Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)Tiêu chuẩn Eisenstein về tính bất khả quy của đa thức (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN KHẮC HƯỞNG TIÊU CHUẨN EISENSTEIN VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN KHẮC HƯỞNG TIÊU CHUẨN EISENSTEIN VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời nói đầu Chương Tiêu chuẩn Eisenstein 1.1 Đa thức bất khả quy 5 1.2 Tiêu chuẩn Eisenstein 11 1.3 Lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 14 Chương Một số mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein 18 2.1 Mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số nguyên 18 2.2 Miền phân tích (UFD) 25 2.3 Mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số miền UFD 29 2.4 Vận dụng xét tính bất khả quy đa thức 31 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI CẢM ƠN Luận văn “Tiêu chuẩn Eisenstein tính bất khả quy đa thức” thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Cơ dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Luận văn tơi hồn thành nhờ đôn đốc nhắc nhở hướng dẫn nhiệt tình Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, thầy, cô tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quế Võ số - Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K10C (khóa 2016 - 2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều q trình học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn! Lời nói đầu Trong kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic tốn sinh viên trường đại học toán liên quan đến đa thức thường xuyên đề cập xem tốn khó Trong lý thuyết đa thức đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống vai trò số nguyên tố tập số ngun Các tốn xét tính bất khả quy đa thức trường số C R giải từ người ta chứng minh Định lý Đại số chứng minh hoàn chỉnh đưa Gauss năm 1816 Nhưng tốn tính bất khả quy đa thức Q thử thách nhà toán học giới Với lý trên, chọn đề tài “Tiêu chuẩn Eisenstein” tính bất khả quy đa thức Q Mục đích luận văn trình bày lại số kết gần mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho tính bất khả quy đa thức Tiêu chuẩn Eisenstein phát biểu rằng, f ♣xq ✏ an xn an✁1 xn✁1 ☎ ☎ ☎ a1 x a0 đa thức với hệ số nguyên cho có số nguyên tố p thỏa mãn p ước với i ➔ n, p không ước an p2 không ước a0 , f ♣xq bất khả quy trường hữu tỷ Q Luận văn nghiên cứu đến vấn đề sau đây: • Vấn đề Mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho trường hợp số nguyên tố p không ước hệ số ak với k số tự nhiên tùy ý không thiết n p2 không ước at với t tùy ý không thiết (dựa theo tài liệu [1], [4] [5]); • Vấn đề Mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho trường hợp hệ số đa thức thuộc miền phân tích tùy ý (khơng thiết miền Z số ngun) Từ xét tính bất khả quy đa thức nhiều biến (dựa theo tài liệu [6]); • Vấn đề Trình bày lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein (dựa theo tài liệu [3]) Luận văn gồm hai chương Trong Chương 1, nhắc lại khái niệm đa thức bất khả quy, Tiêu chuẩn Eisenstein lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein Chương nội dung luận văn, nêu số mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein Tiết đầu dành để mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số nguyên Tiết 2.2 trình bày khái niệm miền phân tích nhất, chuẩn bị cho việc mở rộng tiêu chuẩn với trường hợp đa thức với hệ số miền UFD Tiết cuối trình bày vận dụng mở rộng để xét tính bất khả quy đa thức Nội dung nghiên cứu chưa tiếp cận bậc phổ thơng đại học, gắn liền với tốn sơ cấp Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Khắc Hưởng Chương Tiêu chuẩn Eisenstein Mục tiêu Chương trình bày đa thức bất khả quy Tiêu chuẩn Eisenstein Trong tiết đầu chương nhắc lại số khái niệm đa thức bất khả quy số phương pháp chứng minh đa thức bất khả quy Tiết dành để trình bày Tiêu chuẩn Eisenstein Trong phần cuối chương chúng tơi trình bày lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 1.1 Đa thức bất khả quy Đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống vai trò số nguyên tố vành Z số nguyên Nhờ Định lí số học, để nghiên cứu vành số ngun ta xuất phát từ số nguyên tố Tương tự để nghiên cứu vành đa thức ta nghiên cứu đa thức bất khả quy Trong suốt tiết này, giả thiết V miền nguyên, tức V vành giao hoán khác t0✉ a, b ✘ hai phần tử V ab ✘ Ta có khái niệm đa thức bất khả quy vành đa thức V rxs Chú ý V rxs miền nguyên Nội dung tiết tham khảo từ tài liệu [1] Định nghĩa 1.1.1 Cho f ♣xq V rxs đa thức khác khơng khả nghịch Ta nói f ♣xq bất khả quy V khơng có ước thực Ta nói f ♣xq khả quy f ♣xq có ước thực Chú ý tính bất khả quy đa thức phụ thuộc vào vành sở Chẳng hạn, đa thức 2x bất khả quy trường Q Tuy nhiên 2x khơng bất khả quy vành Z đa thức x ước thực 2x Tương tự, đa thức x2 bất khả quy R không bất khả quy C Bổ đề 1.1.2 Đa thức f ♣xq bất khả quy f ♣x aq bất khả quy với a V Vì phần tử khác trường khả nghịch, nên từ định nghĩa đa thức bất khả quy ta có kết sau Bổ đề 1.1.3 Đa thức f ♣xq với hệ số trường K bất khả quy deg f ♣xq → f ♣xq khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Chú ý đa thức bậc với hệ số trường có nghiệm Vì ta có kết sau Bổ đề 1.1.4 Trên trường K, phát biểu sau i) Đa thức bậc bất khả quy ii) Đa thức bậc bậc bất khả quy khơng có nghiệm K Tiếp theo chúng tơi trình bày số phương pháp xét tính bất khả quy đa thức tập số hữu tỷ Q Trước hết ta nhắc lại khái niệm đa thức nguyên Định nghĩa 1.1.5 Một đa thức khác không vành Zrxs gọi nguyên hệ số có ước chung lớn Bổ đề 1.1.6 Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Bổ đề 1.1.7 (Bổ đề Gauss) Cho p♣xq Zrxs Giả sử p♣xq ✏ g ♣xqf ♣xq với g ♣xq, f ♣xq Qrxs Khi tồn g✝ ♣xq, f✝ ♣xq Zrxs cho deg g ♣xq ✏ deg g✝ ♣xq, deg f ♣xq ✏ deg f✝ ♣xq p♣xq ✏ g✝ ♣xqf✝ ♣xq Luận văn đủ file: Luận văn full ... Chương Tiêu chuẩn Eisenstein Mục tiêu Chương trình bày đa thức bất khả quy Tiêu chuẩn Eisenstein Trong tiết đầu chương nhắc lại số khái niệm đa thức bất khả quy số phương pháp chứng minh đa thức bất. .. khả quy đa thức phụ thuộc vào vành sở Chẳng hạn, đa thức 2x bất khả quy trường Q Tuy nhiên 2x không bất khả quy vành Z đa thức x ước thực 2x Tương tự, đa thức x2 bất khả quy R không bất. .. bất khả quy Tiết dành để trình bày Tiêu chuẩn Eisenstein Trong phần cuối chương chúng tơi trình bày lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 1.1 Đa thức bất khả quy Đa thức bất khả quy đóng