh£ quy Z x pq rs pq rs Líi gi£i Gi£ sß a thøc f x kh£ quy Z x p dưng H» qu£ 2.1.11 vỵi sŁ nguy¶n tŁ p 3, ta suy f x ph£i câ nghi»m hœu t x a L⁄i v… h» sŁ bc cao nhĐt ca f x bng nản a phÊi l ữợc ca 3, suy a pq pq lã Vợi a lã th fpaq lã nản khổng th b‹ng 0, vỉ l‰ V“y fpxq b§t kh£ quy rs Z x Sau ¥y l mºt líi gi£i kh¡c cho b i to¡n n y m mºt ti¶u chu'n n o Líi gi£i Gi£ sß r‹ng f x p q Apxq:Bpxq pq¡ p q ¡ Ta câ fp0q deg A x 0, deg B x khæng cƒn dòng ‚n â p q p q P Zrxs, A x ;B x pq pq Suy A B | p q| ho°c Bp0q Khỉng gi£m t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ sß |Ap0q| Gåi deg Apxq k v a1; a2; :::; ak l k nghi»m cıa Apxq Ta câ Apxq px a1qpx a2q px akq V… |Ap0q| n¶n |a1a2:::ak| Do â A pq Ta câ f Suy |a1a2:::ak|n 1|pa1 5qpa2 |pa1 n1 pai 5q pak qpa2 5q vỵi @i 1; 2; :::; k Suy 5q| 3k V… th‚ q pak 5q| k 3: (2.3) 39 Ta công câ fp 5q Do â Ap 5qBp 5q Suy |Ap 5q| Ap 5q| th… |pa1 qpa2 q pak 5q| k qpa2 (2.4) 1: | p 5q| Tł (2.3) v (2.4) ta suy 1, |pa1 P t1; 3u N‚u | â k 0, væ l‰ N‚u A q pak 5q| th… (2.5) 3: p q x a; a P n1 n2 Z Gi£ sò Bpxq x bn 2x ::: b1 b0 ỗng nhĐt thức fpxq ApxqBpxq, ỗng nhĐt hằ s tỹ ta ÷æc ab0 Suy a P t1; 3u Nh“n thĐy rng phÊi cõ fpaq 0, th d d ng kim tra ữổc fp1q 0, fp3q iu n y l mƠu thuÔn Vy fpxq bĐt khÊ quy Zrxs Tł (2.3) v (2.5) ta suy k 3, â k N¶n ta câ th” °t A x B i t“p 11 (China TST 1994) Cho cĂc s nguyản t p v q phƠn Ơ biằt v mt s tỹ nhiản n Tm tĐt cÊ c¡c sŁ nguy¶n a ” a thøc n n f x x ax pq câ th” ph¥n t‰ch th nh tch hai a thức vợi hằ s nguyản cõ b“c d÷ìng pq Ta gi£i b i to¡n tŒng qu¡t sau: Ơ B i toĂn Cho hai s nguyản p; q v sŁ tü nhi¶n n â p l sŁ nguy¶n tŁ, q l sŁ khỉng chia h‚t cho mt s chnh phữỡng lợn hỡn v p khổng l ữợc ca q HÂy tm tĐt cÊ cĂc sŁ nguy¶n a cho a thøc n n1 f x x ax pq câ th” ph¥n t‰ch th nh tch ca hai a thức vợi hằ s nguyản cõ b“c lỵn hìn ho°c b‹ng pq Líi gi£i Ta câ p l sŁ nguy¶n tŁ, q l sŁ khỉng chia ht cho mt s chnh phữỡng lợn hỡn v p - q n¶n pq l sŁ khỉng chia h‚t cho mºt sŁ ch‰nh ph÷ìng p q câ th” phƠn tch th nh tch hai a thức vợi hằ s nguyản cõ bc dữỡng th Ăp dửng Hằ quÊ 2.1.11 vợi s nguyản t p, ta suy fpxq lợn hỡn Nu f x phÊi cõ t nhĐt mºt nghi»m hœu t V… h» sŁ cıa sŁ hng cao nhĐt bng n n1 nản nghiằm hu t õ phÊi l nghiằm nguyản GiÊ sò nghiằm õ l r, â r ar pq suy pq r n n1 ar pr aqrn 40 ¥ n¶n rn r2) Do l sŁ chia h‚t cho r (do n â r ho°c r (do pq khæng chia h‚t cho sŁ ch‰nh phữỡng lợn hỡn 1) V th mt pq cĂc sŁ v ph£i l nghi»m cıa f x Do â, chóng ta th§y r‹ng, n‚u a n n1 thøc f x x ax pq câ th” ph¥n t‰ch th nh t‰ch hai a thøc câ pq b“c d÷ìng th… mºt c¡c sŁ v ph£i l nghi»m cıa a thøc n y Ng÷ỉc l⁄i, n‚u mºt c¡c sŁ v l nghi»m cıa a thøc n y th… a thøc câ ‰t nh§t mºt nghi»m nguy¶n v â a thøc câ th” ph¥n t‰ch th nh t‰ch hai a thøc câ b“c dữỡng Nhữ vy, giÊi quyt b i toĂn trản, ta phÊi tm tĐt cÊ cĂc s nguyản a cho mºt c¡c sŁ v l nghi»m cıa a thøc f pxq n n1 x ax n pq v ch¿ a qn pq Ta th§y, l nghi»m cıa a thøc f n1 p ch¿ a v a p p qn n pxq n n1 x ax pq, v ch¿ qn p a pq 0, v qn n1 x ax pq 0, v ch¿ a pq 0, v ch¿ a pq, v l nghi»m cıa a thøc f a pxq pq V… v“y c¡c gi¡ trà cƒn t…m cıa a l pq pq 2 B i t“p 12 Chøng minh r‹ng a thøc x y z b§t kh£ quy krx; y; zs vợi k l mt trữớng cõ c s khĂc r s Líi gi£i V… k l mºt tr÷íng nản k y; z l phƠn tch nhĐt Ta s‡ ¡p dưng ti¶u chu'n Eisenstein mð rºng tr¶n phƠn tch nhĐt k x; y; z k y; z x r s r sr s 2 Ta cƒn ch¿ r‹ng y z chia h‚t cho mt phn tò nguyản t p 2 k y; z , v khæng chia h‚t cho p ” l m i•u n y, ta cƒn ch¿ y z chia h‚t cho mºt phƒn tß nguy¶n tŁ p k z y v khỉng chia h‚t cho 2 p Do â ch¿ cƒn ch¿ y z khỉng ph£i l phƒn tß khÊ nghch 2 v khổng cõ nhƠn tò lp l⁄i k z y V… a thøc y z câ b“c 2, nâ ch›c ch›n khæng ph£i l phn tò khÊ nghch, nản nõ cõ mt nhƠn tò bĐt khÊ quy kim tra cĂc nhƠn tò lp, ta tm ữợc chung lợn nhĐt r s p qr s p qr s cıa a thøc n y v ⁄o h m cıa nâ, x†t c¡c h» sŁ tr÷íng k pzq ta câ q py2 z2 y 2p2yq z l h‹ng sŁ kh¡c khæng (do k câ °c s khĂc 2) Chú ỵ rng z khÊ nghch kpzq, suy l tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa 41 2 2 f v f1, â f y z Do â, y z khổng chia ht cho mt nhƠn tò ch nh phữỡng kh¡c v khỉng ph£i l phƒn tß kh£ nghàch p qr s r s k z y , nản nõ chia ht cho mt nhƠn tò bĐt khÊ quy p k y; z Theo Ti¶u chu'n Eisenstein m rng trản phƠn tch nhĐt Ăp döng cho 2 x y minh z v phn tò nguyản t p ( nh lỵ 2.3.2) ta câ i•u ph£i chøng r k x; y; z s vợi k l z bĐt khÊ quy c s khổng l ữợc ca 30 B i t“p 13 Chøng minh r‹ng a thøc x mºt tr÷íng câ y r s Líi gi£i V… k l mºt trữớng nản k y; z l phƠn tch nhĐt Ta s Ăp dửng tiảu chu'n Eisenstein m rng trản phƠn tch nhĐt k x; y; z k y; z x r s r sr s Ta cƒn ch¿ r‹ng y z chia ht cho mt phn tò nguyản t p k y; z , v khæng chia h‚t cho p Do â cƒn ch¿ y z chia r s p qr s h‚t cho mºt phƒn tò nguyản t p k z y v khổng chia h‚t cho p V… th‚ ch¿ cƒn ch¿ y z khæng ph£i l phƒn tò khÊ nghch v khổng cõ nhƠn tò l°p l⁄i k z y V… a thøc y z câ b“c 3, nâ ch›c ch›n khæng ph£i l phn tò khÊ nghch, nản nõ cõ mt nhƠn tò bĐt khÊ quy kim tra cĂc nhƠn tò lp, ta tm ữợc chung lợn nhĐt p qr s q p q ta câ py3 cıa a thøc n y v ⁄o h m cıa nâ, x†t c¡c h» sŁ tr÷íng k z z y 5 3y q z l h‹ng sŁ kh¡c khæng (do k câ °c sŁ kh¡c 5) Tøc l z p pq kh£ nghàch k z , suy l tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa f v f 1, â f 5 y z Do â, y z khæng chia h‚t cho mºt nhƠn tò chnh phữỡng khĂc v p qrys V th nõ chia ht cho mt nhƠn tò bĐt khÊ quy p k ry; zs Theo Ti¶u chu'n Eisenstein mð khỉng ph£i l phƒn tß kh£ nghàch k z rng trản phƠn tch nhĐt Ăp dửng cho x y z v phn tò nguyản t p ( nh lỵ 2.3.2) ta cõ iu ph£i chøng minh 2.4.3 D⁄ng 3: p dưng ph÷ìng ph¡p kh¡c i t“p 14 Chøng minh a thøc P quy tr¶n Z B pxq 5x 7x 12x 4x b§t kh£ 42 rs pxq Líi gi£i X†t Z2 x ; ta câ P x x N‚u P pxq kh£ quy tr¶n Z2 th… P pxq Tł ta ÷ỉc ab suy a b 1, thay trð l⁄i p1q, cho x x iu mƠu thuÔn Vy P x p x2 ax qpx2 bx p1q ta q (1) ữổc pxq bĐt khÊ quy trản Z2, tức l P pxq bĐt khÊ quy trản Z B i 15 (VMO 1984) X¡c ành a thøc câ b“c b† nh§t vợi hằ s nguyản nhn 33 l m mt nghi»m ? ? Líi gi£i ?3 ?2 °t a (2.6) 3: Khi â, ta câ a 2? a ? ? 26 ?3 ? 3 3 (2.7) ? ? 3 (2.8) Tł (2.6) v (2.7) rót ? 3 a ? ?2 v a 2?2pa ? p q ?2q a ?q ?p ? 2a: ? q Thay v o (2.8), ta ÷ỉc a 2 a a 2 2a 3 suy a 6a 3a B…nh ph÷ìng hai v ca flng thức trản ta ữổc ?p a 6a 6a 12a 0: 36a V… th‚ a l nghi»m cıa a thøc fpxq x 6x 6x Theo V‰ dö 1.1.9 th… a thøc f 12x 36x P Zrxs: pxq b§t kh£ quy tr¶n Q V“y fpxq x 6x 6x l a thức cõ bc b nhĐt vợi h» sŁ nguy¶n nh“n ?2 12x 36x ?3 l m mºt nghi»m 43 2.4.4 B i ngh Ơ B i (Viằt Nam TST 2018) Cho sŁ nguy¶n n v An l hổp tĐt cÊ cĂc s nguyản dữỡng nhọ hỡn n, nguyản t vợi n Xt a thức pxq Pn ¸x k1 : kPAn a) Chøng minh r‹ng Pn pxq chia h‚t cho a thøc xr vỵi r l s nguyản dữỡng n o õ b) Tm tĐt cÊ cĂc s nguyản dữỡng n Pnpxq bĐt kh£ quy tr¶n Zrxs B i t“p (VMO 2014) Cho a thøc P d÷ìng Chøng minh r‹ng P pxq px2 7x q2 13 vợi n l s nguyản pxq khổng th biu din ữổc dữợi dng tch ca n a thøc kh¡c h‹ng sŁ vỵi h» sŁ nguy¶n B i t“p (Vi»t Nam TST 1995) T…m tĐt cÊ cĂc s nguyản dữỡng k cho cõ vổ s s nguyản dữỡng n m a thức pxq kh£ quy Zrxs P x n n kx 870x 1945x 1995 B i t“p Chøng minh rng cĂc a thức sau l bĐt khÊ quy trản Q a) x 8x n 5x x b) x c) x n1 12x 6x 2; 35 vợi n Ơ 2; 2x B i Chøng minh a thøc P px q x 3x 6x 3x 9x khæng th” bi”u di„n th nh t‰ch cıa hai a thøc b“c thĐp hỡn vợi hằ s nguyản 44 B i t“p Chøng minh r‹ng a thøc f tr¶n Q B i t“p Chøng minh r‹ng a thøc f bĐt khÊ quy trản Q B i Chứng minh rng a thức f bĐt khÊ quy trản Q pxq 4x x 6x px q 5x px q 14x B i t“p Chøng minh r‹ng a thøc f câ khæng qu¡ nghi»m hœu t pxq 3x b§t kh£ quy 5x 7x 6x 3x 10x 21x 5x 35 35x 12x B i 10 Tm tĐt cÊ cĂc giĂ tr nguyản ca tham sŁ m ” a thøc pq f x x mx 4x 6x phƠn tch ữổc th nh tch hai a thức cõ bc dữỡng vợi h» sŁ nguy¶n B i t“p 11 Chøng minh r‹ng a thøc hai bi‚n f px; yq x y xy 2y y 2x y 2x y 3x 2y 2xy b§t kh£ quy tr¶n Q rs B i t“p 12 Chøng minh rng cĂc a thức sau bĐt khÊ quy trản Z i pxq b) gpxq a) f x x p1 4iqx4 p4 iqx3 p5 3iqx2 100 10 11i; 31 311i B i t“p 13 Cho a ?32 ?34 T…m a thức cõ bc b nhĐt vợi hằ s nguyản nh“n a l m nghi»m v chøng minh a l mºt sŁ væ t B i t“p 14 T…m a thức theo x cõ bc nhọ nhĐt vợi hằ sŁ nguy¶n câ mºt nghi»m l ?22 ?34 B i 15 Cho s nguyản t p Ơ T…m sŁ c¡c a thøc b§t kh£ quy r s cıa c¡c a thøc câ d⁄ng Z x P pxq p x px k px l 1; vỵi k ¡ l; k; l P t1; 2; :::; p u: 45 Kt lun Lun vôn trnh b y v tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản v a thức vợi hằ s trản phƠn tch nhĐt Lun vôn trung v o Tiảu chu'n Eisenstein, mºt sŁ mð rºng cıa Ti¶u chu'n Eisenstein v v“n dưng gi£i to¡n c§p C¡c nºi dung chnh ca lun vôn l : a thức bĐt khÊ quy; Tiảu chu'n Eisenstein; Lch sò phĂt hiằn v chứng minh Ti¶u chu'n Eisenstein; Mð rºng Ti¶u chu'n Eisenstein tr¶n Z; M rng Tiảu chu'n Eisenstein trản phƠn tch nh§t; V“n dưng x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc Trong â k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n v«n l tr…nh b y mºt sŁ mð rºng cıa Ti¶u chu'n Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy ca a thức °c bi»t l v“n döng ki‚n thøc â ” gi£i mºt sŁ b i to¡n thi håc sinh giäi QuŁc gia v QuŁc t‚ 46 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] L¶ Thà Thanh Nh n (2015), L‰ thuy‚t a thøc (Gi¡o tr…nh sau ⁄i håc), NXB HQGHN [2] Ph⁄m Xu¥n Hòng (2017), Ph¥n t‰ch v nh thữỡng ca v nh cĂc s nguyản Gauss, Lun vôn Th⁄c s¾ To¡n håc, ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n Ti‚ng Anh [3] D A Cox (2011), "Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schoenemann discovered it first", The American Mathemat-ical Monthly, 118, pp 3-21 [4] Howard Chao (1974), "A generalization of Eisenstein’s criterion", Mathematics Magazine, 47, pp 158-159 [5] S H Weintraub (2013), "A mild generalization of Eisenstein’s crite-rion", Proceedings of the American Mathematical Society, 141 , pp 1159-1160 [6] R Woodroofe, "Polynomial rings and unique factorization domains", http://homepages.math.uic.edu/~marker/math494/div.pdf ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN KHẮC HƯỞNG TIÊU CHUẨN EISENSTEIN VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC... kh£ quy bĐt khÊ quy trản Q theo tiảu chu'n Eisenstein vợi p 13 Mºt nhœng øng döng i”n h…nh ca Tiảu chu'n Eisenstein l chứng minh tnh bĐt khÊ quy ca a thức chia ữớng trặn Cho p l s nguyản t a thức. .. cho deg f x f x b§t kh£ quy trản Zp th f x bĐt khÊ quy trản Q pq pq pqv deg f x p q l a thức bĐt khÊ quy trản Zp nản deg fpxq ¡ 0: Suy deg fpxq ¡ Gi£ sß a thức fpxq khÊ quy trản Q Theo B Gauss,