Tính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUN - 2019 Mưc lưc Líi c£m ìn Mð ƒu Ti¶u chu'n Eisenstein v ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ 1.1 Ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ mð rºng 1.2 Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v b i to¡n ng÷ỉc Gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy 11 16 2.1 Gi¡ trà kh£ nghàch v t‰nh b§t kh£ quy 16 2.2 GiĂ tr nguyản t v tnh bĐt khÊ quy 21 2.3 Mt tiảu chu'n mợi v tnh bĐt kh£ quy 27 2.4 Gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i i s lợn v tnh bĐt khÊ quy 32 K‚t lu“n 37 T i li»u tham khÊo 38 Lới cÊm ỡn Trữợc tiản tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt tợi GS.TS Lả Th Thanh Nh n Mc dũ r§t b“n rºn cỉng vi»c, song tł nhœng ng y u tiản Cổ  luổn tn tnh ch bÊo, hữợng dÔn v ữa nhng lới khuyản cõ ‰ch gióp tỉi ho n thi»n lu“n v«n n y Tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc thy, cỉ c¡n bº khoa To¡n - Tin, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban gi¡m hi»u v cĂc ỗng nghiằp trữớng Trung hồc ph thổng Ho nh Bỗ - Tnh QuÊng Ninh cĂc bn th lợp Cao hồc ToĂn K11D,  khổng ch trang bà cho tỉi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch m cỈn ln ln gióp ï tỉi, t⁄o i•u ki»n cho tỉi thíi gian theo håc t⁄i tr÷íng CuŁi còng, tỉi xin chƠn th nh b y tọ lặng bit ỡn n gia nh, bn b, nhng ngữới  khổng ngng ng h, ng viản, hỉ trổ v to mồi iu kiằn giúp tổi vữổt qua nhng khõ khôn ho n thiằn lun vôn M u Tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản trản trữớng cĂc s phức C v trản trữớng cĂc s thỹc R  ữổc giÊi quyt t th k 19 thổng qua nh lỵ cỡ bÊn ca i s Tuy nhiản, tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản trản trữớng cĂc s hu t Q n vÔn ang thĂch thức cĂc nh ToĂn hồc trản th giợi Trong lun vôn n y, tĂc giÊ trnh b y li mt s tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca a thức trản trữớng s hu t Q vợi hằ s nguyản cĂc b i bĂo gn Ơy [8] v [11] Lun vôn gỗm chữỡng Trong chữỡng 1, chúng tổi trnh b y hai tiảu chu'n bĐt khÊ quy nŒi ti‚ng Phƒn 1:1 tr…nh b y Ti¶u chu'n Eisenstein v c¡c mð rºng Phƒn 1:2 tr…nh b y ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v ph¡t bi”u £o cıa ti¶u chu'n n y Nºi dung ch÷ìng ÷ỉc vi‚t theo b i b¡o [11] cuÊ R Thangadurai nôm 2007 Chữỡng trnh b y cĂc tiảu chu'n bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s hœu t Q li¶n quan ‚n c¡c gi¡ trà kh£ nghch v giĂ tr nguyản t ca a thức vợi h» sŁ nguy¶n Phƒn 2:1 tr…nh b y c¡c ti¶u chu'n v sỹ liản quan gia giĂ tr khÊ nghch vợi tnh bĐt khÊ quy ca a thức Phn 2:2 tr…nh b y v• mŁi quan h» giœa gi¡ trà nguyản t v tnh bĐt khÊ quy CĂc kt quÊ ð hai phƒn n y cơng ÷ỉc vi‚t düa theo b i b¡o [11] cıa R Thangadurai n«m 2007 Phƒn 2:3 trnh b y mt tiảu chu'n bĐt khÊ quy mợi trản trữớng Q cĂc s hu t liản quan n a thức cõ cĂc hằ s nguyản tông dn theo ch s v cõ hằ s cao nhĐt nguyản t hoc nhn t nhĐt mt giĂ tr nguyản t K‚t qu£ cıa phƒn n y ÷ỉc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa A Jakhar v N Sangwan nôm 2018 Phn 2:4 trnh b y v giĂ tr nguyản t ti i s lợn v tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản Ni dung ca phn n y ữổc vit trản cỡ s nºi dung b i b¡o [11] cıa R Thangadurai n«m 2007 Trong lun vôn n y, cĂc tiảu chu'n c¡c phƒn 2:1 v• gi¡ trà kh£ nghàch v tnh bĐt khÊ quy; phn 2:2 v giĂ tr nguyản t v tnh bĐt khÊ quy; phn 2:3 v tiảu chu'n mợi cho tnh bĐt khÊ quy l nhng kt quÊ chữa ữổc trnh b y bĐt lun vôn thc sắ n o trữợc Ơy Hỡn th, c¡c phƒn 1:1, 1:2, 2:4, m°c dò câ mºt sŁ kt quÊ Â quen bit v ữổc trnh b y mt v i lun vôn trữợc Ơy (xem [1], [2]), nh÷ng c¡ch chøng minh v v‰ du hƒu nh÷ l mợi, chnh tĂc giÊ lun vôn tỹ t ‰nh to¡n °c bi»t n‚u lu“n v«n [2], Nguy„n V«n L“p chøng minh a thøc x 2x + l bĐt khÊ quy trản Q khổng bĐt khÊ quy trản Z p vợi mồi s nguyản t p bng cĂch sò dửng kin thức v nhõm, th… lu“n v«n n y chøng minh a thức x + bĐt khÊ quy trản Q khÊ quy trản Zp vợi mồi s nguyản t p bng cĂch sò dửng kin thức v trữớng hu hn ThĂi Nguyản, ng y 25 thĂng nôm 2019 TĂc giÊ lun vôn Phm Th Thu Trang Chữỡng Ti¶u chu'n Eisenstein v ti¶u chu'n rót gån theo module mt s nguyản t Mt a thức vợi hằ s trản mt trữớng ữổc gồi l bĐt khÊ quy nu nõ cõ bc dữỡng v khổng phƠn tch ữổc th nh t‰ch cıa hai a thøc câ b“c th§p hìn Mt a thức bc dữỡng vợi hằ s trản mt tr÷íng l kh£ quy n‚u nâ l t‰ch cıa hai a thức vợi bc thĐp hỡn Chú ỵ rng tnh b§t kh£ quy cıa a thøc phư thuºc v o tr÷íng cì sð Chflng h⁄n, a thøc x l bĐt khÊ quy trản trữớng Q cĂc s hu t , khổng bĐt khÊ quy trản trữớng R c¡c sŁ thüc a thøc x + b§t khÊ quy trản trữớng R khổng bĐt khÊ quy trản trữớng C cĂc s phức Tnh bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s phức v trản trữớng cĂc s thỹc  ữổc l m rê nhớ nh lỵ cỡ bÊn ca i s: Mồi a thức bc dữỡng vợi hằ s phức u cõ t nhĐt mt nghiằm phức V th cĂc a thức bĐt khÊ quy trản C l v ch¿ l c¡c a thøc b“c nh§t C¡c a thức bĐt khÊ quy trản R l v ch l c¡c a thøc b“c nh§t ho°c a thøc b“c hai cõ biằt thức Ơm CƠu họi ữổc t l n o a thøc f(x) ¢ cho l khÊ quy hay bĐt khÊ quy trản Q? Cho n nay, khỉng câ i•u ki»n cƒn v ı n o cõ th Ăp dửng ữổc cho tĐt cÊ cĂc a thøc, m ta ch¿ câ mºt sŁ ti¶u chu'n ” kim tra tnh bĐt khÊ quy ca mt s trữớng hỉp cư th” Rª r ng måi a thøc b“c nhĐt u bĐt khÊ quy trản Q CĂc a thức bc hai v bc ba l bĐt khÊ quy trản Q n‚u v ch¿ n‚u nâ khæng câ nghi»m hœu t Łi vỵi a thøc b“c lỵn hìn 3, n‚u a thøc câ nghi»m hœu t th… nâ khổng bĐt khÊ quy Tuy nhiản iu ngữổc li khổng óng Chflng h⁄n, a 2 thøc (x + 1) khổng cõ nghiằm hu t , khổng bĐt khÊ quy Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi tr…nh b y hai tiảu chu'n ni ting v tnh bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s hu t Q ca a thức vợi hằ s nguyản dỹa theo b i bĂo [11] cıa R Thangadurai Phƒn thø nh§t d nh ” tr…nh b y Ti¶u chu'n Eisensrein v mºt sŁ mð rºng ca nõ M rng thứ nhĐt ữổc phĂt hiằn bi H Chao b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159 v mð rºng thø hai ÷ỉc ÷a bði S H Weintraub b i b¡o A mild generazation of Eisenstein criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 141 (2013), 1159-1160 Phƒn ti‚p theo tr…nh b y mºt nhœng ti¶u chu'n bĐt khÊ quy ph bin nhĐt, õ l tiảu chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ Ph¡t bi”u Êo ca tiảu chu'n n y khổng cặn úng na, chóng tỉi ÷a mºt chøng minh chi ti‚t ” minh hồa iu n y 1.1 Tiảu chu'n Eisenstein v mºt sŁ mð rºng Trong mưc n y, chóng tỉi tr…nh b y l⁄i ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ m rng liản quan v tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức vợi hằ s nguyản trản trữớng cĂc s hu t Q Ơy l mt nhng tiảu chu'n quen thuc thữớng ữổc sò dửng l m cĂc b i toĂn v tnh bĐt khÊ quy ca a thøc tr¶n Q Cho n n f(x) = anx + an 1x + + a1x + a0 l a thøc b“c n vỵi Z; an 6= Tiảu chu'n bĐt khÊ quy ữổc bit n nhiu nhĐt hiằn l tiảu chu'n Eisenstein, ữổc phĂt biu nh÷ sau n n + + a1x + a0 1.1.1 nh lỵ Cho a thức f(x) = anx + an 1x l a thức vợi hằ s nguyản cõ bc n > Nu tỗn ti mt s nguy¶n tŁ p cho p - an; p j vỵi måi i = 0; 1; : : : ; n v p - a0, th… a thức f(x) bĐt khÊ quy trản Q Chứng minh GiÊ sò f(x) khÊ quy trản Q Theo B Gauss, tỗn ti biu m din f(x) = g(x)h(x), â g(x) = bmx + + b1x + b0 Z[x] v h(x) = k ckx + + c1x + c0 Z[x] vỵi deg g(x) = m; deg h(x) = k v m; k < n: Do p l ữợc ca a0 = b0c0 nản p j b0 hoc p j c0 Mt khĂc, p khổng l ữợc cıa a0 n¶n hai sŁ b0 v c0, ch¿ câ mºt v ch¿ mºt sŁ chia h‚t cho p Gi£ thi‚t p j c0 Khi â b0 khæng chia h‚t cho p V… an = bmck v p - an nản bm v ck u khổng chia ht cho p: Do õ tỗn ti s r b nhĐt cho cr khæng l bºi cıa p: Ta câ ar = b0cr + (b1cr + b2cr + + brc0): V… r k < n n¶n p j ar Theo c¡ch chån r ta câ p j b1cr + b2cr + + brc0: Suy p j b0cr; i•u n y l vỉ l‰ v… c£ hai sŁ b v cr •u khỉng l bºi cıa p Vy f(x) l bĐt khÊ quy trản Q CĂc a thức thọa mÂn nh lỵ ữổc gồi l a thøc Eisenstein Chflng h⁄n, a thøc x 4x + 18x + 24x + 4x + l a thøc Eisenstein v… nâ b§t kh£ quy theo Tiảu chu'n Eisenstein vợi p = Thổng thữớng, Tiảu chu'n Eisenstein khổng Ăp dửng ữổc trỹc tip cho a thøc f(x), m chóng ta câ th” ¡p dưng cho a thøc f(x + a) vỵi a l h‹ng s n o õ Chú ỵ rng a thức f(x) l bĐt khÊ quy trản Q nu v ch nu a thức f(x + a) l bĐt khÊ quy trản Q vợi mồi s nguyản a Do vy, cŁ g›ng t…m h‹ng sŁ a vỵi hy vång bi‚n Œi a thøc f(x + a) ta ÷ỉc mºt a thức mợi thọa mÂn cĂc iu kiằn ca Tiảu chu'n Eisenstein Dữợi Ơy l mt v dử v tnh bĐt khÊ quy ca a thức chia ữớng trặn thứ p vợi p l mt s nguyản t 1.1.2 V dư Cho p l sŁ nguy¶n tŁ Khi â a thức chia ữớng trặn thứ p f(x) = x p1 +x p2 + + x + l b§t kh£ quy tr¶n Q p p Chøng minh a thøc f(x) = x +x + + x + cõ cĂc hằ s u bng nản khổng th” ¡p dưng trüc ti‚p Ti¶u chu'n Eisenstein ” x†t tnh bĐt khÊ quy ca f(x) Chú ỵ rng f(x) = x p Suy ra, chån a = ta câ x f(x + 1) = (x + 1)p = xp + C1xp + : : : + Cp 2x + Cp 1; p p p x k l sŁ tŒ hæp ch“p k ca p phn tò Do p nguyản p! â C = p (p k)!k! k p tŁ nản C l bi ca p vợi mồi k = 1; 2; : : : ; p 2v C p p = p khæng l bºi cıa p V… v“y f(x + 1) l b§t kh£ quy theo Ti¶u chu'n Eisenstein (¡p dưng cho sŁ nguy¶n tŁ p) Do õ f(x) bĐt khÊ quy trản Q: Nhữ vy, thỉng qua ti¶u chu'n Eisenstein, tł b i to¡n ban u v xt t nh bĐt khÊ quy ca a thức bc n vợi hằ s nguyản, ta ữa v b i to¡n ph¥n t‰ch n h» sŁ cıa a thøc mỵi f(x + a), sau bi‚n Œi a thức f(x + a) cn tm ữợc chung nguyản tŁ phò hỉp cıa c¡c h» sŁ, trł h» sŁ cao nhĐt, ca a thức f(x + a) Hin nhiản, chóng ta cŁ g›ng bi‚n Œi a thøc ” t⁄o a thức mợi vợi hằ s lợn hỡn, nhi»m vö sau â l t‰nh to¡n v ki”m tra cĂc ữợc nguyản t chung ca cĂc hằ s thọa mÂn iu kiằn Tiảu chu'n Eisenstein Tuy nhiản, chữa chc chn v sỹ tỗn ti ca php bi‚n Œi ” a thøc ban ƒu chuy”n th nh a thức mợi cõ th Ăp dửng tiảu chu'n Eisenstein, tức l chữa chc  tm ữổc s nguyản a a thức f(x + a) Ăp dửng ữổc Tiảu chu'n Eisenstein ứng vợi mt s nguyản t p n o õ V dử, ngữới ta  ch r‹ng a thøc x 10x + l b§t kh£ quy trản Q khổng tm ữổc s nguyản a ” a thøc (x + a) 2 10(x + a) + bĐt khÊ quy theo Tiảu chu'n Eisenstein vợi mt s nguyản t p n o õ Trong phƒn cuŁi cıa mưc n y, chóng ta nh›c li mt s m rng ca Tiảu chu'n Eisenstein Trữợc ht nhc li tiảu chu'n bĐt khÊ quy cıa H Chao b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159 n 1.1.3 nh lỵ Cho f(x) = a nx + : : : + a1x + a0 l a thøc b“c n vợi hằ s nguyản GiÊ sò p l mt sŁ nguy¶n tŁ cho câ hai ch¿ sŁ t 6= k thọa mÂn: p khổng l ữợc ca at, p l ữợc ca vợi mồi i 6= t v p khổng l ữợc ca ak Khi õ n‚u f(x) l t‰ch cıa hai a thøc vỵi h» sŁ nguy¶n, th… mºt hai a thøc â câ b“c lỵn hìn ho°c b‹ng j t k j Theo gi£ thi‚t P (f) + 2u(f) n + 4, suy P (f) + 2u(f) n Do v“y, ta ÷ỉc ‘(g) + ‘(h) N‚u ‘(g) > v ‘(h) > th… theo ành ngh¾a 2, ta câ a thøc g(x); h(x) l a thøc b†o Theo M»nh • , ta câ deg g(x); deg h(x) k†o theo tŒng cıa chóng khỉng th” Do â, ch¿ câ g(x) ho°c h(x) l a thøc b†o Khổng l m mĐt tnh tng quĂt, giÊ sò g(x) l a thøc b†o V… h(x) khæng l a thøc b†o v n n¶n deg h(x) v ‘(h) Khæng nhœng th‚, v… ‘(g) + ‘(h) 4, ta câ deg g(x) suy u(g) + deg g(x), mƠu thuÔn v (g) = u(g) deg g(x) v u(g) deg g(x) Do â f(x) ph£i b§t khÊ quy trản trữớng cĂc s hu t Q 2.2.7 V‰ dö a thøc f(x) = x 5x + l a thức bĐt khÊ quy trản tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q Chøng minh Ta câ deg f(x) = v f(x)+1 = (x 1)(x+1)(x 2)(x+2): V… th‚ f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng t⁄i óng i”m V… f(4) = f( 4) = 179 l sŁ nguy¶n tŁ, n¶n f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ ti t nhĐt ln Nhữ vy ta cõ P (f) + 2u(f) + 2:4 = 10 > deg f(x) + 3: V“y a thøc f(x) l b§t kh£ quy trản Q theo nh lỵ 2.2.6 2.2.8 nh lỵ 10 Cho f(x) l a thức vợi hằ s nguyản câ b“c n N‚u P (f) n + th… f(x) bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s hu t Q: Chøng minh N‚u P (f) n + th… rª r ng P (f) + 2u(f) n + 4: Trong trữớng hổp n y, theo nh lỵ 9, a thøc f(x) b§t kh£ quy V… v“y, ta ch¿ cn chứng minh nh lỵ trữớng hổp P (f) = n + GiÊ sò iu ngữổc li, tức l f(x) khỉng b§t kh£ quy Khi â theo BŒ • Gauss, ta vi‚t ÷ỉc f(x) = g(x)h(x) â g(x); h(x) l cĂc a thức vợi hằ s nguyản cõ bc dữỡng Theo chứng minh nh lỵ ta câ ‘(g) + ‘(h) â ‘(g) v ‘(h) P (f) + 2u(f) n; ÷ỉc x¡c ành nh÷ ành ngh¾a 26 V… P (f) = n + n¶n ‘(g) + ‘(h) n + + 2u(f) n = + 2u(f): Do â ‘(g) ho°c ‘(h) ph£i dữỡng V deg f(x) theo giÊ thit, nản theo M»nh • 7, g(x) ho°c h(x) ph£i l a thøc bo Khổng mĐt tng quĂt, giÊ sò g(x) l a thøc b†o Khi â, h(x) khæng l a thøc b†o V… th‚ ‘(g) v ‘(h) 0: Suy ‘(g) + ‘(h) ‘(g) Tuy nhi¶n ta câ ‘(g) + ‘(h) P (f) + 2u(f) n n + n = 3: Do â ‘(g) Suy u(g) deg g(x) + Tuy nhiản theo cĂc lp lun nhữ phn cui chứng minh nh lỵ ta suy u(g) deg g(x) + 1, mƠu thuÔn vợi u(g) deg g(x) + Do â a thøc f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q: 2.2.9 V‰ dư 10 a thøc f(x) = x 14x + 49x 36x + 11 bĐt khÊ quy trản Q: Chứng minh Ta câ n = deg f(x) = 7: f(0) = 11; f(1) = 11; f( 1) = 11; f(2) = 11; f( 2) = 11; f(3) = 11; f( 3) = 11; f(4) = 5051; f(7) = 604811; f(17) = 390700811: Trong â 11; 5051; 604811; 390700811 l nhœng sŁ nguy¶n s Nhữ vy f(x) nhn giĂ tr nguyản t ti ‰t nh§t 10 lƒn, hay P (f) 10 = n + 3: Do â P (f) n + Theo nh lỵ 10, a thức f(x) = x 14x + 49x 36x + 11 b§t kh£ quy trản Q: 2.3 Mt tiảu chu'n mợi v tnh bĐt kh£ quy Mưc ti¶u cıa phƒn n y l tr…nh b y mt tiảu chu'n mợi v tnh bĐt khÊ quy trản trữớng Q ca a thức vợi hằ s nguyản cho cĂc hằ s tông dn theo bc v nhn t nhĐt mt giĂ tr nguyản t CĂc k‚t qu£ cıa phƒn n y ÷ỉc vi‚t chı y‚u düa theo b i b¡o cıa A Jakhar v N Sangwan n«m 2018: An irreducibility criterion for integer polynomials, Amer Math Monthly, 125, 464-465 K‚t qu£ ch‰nh cıa phƒn 2:3 l nh lỵ 11 27 Gồi C l cĂc i”m ph‰a h…nh trỈn phøc b¡n k‰nh l tøc ìn và, l C := fz C : jzj < 1g; õ C l trữớng s phức Trữợc ph¡t bi”u k‚t qu£ ch‰nh cıa möc n y, chóng ta cƒn mºt sŁ k‚t qu£ bŒ trỉ sau Ơy Chứng minh mằnh sau Ơy ữổc trnh b y t i li»u A Class of Irreducible Polynomials cıa t¡c gi£ J Harrington, L Jones [M»nh • 2.3, trang 113-119] ữổc xuĐt bÊn nôm 2013 2.3.1 Mằnh 0; aj =6 vỵi n + a0 Q[x] v • Cho f(x) = anx + i 1: Khi â l nghi»m cıa n+1 F (x) = (x 1)f(x) = anx + (an an)x n + + (a0 a1)x a0: Chú ỵ rng module ca tch hai sŁ phøc b‹ng t‰ch cıa hai module cıa hai sŁ phøc â Hìn nœa, module cıa tŒng hai sŁ phøc ln nhä hìn ho°c 28 b‹ng tŒng hai module cıa hai sŁ phøc â V… th‚ theo gi£ thi‚t cıa M»nh • v gi£ thi‚t j j > ta câ jan n+1 j a0 + (a1 a0)j j + n < a0j j + (a1 + (an n a0)j j + n an 1)j j + (an n n an 1)j j = jan j; i•u n y l mƠu thuÔn v an > 0: Do õ tĐt cÊ c¡c nghi»m cıa f(x) ph£i thuºc h…nh trỈn b¡n k‰nh ìn ” chøng minh c¡c nghi»m cıa f(x) •u thuºc C, ta ch¿ j j 6= Gi£ k sò j j = Hin nhiản cĂc hằ sŁ cıa x v x k+1 F (x) l ¥m, ngo⁄i trł h» sŁ an l d÷ìng Do v“y, giÊ thit ca Mằnh ữổc thọa mÂn vợi t = n + 1; i = k; j = k + v q = Công theo M»nh • 8, ta câ = 1, khỉng th” x£y bi v d thĐy f(1) v f( 1) u kh¡c theo gi£ thi‚t ban ƒu V“y t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x) •u thuºc C: 2.3.3 M»nh • 10 Cho a thøc f(x) Z[x] l mºt a thøc câ t§t c£ c¡c nghi»m n‹m t“p C Nu tỗn ti s nguyản m vợi jmj cho jf(m)j l s nguyản t, th f(x) l bĐt khÊ quy trản Q: Chứng minh GiÊ sò ngữổc li, a thức f(x) khổng bĐt khÊ quy trản Q Khi õ, theo B Gauss, ta cõ phƠn tch f(x) = g(x)h(x), â g(x); h(x) Z[x] Theo gi£ thit, jf(m)j l s nguyản t nản t nhĐt jg(m)j hoc jh(m)j bng Khổng mĐt tng quĂt, giÊ sò jg(m)j = 1: Gi£ sß deg g(x) = k Theo nh lỵ cỡ bÊn ca i s, g(x) phÊi cõ k nghi»m C, mØi nghi»m t‰nh vỵi sŁ bºi cıa nâ Gåi 1; : : : ; k l c¡c nghi»m cıa g(x) Khi â chóng cơng l nghi»m cıa f(x) v g(x) = c k Y (x i); i=1 â c l h» sŁ cao nh§t cıa g(x) Theo gi£ thi‚t v• c¡c nghi»m cıa f(x) ta câ i C, j ij < vỵi måi i k Theo giÊ thit, jmj 2: Chú ỵ r‹ng module cıa hi»u hai sŁ phøc lỵn hìn ho°c b‹ng hi»u cıa hai module cıa hai sŁ phøc â V… th‚ ta câ k k Y jg(m)j = jc (m i=1 k Y i)j Yi jcj (jmj j ij) > jcj suy jg(m)j > 1, i•u n y l i=1 mƠu thuÔn 29 (jmj 1) =1 1; Bng c¡c l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ chøng minh M»nh • 10, ta thu ÷ỉc k‚t qu£ sau 2.3.4 M»nh • 11 Cho a thøc f(x) Z[x] câ t§t c£ c¡c nghi»m t“p fz C : jzj > 1g N‚u jf(0)j l mºt sŁ nguy¶n tŁ th… f(x) bĐt khÊ quy trản Q: BƠy giớ chøng minh k‚t qu£ ch‰nh cıa phƒn n y, nâi v mt tiảu chu'n mợi cho tnh bĐt khÊ quy trản Q ca cĂc a thức vợi hằ s nguyản thọa mÂn tnh chĐt: cĂc hằ s ca nõ tông dƒn theo b“c v a thøc nh“n ‰t nh§t mºt giĂ tr nguyản t n n1 2.3.5 nh lỵ 11 Cho a thøc f(x) = a nx + an 1x nguyản thọa mÂn mt cĂc iu kiằn: + + a1x + a0 vỵi h» sŁ (i) a0 a1 : : : ak < ak < ak+1 : : : an vỵi c¡c gi¡ trà cıa sŁ k thäa m¢n k n 1; (ii) janj > jan 1j + + ja0j vợi a0 6= 0: GiÊ sò janj l mºt sŁ nguy¶n tŁ ho°c jf(m)j l mºt s nguyản t vợi s nguyản m thọa mÂn jmj Khi õ f(x) bĐt khÊ quy trản Q Hỡn nœa, n‚u r r jmj = a vỵi a v r l hai sŁ tü nhi¶n th… f(x ) l bĐt khÊ quy trản Q Chứng minh Chú ỵ rng nu a thức f(x) thọa mÂn iu kiằn (i) ca nh lỵ, th theo Mằnh 9, tĐt cÊ cĂc nghiằm ca f(x) u nm pha ữớng trặn ỡn và, tøc l •u n‹m t“p C = fz C : jzj < 1g Hin nhiản nu iu kiằn (ii) ữổc thọa mÂn v j j th tł t‰nh ch§t cıa module cıa hi»u hai sŁ phøc, ta suy n n n j n0 jf( )j janjj j jajj > 1: ja jj j j j janj j X @ A Xj j=0 =0 V… th‚ f( ) 6= Do v“y, trữớng hổp f(x) thọa mÂn iu kiằn (ii) ca nh lỵ th tĐt cÊ nghiằm ca f(x) phÊi nm C Theo giÊ thit a0 6= 0, nản tĐt c£ c¡c nghi»m cıa n a thøc g(x) := x f x n‹m t“p fz C : jzj > 1g Do â janj = jg(0)j l mºt s nguyản t th theo Mằnh 2.3.4, g(x) bĐt khÊ quy trản Q: Suy f(x) bĐt khÊ quy trản Q Nu tỗn ti mt s nguyản m vợi jmj cho jf(m)j nguyản t th f(x) bĐt khÊ quy trản Q theo Mằnh 10 Ta ch cỈn ph£i chøng 30 r minh r‹ng n‚u jmj l mºt lơy thła b“c r cıa mºt sŁ nguy¶n, th… f(x ) bĐt khÊ quy trản Q V tĐt cÊ c¡c nghi»m cıa f(x) n‹m t“p C, tøc r r l u cõ module nhọ hỡn 1, nản nu l nghi»m cıa f(x ), th… ph£i l nghi»m cıa f(x), tức l l mt côn bc r ca vợi l nghi»m cıa f(x) Suy ra, module cıa ph£i nhä hìn V… v“y, t§t c£ c¡c nghi»m cıa r r f(x ) cụng nm C Tữỡng tỹ, tĐt c£ c¡c nghi»m cıa f( x ) công n‹m C V… jf(m)j l mºt sŁ nguy¶n tŁ, n¶n theo Mằnh 10 ta thu ữổc kt quÊ mong mun 2.3.6 H» qu£ Gi£ sß 2 n f(x) = (2 + 1)x n + l mºt sŁ nguy¶n tŁ Khi â a thøc n + an x n + + a1x + a0; vỵi a0 : : : ak < ak < ak+1 v k n b§t kh£ quy tr¶n Q Chøng minh Ta câ : : : an n +1 2n + l mºt sŁ nguy¶n tŁ Khi â a thøc n n + + an 1x + a 1x + a f(x) = (2 + 1)x n vỵi 2n a0 : : : ak < ak < ak+1 : : : an + v k n thọa mÂn iu kiằn (i) ca nh lỵ 11 Do õ f(x) l a thức bĐt khÊ quy tr¶n Q 2.3.7 V‰ dư 11 a thøc f(x) = 11x + 3x 2x + x + l a thức bĐt khÊ quy trản Q: Chøng minh a thøc f(x) = 11x + 3x a3 = 2x + x + câ a5 = 11; a4 = 3; 2; a2 = 0; a1 = 1; a0 = 1: C¡c h» sŁ n y thäa m¢n ja5j > ja4j + ja3j + ja2j + ja1j + ja0j: Hìn nœa, a5 = 11 v f(2) = 389 l cĂc s nguyản t Nhữ vy f(x) thọa mÂn iu kiằn (ii) ca nh lỵ 11 vỵi m = Do â f(x) l a thøc bĐt khÊ quy trản Q: 2.3.8 V‰ dö 12 a thøc g(x) = 64x + 2x 5x + 2x bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc sŁ hœu t Q: 31 Chøng minh a thøc g(x) = 64x + 2x 5x + 2x câ a5 = 64; a4 = 2; a3 = 5; a2 = 2; a1 = 0; a0 = 9: C¡c h» sŁ n y thäa m¢n ja5j > ja4j + ja3j + ja2j + ja1j + ja0j: Chån m = 2, ta câ g(2) = 64:2 + 2:2 11 5:2 + 2:2 = = 2039 l mt s nguyản t Nhữ vy g(x) thọa mÂn iu kiằn (ii) ca nh lỵ 11 vỵi m = Do â g(x) l a thức bĐt khÊ quy trản Q: 2.4 GiĂ tr nguyản t ti i s lợn v tnh bĐt khÊ quy Chúng ta nh nghắa chiu cao cuÊ f(x) H = i n an max v H 2= 1=(n i) i n max an V a thức f(x) cho trữợc nản ta ho n to : n x¡c ành ÷ỉc H1, H2 v r Gåi H = minfH1 1=(r+1) + 1; 2H2g: N‚u cĂc nghiằm ca f(x) nm giợi hn trản mt phflng phøc th… chóng ta câ th” chøng minh c¡c tiảu chu'n bĐt khÊ quy sò dửng cĂc iu kiằn trản Do õ, u tiản ữa mt sŁ c“n cho nghi»m phøc b§t ký cıa f(x) theo cĂc nh lỵ dữợi Ơy 2.4.1 Mằnh 12 Gồi f(x) l a thức bc n vợi hằ s nguyản n f(x) = anx + an 1x n + GiÊ sò an k = vợi mồi k = 1; 2; : : : ; r C l mºt nghi»m cıa f(x) th… j j < H1 1=(r+1) 32 + 1: + a1 x + a â0 r n N‚u Chøng minh Gåi C l mºt nghi»m cıa f(x) V… l f(x) v an k mºt nghi»m cıa = vỵi måi k = 1; 2; : : : ; r n¶n ta câ n n r an = a n r + + a1 + a0 n ) a = a n r n r + + 1+ an an a : an Do â jj n H1 jj n r + : : : + j j + = H1 : n r jj j j N‚u j j th… hi”n nhi¶n j j < H1 bĐt phữỡng trnh trản ta cõ 1=(r+1) n + v… H1 > N‚u j j > 1, theo n r n r j j (j j 1) H1(j j 1) < H1j j r ) j j (j j 1) < H1: r+1 V… r 1) (j j j j (j j ta câ (j j v suy j j < H1 1=(r+1) r+1 1) 1); H1 + N‚u r = ph¡t bi”u cıa M»nh • 12 th… ta câ a n 6= Chøng minh i•u n y ÷ỉc • c“p ‚n cuŁn s¡ch Exercises de math†ma-tiques ữổc xuĐt bÊn nôm 1857 ca nh toĂn hồc A.L Cauchy, trang 176 2.4.2 M»nh • 13 Gåi f(x) l n a thức bc n vợi hằ s nguyản n f(x) = anx + an 1x + + a1x + a0: N‚u C l mºt nghi»m cıa f(x) th… j j < 2H2: Chøng minh Gåi bi = vỵi måi i = 1; 2; : : : ; n K‰ hi»u a n c := max fjbij 1=(n i) 0i n v g = c : ” chøng minh m»nh •, ta ch¿ cƒn ch¿ r‹ng j j < cơng nh÷ c = H2: 33 Theo ành ngh¾a, ta câ j an j cn i vỵi måi i = 1; 2; : : : ; n an n + c n b + + cn = an n cn b b0 n + cn (a n n n 1 Khi â + + cn n + an n b0 + + a 0) = cn n V… an 6= 0, ta câ + b = n f( ) = 0: c 1+ + b = 0: n n n c V… jbij c n i c nản ta ữổc n jj 1+jj+jj +:::+jj n : N‚u j j 2, theo bĐt flng thức trản ta cõ n jj n jj jj < j jn ; 1 jj ko theo j j < 2, mƠu thuÔn vợi iu giÊ sò trản Suy j j < 2, tức l j j < 2c V… c = H2 n¶n ta thu ữổc j j < H2: 2.4.3 nh lỵ 12 GiÊ sò f(x) l a thức vợi hằ s nguy¶n b“c n f(x) n n1 = a nx + a n 1x + + a1x + a0: Nu tỗn t⁄i sŁ nguy¶n m H + cho f(m) nguyản t th f(x) bĐt khÊ quy trản trữớng s hœu t Q: Chøng minh Gi£ sß f(x) l a thức bc n vợi hằ s nguyản Chồn C l mºt nghi»m cıa f(x) Theo M»nh • 12 v M»nh • 13, ta câ j j < H1 Do 1=(r+1) + v j j < 2H2: â j j < H: Ta chøng minh b‹ng ph÷ìng ph¡p ph£n chøng Gi£ sß f(x) = g(x)h(x) â g(x), h(x) l cĂc a thức vợi hằ s nguyản cõ bc dữỡng V f(m) l s nguyản t nản f(m) = g(m)h(m) suy g(m) ho°c h(m) b‹ng Khỉng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß g(m) = Vi‚t l⁄i a thøc 34 i Q () i () g(x) = c i(x i) â iC l c¡c nghi»m cıa g(x) v c l h» sŁ cao nh§t cıa g x V… l c¡c nghi»m cıa g x n¶n công l c¡c nghi»m cıa f(x), ta câ j ij < H Do â (m H) 1: Y Y Y = jg(m)j = jcj i jm ij i (m j ij) > i iu n y l mƠu thuÔn Do õ f(x) l a thức bĐt khÊ quy trản Q: a thøc b§t 2.4.4 V‰ dư 13 a thøc f(x) = 10x + 3x + 2x + x + l kh£ quy tr¶n Q: Chøng minh a thøc f(x) câ a = 10; a4 = 3; a3 = 2; a2 = 0; a1 = 1; a0 = 1: Suy r = Theo c¡ch ành ngh¾a H1, H2 v H ð ƒu mưc 2.4, ta câ H1 = max H2 = max ; ;3 10 10 10 (10)1=5; (10)1=4 H = minfH1 1=(r+1) = ; 10 ; (10)1=2; ( + 1; 2H2g = 10) 1=1 = 10; 10 + 1; 2:10 Chån m = Rª r ng m > H + v f(2) = 389 l = 2:10 = : 3 s nguyản t Theo nh lỵ 12, f(x) l a thức bĐt khÊ quy trản Q Nôm 1980, J Brillhart b i b¡o Note on Irreducibility Testing, ông trản ch Math of computation, 35, 152, 1379 - 1381,  ch rng tnh bĐt khÊ quy cıa a thøc câ th” suy tł gi¡ trà nguy¶n tŁ cıa a thøc t⁄i mỉt tr‰ i s lợn 2.4.5 nh lỵ 13 Cho f(x) l Nu a thức vợi hằ s nguyản cõ bc dữỡng f(x) nhn giĂ tr nguyản f(x) t ti mt s nguyản lợn, th a thức bĐt khÊ quy trản Q Chứng minh Tht vy, giÊ sò f(x) khổng bĐt khÊ quy Khi õ f(x) cõ phƠn tch f(x) = g(x)h(x) â g(x) v h(x) l c¡c a thức cõ bc dữỡng vợi hằ s nguyản Gồi fbig v fb jg ln lữổt l tĐt cÊ c¡c nghi»m nguy¶n cıa a thøc g(x) v h(x) Khi â hai t“p fb ig v fb jg l hai t“p hœu h⁄n K‰ hi»u M1 = max jbij; M2 = max jb jj v M := max M1; M2 GiÊ sò tỗn ti s nguyản m cho jmj > M v f(m) l sŁ nguy¶n tŁ, 35 th… g(m) ho°c h(m) ph£i nh“n gi¡ trà ho°c 1, tøc l m fb ig hoc m fbjg iu n y l vổ lỵ Do õ f(x) bĐt khÊ quy trản Q Theo Hằ qu£ 1, n‚u P (f) = th… f(x) b§t khÊ quy iu ngữổc li khổng úng Nghắa l , n‚u f(x) b§t kh£ quy, nh…n chung ta khỉng suy ữổc P (f) = Sau Ơy l mt v‰ dö n 2.4.6 V‰ dö 14 a thøc f(x) = x + 105x + 12 bĐt khÊ quy trản Q v f(x) khỉng nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ ho°c sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ (tøc l P (f) = 0) n Chøng minh a thøc f(x) = x + 105x + 12 bĐt khÊ quy theo tiảu chu'n Eisenstein vợi p = Ta cõ phƠn tch f(x) = x(x n + 105) + 12: n1 Vỵi mỉi s nguyản m bĐt ký, ta cõ f(m) = m(m + 105) + 12 luæn l sŁ chfin Gi£ sò tỗn ti s nguyản m f(m) = 2: Khi â m(m n + 105) + 12 = 2: Suy m l ữợc ca 10 Thò tĐt cÊ cĂc trữớng hổp m l ữợc ca 10 ta thĐy flng thức trản u khổng thọa mÂn Vy f(x) khæng nh“n gi¡ trà b‹ng Do â f(m) luæn l hổp s vợi mồi s nguyản m, tức l P (f) = 36 K‚t lu“n Trong lu“n v«n n y chóng tỉi ¢ tr…nh b y nhœng nºi dung sau v t nh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản: Chứng minh Tiảu chu'n Eisenstein ( nh lỵ 1) v mt s m rng ( nh lỵ 2, nh lỵ 3) Chứng minh tiảu chu'n rót gån theo module mỉt sŁ nguy¶n tŁ ( ành lỵ 4) v b i toĂn ngữổc Chứng minh cĂc inh lỵ v mi liản hằ gia giĂ tr khÊ nghch, giĂ tr nguyản t v tnh bĐt khÊ quy ca a thức Chứng minh cĂc nh lỵ v mi li¶n h» giœa gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i Łi sŁ lợn v tnh bĐt khÊ quy Chứng minh nh lỵ v mi liản hằ gia tnh bĐt khÊ quy v gi¡ trà nguy¶n tŁ V‰ dư minh håa cho cĂc nh lỵ, cĂc mằnh 37 T i liằu tham khÊo Ting Viằt [1] Nguyn Khc Hững (2018), Tiảu chu'n Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy ca a thức, Lun vôn Thc sắ, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản [2] Nguyn Vôn Lp (2015), V a thức khÊ quy trản Z p bĐt khÊ quy trản Q, Lun vôn Thc sắ, Trữớng i hồc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n [3] L¶ Thà Thanh Nh n (2015), GiĂo trnh Lỵ thuyt a thức, Nh xu§t b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi Ti‚ng Anh [4] H Chao (1974), A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathematics Magazine, Vol 47, 158-159 [5] E Diver, P A Leonard and K S Williams (2005), Irreducible quartic polynomials with factorizations modulo p, Amer Math Monthly, 112, No.10, 876-890 [6] M Filaseta (1982), A further generalization of an irreducibility theorem of A.Cohn, Canad J Math., 34, 1390-1395 [7] R Guralnick, M Schacher, J Sonn (2005) Irreducible polynomials which are locally reducible everywhere, Proc Amer Math Ann., 133, No 11, 3171-3177 [8] A Jakhar and N Sangwan (2018), An irreducibility criterion for integer polynomials, Amer Math Monthly, 125, 464-465 38 [9] J Harrington and L Jones (2013), A Class of Irreducible Polynomials,Colloq Math 132, 113-119 [10] M Ram Murty (2002), Prime numbers and irreducible polynomials, Amer Math Mothlly, 109 , No 5, 452-458 [11] R Thangadurai (2007), Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers, Mathematics Newsletter, 17, 29-37 [12] , S H Weintraub (2013), A mild generazation of Eisenstein criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 141, 1159-1160 39 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN... thøc x 2x + l bĐt khÊ quy trản Q khổng bĐt khÊ quy trản Z p vợi mồi s nguyản t p bng cĂch sò dửng kin thức v nhõm, th… lu“n v«n n y chøng minh a thức x + bĐt khÊ quy trản Q khÊ quy trản Zp vợi mồi... D Hilbert v sỹ tỗn ti mt a thức vợi hằ s nguyản bĐt khÊ quy trản Q, khÊ quy trản mồi trữớng Z p vợi p nguyản t 1.2.8 nh lỵ a thức f(x) = x + bĐt khÊ quy trản Q khÊ quy trản Zp vợi mồi s nguyản